浙江温州市第二中学2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（2026九下·温州月开学考）2025的相反数是（ ）
A．-2025 B． C． D．2025
2．（2026九下·温州月开学考） 据统计， 某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过9540000个， 数字9540000用科学记数法表示是( )
A．954×104 B．95.4×105 C．9.54×106 D．0.954×107
3．（2026九下·温州月开学考）如图是由3个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的主视图是( )
A． B． C． D．
4．（2026九下·温州月开学考）下列计算正确的是( )
A． B．
C．(a+2)(a-2)=a2-4 D．
5．（2026九下·温州月开学考）某班有50名学生，某日晨检测体温统计如下表：
体温/℃ 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7
人数 9 10 12 11 7 1
根据上表的信息，关于体温的众数是( )
A．12 B．36.4 C．9 D．36.2
6．（2026九下·温州月开学考） 不等式2(x+2)≤6的解集是( )
A．x≤1 B．x≥1 C．x≤2 D．x≥2
7．（2026九下·温州月开学考）在直角坐标系中，将点A(1，1)绕原点按逆时针方向旋转45°到A'，则A'的坐标是( )
A．(1， 0) B．(0， 1) C． D．(0， ）
8．（2026九下·温州月开学考） 如图， AC， BD为矩形ABCD 的对角线， DE⊥AC于点E，∠BDE=30°， DE= 则AC的长为( )
A．1 B．2 C． D．4
9．（2026九下·温州月开学考） 若点A(t-1， y1)， B (t， y2)， C (t+3， y3)(其中0<1) 都在反比例函数 的图象上， 则y1， y2， y3的大小关系是 ( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
10．（2026九下·温州月开学考） 如图1， 在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上， 从点A 出发， 运动到点B时停止， 设AE为x， DE2为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是( )
A．∠A=30° B．m=25 C．n=6 D．BC=3
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．（2026九下·温州月开学考） 因式分解：a2-1= .
12．（2026九下·温州月开学考） 若 则x= .
13．（2026九下·温州月开学考）从-1，0，π，3， 五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 .
14．（2026九下·温州月开学考）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 cm2.
15．（2026九下·温州月开学考）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人.设大和尚x人，小和尚y人，则可列方程组 .(结果可以不化简)
16．（2026九下·温州月开学考）如图，在正方形ABCD中分割出四个全等三角形与两个正方形，延长AE交GH于点 F，若矩形GEHC的面积为a，△GFE 的面积与△HFE的面积乘积为b2，则阴影部分的面积之和用含a，b的代数式表示为 .
三、填空题(共8小题，共72分)
17．（2026九下·温州月开学考） 计算：
18．（2026九下·温州月开学考）先化简，再求值： 其中x=3.
19．（2026九下·温州月开学考）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动.为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩(成绩为百分制，用x表示)，并将其分成如下四组： 60≤x<70， 70≤x<80， 80≤x<90， 90≤x≤100.
下面给出了部分信息：
在80≤x<90组的说题成绩人数统计表
成绩 (分) 81 82 83 84 85 86 87 88 89
人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1
根据以上信息解决下列问题：
（1）所有抽取学生的说题成绩的中位数是 分.
（2）请估计全校1200名学生中说题成绩不低于80分的人数.
20．（2026九下·温州月开学考）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点 P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE， 则 PE∥AB.
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由.
（2） 连接PD， 若PC=5， PD=6， 求点 P到直线AB的距离.
21．（2026九下·温州月开学考）经测试，在使用快速充电器和普通充电器对某款手机充电时，其电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象分别为图中的折线段OA—AB，OC—CD.根据以上信息，回答下列问题.
（1）求线段OA 对应的函数表达式.
（2）用充电器给电量仅剩20%的手机充满电，快速充电器比普通充电器少用几小时
22．（2026九下·温州月开学考） 如图， 在矩形ABCD中， 2AB>BC， E是BC中点， 以点E为圆心， CE长为半径在矩形内画半圆，AG切半圆于点 F，与CD 交于点G，连接AE，GE.
（1） 求证： AE⊥GE.
（2） 若AE：EG=4：3， AB=4， 求AG的长.
23．（2026九下·温州月开学考）已知y关于x的二次函数
（1）当a=1时，
①求二次函数的对称轴和顶点坐标.
②当x≤m时，该函数的最小值是3，求m的值.
（2） 若抛物线过点 (1， y0)， 且对于抛物线上任意一点(x1， y1) 都有y1≤y0， 若点A (m， n)， B (3-m， p) 是这条抛物线上不同的两点， 求证：
24．（2026九下·温州月开学考） 如图， Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B<45°， 点D是AB中点， 以CD为直径作⊙O别交AB， BC于点E， F.
（1） 求证： 点F是BC中点.
（2） 连接EF交DC于点P
①当点P是EF中点时，求∠B的度数.
②设 求y关于x的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2025的相反数是-2025.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可作答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵9540000科学记数法表示为，
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是：
故答案为：A .
【分析】根据从正面看所得到的图形是主视图解答即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故答案为：C .
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，平方差公式和完全平方公式的运算法则逐项分析即可．
5．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵由表格可得，36.4℃对应的人数最多，即36.4在这组体温数据中出现次数最多，
∴该组体温数据的众数是36.4，
故答案为：B .
【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的数据”解答即可.
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
故答案为：A .
【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的解答步骤求出不等式的解集即可．
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，
∵，
∴，，
由勾股定理得 ，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质得 ，旋转角，
∴，
∴ 点在轴正半轴上，
∴的坐标为，
故答案为：D .
【分析】过点作轴于点，即可求出，，根据旋转可得落在轴正半轴，求出的坐标解答即可．
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
∴，
∴；
又四边形是矩形，
∴．
故答案为：D .
【分析】在中利用余弦的定义求出，然后根据矩形的性质解答即可．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时，
∴，，
∴．
故答案为：C .
【分析】根据可得，，根据反比例函数所在象限和增减性解答即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数图象过点和，
∴这两点纵坐标相等，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵二次函数图象的最低点为，
∴，
解得；故选C错误；
∴二次函数图象的最低点为，此时，，则，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，故选项D错误；
当时，，，
∴，
当时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，故选B正确，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴在中，，即，故选项A错误．
故答案为： .
【分析】根据函数图象可得对称轴为，根据最低点坐标得到n的方程，求出可判断C；由函数图象的最低点为，求出，得到是的中位线，求出BC的长判断D；根据勾股定理求出m和AC的值，再根据正弦的定义求出∠A≠30°，判断A、B解答即可．
11．【答案】（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案为：（a+1）（a-1）.
【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.
12．【答案】0
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以，得，
解得，
检验：当时，．
因此是原分式方程的解．
故答案为：0 .
【分析】分式方程两边同时乘以(x+1)，化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后验根解答即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：、，
∴ 无理数的概率为，
故答案为： .
【分析】根据无理数的定义得到无理数的个数，然后根据概率公式解答即可．
14．【答案】12π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积为；
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式πrl进行计算即可．
15．【答案】
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设大和尚人，小和尚人，列方程组为.
故答案为： .
【分析】设大和尚人，小和尚人，根据“ 100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头 ”列方程解答即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵在正方形中分割出四个全等三角形与两个正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积与的面积乘积为，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴阴影部分的面积之和为：．
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，根据题意求出，然后根据矩形的面积为求出，再利用勾股定理解答即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】先求绝对值、算术平方根和负整数指数次幂，然后加减解答即可.
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分，然后根据同分母分式的加法通分，再约分化简，最后代入x的值解答即可．
19．【答案】（1）83
（2）解：（人），
答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数，
由条形统计图可得第25，26个数据在组，
而，
∴第25，26个数据为，，
∴中位数为，
故答案为：；
【分析】（1）先把数据从小到大排列，居于中间的一个数或两个数据的平均数即为中位数解答即可；
（2）利用样1200乘以成绩不低于80分的人数占比解答即可．
20．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由题意可得：，
∴四边形是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【分析】（1）根据作图得到是菱形，根据菱形的性质得到结论即可；
（2）根据菱形的性质，利用勾股定理求出长，即可求出长，设点P到直线的距离为，然后根据菱形的面积公式计算即可．
21．【答案】（1）解：由图可设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，当时，线段对应的函数，
解得；
当时，对应的点，即快速充电器充满电需要小时；
设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
当时，，
解得；
当时，对应的点，即普通充电器充满电需要小时；
小时；
∴快速充电器比普通充电器少用小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先分别根据函数解析式求出快速充电器和普通充电器需要的时间，然后求差解答即可．
22．【答案】（1）证明：连接，如图，
由题意知，，，
在和中，
∴≌，
∴，
在和中，
∴≌，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据HL得到≌和≌，即可得到和，然后根据角的和差解答即可；
（2）根据两角对应相等得到∽，然后根据对应边成比例求出和的值，再根据勾股定理解答即可．
23．【答案】（1）解：①把代入解析式，得
，
化为顶点式，得
，
∴这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
②二次函数中，
∵，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∵二次函数的顶点坐标为，
∴函数最小值为2，
∵时，该函数的最小值是3，
∴函数的最小值在端点处取得，且，
令，则，
解得或，
∵，
∴；
（2）证明：∵抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，
∴是抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，，且对称轴为，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：，
∵点，在抛物线上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵点，是这条抛物线上不同的两点，
∴，解得，
∴，
∴，即．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①将代入得到二次函数解析式，化成顶点式，得到对称轴和顶点坐标即可；
②由抛物线开口方向和顶点坐标，根据题意得到该函数的最小值3是在端点处取得且， 令，求出或，取舍根即可；
（2）由抛物线过点，即可得到，即可得到，求出解析式，将，代入解析式，分别表示出和，即可得到，利用，是不同点得出，从而证明结论即可．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵中，点是中点，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：①如图，连接，，
∵点是中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵是的直径，
∴，
在直角中，，
∴；
②如图，连接，，过点作的平行线，交于点，设，
由（1）可得，，
在直角中，，
∴，
在直角中，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；垂径定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，再根据圆周角定理的推论可得，然后利用三线合一得到结论即可；
（2）①连接，，根据垂径定理的逆定理可得，即可得到，结合（1）的结论可得，然后根据争先的定义解答即可；
②连接，，过点作的平行线，交于点，设，根据余弦的定义得到，，．即可得到，．再根据平行线得到，即可得到，，然后得到，根据对应边成比例求出解答即可．
1 / 1浙江温州市第二中学2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（2026九下·温州月开学考）2025的相反数是（ ）
A．-2025 B． C． D．2025
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2025的相反数是-2025.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可作答.
2．（2026九下·温州月开学考） 据统计， 某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过9540000个， 数字9540000用科学记数法表示是( )
A．954×104 B．95.4×105 C．9.54×106 D．0.954×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵9540000科学记数法表示为，
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
3．（2026九下·温州月开学考）如图是由3个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的主视图是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是：
故答案为：A .
【分析】根据从正面看所得到的图形是主视图解答即可．
4．（2026九下·温州月开学考）下列计算正确的是( )
A． B．
C．(a+2)(a-2)=a2-4 D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故答案为：C .
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，平方差公式和完全平方公式的运算法则逐项分析即可．
5．（2026九下·温州月开学考）某班有50名学生，某日晨检测体温统计如下表：
体温/℃ 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7
人数 9 10 12 11 7 1
根据上表的信息，关于体温的众数是( )
A．12 B．36.4 C．9 D．36.2
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵由表格可得，36.4℃对应的人数最多，即36.4在这组体温数据中出现次数最多，
∴该组体温数据的众数是36.4，
故答案为：B .
【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的数据”解答即可.
6．（2026九下·温州月开学考） 不等式2(x+2)≤6的解集是( )
A．x≤1 B．x≥1 C．x≤2 D．x≥2
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
故答案为：A .
【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的解答步骤求出不等式的解集即可．
7．（2026九下·温州月开学考）在直角坐标系中，将点A(1，1)绕原点按逆时针方向旋转45°到A'，则A'的坐标是( )
A．(1， 0) B．(0， 1) C． D．(0， ）
【答案】D
【知识点】点的坐标；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，
∵，
∴，，
由勾股定理得 ，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质得 ，旋转角，
∴，
∴ 点在轴正半轴上，
∴的坐标为，
故答案为：D .
【分析】过点作轴于点，即可求出，，根据旋转可得落在轴正半轴，求出的坐标解答即可．
8．（2026九下·温州月开学考） 如图， AC， BD为矩形ABCD 的对角线， DE⊥AC于点E，∠BDE=30°， DE= 则AC的长为( )
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
∴，
∴；
又四边形是矩形，
∴．
故答案为：D .
【分析】在中利用余弦的定义求出，然后根据矩形的性质解答即可．
9．（2026九下·温州月开学考） 若点A(t-1， y1)， B (t， y2)， C (t+3， y3)(其中0<1) 都在反比例函数 的图象上， 则y1， y2， y3的大小关系是 ( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时，
∴，，
∴．
故答案为：C .
【分析】根据可得，，根据反比例函数所在象限和增减性解答即可．
10．（2026九下·温州月开学考） 如图1， 在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上， 从点A 出发， 运动到点B时停止， 设AE为x， DE2为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是( )
A．∠A=30° B．m=25 C．n=6 D．BC=3
【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数图象过点和，
∴这两点纵坐标相等，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵二次函数图象的最低点为，
∴，
解得；故选C错误；
∴二次函数图象的最低点为，此时，，则，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，故选项D错误；
当时，，，
∴，
当时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，故选B正确，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴在中，，即，故选项A错误．
故答案为： .
【分析】根据函数图象可得对称轴为，根据最低点坐标得到n的方程，求出可判断C；由函数图象的最低点为，求出，得到是的中位线，求出BC的长判断D；根据勾股定理求出m和AC的值，再根据正弦的定义求出∠A≠30°，判断A、B解答即可．
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．（2026九下·温州月开学考） 因式分解：a2-1= .
【答案】（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案为：（a+1）（a-1）.
【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.
12．（2026九下·温州月开学考） 若 则x= .
【答案】0
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以，得，
解得，
检验：当时，．
因此是原分式方程的解．
故答案为：0 .
【分析】分式方程两边同时乘以(x+1)，化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后验根解答即可．
13．（2026九下·温州月开学考）从-1，0，π，3， 五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：、，
∴ 无理数的概率为，
故答案为： .
【分析】根据无理数的定义得到无理数的个数，然后根据概率公式解答即可．
14．（2026九下·温州月开学考）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 cm2.
【答案】12π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积为；
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式πrl进行计算即可．
15．（2026九下·温州月开学考）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人.设大和尚x人，小和尚y人，则可列方程组 .(结果可以不化简)
【答案】
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设大和尚人，小和尚人，列方程组为.
故答案为： .
【分析】设大和尚人，小和尚人，根据“ 100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头 ”列方程解答即可.
16．（2026九下·温州月开学考）如图，在正方形ABCD中分割出四个全等三角形与两个正方形，延长AE交GH于点 F，若矩形GEHC的面积为a，△GFE 的面积与△HFE的面积乘积为b2，则阴影部分的面积之和用含a，b的代数式表示为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵在正方形中分割出四个全等三角形与两个正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积与的面积乘积为，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴阴影部分的面积之和为：．
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，根据题意求出，然后根据矩形的面积为求出，再利用勾股定理解答即可．
三、填空题(共8小题，共72分)
17．（2026九下·温州月开学考） 计算：
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】先求绝对值、算术平方根和负整数指数次幂，然后加减解答即可.
18．（2026九下·温州月开学考）先化简，再求值： 其中x=3.
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分，然后根据同分母分式的加法通分，再约分化简，最后代入x的值解答即可．
19．（2026九下·温州月开学考）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动.为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩(成绩为百分制，用x表示)，并将其分成如下四组： 60≤x<70， 70≤x<80， 80≤x<90， 90≤x≤100.
下面给出了部分信息：
在80≤x<90组的说题成绩人数统计表
成绩 (分) 81 82 83 84 85 86 87 88 89
人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1
根据以上信息解决下列问题：
（1）所有抽取学生的说题成绩的中位数是 分.
（2）请估计全校1200名学生中说题成绩不低于80分的人数.
【答案】（1）83
（2）解：（人），
答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数，
由条形统计图可得第25，26个数据在组，
而，
∴第25，26个数据为，，
∴中位数为，
故答案为：；
【分析】（1）先把数据从小到大排列，居于中间的一个数或两个数据的平均数即为中位数解答即可；
（2）利用样1200乘以成绩不低于80分的人数占比解答即可．
20．（2026九下·温州月开学考）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点 P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE， 则 PE∥AB.
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由.
（2） 连接PD， 若PC=5， PD=6， 求点 P到直线AB的距离.
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由题意可得：，
∴四边形是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【分析】（1）根据作图得到是菱形，根据菱形的性质得到结论即可；
（2）根据菱形的性质，利用勾股定理求出长，即可求出长，设点P到直线的距离为，然后根据菱形的面积公式计算即可．
21．（2026九下·温州月开学考）经测试，在使用快速充电器和普通充电器对某款手机充电时，其电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象分别为图中的折线段OA—AB，OC—CD.根据以上信息，回答下列问题.
（1）求线段OA 对应的函数表达式.
（2）用充电器给电量仅剩20%的手机充满电，快速充电器比普通充电器少用几小时
【答案】（1）解：由图可设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，当时，线段对应的函数，
解得；
当时，对应的点，即快速充电器充满电需要小时；
设线段对应的函数表达式为，
代入，得，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
当时，，
解得；
当时，对应的点，即普通充电器充满电需要小时；
小时；
∴快速充电器比普通充电器少用小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先分别根据函数解析式求出快速充电器和普通充电器需要的时间，然后求差解答即可．
22．（2026九下·温州月开学考） 如图， 在矩形ABCD中， 2AB>BC， E是BC中点， 以点E为圆心， CE长为半径在矩形内画半圆，AG切半圆于点 F，与CD 交于点G，连接AE，GE.
（1） 求证： AE⊥GE.
（2） 若AE：EG=4：3， AB=4， 求AG的长.
【答案】（1）证明：连接，如图，
由题意知，，，
在和中，
∴≌，
∴，
在和中，
∴≌，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据HL得到≌和≌，即可得到和，然后根据角的和差解答即可；
（2）根据两角对应相等得到∽，然后根据对应边成比例求出和的值，再根据勾股定理解答即可．
23．（2026九下·温州月开学考）已知y关于x的二次函数
（1）当a=1时，
①求二次函数的对称轴和顶点坐标.
②当x≤m时，该函数的最小值是3，求m的值.
（2） 若抛物线过点 (1， y0)， 且对于抛物线上任意一点(x1， y1) 都有y1≤y0， 若点A (m， n)， B (3-m， p) 是这条抛物线上不同的两点， 求证：
【答案】（1）解：①把代入解析式，得
，
化为顶点式，得
，
∴这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
②二次函数中，
∵，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∵二次函数的顶点坐标为，
∴函数最小值为2，
∵时，该函数的最小值是3，
∴函数的最小值在端点处取得，且，
令，则，
解得或，
∵，
∴；
（2）证明：∵抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，
∴是抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，，且对称轴为，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：，
∵点，在抛物线上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵点，是这条抛物线上不同的两点，
∴，解得，
∴，
∴，即．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①将代入得到二次函数解析式，化成顶点式，得到对称轴和顶点坐标即可；
②由抛物线开口方向和顶点坐标，根据题意得到该函数的最小值3是在端点处取得且， 令，求出或，取舍根即可；
（2）由抛物线过点，即可得到，即可得到，求出解析式，将，代入解析式，分别表示出和，即可得到，利用，是不同点得出，从而证明结论即可．
24．（2026九下·温州月开学考） 如图， Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B<45°， 点D是AB中点， 以CD为直径作⊙O别交AB， BC于点E， F.
（1） 求证： 点F是BC中点.
（2） 连接EF交DC于点P
①当点P是EF中点时，求∠B的度数.
②设 求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵中，点是中点，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：①如图，连接，，
∵点是中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵是的直径，
∴，
在直角中，，
∴；
②如图，连接，，过点作的平行线，交于点，设，
由（1）可得，，
在直角中，，
∴，
在直角中，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；垂径定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，再根据圆周角定理的推论可得，然后利用三线合一得到结论即可；
（2）①连接，，根据垂径定理的逆定理可得，即可得到，结合（1）的结论可得，然后根据争先的定义解答即可；
②连接，，过点作的平行线，交于点，设，根据余弦的定义得到，，．即可得到，．再根据平行线得到，即可得到，，然后得到，根据对应边成比例求出解答即可．
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