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【精选热题·50道解答题专练】
浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．已知，求的值
2．若a=1﹣ ，先化简再求 的值．
3．已知，
（1）求x，y的值
（2）求的平方根．
4．已知实数x，y满足关系式，求的值．
5．数学课上，对于 ，小红根据被开方数是非负数，得出a的取值范围是a≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出a的取值范围．
6．已知a，b，c为实数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示，
化简：﹣2|a|．
7．计算：
（1）（+﹣×）÷
（2）（2﹣）2014（2+）2015﹣2|﹣|﹣（﹣）0．
8．
（1）计算填空： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝
（2）根据计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？并请你把得到的规律描述出来？
（3）利用你总结的规律，计算：
9．某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
10．已知m，n为实数，且满足m=，求6m﹣3n的值．
11．数轴上a、 b、 c 三数在数轴上对应点如图所示，化简：
12．已知，，是的三边长，化简.
13．在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： ，其中 .
小明同学是这样计算的：
解： .
当 时，原式 .
小荣同学是这样计算的：
解： .
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
14． 计算：
（1）；
（2）
15．已知，是64的立方根．
（1）求、、的值；
（2）求的平方根．
16．一个矩形的长减少 ，宽增加 ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个矩形的周长.
17．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图，且|a|=|b|，化简．
18．比较与的大小.
19． 如图，在3×3 的方格（每个小方格的边长均为1）中有一个格点三角形 ABC，求BC边上的高线长.
20．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.试化简： .
21．实数a，b在数轴上的位置如图所示.
（1）化简： ， ；
（2）先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是3的算术平方根.
22．先阅读，后回答问题
x为何值时有意义？
解：要使有意义需x（x﹣1）≥0
由乘法法则得 或
解之得：x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时，有意义
体会解题思想后，解答，x为何值时有意义？
23．先化简，再求值：如果a＝2+ ，b＝ ，求 的值．
24．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
25．已知a、b满足 +|b+3|=0，求（a+b）2013的值．
26．已知： ， ，求代数式（a﹣3）（b﹣3）（a2+b2）的值．
27．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
（1） 解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）当时，求的值．
28．已知：．
（1）化简；
（2）若点是一次函数图象上的点，求的值．
29．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣ ﹣|a+c|
30． 解决“已知 求 的值”这个问题时，小明是这样分析与解答的：
∴ a-2=- ， ∴ (a-2)2=3，a2-4a+4=3，
∴= -1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若 求 的值.
31．已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简 .
32．如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
33．已知，x=1-，y=1+，求的值.
34．化简：
35．如图，15只空油桶(每只油桶底面的直径均为50cm)堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚至少要多高(结果精确到0.1cm)
36．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a|﹣|a+b|﹣ +|b﹣c|．
37．设的三边长分别为，，，满足的平方根为，的算术平方根为3，的立方为27．
（1）求a，b，c的值；
（2）若，求的值．
38．已知x，y为实数，y=，求的值．
39． 已知实数满足，则的值为多少？
40．已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简
41．已知 ，求 的值．
42．问题情境：
毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．
解决问题：
（1）如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是 ，正方形的边长是 ．
（2）如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．若正方形，正方形的面积分别为，，求的长．
43．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
44．如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积．
45．观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
46．已知，点分别在轴、轴上，是边上的一点，交轴正半轴于点．已知满足．
（1）求的坐标；
（2）如图1，求的值；
（3）如图2，延长交轴于点，求的值；
（4）如图3，点为上任意一点（不与重合），过作，点为垂足，连，求的度数．
47．如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点 B所表示的数为m.
（1）m 的值是 .
（2）求 的值.
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求2c-3d的平方根.
48．（1）求三角形的面积除了传统的方法外，还有海伦公式和秦九韶公式等，已知三角形的三边长，都可以求出三角形的面积．其中，海伦公式为，公式中是三角形周长的一半．填空：
①，，，______；②，，，_____；
（2）在不知道上述公式的情况下，我们也可以通过先求三角形的高，再求面积．
如图，，，，，请你先求其中一条高，再求的面积．
（3）已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一条直角边长为12，求这个直角三角形的另两边长．
49．如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若过点作交轴于点，且分别平分，如图2，求的度数．
50．【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
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【精选热题·50道解答题专练】
浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．已知，求的值
【答案】解：
由得：，
∴x-1=，
∴x2-2x+2=x2-2x+1+1=(x-1)2+1=()2+1=3+1=4.
【解析】【分析】先对x进行化简，并整理可得x-1=，将所求代数式根据完全平方公式变形得：x2-2x+2=(x-1)2+1，然后整体代换即可求解．
2．若a=1﹣ ，先化简再求 的值．
【答案】解：
= + ．
∵a=1﹣ ＜1，
∴原式= + = ．
把a=1﹣ 代入得：
= = =（1+ ）2=3+2
【解析】【分析】根据a=1﹣ ＜1，先把 化成最简二次根式，然后代入a的值即可得出答案．
3．已知，
（1）求x，y的值
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是；
【解析】【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性，列出二元一次方程组求解x、y；
（2）将x、y的值代入表达式，先化简再求其平方根。
（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是
4．已知实数x，y满足关系式，求的值．
【答案】解：∵，，
∴且，
∴，
∴，
∴
.
【解析】【分析】根据，，求得x=3，于是可得y=-2.先计算分式除法，再把x，y代入运算.
5．数学课上，对于 ，小红根据被开方数是非负数，得出a的取值范围是a≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出a的取值范围．
【答案】解：小慧的想法正确．
由题意得 ，
解得：a≥且a≠3．
【解析】【分析】根据分式有意义：分母不为零；二次根式有意义：被开方数为非负数，可得出答案．
6．已知a，b，c为实数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示，
化简：﹣2|a|．
【答案】解：由数轴知b﹣a＞0，b+c＞0，a﹣c＜0，a＜0．
∴原式=2|b﹣a|+|b+c|﹣|a﹣c|﹣2|a|
=2（b﹣a）+b+c﹣[﹣（a﹣c）]﹣2（﹣a）
=2b﹣2a+b+c+a﹣c+2a
=a+3b．
【解析】【分析】本题可根据数轴判断a、b、c的大小关系，再对原式去根号和绝对值．
7．计算：
（1）（+﹣×）÷
（2）（2﹣）2014（2+）2015﹣2|﹣|﹣（﹣）0．
【答案】解：（1）原式=（5+4﹣3）÷2
=6÷2
=3；
（2）原式=（2﹣）2014（2+）2014（2+）﹣﹣1
=2+﹣﹣1
=1．
【解析】【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算和除法运算，然后合并；
（2）分别进行积的乘方和幂的乘方、绝对值的化简、零指数幂等运算，然后合并．
8．
（1）计算填空： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝
（2）根据计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？并请你把得到的规律描述出来？
（3）利用你总结的规律，计算：
【答案】（1）4；0.8；3；
（2）不一定| =
（3）3.15﹣π
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：4，0.8，3， ；（2） 不一定等于a，
规律： ＝|a|；（3） ＝|π﹣3.15|＝3.15﹣π．
【分析】（1）依据被开方数即可计算得到结果；（2）根据计算结果， 不一定等于a；（3）原式利用得出规律计算即可得到结果．
9．某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：∵矩形的长为米，宽为米，∴周长为（米）．
故矩形的周长为米．
（2）由题意得：通道的面积为：
（m2），∴购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费336元．
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长列出算式，再化简并合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先用长方形ABCD的面积减去2个花坛的面积，求出通道的面积，再计算花费即可．
（1）解：矩形的长为米，宽为米，
∴矩形的周长为（米）．
答：矩形的周长为米．
（2）解：通道的面积为（平方米），
则购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费336元．
10．已知m，n为实数，且满足m=，求6m﹣3n的值．
【答案】解：因为n2﹣9≥0，9﹣n2≥0，且n﹣3≠0，
所以n2=9且n≠3，
解得：n=﹣3，m=﹣．
∴6m﹣3n=5．
【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求出n和m的值，继而可得出答案．
11．数轴上a、 b、 c 三数在数轴上对应点如图所示，化简：
【答案】解：由数轴上点位置得：
∴，，，
∴原式=
=
=
【解析】【分析】根据数轴可得b
12．已知，，是的三边长，化简.
【答案】解：，，是的三边长，
，，，
原式
【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+b>c，b+c>a，b+a>c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可.
13．在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： ，其中 .
小明同学是这样计算的：
解： .
当 时，原式 .
小荣同学是这样计算的：
解： .
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
【答案】解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，
错在去掉根号： 应为 .
【解析】【分析】根据x=9可得x-1=8>0，x-10=-1<0，然后根据绝对值的非负性以及二次根式的性质化简即可.
14． 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）先去掉括号，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可；
（2）先去掉括号，然后根据立方根的定义和有理数的加减计算法则计算即可求解.
15．已知，是64的立方根．
（1）求、、的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：由题意，得解得，
∴，
．
（2）解：∵．
∴16的平方根是．
【解析】【分析】
（1）根据算术平方根的非负性得到，代入即可求出的值，再利用立方根的定义求出的值；
（2）把字母的值代入求出代数式的值，根据平方根的定义求出答案即可解答．
（1）由题意，得解得，
∴，
．
（2）∵．
∴16的平方根是．
16．一个矩形的长减少 ，宽增加 ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个矩形的周长.
【答案】解：解设矩形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意，得 ，
解这个方程组得： ，
所以，矩形的周长为
【解析】【分析】设矩形的长为xcm，宽为ycm，根据正方形的边长相等和两个图形的面积相等列出方程组，求解得到x、y的值，再根据矩形的周长公式列式计算即可得解.
17．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图，且|a|=|b|，化简．
【答案】解：由实数a、b、c在数轴上的位置知：c＜a＜0，b＞0，∵由题意可知a、b互为相反数，∴原式=﹣a+0﹣（a﹣c）+2c=3c﹣2a．
【解析】【分析】本题利用实数与数轴的关系解答．
18．比较与的大小.
【答案】解：∵-的倒数是-的倒数是
∵>
∴-<-
【解析】【分析】先根据倒数得到-的倒数是-的倒数是进而比较无理数的大小得到>，从而即可求解。
19． 如图，在3×3 的方格（每个小方格的边长均为1）中有一个格点三角形 ABC，求BC边上的高线长.
【答案】解：由勾股定理，得AB=，AC=2，BC=，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB=90°.
设BC边上的高线长为h，
则S△ABC=BC·h=AC·AB，
∴h===.
【解析】【分析】根据勾股定理得AB、AC、BC的长，根据勾股定理逆定理得Rt△ABC，再根据等面积法计算出三角形 BC边上的高线长 .
20．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.试化简： .
【答案】解：根据题意得：b＜0，a-b＞0，a+b＜0，b-c＜0，
则原式=-b+a-b-a-b+b-c
=-2b-c.
【解析】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里和根号下式子的符号，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果.
21．实数a，b在数轴上的位置如图所示.
（1）化简： ， ；
（2）先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是3的算术平方根.
【答案】（1）；
（2）解：由图可知，，，，
，
a是的一个平方根，b是3的算术平方根，，，，
.
【解析】【解答】解：（1）由数轴得，-1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+b＞0，
∴＝ a，|a+b|=a+b，
故答案为：-a；a+b；
【分析】（1）由a、b在数轴上的位置可得：-1＜a＜0，1＜b＜2，进一步判断出a+b＞0，再根据算术平方根、绝对值的意义化简即可；
（2）由数轴判断出a+1＞0，b-2＜0，再根据算术平方根的意义化简，由已知a是的一个平方根，b是3的算术平方根求出a、b的值，即可求出原式的值。
22．先阅读，后回答问题
x为何值时有意义？
解：要使有意义需x（x﹣1）≥0
由乘法法则得 或
解之得：x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时，有意义
体会解题思想后，解答，x为何值时有意义？
【答案】解：要使有意义需≥0，则或，解之得：x≥2或x＜﹣，即当x≥2或x＜﹣时，有意义．
【解析】【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x的取值范围．
23．先化简，再求值：如果a＝2+ ，b＝ ，求 的值．
【答案】解：∵b= ，
∴a-b=2+ -(2- )=2 ，
∴ ．
【解析】【分析】先求出 a-b=2+ -(2- )=2 ， 再代入计算求解即可。
24．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
【答案】解：从数轴上实数a、b的位置，得到：
﹣1＜a＜0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a.
【解析】【分析】先观察数轴上实数a、b的位置，得到数轴上实数a、b的范围，再进行求解即可得到答案.
25．已知a、b满足 +|b+3|=0，求（a+b）2013的值．
【答案】解：由题意得，a-2=0，b+3=0，
解得a=2，b=-3，
所以，（a+b）2013=（2-3）2013=-1
【解析】【分析】利用算术平方根、绝对值的非负性可得a、b的值，据此即可解答。
26．已知： ， ，求代数式（a﹣3）（b﹣3）（a2+b2）的值．
【答案】解：∵ ，
；
∴（a﹣3）（b﹣3）（a2+b2）
＝（2 ﹣3）×（﹣ ﹣2﹣3）×[（2﹣ ）2+（﹣ ﹣2）2]
＝（ ﹣1）×（﹣ ﹣5）×[（7﹣4 ）+（7+4 ）]
＝（ ﹣1）×（﹣ ﹣5）×[（7﹣4 ）+（4+4 ﹣2）]
＝112+84 ．
【解析】【分析】先分母有理化，再根据多项式乘多项式，二次根式的化简求值的计算法则计算即可求解．
27．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
（1） 解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）小亮
（2）
（3），
，，
原式．
【解析】【解答】解：（1）由题意得原式=，
∵1-a＜0，
∴原式=a+a-1=4045，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）由题意得错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：，
故答案为：
【分析】（1）根据二次根式的化简求值结合整式的混合运算进行化简，进而即可判断；
（2）根据二次根式的性质即可求解；
（3）先根据题意得到，，再根据二次根式的化简求值结合整式的混合运算进行化简，最后代入数据即可求解。
28．已知：．
（1）化简；
（2）若点是一次函数图象上的点，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：点是一次函数图象上的点，
，
，
即，
．
【解析】【分析】根据分式的加法，结合平方差公式化简即可求出答案.
（2）把代入，求出，再整体代入代数式即可求出答案.
（1）
（2）点是一次函数图象上的点，
，
，
即，
．
29．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣ ﹣|a+c|
【答案】解：由数轴知：c＜b＜0＜a，a﹣b＞0，a+c＜0．
原式=（a﹣b）+2c+（a+c），
=a﹣b+2c+a+c，
=2a﹣b+3c
【解析】【分析】根据数轴得出c＜b＜0＜a，a﹣b＞0，a+c＜0．先根据二次根式性质进行计算，再去掉绝对值符号，最后合并即可．
30． 解决“已知 求 的值”这个问题时，小明是这样分析与解答的：
∴ a-2=- ， ∴ (a-2)2=3，a2-4a+4=3，
∴= -1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若 求 的值.
【答案】（1）解：
（2）解：
= ，
∴ a2-2a+1=2，
∴a2-2a=1，
∴3a2-6a=3，
∴3a2-6a-1=2
【解析】【分析】(1)通过平方差公式进行分母有理化化简即可求解；
(2)先将a进行分母有理化，再通过对a的变形得到a2-2a=1，最后代入式子求解即可.
31．已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简 .
【答案】解：由数轴可得：
， ， ，
则原式 .
【解析】【分析】先根据数轴确定a、a+b、c-a、b+c的正负，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后计算即可.
32．如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵如图所示：
由题意得：四边形ABGE，四边形CGFH，四边形EFMN都是正方形，且四边形ABGE的面积为24，四边形EFMN的面积为3，
∴，，FG=FH.
∴.
∴.
∴
【解析】【分析】先标出字母，由题意表示出①和③两个正方形的边长，利用大正方形边长－小正方形边长，即可得到阴影部分的正方形②的边长，进而可得阴影部分的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可.
33．已知，x=1-，y=1+，求的值.
【答案】解：原式=
∵，，
∴原式=4+3=7.
【解析】【分析】根据完全平方公式可将待求式变形为(x+y)2-3xy，根据二次根式的加法法则求出x+y，根据平方差公式求出xy，然后代入计算即可.
34．化简：
【答案】解：==×=12×13=156；
【解析】【分析】首先根据=进而求出即可.
35．如图，15只空油桶(每只油桶底面的直径均为50cm)堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚至少要多高(结果精确到0.1cm)
【答案】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，
它的边长是4×50=200cm，这个等边三角形的高是，
雨棚起码高是：cm.
【解析】【分析】仔细观察图片，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×60=240，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高.
36．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a|﹣|a+b|﹣ +|b﹣c|．
【答案】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴|a|﹣|a+b|﹣ +|b﹣c|
=﹣a+a+b﹣c+a﹣b+c
=a
【解析】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义与二次根式的性质化简，去括号合并即可得到结果．
37．设的三边长分别为，，，满足的平方根为，的算术平方根为3，的立方为27．
（1）求a，b，c的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：的平方根是，
，
解得：，
的算术平方根为3，
，
，
解得：，
的立方为27，
，
，
解得：，
，，的值分别5，6，7；
（2）解：由（1）得，，，
，
．
【解析】【分析】（1）如果一个数x的平方等于y，则x就是y的平方根，据此得出，即可求出的值；如果一个正数x的平方等于y，则x就是y的算术平方根，据此得出，即可求出的值；如果一个数x的立方等于y，则x就是y的立平方根，据此得出，即可求出的值；
（2）先把，，的值分别代入，求出的值，然后再把，，，的值代入待求式子计算即可．
（1）解：的平方根是，
，
解得：，
的算术平方根为3，
，
，
解得：，
的立方为27，
，
，
解得：，
，，的值分别5，6，7；
（2）解：由（1）得，，，
，
．
38．已知x，y为实数，y=，求的值．
【答案】解：由题意得，
解得x= 24，
∴ y=-8，
∴==8
【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，求出x、y的值，再代入到代数式中求值。
39． 已知实数满足，则的值为多少？
【答案】解：实数满足，
，
解得：，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得a≥2024，从而可得2023-a＜0，进而可得，两边同时平方，即可求得.
40．已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简
【答案】解：∵b＜a＜0
∴a-b>0，a+b<0
∴
故答案为：.
【解析】【分析】根据数轴可得b41．已知 ，求 的值．
【答案】解： ，
且
【解析】【分析】由 可得： 且 可得 的值，再求解 从而可得答案．
42．问题情境：
毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．
解决问题：
（1）如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是 ，正方形的边长是 ．
（2）如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．若正方形，正方形的面积分别为，，求的长．
【答案】（1）8；13
（2）解：∵正方形，正方形的面积分别为，，
∴
在中，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴
∴
∴．
【解析】【解答】（1）解：正方形，，，的面积分别为，，，，
正方形，，，的边长分别为，
由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为，
正方形的面积为，
故答案为：，．
【分析】（1）根据正方形性质，结合算术平方根可得正方形，，，的边长分别为，根据勾股定理可得正方形的边长，正方形的边长，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积.
（2）根据正方形性质，结合算术平方根可得，根据勾股定理可得EB，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：正方形，，，的面积分别为，，，，
正方形，，，的边长分别为，
由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为，
正方形的面积为，
故答案为：，．
（2）解：∵正方形，正方形的面积分别为，，
∴
在中，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴
∴
∴．
43．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
【答案】（1）①是；②是
（2）解：∵是直角三角形，，
∴，即．
∵是可爱三角形，，
∴有三种情况：
①，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
②，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
③，此种情况不成立．
综上，的长为或．
【解析】【解答】（1）解：①设等边三角形的边长为，
∵，
∴等边三角形一定是“可爱三角形”，
故答案为：是；
②∵，
∴该三角形是“可爱三角形”，
故答案为：是；
【分析】（1）①设等边三角形的边长为，根据“可爱三角形”的定义可作出判断；
②利用“可爱三角形”的定义可作出判断；
（2）根据勾股定理得BC2=AB2-AC2，由题意需要分三种情况：AB2+AC2=2BC2；AB2+BC2=2AC2；AC2+BC2=AB2≠2AB2，进行计算可依次求出的长．
44．如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积．
【答案】解：由题意，得
故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为
【解析】【分析】观察图形可得长方体盒子的纸板的面积 =大正方形的面积-四个小正方形的面积，再用面积公式计算即可得出答案.
45．观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
【答案】解：（1）=4，理由是：===4；（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，∴=a，验证：==a；正确；（3）=a（a为任意自然数，且a≥2），验证：===a．
【解析】【分析】（1）利用已知，观察．，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．
46．已知，点分别在轴、轴上，是边上的一点，交轴正半轴于点．已知满足．
（1）求的坐标；
（2）如图1，求的值；
（3）如图2，延长交轴于点，求的值；
（4）如图3，点为上任意一点（不与重合），过作，点为垂足，连，求的度数．
【答案】（1）解：∵∴
解得
∴
（2）如图①，过作轴，轴，垂足分别为，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
（3）如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
（4）由（3）得：
∴，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质.（1）根据二次根式的非负性和平方的非负性可列出二元一次方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出点M的坐标．
（2）如图①，过作轴，轴，垂足分别为，据此可得，再利用角的运算可得，进而可证明四边形为正方形，利用正方形的性质可得：，再根据，利用垂直的性质和角的运算可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再代入中，可求出答案；
（3）如图②，根据，利用角的运算可推出，根据题意利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再利用面积分割法，将拆成和与差的形式，利用正方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算可求出答案；
（4）如图③，在上截取，连接，根据，，利用垂直的性质和角的运算可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，据此可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出．
（1）解：∵
∴
解得
∴
（2）如图①，过作轴，轴，垂足分别为，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
（3）如图2，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
（4）由（3）得：
∴，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
47．如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点 B所表示的数为m.
（1）m 的值是 .
（2）求 的值.
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求2c-3d的平方根.
【答案】（1）2-
（2）解：则m+1>0， m-1<0，
∴|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2；
答： |m+1|+|m-1|的值为2
（3）解：∵|2c+d|-与 互为相反数，
∴|2c+d|=0， 且d+4=0，
解得： c=2， d=-4，
∴2c-3d=16，
∴2c-3d的平方根为±4.
答： 2c+3d的平方根为±4
【解析】【解答】（1）根据题意可知点A表示的数为，向右平移两个单位，即是在原数基础上加2，即+2，
故答案为：2-.
【分析】(1) 的解题思路：根据数轴上点向右平移的规律，用点 A 表示的数 加上平移的 2 个单位长度，得到点 B 表示的数m；
(2) 的解题思路：先判断m+1、m 1的正负，再依据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，进而计算式子的值；
(3) 的解题思路：利用相反数的性质和绝对值、算术平方根的非负性列方程求出c、d，代入计算2c 3d后求其平方根。
48．（1）求三角形的面积除了传统的方法外，还有海伦公式和秦九韶公式等，已知三角形的三边长，都可以求出三角形的面积．其中，海伦公式为，公式中是三角形周长的一半．填空：
①，，，______；②，，，_____；
（2）在不知道上述公式的情况下，我们也可以通过先求三角形的高，再求面积．
如图，，，，，请你先求其中一条高，再求的面积．
（3）已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一条直角边长为12，求这个直角三角形的另两边长．
【答案】解：（1）①210；②；
（2）如图，过点A作，
设，则，
，
即，
解得：，
，
；
（3）在直角三角形中，设另外一条直角边为b，斜边长为c，
，
，
，且b，c为正整数，
，
这个直角三角形的另两边长为5和13，或9和15，或16和20，或35和37．
（3）5和13，或9和15，或16和20，或35和37
【解析】【解答】解：（1）①，，，
，
，
；
故答案为：210；
②，，，
，
，
，
，
，
；
；
故答案为：.
【分析】（1）根据公式，分别求代数式的值，即可得出答案；
（2）如图，过点A作，设，则，根据，可得出，解得，进而得出，进而求得；
（3）设另外一条直角边为b，斜边长为c，利用勾股定理得到，求出所有符合条件的值即可．
49．如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若过点作交轴于点，且分别平分，如图2，求的度数．
【答案】（1）解：，
．
，
.
（2）解：轴于点，
，
．
∵，
∴，
的坐标为或.
（3）解：过点作，如图，
轴，，
，
．
，
，
．
分别平分，
，
．
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再求出点A、C的坐标即可；
（2）先求出，再结合，求出AP的长，从而可得点P的坐标；
（3）过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：，
．
，
；
（2）轴于点，
，
．
∵，
∴，
的坐标为或；
（3）解：过点作，如图，
轴，，
，
．
，
，
．
分别平分，
，
．
50．【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：（1），；
【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可；
（2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可；
（3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可．
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