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一元二次方程的解与解法 专项训练
题型一、认识一元二次方程
1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____．
4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程．
(1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？
(2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？
题型二、一元二次方程的解
1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（）
A． B． C．1 D．2
2．（23-24九年级上·山东青岛·月考）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为( )
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级下·福建福州·月考）已知是一元二次方程的根，则的值为______．
4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”．
(1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；
(2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值．
题型三、解一元二次方程
1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____．
3．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）解下列方程：
(1)； (2)． (3) (4)
4．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）习题课上，数学老师展示了两道方程及其错误的解答过程：
解：（1） ① 或② 或③ 解：（2） ① ．② 此方程无实数根．③
(1)分别写出两道方程的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
题型四、解一元二次方程的问题探究
1．（22-23九年级上·山东青岛·月考）等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．16或6
2．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知，则的值是________．
3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料：
解方程：．
我们可以将视为一个整体，然后设，
则，原方程化为，解得：，．
当时，，则，解得；
当时，，则，解得，
原方程的解为，，，．
根据上面的解答过程，解决下面的问题：
解方程：．
4．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是
例如：，
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按照这个规定请你计算：当时，的值；
(3)当的值为13时，求x的值．
1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（）
A． B． C．1 D．2
4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
7．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．
8．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________．
9．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）若是方程的根，则代数式的值为______．
10．（25-26九年级下·甘肃临夏·月考）等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是_________．
11．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______．
12．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程．
(1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
(2)当为何值时，此方程是一元一次方程？
13．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程：
(1)； (2)． (3) (4) (5)
14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”；
(3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值．
15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，
则，所以．
把代入已知方程，得，
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程；
(2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根．中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程的解与解法 专项训练
题型一、认识一元二次方程
1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，逐个判断每个方程是否符合即可．
【详解】解：A．对于方程
∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程
∴是一元二次方程．
B．对于方程
∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程
∴是一元二次方程．
C．对于方程
∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程
∴是一元二次方程．
D．对于方程
∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1
∴不是一元二次方程．
综上，是一元二次方程的有3个．
故选：C．
2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题关键．
将方程化为标准形式 ，即可识别一次项系数．
【详解】解：方程 移项，得 ，
∴ 一次项系数为，
故选：B．
3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，得到且，求解即可．
此题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键．
【详解】解：由题意，得且．
解，
得或，
∴或．
∵，
∴，
因此．
4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程．
(1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？
(2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义．
（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程，
则且．
解得；
（2）解：方程是一元二次方程，
则，
解得．
题型二、一元二次方程的解
1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根，
∴将代入原方程，得，
计算得，
整理得，
解得．
2．（23-24九年级上·山东青岛·月考）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：通过表格可知，当时， ，
当时，输出值为，
∴当时，．
3．（25-26九年级下·福建福州·月考）已知是一元二次方程的根，则的值为______．
【答案】
【分析】利用方程的根满足原方程得到的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值即可．
【详解】 是一元二次方程的根，
将代入原方程得：，
整理得，
．
4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”．
(1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；
(2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值．
【答案】(1)是，不是
(2)或
【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简．
（1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可；
（2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可．
【详解】（1）解：由题意知，在中，
，，，
∴，
∴是“归零方程”，
在中，
，，，
∴，
∴不是“归零方程”，．
故答案为：是，不是．
（2）解：∵是“归零方程”，
∴，
∴，
∴原方程可化为，
∵m是这个“归零方程”的一个根，
∴，
解得或．
题型三、解一元二次方程
1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果.
【详解】解：原方程为 .
移项得 .
方程两边同时加得 .
配方得 .
2．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____．
【答案】，
【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根.
【详解】解：，
，
，
或 ；
解得 ，.
3．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）解下列方程：
(1)； (2)． (3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据配方法求解即可；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（4）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
解得；
（3）解：
解得；
（4）解：在中，，
∴
，
∴
，
解得．
4．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）习题课上，数学老师展示了两道方程及其错误的解答过程：
解：（1） ① 或② 或③ 解：（2） ① ．② 此方程无实数根．③
(1)分别写出两道方程的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
【答案】(1)左边方程第二步出现错误，右边方程第一步出现错误
(2)见解析
【分析】（1）根据所给解方程过程即可得到答案；
（2）解左边方程时，先把常数项移到方程左边，再利用因式分解法解方程即可；解右边方程时，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：左边方程第二步开始出现错误，错误原因是当两个因式的乘积不为0时（本题中为3），不能得出其中一个因式等于某个特定值的结论；
右边方程的第一步出现错误，错误原因是原方程没有化为一般式，导致c的值错误；
（2）解：解左边方程如下：
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
解右边方程如下：
原方程化为一般式得，
∵，
∴，
∴，
解得．
题型四、解一元二次方程的问题探究
1．（22-23九年级上·山东青岛·月考）等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．16或6
【答案】A
【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案．
【详解】解：解方程得，或，
①若腰长为2，底边长为4，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴此情况舍去；
②若腰长为4，底边长为2，
∵，，满足三角形三边关系，
∴该三角形的周长为，
综上，只有周长为10．
2．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知，则的值是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用换元法解方程，设，根据平方的非负性得，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后舍去不符合题意的负根，即可得到结果.
【详解】解：
设，由平方的非负性可知
原方程变形为：
整理得：
因式分解得：
解得：，
，
不符合题意，舍去，
.
3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料：
解方程：．
我们可以将视为一个整体，然后设，
则，原方程化为，解得：，．
当时，，则，解得；
当时，，则，解得，
原方程的解为，，，．
根据上面的解答过程，解决下面的问题：
解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键．
通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解．
【详解】解：令，则原方程化为：，
解得，，
当时，，则该方程无实数解；
当时，，解得，．
综上，该方程的解为：，．
4．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是
例如：，
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按照这个规定请你计算：当时，的值；
(3)当的值为13时，求x的值．
【答案】(1)
(2)5
(3)，．
【分析】本题考查解一元二次方程，理解“新定义”的运算方法是正确解答的前提．
（1）根据提供的方法进行计算即可；
（2）解方程得到，根据提供的方法得到，再把代入计算即可．
（2）根据提供的方法得到，即，解方程即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
解得，
∴
；
（3）解：由题意得，
即，
整理得，
解得，．
1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，逐一判断选项即可．
【详解】解：A选项，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，满足所有条件，故本选项符合题意；
B选项方程含有分式，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意；
C选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意；
D选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意；
2．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先移项整理方程，再开平方得到方程的解．
【详解】解：∵原方程为，
∴移项可得。
对等式两边开平方，可得，
因此方程的解为．
3．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根，
∴将代入原方程，得，
计算得，
整理得，
解得．
4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方即可得到结果．
【详解】解：∵原方程为
∴移项得
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上，得
变形得
5．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解．
【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程．
∴ 二次项系数不能为，即 ．
解得 ．
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为，
又∵题干中方程的根为，
∴，，，
解得，，，
∴此一元二次方程的一般形式为，
∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，
故选：．
7．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．
【答案】 3
【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数．
【详解】解：，
∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为．
8．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________．
【答案】
【分析】把代入方程，求出，再解方程即可．
【详解】把代入方程，得，
解得，
一元二次方程为，
两边同除以2，得，
，
，，
该方程的另一根为．
9．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）若是方程的根，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴．
10．（25-26九年级下·甘肃临夏·月考）等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是_________．
【答案】7或8
【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，分情况讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算三角形周长即可．
【详解】解：
解得，，
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为；
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为．
11．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可．
【详解】解：，
．
则．
的最小值为
故答案为：
12．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程．
(1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
(2)当为何值时，此方程是一元一次方程？
【答案】(1)一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7
(2)当时，此方程是一元一次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义．
（1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可；
（2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可．
【详解】（1）解：当时，方程为，
即，
此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7；
（2）解：根据题意，得且，
解得且，
即，
当时，此方程是一元一次方程．
13．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程：
(1)； (2)． (3) (4) (5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了利用直接开平方法和配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方法和配方法解一元二次方程的步骤．
（1）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解；
（2）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解；
（3）直接开平方求解即可；
（4）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解；
（5）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解．
【详解】（1）解：
解得：；
（2）解：
解得：
（3）解：
或
解得：；
（4）解：
解得：；
（5）解：
解得：
14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”；
(3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值．
【答案】(1)是
(2)，
(3)代数式的最小值为
【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可；
（2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可；
（3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：∵方程中，，，
∴，
∴方程是“和谐方程”；
（2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
解得：，
解方程，
解得；
（3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
∴，
∴
，
，
，
即代数式的最小值为．
15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，
则，所以．
把代入已知方程，得，
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程；
(2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键．
（1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可；
（2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此，
即，
代入原方程，
得：，
则．
（2）解：，；
∵，
∴移项得，
，
设，则方程变为，
故的根为和，
当时，，解得；
当时，，解得；
则方程的两个根是，．
