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一元二次方程根与系数的关系 专项训练
题型一、根的判别式
1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．1或2
3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________．
4．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
题型二、韦达定理
1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·天津西青·月考）一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于x的方程，则___，___．
4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为，求另一个根和的值．
题型三、解关于根的代数式的值
1．（22-23九年级上·四川资阳·期末）已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东·期末）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________．
3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）若，是方程的两个根，则________．
4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是一元二次方程的两个根．
求：
(1)的值
(2)的值
题型四、韦达定理求方程中的字母参数
1．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________．
3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是______．
4．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根及的值．
(2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值．
1．（2026·安徽·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）若是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．6
4．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（ ）
A．7 B． C． D．3
5．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：
甲：原方程必定有一个根是；
乙：当时，原方程有两个不相等的实数根．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
7．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______．
8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一元二次方程所有实数根的积是_______．
9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）、是关于的一元二次方程的两个实数根，且．的取值范围为______．
10．（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________．
11．（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围．
12．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
(3)在（2）的条件下，求的值．
13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①；②．
(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值．
(3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程根与系数的关系 专项训练
题型一、根的判别式
1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况．
【详解】解：∵一元二次方程中，，，．
∴．
∵
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数．
【详解】解：∵直线不经过第三象限，
∴，
①当时，方程化为，是一元一次方程，
∴方程有1个实数根；
②当时，方程是一元二次方程，
此时，
∵，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
综上，方程的实数根有1个或2个，
故选：D．
3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据当时，一元二次方程有实数根，先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可．
【详解】解：∵方程有实数根．
∴，
整理得．
解得 ．
∴符合条件的常数可以为1．
4．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答．
（2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
即，
解得，
∴m的取值范围是．
（2）解：由（1）知，m的取值范围是．
∴符合条件的最大整数，
∴一元二次方程化为，
此时，
∴，
∴或，
∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或．
题型二、韦达定理
1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的两根之和为，两根之积为，即可得到结果.
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且方程中，，，
∴，.
2．（25-26九年级上·天津西青·月考）一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，需利用“对于一元二次方程（），两根之和为，两根之积为”这一性质求解.
【详解】解：∵一元二次方程中，，，.
∴，.
故选：C．
3．（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于x的方程，则___，___．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再代入根与系数的关系公式计算即可求解．
【详解】解：对于一元二次方程，根据根与系数的关系可知，，
在方程中，，，
则，
故答案为：，．
4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为，求另一个根和的值．
【答案】(1)见解析；
(2)另一根为，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系．
根据一元二次方程根的判别式可得：，根据平方的非负性可得：，所以可证方程有两个不相等的实数根；
根据一元二次方程根与系数的关系可知方程两根之和为，其中一根为，则另一根为，把其中一个根代入方程中得到关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）证明：方程中，，，，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：方程的两根之和为，其中一根为，
另一个根为，
把代入原方程，
可得：，
整理可得：，
解得：．
题型三、解关于根的代数式的值
1．（22-23九年级上·四川资阳·期末）已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入求解即可．
【详解】∵实数、是关于的方程的两根，
∴，，
∴，
故选：B
2．（25-26九年级上·山东·期末）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________．
【答案】41
【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键；
根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：41．
3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）若，是方程的两个根，则________．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，.
∴
．
4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是一元二次方程的两个根．
求：
(1)的值
(2)的值
【答案】(1)30
(2)2
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；
（1）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴．
题型四、韦达定理求方程中的字母参数
1．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根为1，设另一个根为r，根据两根之和公式求出r．
【详解】解：∵方程的一个根是1，设另一个根为，
∴由根与系数的关系，两根之和为，
即，
∴．
故选：A．
2．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________．
【答案】
【分析】先根据方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解，最后取交集得到的最终取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根．
∴．
解得 ．
由根与系数的关系可得：，．
将其代入得：
．
解得 ．
∴的取值范围为．
3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．根据为底边和腰两种情况求解即可．
【详解】解：设等腰的腰长为a，底边长为b，
当，则4和b是关于x的方程的两个实数根，
∴
∴；
此时且，符合题意；
当，则a和a是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
此时且，符合题意；
故答案为：或．
4．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列式计算即可；
（2）先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式对已知式子变形求解，最后根据（1）所求的的取值范围确定的值即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
即，
；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，即，
，即，
，
解得或，
由（1）知，，
．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根及的值．
(2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)的值为
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，判别式的应用，掌握韦达定理的内容，以及用判别式检验根的存在性是解题的关键．
（1）利用韦达定理，由两根之和求另一根，再由两根之积求的值．
（2）利用韦达定理表示两根和与积，代入的表达式，列方程求，再用判别式检验根的情况．
【详解】（1）解：根据题意，得，，
，．
当时，，符合题意．
（2）解：∵方程的两个不相等的实数根为和，
，，
，解得，．经检验，，都为原分式方程的根．
当时，；
当时，（不符合题意，舍去）．
综上，的值为．
1．（2026·安徽·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将各选项方程整理为一般形式，通过判别式的值判断根的情况，找出的选项即可．
【详解】解：A、方程为，，，，，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、整理得，，，，，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、整理得，，，，，
∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、方程为，，，，，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果．
【详解】解：设方程的另一个根为，
∵对于一元二次方程，两根之和为，
又∵方程中，，一个根为1，
∴，
∴，
即方程的另一个根为，
故选：A．
3．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）若是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．6
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接利用两根之和的结论即可求解．
【详解】解：∵是关于的方程的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和，
故选：B．
4．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（ ）
A．7 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解．
【详解】由题意得，，，
．
5．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：设方程的两根为、，且，，
由根与系数的关系得，，
∵，，
∴，即，
∴，解得，
又判别式，
当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件；
综上，的取值范围是．
6．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：
甲：原方程必定有一个根是；
乙：当时，原方程有两个不相等的实数根．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】C
【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质．
【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为，
∵该方程一个根为，
∴将代入得，
解得，
甲：∵原方程为，
∴将代入原方程得，
解得，
∴是原方程的根，甲说法正确；
乙：由题意得，，
代入得，
，
当时，，即，
∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确．
∴甲、乙都对．
7．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可．
【详解】解：对于一元二次方程，判别式，
由于，
因此，
所以方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一元二次方程所有实数根的积是_______．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的两根之积为，直接利用该关系计算方程所有实数根的积即可．
【详解】解：∵在一元二次方程中，，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴所有实数根的积是．
故答案为．
9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）、是关于的一元二次方程的两个实数根，且．的取值范围为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
利用根与系数的关系代入不等式求解，同时考虑判别式确保方程有两个实数根．
【详解】解：对于一元二次方程，
由根与系数的关系，得，，
则，
∵，即，
解得 ，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
10．（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“差3方程”的概念是解题关键．
设方程的两根分别为，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，再结合“差3方程”以及完全平方公式可得关于m的方程，即可求解．
【详解】解：设方程的两根分别为，
∴，
∴，
∵方程是“差3方程”，
∴，
∴，
解得：，
当时，原方程为，
此时，符合题意；
当时，原方程为，
此时，符合题意；
综上所述，m的值为2或．
故答案为：2或
11．（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知方程有实根，需进行分类讨论，方程若为一元二次方程，则；方程若为一元一次方程，则；
（2）若方程有两个正实根，则首先方程为一元二次方程，需满足；其次根据一元二次方程根与系数的关系还需满足，即．
【详解】（1）解：∵方程有实根，
若方程为一元二次方程，则，
即，
解得且；
若方程为一元一次方程，则，
解得；
综上所述，；
（2）解：若方程有两个实根，则方程为一元二次方程，需满足，
即，
解得且；
又∵方程有两个正实根，
∴，
即，
解不等式①得或,
解得或；
解不等式②得或，
解得或，
则不等式组的解集为或，
综上所述．
12．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
(3)在（2）的条件下，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据根的判别式进行求解；
（2）根据根与系数的关系进行求解；
（3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：，
解得或（不符合题意，舍去）
∴；
（3）解： ，
将，代入上式得，
∴（负值已舍）．
13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①；②．
(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值．
(3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键．
（1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可；
（2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可；
（3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可；
【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义；
② ，因式分解得根，，不符合．
故答案为：①．
（2）解：方程中，，，
因为是差根方程，所以，
平方得： ，
代入得，即，
解得．
（3）解：设直角三角形两直角边，
由勾股定理得： ，
因为是差根方程的两根，所以，
平方得： ，
代入得： ，
解得．
，
因为，所以．
以为根的一元二次方程为，
即，验证得，符合差根方程定义.
