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一元二次方程的实际应用 专项训练
题型一、围篱笆问题
1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为 ，平行于墙的一边长为 ，根据菜园的面积为得到，从而根据一元二次方程根的判别式求出答案即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为 ，
平行于墙的一边长为 ，
．
整理得到，，
∵原方程有实数根，
∴，
∴
∵，
∴，
即的最小值是，
故选：D．
2．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长．
【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得
整理，得
故答案为：
3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米．
【答案】20，20
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可．
【详解】解：设的长度为米，则的长度为米，
根据题意得：，
解得：，，
或，
舍去，
，，
答：羊圈的边长，各为20米，20米．
故答案为：20，20．
4．（25-26九年级上·四川成都·期末）为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧．
(1)该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率；
(2)为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长．
【答案】(1)该农场跑山鸡数量的年增长率为
(2)重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设增长率为x，根据农场今年养殖跑山鸡1000只，预计后年养殖跑山鸡1210只，列出一元二次方程即可求解；
（2）设重建后的养鸡场的宽的长为y米，则的长为米，根据养鸡场的面积是161平方米，列出一元二次方程，求解并判断满足米，即可求解；
【详解】（1）解：设该农场跑山鸡数量的年增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意舍去），
答：该农场跑山鸡数量的年增长率为．
（2）解：设重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得，，
当时，（米）米，符合题意；
当时，（米）米，不符合题意，舍去；
∴米．
答：重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米．
5．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为，
(1)设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为
(2)求的长是多少？
【答案】(1)，
(2)的长是米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设，则，；
（2）根据“劳动基地的总面积（不包含水池）为”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，设，则，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵劳动基地的总面积（不包含水池）为，
∴，
整理得：，
解得：或；
∵，
∴；
∴；
∴的长是米．
题型二、小道和边框问题
1．（25-26九年级上·四川成都·期末）天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程．
【详解】解：设草坪带的宽度为米，
由题意得，
故选：C．
2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；利用小路的面积加上草地的面积等于矩形地面的总面积，列出方程求解即可，在计算小路面积时，要注意小路面积重合的部分.
【详解】解：设小路的宽度为x米，
小路的面积为：
由题意得：
或
解得：或（舍去）
∴小路的宽度为2m.
故选：B.
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为________m．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过平移将不规则种植区转化为规则长方形，根据面积列方程并检验解的合理性是解题的关键．
将种植区通过平移转化为长为、宽为的规则长方形，根据种植区面积列方程求解，舍去不符合实际的解．
【详解】解：设所修道路的宽为．根据题意，得，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
即所修道路的宽为．
故答案为：1．
4．如图，某市近郊有一块长为、宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．若塑胶场地总占地面积为，则通道的宽为_____m．
【答案】2
【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键．
结合图形列代数式，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可．
【详解】解：设通道的宽为，则 ，
根据题意得，
整理得，
解得，(不符合题意，舍去)．
即通道的宽为．
故答案为：2．
5．（25-26八年级上·上海·期末）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）．
(1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米．
(2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度．
【答案】(1)9，6
(2)1米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键．
（1）设正方形的边长为米，则米，米，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则米，米，
∵长与宽之比为，
∴，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴，，
故答案为：9，6．
（2）解：设过道的宽度为米，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴过道的宽度为1米．
6．（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．
求该收纳盒的高是多少？
判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
【答案】(1)
(2) ；不能；理由见解析．
【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可；
（）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可；
求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒．
【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：剪去的小正方形的边长为；
（2）解：根据题意，设收纳盒的高为，
则收纳盒底面的长为，宽为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为；
∵，，但，，
∴玩具车不能完全放入该收纳盒．
题型三、增长率和经营问题
1．（2026九年级下·重庆·专题练习）小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设月平均增长率为x，根据初始盈利和两个月后的盈利关系列方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果．
【详解】解：设每月盈利的月平均增长率为x，根据题意，得
，
解得（舍去），
所以每月盈利的月平均增长率为．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据“每件盈利销售量总盈利”的等量关系列方程．
【详解】解：∵设每件休闲衫降价元，
∴可列方程为，
∴故选：D．
3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打_____折出售？
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．
设每件商品降价x元，根据盈利条件列一元二次方程，解方程得到降价金额，再计算折扣率．
【详解】解：设每件商品降价x元，则每件利润为元，即元；每天销售量为件．根据每天盈利1500元，得
．
整理得：，
即，
，
，
解得或．
为尽快减少库存，取，折扣率为折．
故答案为：9．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为________元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元．
【答案】80
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，设设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，再列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，
每天的销售量为瓶，
由题意，得，
整理，得，
解得，
∴当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元．
故答案为：80．
5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同．
(1)求该品牌头盔的销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
【答案】(1)
(2)5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为，
根据题意得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔的销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价元，
根据题意得，
整理得，
解得或，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
6．（25-26九年级上·广东河源·月考）根据以下素材，探索完成任务．
探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题
素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱．
素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示．
问题解决
任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）；
任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】任务一：；任务二：90元
【分析】任务一：利用待定系数法求解，结合不考虑亏本出售的情况得到自变量的取值范围；
任务二：根据任务一所求关系式，结合利润（售价成本价）日销售量，得到一元二次方程，再根据市场规定得到售价的范围，即可解得答案．
【详解】解：任务一：根据题意，设与之间的函数关系式为，
代入，得，
解得，
∵不考虑亏本出售的情况，成本价为80元/盒，
∴
∴与之间的函数关系式为；
任务二：根据题意，，
解得，，
∵市场规定：该茶叶获利不得高于，
∴，
∴，
∴若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为90元．
题型四、传播、数字和握手问题
1．（25-26九年级上·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．
根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可．
【详解】解：∵初始感染服务器数为3台，
第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台，
第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台，
∴两轮后总感染数为．
故选：A．
2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为，根据题意列方程即可．
【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，
根据题意可得．
故选：A．
3．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．6家 B．8家 C．10家 D．12家
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解合同总数的计算方法是解题关键，注意舍去不符合题意的解.
公司数量为n，每两家公司签订一份合同，合同总数为，据此列方程求解．
【详解】解：设参加交易会的公司共有n家，
由题意得，，
整理得，，
解得或（舍去），
故参加交易会的公司共有10家，
故选：C．
4．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有______个球队参加比赛．
【答案】8
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有个队，再表示出每个球队要比赛的场数，然后根据总场数相等列出方程，求出解即可．
【详解】解：设有个队，每个队都要赛场，根据题意，得
，
解得或（舍去）．
所以应邀请8个球队参加比赛．
故答案为：8．
5．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
则这种植物每个支干长出的小分支个数是．
故答案为：．
6．（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积是，设较小偶数为，根据题意，可列方程为_____．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
两个连续偶数相差2，设较小偶数为x，则较大偶数为，根据积为120列方程．
【详解】解：设较小偶数为x，则较大偶数为，
由题意得．
故答案为．
题型五、几何动点问题
1．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？
【答案】1或5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，
，
，
，
，
解得：，．
故运动1秒或5秒后的面积为．
故答案为：1或5．
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）
（1）当为______时，是等腰三角形；
（2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形．
【答案】 6
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键．
（1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解．
（2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解．
【详解】解：（）如图，
由于，要使是等腰三角形，只能，，
在 中，，
，解得，
故答案为：；
（）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况，
①如图，当时，
可得，
，
，
，
在 中，，
，
，
，即，解得；
②如图，当时，
可知，即，解得；
③如图，当 ，过点作，垂足为点，
则，
，
，
，
，
，解得；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形．
故答案为：，，．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第________秒时，的长为．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设第秒时，的长为，则，在中利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设第秒时，的长为．
由题意，得．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得．
故答案为：或．
4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题：
(1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)存在，或
【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可；
（2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：若点P在边上，，，，
，，
，，
（），
当时，，
，
，
解得；
当时，，
，
，
解得；
综上所述，当或时为直角三角形；
（2）解：若点P在边上，，，，
过点P作于点H，
，
，
，
，
，
解得，（舍去）；
若点P在边上，，（），（），
过点P作于点M，
，
，
（），
，
解得，（舍去）；
综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或．
5．（24-25九年级上·广东广州·月考）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，为等腰三角形？
(2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
(3)当为何值时，、间的距离等于？
【答案】(1)当时，为等腰三角形
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解；
（2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可；
（3）由于，则，代入化简求值即可.
【详解】（1）解：依题意得，，，
则，
当为等腰三角形时，只有，
，
解得，
即当时，为等腰三角形；
（2）不存在，理由如下：
依题意得，，
，
，
，
方程无实根，
不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分；
（3） ，，
，
，
化简得：，
解得或，
∵
∴不符合题意，舍去
故时，、间的距离等于．
6．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
(1)当时，的面积为____ ；
(2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值；
【答案】(1)28
(2)不能，理由见解析
(3)6或
【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t的式子正确表示出相关线段长度是解题的关键．
（1）当时，计算出相关线段长度，根据求解；
（2）根据列关于t的一元二次方程，利用判别式判断是否有实数根即可；
（3）当恰好是直角三角形时，，根据列关于t的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：当时，，，
矩形中，，，
，，
，
故答案为：28；
（2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下：
根据题意得，，，
，，
当时，
整理得，
∵，
∴方程无实数根，
∴的面积不可能为；
（3）解：由题意知， ，
当恰好是直角三角形时，，
∴，
∴，
解得，，
即t的值为6或．
1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程．
【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个，
∴6月份销售量为个，
∴7月份销售量为个，
又∵7月份实际销售量为225个，
∴可列方程为.
2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为，
门的宽度比竹竿的长度少四尺，
门的宽度为：，
沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程：
，
即，
解得：或（舍）．
故选：B．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（ ）
A．11 B．10 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可．
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑
第一轮感染后，被感染的电脑总数为台
第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑
两轮后被感染的电脑总数为
整理得
开平方得或
解得，
感染的电脑数量不能为负数
舍去
每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑
故选C．
4．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可．
【详解】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米，
根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程，
根据题意得：．
5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键．
设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可．
【详解】解：设运动时间为秒，则，，
∵，，
∴，
∵线段将分成面积1：2的两部分，
∴或，
∴或，
解得，，
∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒．
故选：C．
6．（25-26九年级上·广东东莞·月考）一种传染性疾病每一人可传染给若干人，若一人患病经两轮传染后共有49人染上此病，则这种传染性疾病每人每轮平均可传染_______人．
【答案】6
【分析】本题主要考查列一元二次方程以及求解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．首先设每人每轮平均传染x人，根据两轮传染后总人数为49，即可列方程求解．
【详解】解：设每人每轮平均传染x人，
开始时1人患病，第一轮后患病人数为，第二轮后患病人数为，
根据题意，得，
整理得，
解得或．
由于传染人数不能为负数，
所以．
故答案为：6．
7．（25-26九年级上·四川达州·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价_________元
【答案】20
【分析】此题考查了一元二次方程的应用销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：单个利润售价进价，总利润单个利润数量．设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件，根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件，
根据题意，得方程：，
展开并整理得，
解得或，
为尽快减少库存，取．
故答案为：20．
8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米．
【答案】/
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可．
【详解】解：设条纹的宽度为米，
依题意得 ，
解得：(不符合，舍去)，，
答：配色条纹宽度为米．
9．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只．
(1)求从2023年到2025年的年平均增长率；
(2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由．
【答案】(1)从2023年到2025年的年平均增长率为
(2)鸡场的长和宽分别为
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
（1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
（2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得，
解得（舍去）
答：从2023年到2025年的年平均增长率为；
（2）解：设，则，
由题意得，，
整理得，
解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴鸡场的长和宽分别为．
10．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递．
(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？
(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．
【答案】(1)乙分拣机至少工作小时
(2)的值为
【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．
（1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可；
（2）根据题意，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，
根据题意列不等式，
解得
答：乙分拣机至少工作小时；
（2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时，
根据题意列方程，，
解得（不符合题意，故舍去），
答：的值为．
11．（18-19九年级·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为．
(1)用含的代数式表示，的长度；
(2)当为何值时，为等腰三角形？
(3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可．
（2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可．
（3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在．
【详解】（1）解：，，，
．
，；
（2）由题意，得
，
．
当 时，为等腰三角形；
（3）假设存在的值，使得四边形的面积等于，
则
解得．
假设成立，
所以当时，四边形面积的面积等于．
12．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．
问题解决
问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示）
问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由．
问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）
【答案】（1），
（2）符合要求，理由见详解
（3）每平方米草莓的月利润应该下调48元
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键．
（1）根据图示，结合题意列式即可；
（2）根据面积的计算，结合（1）列式求解即可；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可．
【详解】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米；
（2）符合要求，理由如下，
，
整理得，，
解得，，，
∵道路宽度不超过14米，且不小于7米，
∴，即道路设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，
∴，
整理得，，
解得，，，
∵让客户得到实惠，
∴每平方米草莓的月利润应该下调48元．中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程的实际应用 专项训练
题型一、围篱笆问题
1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____．
3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米．
4．（25-26九年级上·四川成都·期末）为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧．
(1)该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率；
(2)为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长．
5．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为，
(1)设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为
(2)求的长是多少？
题型二、小道和边框问题
1．（25-26九年级上·四川成都·期末）天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为________m．
4．如图，某市近郊有一块长为、宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．若塑胶场地总占地面积为，则通道的宽为_____m．
5．（25-26八年级上·上海·期末）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）．
(1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米．
(2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度．
6．（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．
求该收纳盒的高是多少？
判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
题型三、增长率和经营问题
1．（2026九年级下·重庆·专题练习）小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打_____折出售？
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为________元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元．
5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同．
(1)求该品牌头盔的销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
6．（25-26九年级上·广东河源·月考）根据以下素材，探索完成任务．
探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题
素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱．
素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示．
问题解决
任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）；
任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？
题型四、传播、数字和握手问题
1．（25-26九年级上·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．6家 B．8家 C．10家 D．12家
4．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有______个球队参加比赛．
5．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．
6．（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积是，设较小偶数为，根据题意，可列方程为_____．
题型五、几何动点问题
1．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）
（1）当为______时，是等腰三角形；
（2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第________秒时，的长为．
4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题：
(1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
5．（24-25九年级上·广东广州·月考）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，为等腰三角形？
(2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
(3)当为何值时，、间的距离等于？
6．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
(1)当时，的面积为____ ；
(2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值；
1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（ ）
A．11 B．10 C．8 D．9
4．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
6．（25-26九年级上·广东东莞·月考）一种传染性疾病每一人可传染给若干人，若一人患病经两轮传染后共有49人染上此病，则这种传染性疾病每人每轮平均可传染_______人．
7．（25-26九年级上·四川达州·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价_________元
8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米．
9．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只．
(1)求从2023年到2025年的年平均增长率；
(2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由．
10．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递．
(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？
(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．
11．（18-19九年级·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为．
(1)用含的代数式表示，的长度；
(2)当为何值时，为等腰三角形？
(3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
12．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．
问题解决
问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示）
问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由．
问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）
