浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称
一、4.2 平行四边形—选择题
1．（2024八下·邕宁期末）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
2． 如图， 在 中， 已知 ． 则 的长为 ( )
A． B． C． D．
3．（2024八下·沙坪坝期末）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，连接CE．已知△DCE的周长是14，则□ABCD的周长是（ ）
A．7 B．14 C．28 D．56
4．如图， 为 两对角线的交点， 图中全等的三角形有（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
5．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图， 的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；，成立的个数有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
二、4.2 平行四边形—填空题
6．（2022八下·定南期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，，则的周长为 ．
7．（2024八下·瑞金期中）如图，在平行四边形中对角线、相交于点O，，，，则 ．
8．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，平行四边形的周长为，与相交于点，交于点，连接，则的周长为 ．
9．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，平行四边形中，对角线相交于点过点，交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积是 ．
三、4.2 平行四边形—解答题
10．（2024八下·华容期末）如图，在 中，对角线、相交于点，且，，．
（1）求的度数：
（2）求 的面积．
11．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
12．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，在中，对角线相交于点．点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动，连结并延长交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求的长．(用含的代数式表示)
（2）当四边形是平行四边形时，求的值．
（3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
13．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
平行四边形的性质定理平行四边形的对角线互相平分我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图， 的对角线和相交于点．
求证：，．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图，在 中，对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，求证：．
（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接若，的周长是，则 的周长是 ．
四、4.3 中心对称—选择题
14．（2024八下·浙江月考）下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
15． 如图， 与 关于点 成中心对称， 下列结论中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图， 与 关于点 成中心对称， 有下列说法：①，
②， ③，④ 与 的面积相等．其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
17．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称） 若点 在 轴上， 则点 关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2024八下·衢州期中）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点B，C 的坐标分别为，，直线交y轴于点M．若 与关于点 M成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
五、4.3 中心对称—填空题（每题5分，共25分）
19．（2024八下·邵东期中）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，，，则 ．
20．（2024八下·佛冈期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
21．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，与关于点成中心对称．下列结论成立的有 （填序号）．
①；②；③；④．
22．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）与关于原点成中心对称，点，，的对称点分别是，，．若，，则的取值范围是 ．
23．点A(2a+3b，-2)与点B(-8，3a+2b)关于坐标原点对称，则a+b= .
六、4.3 中心对称—解答题（共5题，共50分）
24．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请你画出关于原点对称的；
（3）在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为．
25．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向下平移个单位长度得到；请画出；
（2）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（3）求的面积．
26．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为．
（1）将沿x轴正方向平移8个长度单位得(点 A的对应点为，点 B 的对应点为，点C的对应点为画出
（2）作关于原点中心对称的(点A的对应点为，点B的对应点为点 C的对应点为 )；
（3）四边形的形状 （填“是”或“不是”） 平行四边形；
（4）的面积= ．
27．（2024八下·岳阳期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）P的坐标为，请求出的面积．
28．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）为轴上一动点，当有最小值时，写出点的坐标 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BAD+∠ABC=180°，故A不符合题意；
AC≠BD，故B不符合题意；
AB=CD≠BC，故C不符合题意；
AB∥CD，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得对边平行且相等，邻角互补，即可求得.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AC=10，
∴AO=CO=5.
∵∠ODA=90°，
∴Rt△ADO中，.
∴BD=2DO=6 cm.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得OD=OB，OA=OC，从而可得AO长，在Rt△ADO中利用勾股定理求出DO，即可得到BD.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD＋CD），
∴ ABCD的周长为2×14=28，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质可得OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14，最后求出 ABCD的周长为2×14=28即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO.
∵AD=BC，AO=CO，BO=DO，
∴△AOD≌△COB(SSS).
∵AB=CD，AO=CO，BO=DO，
∴△AOB≌△COD(SSS).
∵AD=BC，AB=CD，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∵AD=BC，CD=AB，AC=CA，
∴△ACD≌△CAB(SSS).
∴共有4对全等三角形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO.再利用SSS证明三角形全等即可.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在 中，，
∴ ∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠DAB=120°，
∵平分 ，
∴∠BAE=∠DAE=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=BE=AB，
∵，
∴AE=BE=AB=CE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴∠BAC=180°-∠ECA-∠ABE=90°，
∴，
∵BE=CE，
∴AE是△ABC的中线，
∴，
∵在 中，
∴O为AC的中点，
∵AE=CE，
∴，
∴①④正确.
故答案为：B.
【分析】先说明△ABE为等边三角形，再根据得出AE=BE=AB=CE，进而得出∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，根据三角形的内角和得出∠BAC=90°，则可得出，再根据AE是△ABC的中线，可得，再根据等腰三角形的性质可得.
6．【答案】17
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+BC=3+6+8=17．
故答案为：17．
【分析】利用平行四边形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵ 平行四边形ABCD
∴ AC=2OA，BD=2BO
∵，，
∴ AC=
∴ OA=2
∴ BO=
∴ BD=
故答案为：.
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟悉平行四边形的性质和勾股定理是解题关键。由平行四边形ABCD 性质得 AC=2OA，BD=2BO，用勾股定理计算得AC，可得OA，再用勾股定理得BO，求出BD 即可。
8．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形的周长为，
∴AB+BC=6cm，
∵在平行四边形中，AO=CO， ，
∴EA=EC，
∴的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的周长可得AB+BC=6cm，再根据已知条件可得EO为AC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得EA=EC，进而得出答案.
9．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
∵AD=5，
∴BC=5，
∵，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC= 12 AB×AC= 12 ×3×4=6，
在平行四边形中，
∵AD∥BC，AO=CO，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AFO和△CEO中，
∵，
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴S△AOF=S△EOC， ∴ 阴影部分的面积=S△BOC， ∵BO为△ABC的中线， ∴S△BOC= 12S△ABC=3.
故答案为：3.
【分析】根据勾股定理可得∠BAC=90°，则可以求出S△ABC，再根据平行四边形的性质可得∠FAO=∠ECO，接着根据ASA证明△AFO≌△CEO，进而得出阴影部分的面积=S△BOC，接着根据中线的性质即可得出答案.
10．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
；
（2） 的面积
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO=3，BO=DO=5，再根据勾股定理得逆定理可求出∠BAC的度数；
（2）平行四边形的面积=底×高，据此计算即可.
11．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点E，F分别为，的中点，
，，
．
在和中，
，
，
（2）解：，，
，则，
又，
，
，设，
在中，，则，
在中，，
则，
得，
，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明，进而求证；
（2）先说明，再求出，则，设，根据勾股定理列出关于x的方程式，进而得出答案.
12．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠POA=∠QOC，
∴△APO≌△CQO，
∴AP=CQ=t，
∴BQ=BC-CQ=5-t
（2）解：由AP∥BQ，则当四边形是平行四边形时 ，
∴AP=BQ，
由（1）知：AP=t，BQ=5-t，
∴t=5-t，
解得t=，
∴当t=秒时，四边形是平行四边形
（3）解：如图：
∵，
∴AC==4，
∴AO=CO=AC=2，
∵S△ABC=AB×AC=BC×EF，
∴AB×AC=BC×EF，
∴3×4=5×EF，
∴EF=2.4，
∴OE=1.2，
∵OE是AP的垂直平分线，
∴AE=AP=t，∠AEO=90°，
∴AO2=OE2+AE2，
∴4=1.44+（t）2，
∴t=或-（舍），
∴t=秒时， 点在线段的垂直平分线上
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得OA=OC，AD∥BC，则∠PAO=∠QCO，进而证明△APO≌△CQO，再根据全等三角形的对应边相等，即可得出答案；
（2）由四边形是平行四边形可得AP=BQ，将（1）中的表达式代入即可得出答案；
（3）先求出OA与OE的长度，再根据勾股定理，进而得出答案.
13．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
， ，
在和中，
，
≌，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
（3）18
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得≌，
∴BF=ED，OE=OF，
∴AE=FC，
∵，
∴AE=AF，
∵的周长是，
∴AB+BF+AF=9，
∴AB+BF+AE=9，
∴ 的周长=2（AB+BF+AE）=18.
故答案为：18.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进而得出， ，再根据ASA证明≌，进而得证；
（2）根据四边形是平行四边形，可得，，进而得出，，再根据AAS证明≌，进而得证；
（3）由（2）可得≌，则BF=ED，OE=OF，所以AE=FC，再根据线段垂直平分线的 定义说明AC是EF的垂直平分线，则AE=AF，再根据的周长是，即可得出答案.
14．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，C符合条件，
故答案为：C.
【分析】考查中心对称图形的定义：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，分别判断即可.
15．【答案】D
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
∴OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'，，
∴AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，
∴△BCO≌△B'C'O'，
∴∠OBC=∠O'B'C'，
∴BC//B'C'.
故选项ABC正确，选项D不能判断，
故答案为：D.
【分析】 根据中心对称图形的性质，对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分；成中心对称的两个图形是全等的.据此可判断ABD；证明∠OBC=∠O'B'C'，即可判断C.
16．【答案】D
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
∴△ABC≌△A1B1C1，△OAB≌△OA1B1，
∴，，，S△ABC=S△A1B1C1，
∴正确的是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用中心对称图形的性质和全等三角形的性质逐项分析判定即可.
17．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点 在 轴上，
∴n+1=0，
∴n=-1，
∴点B的坐标为（2，1），
∴点B关于原点对称的点的坐标为（-2，-1）.
故答案为：B.
【分析】根据点 在 轴上求出n的值，则点B的坐标可以求出来，最后根据点关于原点对称的点的坐标特征，即可得出答案.
18．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
点坐标为，点坐标为，
轴，且．
是等边三角形，
，，
，
点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
直线的函数解析式为．
令得，
，
点的坐标为．
与关于点成中心对称，
点和点关于点对称，
，
，
点的坐标为．
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质求出点的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式，得到点的坐标，然后根据对称解题即可．
19．【答案】2
【知识点】勾股定理；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，DE=AB=3
∵AE=5，∠D=90°，
∴AD===4，
∴AC=AD=2.
故答案为：2.
【分析】根据中心对称的性质得出AC=CD，DE=AB=3，根据勾股定理求出AD，即可求出AC的长度.
20．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
21．【答案】①②③
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵与关于点成中心对称，
∴，，，，
∴①②③正确.
故答案为：①②③.
【分析】根据成中心对称的图形的性质即可判断.
22．【答案】
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵与关于原点成中心对称，
∴ =BC，
∵，，
∴3-1∴2∴.
故答案为：.
【分析】根据中心对称的性质可得 =BC，再根据三角形三边关系得出223．【答案】2
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，可得关于a、b的方程组，
解得：
所以a+b=2，
故答案为：2.
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.
24．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）点P即为所求，点P的坐标为（2，0）.
【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据题意找出关键点的对应点，再连线即可；
（3）先作点A关于X轴的对称点A'，再连接BA'，即可得出点P的位置.
25．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
的坐标为；
（3）面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】(1)分别将点A、B、C向下平移5个单位，再连接各顶点即可；
(2)先求出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接各顶点即可；
(3)由割补法直接计算面积即可.
26．【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）是
（4）
【知识点】平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，即为所求.
（3）∵AB=A1B1，AB=A2B2，AB∥A1B1，AB∥A2B2，
∴A1B1=A2B2，A1B1∥A2B2，
∴ 四边形是平行四边形.
故答案为：是.
（4）的面积= 2×3-×1×3-×1×2-×1×2=.
故答案为：.
【分析】（1）根据平移变换的性质即可得出答案；
（2）根据中心对称的性质即可得出答案；
（3）根据平行四边形的判定方法即可得出答案；
（4）利用割补法即可求出答案.
27．【答案】（1）解：所作如图所示：
（2）解：所作如图所示：
（3）解：P的坐标为，如图：
的面积为3．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】
（1）把向左平移5个单位长度 ，各点的横坐标减5，纵坐标不变；
（2）根据关于原点对称的特征：纵横坐标互为相反数，得出 的各对应点即可；
（3）在x轴上找到点P，再利用三角形的面积公式：，求出的面积。
28．【答案】（1）解：，即为所求；
（2）解：，即为所求；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）点P即为所求，
设直线AP的表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线AP的表达式为y=-x+，
当y=0时，x=，
∴ 点的坐标为.
【分析】（1）根据平移变换的性质即可得出答案；
（2）根据中心对称的性质即可得出答案；
（3）先找出点P的位置，再求出直线AP的表达式，进而得出答案.
1 / 1浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称
一、4.2 平行四边形—选择题
1．（2024八下·邕宁期末）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BAD+∠ABC=180°，故A不符合题意；
AC≠BD，故B不符合题意；
AB=CD≠BC，故C不符合题意；
AB∥CD，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得对边平行且相等，邻角互补，即可求得.
2． 如图， 在 中， 已知 ． 则 的长为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AC=10，
∴AO=CO=5.
∵∠ODA=90°，
∴Rt△ADO中，.
∴BD=2DO=6 cm.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得OD=OB，OA=OC，从而可得AO长，在Rt△ADO中利用勾股定理求出DO，即可得到BD.
3．（2024八下·沙坪坝期末）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，连接CE．已知△DCE的周长是14，则□ABCD的周长是（ ）
A．7 B．14 C．28 D．56
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD＋CD），
∴ ABCD的周长为2×14=28，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质可得OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14，最后求出 ABCD的周长为2×14=28即可.
4．如图， 为 两对角线的交点， 图中全等的三角形有（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO.
∵AD=BC，AO=CO，BO=DO，
∴△AOD≌△COB(SSS).
∵AB=CD，AO=CO，BO=DO，
∴△AOB≌△COD(SSS).
∵AD=BC，AB=CD，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∵AD=BC，CD=AB，AC=CA，
∴△ACD≌△CAB(SSS).
∴共有4对全等三角形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO.再利用SSS证明三角形全等即可.
5．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图， 的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；，成立的个数有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在 中，，
∴ ∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠DAB=120°，
∵平分 ，
∴∠BAE=∠DAE=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=BE=AB，
∵，
∴AE=BE=AB=CE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴∠BAC=180°-∠ECA-∠ABE=90°，
∴，
∵BE=CE，
∴AE是△ABC的中线，
∴，
∵在 中，
∴O为AC的中点，
∵AE=CE，
∴，
∴①④正确.
故答案为：B.
【分析】先说明△ABE为等边三角形，再根据得出AE=BE=AB=CE，进而得出∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，根据三角形的内角和得出∠BAC=90°，则可得出，再根据AE是△ABC的中线，可得，再根据等腰三角形的性质可得.
二、4.2 平行四边形—填空题
6．（2022八下·定南期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，，则的周长为 ．
【答案】17
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+BC=3+6+8=17．
故答案为：17．
【分析】利用平行四边形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
7．（2024八下·瑞金期中）如图，在平行四边形中对角线、相交于点O，，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵ 平行四边形ABCD
∴ AC=2OA，BD=2BO
∵，，
∴ AC=
∴ OA=2
∴ BO=
∴ BD=
故答案为：.
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟悉平行四边形的性质和勾股定理是解题关键。由平行四边形ABCD 性质得 AC=2OA，BD=2BO，用勾股定理计算得AC，可得OA，再用勾股定理得BO，求出BD 即可。
8．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，平行四边形的周长为，与相交于点，交于点，连接，则的周长为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形的周长为，
∴AB+BC=6cm，
∵在平行四边形中，AO=CO， ，
∴EA=EC，
∴的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的周长可得AB+BC=6cm，再根据已知条件可得EO为AC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得EA=EC，进而得出答案.
9．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，平行四边形中，对角线相交于点过点，交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
∵AD=5，
∴BC=5，
∵，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC= 12 AB×AC= 12 ×3×4=6，
在平行四边形中，
∵AD∥BC，AO=CO，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AFO和△CEO中，
∵，
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴S△AOF=S△EOC， ∴ 阴影部分的面积=S△BOC， ∵BO为△ABC的中线， ∴S△BOC= 12S△ABC=3.
故答案为：3.
【分析】根据勾股定理可得∠BAC=90°，则可以求出S△ABC，再根据平行四边形的性质可得∠FAO=∠ECO，接着根据ASA证明△AFO≌△CEO，进而得出阴影部分的面积=S△BOC，接着根据中线的性质即可得出答案.
三、4.2 平行四边形—解答题
10．（2024八下·华容期末）如图，在 中，对角线、相交于点，且，，．
（1）求的度数：
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
；
（2） 的面积
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO=3，BO=DO=5，再根据勾股定理得逆定理可求出∠BAC的度数；
（2）平行四边形的面积=底×高，据此计算即可.
11．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点E，F分别为，的中点，
，，
．
在和中，
，
，
（2）解：，，
，则，
又，
，
，设，
在中，，则，
在中，，
则，
得，
，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明，进而求证；
（2）先说明，再求出，则，设，根据勾股定理列出关于x的方程式，进而得出答案.
12．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，在中，对角线相交于点．点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动，连结并延长交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求的长．(用含的代数式表示)
（2）当四边形是平行四边形时，求的值．
（3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠POA=∠QOC，
∴△APO≌△CQO，
∴AP=CQ=t，
∴BQ=BC-CQ=5-t
（2）解：由AP∥BQ，则当四边形是平行四边形时 ，
∴AP=BQ，
由（1）知：AP=t，BQ=5-t，
∴t=5-t，
解得t=，
∴当t=秒时，四边形是平行四边形
（3）解：如图：
∵，
∴AC==4，
∴AO=CO=AC=2，
∵S△ABC=AB×AC=BC×EF，
∴AB×AC=BC×EF，
∴3×4=5×EF，
∴EF=2.4，
∴OE=1.2，
∵OE是AP的垂直平分线，
∴AE=AP=t，∠AEO=90°，
∴AO2=OE2+AE2，
∴4=1.44+（t）2，
∴t=或-（舍），
∴t=秒时， 点在线段的垂直平分线上
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得OA=OC，AD∥BC，则∠PAO=∠QCO，进而证明△APO≌△CQO，再根据全等三角形的对应边相等，即可得出答案；
（2）由四边形是平行四边形可得AP=BQ，将（1）中的表达式代入即可得出答案；
（3）先求出OA与OE的长度，再根据勾股定理，进而得出答案.
13．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
平行四边形的性质定理平行四边形的对角线互相平分我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图， 的对角线和相交于点．
求证：，．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图，在 中，对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，求证：．
（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接若，的周长是，则 的周长是 ．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
， ，
在和中，
，
≌，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
（3）18
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得≌，
∴BF=ED，OE=OF，
∴AE=FC，
∵，
∴AE=AF，
∵的周长是，
∴AB+BF+AF=9，
∴AB+BF+AE=9，
∴ 的周长=2（AB+BF+AE）=18.
故答案为：18.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进而得出， ，再根据ASA证明≌，进而得证；
（2）根据四边形是平行四边形，可得，，进而得出，，再根据AAS证明≌，进而得证；
（3）由（2）可得≌，则BF=ED，OE=OF，所以AE=FC，再根据线段垂直平分线的 定义说明AC是EF的垂直平分线，则AE=AF，再根据的周长是，即可得出答案.
四、4.3 中心对称—选择题
14．（2024八下·浙江月考）下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，C符合条件，
故答案为：C.
【分析】考查中心对称图形的定义：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，分别判断即可.
15． 如图， 与 关于点 成中心对称， 下列结论中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
∴OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'，，
∴AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，
∴△BCO≌△B'C'O'，
∴∠OBC=∠O'B'C'，
∴BC//B'C'.
故选项ABC正确，选项D不能判断，
故答案为：D.
【分析】 根据中心对称图形的性质，对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分；成中心对称的两个图形是全等的.据此可判断ABD；证明∠OBC=∠O'B'C'，即可判断C.
16．如图， 与 关于点 成中心对称， 有下列说法：①，
②， ③，④ 与 的面积相等．其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
∴△ABC≌△A1B1C1，△OAB≌△OA1B1，
∴，，，S△ABC=S△A1B1C1，
∴正确的是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用中心对称图形的性质和全等三角形的性质逐项分析判定即可.
17．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称） 若点 在 轴上， 则点 关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点 在 轴上，
∴n+1=0，
∴n=-1，
∴点B的坐标为（2，1），
∴点B关于原点对称的点的坐标为（-2，-1）.
故答案为：B.
【分析】根据点 在 轴上求出n的值，则点B的坐标可以求出来，最后根据点关于原点对称的点的坐标特征，即可得出答案.
18．（2024八下·衢州期中）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点B，C 的坐标分别为，，直线交y轴于点M．若 与关于点 M成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
点坐标为，点坐标为，
轴，且．
是等边三角形，
，，
，
点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
直线的函数解析式为．
令得，
，
点的坐标为．
与关于点成中心对称，
点和点关于点对称，
，
，
点的坐标为．
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质求出点的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式，得到点的坐标，然后根据对称解题即可．
五、4.3 中心对称—填空题（每题5分，共25分）
19．（2024八下·邵东期中）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，，，则 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，DE=AB=3
∵AE=5，∠D=90°，
∴AD===4，
∴AC=AD=2.
故答案为：2.
【分析】根据中心对称的性质得出AC=CD，DE=AB=3，根据勾股定理求出AD，即可求出AC的长度.
20．（2024八下·佛冈期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
21．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，与关于点成中心对称．下列结论成立的有 （填序号）．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵与关于点成中心对称，
∴，，，，
∴①②③正确.
故答案为：①②③.
【分析】根据成中心对称的图形的性质即可判断.
22．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）与关于原点成中心对称，点，，的对称点分别是，，．若，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵与关于原点成中心对称，
∴ =BC，
∵，，
∴3-1∴2∴.
故答案为：.
【分析】根据中心对称的性质可得 =BC，再根据三角形三边关系得出223．点A(2a+3b，-2)与点B(-8，3a+2b)关于坐标原点对称，则a+b= .
【答案】2
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，可得关于a、b的方程组，
解得：
所以a+b=2，
故答案为：2.
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.
六、4.3 中心对称—解答题（共5题，共50分）
24．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请你画出关于原点对称的；
（3）在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）点P即为所求，点P的坐标为（2，0）.
【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据题意找出关键点的对应点，再连线即可；
（3）先作点A关于X轴的对称点A'，再连接BA'，即可得出点P的位置.
25．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向下平移个单位长度得到；请画出；
（2）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
的坐标为；
（3）面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】(1)分别将点A、B、C向下平移5个单位，再连接各顶点即可；
(2)先求出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接各顶点即可；
(3)由割补法直接计算面积即可.
26．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为．
（1）将沿x轴正方向平移8个长度单位得(点 A的对应点为，点 B 的对应点为，点C的对应点为画出
（2）作关于原点中心对称的(点A的对应点为，点B的对应点为点 C的对应点为 )；
（3）四边形的形状 （填“是”或“不是”） 平行四边形；
（4）的面积= ．
【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）是
（4）
【知识点】平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，即为所求.
（3）∵AB=A1B1，AB=A2B2，AB∥A1B1，AB∥A2B2，
∴A1B1=A2B2，A1B1∥A2B2，
∴ 四边形是平行四边形.
故答案为：是.
（4）的面积= 2×3-×1×3-×1×2-×1×2=.
故答案为：.
【分析】（1）根据平移变换的性质即可得出答案；
（2）根据中心对称的性质即可得出答案；
（3）根据平行四边形的判定方法即可得出答案；
（4）利用割补法即可求出答案.
27．（2024八下·岳阳期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）P的坐标为，请求出的面积．
【答案】（1）解：所作如图所示：
（2）解：所作如图所示：
（3）解：P的坐标为，如图：
的面积为3．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】
（1）把向左平移5个单位长度 ，各点的横坐标减5，纵坐标不变；
（2）根据关于原点对称的特征：纵横坐标互为相反数，得出 的各对应点即可；
（3）在x轴上找到点P，再利用三角形的面积公式：，求出的面积。
28．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（六）4.2 平行四边形，4.3中心对称）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）为轴上一动点，当有最小值时，写出点的坐标 ．
【答案】（1）解：，即为所求；
（2）解：，即为所求；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）点P即为所求，
设直线AP的表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线AP的表达式为y=-x+，
当y=0时，x=，
∴ 点的坐标为.
【分析】（1）根据平移变换的性质即可得出答案；
（2）根据中心对称的性质即可得出答案；
（3）先找出点P的位置，再求出直线AP的表达式，进而得出答案.
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