浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法
一、4.5 三角形的中位线—选择题
1．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ 点O是的中点，
又∵ 点是的中点，
∴OE=BC，
∵，
∴OE=4.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是的中点，进而可得OE=BC，即可得出答案.
2．（2024八下·琼海期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
3．（2024八下·长沙期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故答案为：D.
【分析】根据由两个中点连线得到DE是中位线，进而即可求解.
4．（2017八下·房山期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）．
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，DE= AC=5，EF= AB=3，∴四边形ADEF平行四边形，∴AD=EF，DE=AF，∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，故选A．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．
5．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AF为∠BAC的角平分线，
∴∠DAF=∠CAF=α，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
∴∠BDE=∠CAD=∠DAF+∠CAF=2α，
又∵∠BDE=∠DAF+∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA=α，
∴DF=DA，
∵，
∴DE=5，AD=3，
∴DF=3，
∴EF=DE-DF=5-3=2.
故答案为：B.
【分析】先根据角平分线及平行线说明DF=DA，再根据中位线的性质可得DE的长度，最后根据线段的和差即可得出答案.
二、4.5 三角形的中位线—填空题
6．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 点，分别是，的中点，
∴EF=CD，
∵，
∴CD=6，
∵，是的中线，
∴AD=CD=6.
故答案为：6.
【分析】根据中位线的性质可得CD得长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出答案.
7．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
【答案】20°
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵ AD＝BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∵ ∠EPF＝140°，
∴∠PFE=∠PEF==20°.
故答案为：20°.
【分析】根据已知条件得出PF、PE是中位线，根据中位线的性质可得PE=PF，进而得出∠PFE=∠PEF，最后根据三角形的内角和即可得出答案.
8．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为 ．
【答案】54
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点，是、的中点，
∴DE=AB，
∵DE=27，
∴AB=54m.
故答案为：54.
【分析】根据点，是、的中点可得DE=AB，进而得出答案.
9．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F、G分别为、的中点．若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ F、G分别为、的中点，
∴FG=CD，
∵四边形为平行四边形，
∴CD=AB，
∵，
∴CD=6，
∴FG=3.
故答案为：3.
【分析】根据F、G分别为、的中点可得FG=CD，再根据平行四边形的性质得出CD=6，进而得出答案.
10．（2024八下·广州期中）如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，最后根据角度的运算计算即可．
三、4.5 三角形的中位线—解答题
11．（2024八下·东莞期中）如图，在等腰直角三角形中，，D，E分别为边的中点，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵D，E分别为边的中点，
∴是的中位线．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵D为边的中点，
∴．
∵，
∴在中，．
∵四边形为平行四边形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，，证出，再结合，证出边形为平行四边形即可；
（2）先利用线段中点性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用平行四边形的性质可得．
12．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
13．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
14．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠CHF，
∵ 点G、H分别是、中点，
∴AG=CH，
在△AEG和△CFH中，
∵
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠EFH，
∴GE∥HF，
∴ 四边形是平行四边形 .
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，进而得出∠GAE=∠CHF，AG=CH，根据SAS得出△AEG≌△CFH，进而得出GE=HF，∠AEG=∠CFH，再证明GE∥HF，即可得证；
（2）连接交于点O，根据中位线的性质即可得出答案.
15．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ．
同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654 1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是： ．依据2是： ．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数．
【答案】（1）三角形的中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明如下：
分别为的中点，
∴，
分别为的中点，
∴，
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1） 材料中的依据1是三角形的中位线定理，
依据2是两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
故答案为：三角形的中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
【分析】（1）根据三角形的中位线定理证明、，则，同理可得，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据三角形的中位线定理可得、，进的可得，同理可得，再代入即可得出答案；
（3）分两种图进行作图解答，根据中位线及平行线的性质即可得出答案.
四、4.6 反证法—选择题
16．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：应假设这个直角三角形中两个锐角都大于，故A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的方法进行作答即可.
17．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 假设在△ABC中，∠B≥90° ，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C≥90°，
∴∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾，
∴假设不成立，
∴∠B<90°，
∴ 三个步骤正确的排列顺序是 ①③②.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的证明步骤进行说明即可.
18．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 应假设.
故答案为：B.
【分析】根据根据反证法的证明步骤进行说明即可.
19．用反证法证明 “在同一平面内， 若 ， 则 ”时， 第一步应假设（ ）
A． 不平行于 B． 不垂直于
C． 不垂直于 D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：若用反证法时，应首先假设结论的否定成立，即假设b与c不平行（或b与c相交）.
故答案为：A.
【分析】反证法的第一步：假设结论不成立. 先找到题干中的结论，对其否定作为第一步假设.
20．（2024八下·榕城期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中没有一个内角小于
D．三角形中每个内角都大于
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故答案为：．
【分析】根据反证法，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
五、4.6 反证法—填空题
21．（2024八下·长兴期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设 ．
【答案】四边形中的每个内角都是锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中的每个内角都是锐角.
故答案为：四边形中的每个内角都是锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步应该先假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
22．（2024八下·宁波期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ．
【答案】是直角三角形．
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，
第一步应假设：是直角三角形，
故答案为：是直角三角形．
【分析】先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法；据此可得反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，据此解答即可.
23．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）命题“若中，如果，那么”，用反证法证明此命题时，应首先假设 成立．
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 应首先假设成立.
故答案为：.
【分析】根据根据反证法的证明步骤进行说明即可.
24．用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设 .
【答案】a，b都不能被5整除
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设a，b不能被5整除.故答案为：a，b不能被5整除.
【分析】反证法的步骤：①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立；根据反证法的步骤并结合题意即可求解.
25．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D，
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
六、4.6 反证法—解答题
26． 用反证法证明下列问题：
已知： 如图， 直线 被 所截， 是同位角， 且 ．
求证： 不平行于 ．
【答案】证明：假设a∥b，∴∠1=∠2.
这与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，
∴a不平行于b.
【知识点】反证法；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】根据平行线的判定定理、反证法，得出答案.
27．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法） 已知： 如图， 在 中， 是 边上的中点， 交 于点 ．请你用反证法证明： ．
【答案】证明：假设AE≠CE，即E不是AC的中点.
取AC边的中点F，连结DF
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，
∵DE∥BC，与“过直线外一点有且只有一.条直线平行于这条直线”矛盾.
∴假设不成立，
∴AE= CE
【知识点】反证法
【解析】【分析】 假设AE≠CE，即E不是AC的中点，取AC边的中点F，连结DF，根据中位线的性质可得DF∥BC，推出矛盾，进而得证.
28． 如图， 在 中， 分别是 的中点， 且 ， 求证： ．
【答案】证明：设AB= AC，则∠ABC= ∠ACB，
∴AB=AC，
D、E分别是AC， AB的中点，
∴BE=CD，
∴△BCD≌△CBE，
∴BD=CE，与BD≠CE相矛盾，
∴AB≠AC.
【知识点】反证法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题中要证明 AB≠AC，当直接证明有困难时，可采用反证法，先假设 AB=AC，证得△BCD≌△CBE，得到BD=CE，与题干相矛盾，最终得到 AB≠AC；采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
29．（2024八下·榕江月考）用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
解：已知：如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
求证：∠ACD=∠A+∠B.
【答案】证明：假设∠ACD≠∠A+∠B.
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠ACD=∠A+∠B.
这与假设相矛盾，∴假设不成立，
∴原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
【知识点】反证法
【解析】【分析】利用反证法分析证明，先假设∠ACD≠∠A+∠B，再通过角的运算及等量代换求出∠ACD=∠A+∠B，这与假设相矛盾，从而可证 原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
30．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）
【答案】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CNE，
∴∠CNE≠90°，
这与CD⊥EF相矛盾，
∴AB⊥EF．
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的一般步骤，假设AB与EF不垂直，根据平行线的性质证明∠CNE≠90°，与已知相矛盾，从而肯定原命题的结论正确．
1 / 1浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法
一、4.5 三角形的中位线—选择题
1．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．10
2．（2024八下·琼海期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
3．（2024八下·长沙期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
A．4 B．5 C．5.5 D．6
4．（2017八下·房山期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）．
A．16 B．12 C．10 D．8
5．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、4.5 三角形的中位线—填空题
6．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为 ．
7．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
8．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为 ．
9．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F、G分别为、的中点．若，则的长为 ．
10．（2024八下·广州期中）如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．
三、4.5 三角形的中位线—解答题
11．（2024八下·东莞期中）如图，在等腰直角三角形中，，D，E分别为边的中点，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求的长．
12．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
13．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
14．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
15．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ．
同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654 1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是： ．依据2是： ．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数．
四、4.6 反证法—选择题
16．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
17．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
18．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ）
A． B． C． D．
19．用反证法证明 “在同一平面内， 若 ， 则 ”时， 第一步应假设（ ）
A． 不平行于 B． 不垂直于
C． 不垂直于 D．
20．（2024八下·榕城期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中没有一个内角小于
D．三角形中每个内角都大于
五、4.6 反证法—填空题
21．（2024八下·长兴期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设 ．
22．（2024八下·宁波期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ．
23．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法）命题“若中，如果，那么”，用反证法证明此命题时，应首先假设 成立．
24．用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设 .
25．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
六、4.6 反证法—解答题
26． 用反证法证明下列问题：
已知： 如图， 直线 被 所截， 是同位角， 且 ．
求证： 不平行于 ．
27．（浙教版八年级数学（上）寒假作业（八）4.5 三角形的中位线，4.6反证法） 已知： 如图， 在 中， 是 边上的中点， 交 于点 ．请你用反证法证明： ．
28． 如图， 在 中， 分别是 的中点， 且 ， 求证： ．
29．（2024八下·榕江月考）用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
解：已知：如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
求证：∠ACD=∠A+∠B.
30．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ 点O是的中点，
又∵ 点是的中点，
∴OE=BC，
∵，
∴OE=4.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是的中点，进而可得OE=BC，即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故答案为：D.
【分析】根据由两个中点连线得到DE是中位线，进而即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，DE= AC=5，EF= AB=3，∴四边形ADEF平行四边形，∴AD=EF，DE=AF，∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，故选A．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AF为∠BAC的角平分线，
∴∠DAF=∠CAF=α，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
∴∠BDE=∠CAD=∠DAF+∠CAF=2α，
又∵∠BDE=∠DAF+∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA=α，
∴DF=DA，
∵，
∴DE=5，AD=3，
∴DF=3，
∴EF=DE-DF=5-3=2.
故答案为：B.
【分析】先根据角平分线及平行线说明DF=DA，再根据中位线的性质可得DE的长度，最后根据线段的和差即可得出答案.
6．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 点，分别是，的中点，
∴EF=CD，
∵，
∴CD=6，
∵，是的中线，
∴AD=CD=6.
故答案为：6.
【分析】根据中位线的性质可得CD得长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出答案.
7．【答案】20°
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵ AD＝BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∵ ∠EPF＝140°，
∴∠PFE=∠PEF==20°.
故答案为：20°.
【分析】根据已知条件得出PF、PE是中位线，根据中位线的性质可得PE=PF，进而得出∠PFE=∠PEF，最后根据三角形的内角和即可得出答案.
8．【答案】54
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点，是、的中点，
∴DE=AB，
∵DE=27，
∴AB=54m.
故答案为：54.
【分析】根据点，是、的中点可得DE=AB，进而得出答案.
9．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ F、G分别为、的中点，
∴FG=CD，
∵四边形为平行四边形，
∴CD=AB，
∵，
∴CD=6，
∴FG=3.
故答案为：3.
【分析】根据F、G分别为、的中点可得FG=CD，再根据平行四边形的性质得出CD=6，进而得出答案.
10．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，最后根据角度的运算计算即可．
11．【答案】（1）证明：∵D，E分别为边的中点，
∴是的中位线．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵D为边的中点，
∴．
∵，
∴在中，．
∵四边形为平行四边形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，，证出，再结合，证出边形为平行四边形即可；
（2）先利用线段中点性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用平行四边形的性质可得．
12．【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
13．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
14．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠CHF，
∵ 点G、H分别是、中点，
∴AG=CH，
在△AEG和△CFH中，
∵
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠EFH，
∴GE∥HF，
∴ 四边形是平行四边形 .
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，进而得出∠GAE=∠CHF，AG=CH，根据SAS得出△AEG≌△CFH，进而得出GE=HF，∠AEG=∠CFH，再证明GE∥HF，即可得证；
（2）连接交于点O，根据中位线的性质即可得出答案.
15．【答案】（1）三角形的中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明如下：
分别为的中点，
∴，
分别为的中点，
∴，
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1） 材料中的依据1是三角形的中位线定理，
依据2是两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
故答案为：三角形的中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
【分析】（1）根据三角形的中位线定理证明、，则，同理可得，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据三角形的中位线定理可得、，进的可得，同理可得，再代入即可得出答案；
（3）分两种图进行作图解答，根据中位线及平行线的性质即可得出答案.
16．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：应假设这个直角三角形中两个锐角都大于，故A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的方法进行作答即可.
17．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 假设在△ABC中，∠B≥90° ，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C≥90°，
∴∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾，
∴假设不成立，
∴∠B<90°，
∴ 三个步骤正确的排列顺序是 ①③②.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的证明步骤进行说明即可.
18．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 应假设.
故答案为：B.
【分析】根据根据反证法的证明步骤进行说明即可.
19．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：若用反证法时，应首先假设结论的否定成立，即假设b与c不平行（或b与c相交）.
故答案为：A.
【分析】反证法的第一步：假设结论不成立. 先找到题干中的结论，对其否定作为第一步假设.
20．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故答案为：．
【分析】根据反证法，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
21．【答案】四边形中的每个内角都是锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中的每个内角都是锐角.
故答案为：四边形中的每个内角都是锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步应该先假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
22．【答案】是直角三角形．
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，
第一步应假设：是直角三角形，
故答案为：是直角三角形．
【分析】先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法；据此可得反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，据此解答即可.
23．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 应首先假设成立.
故答案为：.
【分析】根据根据反证法的证明步骤进行说明即可.
24．【答案】a，b都不能被5整除
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设a，b不能被5整除.故答案为：a，b不能被5整除.
【分析】反证法的步骤：①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立；根据反证法的步骤并结合题意即可求解.
25．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D，
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
26．【答案】证明：假设a∥b，∴∠1=∠2.
这与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，
∴a不平行于b.
【知识点】反证法；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】根据平行线的判定定理、反证法，得出答案.
27．【答案】证明：假设AE≠CE，即E不是AC的中点.
取AC边的中点F，连结DF
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，
∵DE∥BC，与“过直线外一点有且只有一.条直线平行于这条直线”矛盾.
∴假设不成立，
∴AE= CE
【知识点】反证法
【解析】【分析】 假设AE≠CE，即E不是AC的中点，取AC边的中点F，连结DF，根据中位线的性质可得DF∥BC，推出矛盾，进而得证.
28．【答案】证明：设AB= AC，则∠ABC= ∠ACB，
∴AB=AC，
D、E分别是AC， AB的中点，
∴BE=CD，
∴△BCD≌△CBE，
∴BD=CE，与BD≠CE相矛盾，
∴AB≠AC.
【知识点】反证法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题中要证明 AB≠AC，当直接证明有困难时，可采用反证法，先假设 AB=AC，证得△BCD≌△CBE，得到BD=CE，与题干相矛盾，最终得到 AB≠AC；采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
29．【答案】证明：假设∠ACD≠∠A+∠B.
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠ACD=∠A+∠B.
这与假设相矛盾，∴假设不成立，
∴原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
【知识点】反证法
【解析】【分析】利用反证法分析证明，先假设∠ACD≠∠A+∠B，再通过角的运算及等量代换求出∠ACD=∠A+∠B，这与假设相矛盾，从而可证 原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
30．【答案】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CNE，
∴∠CNE≠90°，
这与CD⊥EF相矛盾，
∴AB⊥EF．
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的一般步骤，假设AB与EF不垂直，根据平行线的性质证明∠CNE≠90°，与已知相矛盾，从而肯定原命题的结论正确．
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