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二次根式 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若等式成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数
6．若，，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
7．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．对于：①，②，③，④从左到右的计算，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 若最简二次根式与能合并成一项，则 ．
12．计算： ．
13． 如图，已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是 .
14． 已知，则的值为 ．
15． 计算： ．
16．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）．
（2）．
18．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米．
（1）求长方形空闲地块的周长．
（2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
19．一个矩形的长为，宽为．
（1）该矩形的面积 ______；
（2）求的值．
20．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如；
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①；②
（2）若，且a；m；n都是正整数，试求a的值．
21． 某小区有一块长为，宽为的长方形空地。解答下面的问题：
（1）求该空地的周长（结果化为最简二次根式）；
（2）现要在该空地上种植草坪进行绿化，若种植草坪的造价为20元/，求绿化该空地所需的总费用．
22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为a．
（1）图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
（2）估计a的值在两个相邻整数m与n之间（），则______，______．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值（化为最简）．
23．明光数学之星在解决问题：已知，求的值时．他是这样分析与解决的：
，
，
，，
，
．
请你根据数学之星的分析过程，解决如下问题：
（1）________，________．
（2）化简：
（3）若，请按照数学之星的方法求出代数式的值．
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二次根式 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、根号下0.2是小数，不是整数，A错误；
B、，因此不是最简二次根式，B错误；
C、，因此不是最简二次根式，C错误；
D、，不能再化简，因此是最简二次根式，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据定义以及对每个选项判断，看是否能再化简，不符合定义或能继续化简的都不属于最简二次根式.
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】
（）2=1.5，故A正确，符合题意；
4－=3，故B错误，不符合题意；
与不能合并，故C错误，不符合题意；
÷2=故D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式相关运算法则逐项判断即可.
3．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
最简二次根式与可以合并，
最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先将化简为最简 根式，再根据同类二次根式的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
4．如图，，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由数轴可得：，，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用数轴判断出，，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可.
5．若等式成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可.
6．若，，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵，，
∴m2=3，n2=5，
∴，
故答案为：B.
【分析】先利用二次根式的性质求出m2=3，n2=5，再将其代入计算即可.
7．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式=
=
=（-1）2023（+2）
=--2
故答案为：D.
【分析】先根据同底数幂的乘法法则及积的乘方法则的逆用将待求式子变形为，然后利用平方差公式计算中括号内的，进而计算乘方，最后去括号即可.
8．对于：①，②，③，④从左到右的计算，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】解：①，①计算错误；
②， ②计算正确；
③，③计算正确；
④，④计算错误，
从左到右的计算，正确的是②③.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则，二次根式的加减运算，逐个验证即可得到答案.
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：1-a≥0，解得a≤1
∴a-2<0，3-a>0，
∴
=
故答案为：B.
【分析】根据得a≤1，故a-2<0，3-a>0，于是可对代数式进行化简.
10．已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
∵
∴
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟悉法则及化简是关键，对 进行变形是关键 ，可得结论。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 若最简二次根式与能合并成一项，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与能合并成一项，
∴，
∴x-1=2，
即x=3.
故答案为：3.
【分析】根据同类二次根式的定义得到，即x-1=2，即可求出x的值.
12．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】（a，b≥0）.
13． 如图，已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由实数a在数轴上的对应点位置可知1＜a＜2，
∴==-（a-2）=2-a.
故答案为：2-a.
【分析】根据点在数轴上的位置得到1＜a＜2，再由二次根式的性质即可得到答案。
14． 已知，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴被开方数，即，
∴原式化简得：，
整理得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可判断x的范围，根据所得的x的范围将原等式化简，可求得x的值，把x的值代入所求代数式计算即可求解.
15． 计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：=.
故答案为：4-.
【分析】根据根式的除法运算法则，正确运算即可得出答案。
16．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：当时，
有，
，不能输出，
当时，
有，
，
最后输出的结果是.
故答案为：.
【分析】根据图表中的运算程序将代入代数式a(a+2)中计算，将结果与16作大小比较，直到结果大于16再输出结果即可得到答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
=50
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的乘除法的计算方法及步骤（①先将除法转换为乘法；②再利用二次根式的乘法的计算方法计算）分析求解即可.
18．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米．
（1）求长方形空闲地块的周长．
（2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
【答案】（1）解： （米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：通道的面积为：（平方米）
，购买地砖的花费为：（元），
∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元．
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和乘以2列式计算即可；
（2）先利用长方形面积公式结合长方形空地的面积减去绿地面积等于通道面积列出算式，根据二次根式混合运算法则计算出通道面积，最后用通道面积乘以地砖的单价即可．
（1）解： （米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：通道的面积为：（平方米），
购买地砖的花费为：（元），
∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元．
19．一个矩形的长为，宽为．
（1）该矩形的面积 ______；
（2）求的值．
【答案】（1）1
（2）解：
．
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的长为，宽为，
∴该矩形的面积，
故答案为：.
【分析】（1）利用长方形的面积公式及二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）将a、b的值代入，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
20．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如；
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①；②
（2）若，且a；m；n都是正整数，试求a的值．
【答案】（1）解：；
；
（2）解：，
，
，，
，
m，n都是正整数，
，或，；
当，时，；
当，时，，
即a的值是7或13．
【解析】【分析】（1）仿照题干，利用完全平方公式变形即可；
（2）先利用完全平方公式把等号右边的式子展开，得到，，然后根据m，n都是正整数，求出m、n的值，进而可得a的值．
21． 某小区有一块长为，宽为的长方形空地。解答下面的问题：
（1）求该空地的周长（结果化为最简二次根式）；
（2）现要在该空地上种植草坪进行绿化，若种植草坪的造价为20元/，求绿化该空地所需的总费用．
【答案】（1）解：
答：该空地的周长是m．
（2）解：
（元）．
答：绿化该空地所需的总费用是2160元．
【解析】【分析】（1）根据“长方形的周长=2（长＋宽）”列式计算即可；
（2）根据“总费用=面积×每平单价”列式计算即可.
22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为a．
（1）图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
（2）估计a的值在两个相邻整数m与n之间（），则______，______．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值（化为最简）．
【答案】（1）13；.
（2）3；4.
（3）解：∵，
∴边长a的整数部分为，小数部分为，
∴．
【解析】【解答】解：（1）如图，
观察图形可得：，
∴，阴影部分正方形的边长a＝.
故答案为：13；.
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；4.
【分析】（1）根据勾股定理，观察图形可得：，即可得，阴影部分正方形的边长a＝即可得答案.
（2）根据得即可得即可.
（3）根据得边长a的整数部分为，小数部分为，代入即可得
.
（1）根据题意可得：，
所以图中阴影部分的面积是，阴影部分正方形的边长a是；
故答案为：13，；
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：3，4；
（3）∵，
∴边长a的整数部分为，小数部分为，
∴．
23．明光数学之星在解决问题：已知，求的值时．他是这样分析与解决的：
，
，
，，
，
．
请你根据数学之星的分析过程，解决如下问题：
（1）________，________．
（2）化简：
（3）若，请按照数学之星的方法求出代数式的值．
【答案】（1），
（2）解：
；
（3）解：
，即，
，即，
．
【解析】【解答】（1）解：，
．
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意，结合平方差公式进行分母有理化即可求出答案.
（2）对每项进行分母有理化，再计算加减即可求出答案.
（3）对a进行分母有理数，再根据配方法化简代数式，再将a值代入即可求出答案.
（1）解：，
．
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：
，即，
，即，
．
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