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第2章 一元二次方程 单元全优提升测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程属于一元二次方程的是( )
A． B．2 C． D．
2．若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在一块长28m，宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．28×10-28x-10x=243 B．2（28-x+10-x）=243
C．（28-x）（10-x）+x2=243 D．（28-x）（10-x）=243
4．用配方法解一元二次方程x2-8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x-4）2=-7 B．（x-4）2 =25
C．（x+4）2 =7 D．（x-4）2 =7
5．为了促进消费，某国产品牌汽车在2025年初进行了连续两次降价，每辆车售价由原来的35万元降到了22.4万元，设平均每次降价率为x，则可列方程为（ ）
A．22.4（1+x）=35 B．35（1-x）=22.4
C．22.4（1+x）2 =35 D．35（1-x）2=22.4
6．某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
7． 已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
8．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有个队参加比赛，则满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
10．若定义：方程是方程的＂倒方程＂．则下列四个结论：①如果是的倒方程的一个解，则．②一元二次方程与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把一元二次方程化成一般形式是 ．
12．若关于y的一元二次方程y2-y+＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
13．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是 ．
14．一元二次方程的两根分别为和，则的值为 ．
15．已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ．
16．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
18． 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值
20．随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇.某新能源汽车的销量和收入均实现了显著增长，2022年全年总销量约为150万辆，到2024年全年总销量已增长至约216万辆，由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求，公司决定加建工厂，经调研发现，受公司多方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度.
（1）求该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率：
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
21．如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒.
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm(用含x的式子表示).
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长.
22． 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．如的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请求出的值．
23．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
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第2章 一元二次方程 单元全优提升测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程属于一元二次方程的是( )
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、x+y=1含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x2+x=0是一元二次方程，符合题意；
D、1-2x=x未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
2．若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ∵ 方程没有实根，
∴=4-4m<0，
解得m>1，
D符合题意.
故答案为：D.
【分析】因为方程没有实根，所以应小于零，得到m应大于一，由此得出答案。
3．如图，在一块长28m，宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．28×10-28x-10x=243 B．2（28-x+10-x）=243
C．（28-x）（10-x）+x2=243 D．（28-x）（10-x）=243
【答案】D
【解析】【解答】解：把横向的小路向上平移，纵向的小路向左平移；
此时拼成的剩余草坪长为m，宽为m；
已知剩余草坪的面积是243m3；
∴
故答案为：D.
【分析】通过将小路平移，把草坪剩余的长、宽表达出来，再根据矩形的面积公式，即可解答.
4．用配方法解一元二次方程x2-8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x-4）2=-7 B．（x-4）2 =25
C．（x+4）2 =7 D．（x-4）2 =7
【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】配方法的一般步骤是，若二次项系数为1，先把常数项移到等号的右边，再给两边都加上一次项系数一半的平方，则把方程转化成一个完全平方与一个常数相等的形式.
5．为了促进消费，某国产品牌汽车在2025年初进行了连续两次降价，每辆车售价由原来的35万元降到了22.4万元，设平均每次降价率为x，则可列方程为（ ）
A．22.4（1+x）=35 B．35（1-x）=22.4
C．22.4（1+x）2 =35 D．35（1-x）2=22.4
【答案】D
【解析】【解答】解：设平均每次降价率为x，
由题意可得35（1-x）2=22.4.
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
6．某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：x为增涨率，第二年的有50(1+x)万个，第三年50(1+x)2万个，共此后两年的共生产零件数为50(1+x)+50(1+x)2，故可列方程.
故答案为：C.
【分析】分别表示出第二年和第三年的产量，即可列出方程.
7． 已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知，，，
∴，即，
解得，，即，
∴，即，
解得，，，
∴方程一定有实数根，
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得：，解得：c=-a，代入所求方程可得：，解这个方程即可求解.
8．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有个队参加比赛，则满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设有个队参赛，由题意可得：
．
故答案为：D．
【分析】设共有个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
【答案】C
【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意可得，
，
将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③，
将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，
整理得：，
解得：或（舍），
则x=y+1=6，
则矩形的宽为5cm，长为6cm，
按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，
故答案为：C．
【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式表示出三个图形中未被覆盖的面积，然后根据①②两个等式求出①②，然后计算③的面积即可．
10．若定义：方程是方程的＂倒方程＂．则下列四个结论：①如果是的倒方程的一个解，则．②一元二次方程与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：的倒方程为( 把 代入方程 得 解得 所以错误；
②一元二次方程( 与它的倒方程有公共解，正确，公共解是
③若一元二次方程( 无解，则它的倒方程也无解，正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根；
④当 时， 一元二次方程 的根的判别式 也为一元二次方程，此方程的根的判别式所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故答案为： C.
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程 与它的倒方程有公共解 ，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把一元二次方程化成一般形式是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意将一元二次方程化成一般形式为：.
故答案为：.
【分析】根据等式的性质，即可将原方程化为一般形式.
12．若关于y的一元二次方程y2-y+＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于y的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先计算判别式，然后解不等式求出m的范围.
13．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是 ．
【答案】4或5
【解析】【解答】解：由题意得：丙的长为，丙的宽为，
∵丙地的面积为，列方程得：，即，
解得：，，
所以x的值为4或5 ．
故答案为：4或5
【分析】根据题意列一元二次方程，解方程即可得解．
14．一元二次方程的两根分别为和，则的值为 ．
【答案】0
【解析】【解答】∵ 一元二次方程，
∴a=1，b=0，c=-4，
∴，
故答案为：0.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，从而得解.
15．已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：，
设此方程的一个实数根为，
，
，
，
，即．
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根的判别式得到代入x=t得到，然后整体代入求出y的取值范围即可．
16．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据题意提取公因式x，进而即可解方程；
（2）根据十字相乘法因式分解，进而即可求解。
18． 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：原方程移项得：
分解因式(
即 或
所以
【解析】【解答】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤可知：嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
【分析】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
(2)根据因式分解法解答即可.
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值
【答案】（1）解：∵是此方程的一个根，∴代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：，
∴方程的另一个根是．
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
【解析】【分析】
（1）利用方程解的概念将代入方程中可得到关于k 的一元一次方程，求出k可再解这个一元二次方程，即可得出另一个解；也可利用根与系数的关系直接得出另一个解；
（2）由于方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0从而得到关于k 的一元一次方程，再解方程即可．
（1）解：∵是此方程的一个根，
∴代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：，
∴方程的另一个根是．
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
20．随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇.某新能源汽车的销量和收入均实现了显著增长，2022年全年总销量约为150万辆，到2024年全年总销量已增长至约216万辆，由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求，公司决定加建工厂，经调研发现，受公司多方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度.
（1）求该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率：
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
【答案】（1）解：设该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，
由题意得：150(1+x)2=216
解得： x1=0.2，x2=-2.2(舍去)
答：该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为20%。
（2）解：设应该再增加у个工厂，
由题意得： (2+y)(6-0.2y)=27
解得：y1=3，y2=25（舍去）
答：现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加3个工厂.
【解析】【分析】（1）平均增长率问题，常设平均增长率为x，再利用等式（其中a代表起始数据，b代表终止数据）列方程求解即可；
（2）设应该再增加у个工厂，则每个工厂的最大产能将减少0.2y万辆/季度. 由等量关系“ 每季度生产汽车27万辆 ， 在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下 ”列方程，由于方程的解要满足限定条件，则要对求出的解进行适当取舍即可.
21．如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒.
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm(用含x的式子表示).
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长.
【答案】（1）；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)
∴剪去的正方形边长为1dm.
【解析】【解答】解：（1）由题意得：第一空，无盖方盒盒底的长为（12-2x）dm；
第一空，宽为（6-2x）dm；
故答案为：（12-2x）；（6-2x）.
【分析】（1）由题意，用长方形纸板的长和宽减去两个小正方形的边长即可求解；
（2）根据长方形的面积公式并结合盒底的面积为40可得关于x的方程，解方程即可求解.
22． 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．如的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请求出的值．
【答案】（1）解：，
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2）解：，解得，，
是“倍根方程”，或，
当时，；
当时，，
综上，代数式的值为26或5；
（3）解：根据题意，设方程的根的两根分别为、，
根据根与系数的关系得，，
解得，或，，即的值为13或.
【解析】【分析】（1）先根据因式分解方法求出一元二次方程的根，再根据新定义判断即可.
（2）先根据因式分解方法求出一元二次方程的根，再根据新定义求出，然后把m的值代入计算即可.
（3）设方程的根的两根分别为，再根据根与系数的关系得，进而求出α，计算对应的m的值即可．
23．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
【解析】【分析】（1）根据题意可得：5个人需比赛的局数为；
（2）根据题意列方程求解即可得出结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，根据题意列出方程求解即可.
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