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4.6反证法 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．用反证法证明：中，，则，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
2．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角中至多有一个角大于60°
D．三个内角中至多有一个角不大于60°
4．假设命题“”不成立，那么与0的大小关系只能是（ ）
A． B． C． D．
5．玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于
C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于
6．已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
7．用反证法证明“在中，，且，那么．”应先假设______．
8．用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________．
9．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：．
10．已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，．
求证：．
完成下面证明过程．
证明：假设_______．
如图②，过点O作直线，使．
（_______）．
，且直线经过点O，
∴过点O存在两条直线，与直线平行．
这与基本事实_______矛盾，假设不成立，
．
11．用反证法证明，若，则时，应假设（ ）
A． B． C． D．
12．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ）
A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角
C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角
13．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（ ）
A． B． C． D．
14．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
15．用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．应先假设（ ）
A．a与b相交 B．a与c平行 C．b与c垂直 D．b与c平行
16．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
17．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④①
18．用反证法证明“三个不相等的数的和等于0，那么这三个数中至少有一个正数”时，应首先假设______．
19．用反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设________．
20．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内， ，求证：与不平行”时，应先应假设_________．
21．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交．
证明：假设与不相交，则______________________．
这与与直线不垂直相矛盾．
假设与不相交___________．
与___________．
22．阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点D，连接，使．
∵，
∴；
在上取点E，使，则，
即：，
∴．
这与已知相矛盾，
∴假设不成立；
②若，
…
综上，．
(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
(2)请你补充②中所缺失的部分．
23．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
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《4.6反证法 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案 C B B C C D C D B D
题号 15 16 17
答案 D B B
1．C
【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定．
【详解】解：∵结论是，
∴反证法第一步应假设．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设．
【详解】解：∵ 原命题结论为，
∴ 其相反的假设为，
首先应假设，
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【详解】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于，
∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．由于的反面为，则假设命题“”不成立，则有．
【详解】解：假设命题“”不成立，则．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了反证法 ，“至少有一个”的否定为“没有一个”，据此即可求解．
【详解】解：∵“至少有一个”的否定为“没有一个”，
∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于，
即：这个三角形中每一个内角都大于，
故选：C
6．D
【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案．
【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②，
故选D．
7．
【分析】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立是解题的关键．根据反证法的第一步是假设结论的反面成立，即可求解．
【详解】解：根据题意得：应先假设．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查的是反证法的证明．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可．
【详解】解： “已知．求证：”．第一步应先假设．
故答案为：．
9．见解析
【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立．
【详解】证明：假设 ．
过点 G作直线 ，
使 ．
因为，
由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），
可知 ．
又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于，
这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾．
因此假设 不成立，
所以 ．
10．；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】解：（1）证明：假设．
如图2，过点作直线，使．
（同位角相等，两直线平行），
又，且直线经过点，
过点存在两条直线、与直线平行，
这与基本事实过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立，
．
故答案为：；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
11．C
【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：反证法证明，若，则时，应假设，
故选：C．
12．D
【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答．
【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定．
∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角．
故选：D．
13．B
【分析】先提出与命题的结论相反的假设，再通过推理证明假设不成立，从而肯定原结论．这里要证，就假设其反面．本题主要考查了反证法的概念，熟练掌握反证法中假设结论的反面成立是解题的关键．
【详解】解：求证：”．若用反证法证明，则应假设．
故选： ．
14．D
【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：与的大小关系有，，三种情况，
∴的反面是“不小于”，即“”．
∴用反证法证明“”时，应先假设，
故选：D．
15．D
【分析】此题考查反证法，使用反证法时，需假设结论不成立，据此求解即可．
【详解】∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．
∴应先假设b与c平行．
故选：D．
16．B
【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键．反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案．
【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设．
故选：B．
17．B
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；
2、则，；
3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾；
4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l．
则证明步骤正确的是②③①④，
故选：B．
18．这三个数是非正数
【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是明确原命题结论的否定形式，从而正确作出假设．
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题结论为“三个数中至少有一个正数”，“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即需假设这三个数中没有正数（都是非正数）．
【详解】要证明 “三个不相等的数的和等于 0，那么这三个数中至少有一个正数”，用反证法时，应先假设原命题的结论不成立．
“三个数中至少有一个正数” 的否定是 “三个数中没有正数”，即 “这三个数都是非正数（0 或负数）”．
故答案为：这三个数是非正数．
19．不是偶数（或：是奇数）
【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解．
【详解】解：反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设不是偶数（是奇数），
故答案为：不是偶数（是奇数）．
20．
【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内， ，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即．
故答案为：．
21．，，不成立，必相交
【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可．
【详解】证明假设与不相交，则．
这与与直线不垂直相矛盾．
假设与不相交不成立．
与必相交．
22．(1)B
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法：
（1）根据证明过程即可得到答案；
（2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论．
【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法，
故选：B；
（2）证明：若，
∴，这与已知相矛盾，
综上，．
23．(1)；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
（同位角相等，两直线平行）
又，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
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