八年级数学下册试题 2.3《一元二次方程根与系数关系》--浙教版（含答案）

2.3《一元二次方程根与系数关系》
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
3．已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或12
4．已知、是方程的两根，则的值为（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
5．若方程与方程的解相同，则p、q的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知和是方程的两个解，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（ ）
A．6 B．8 C．7 D．10
9．已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若实数a，b满足，，则的值为（ ）
A． B．或20 C．2或 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若方程的一个根是1，则另一个根是 ．
12．写出一个两个实数根分别为2和的一元二次方程： ．
13．已知、是方程的两根，则的值为 ．
14．等腰 ABC的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是 ．
15．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ．
16．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ．
17．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ．
18．已知关于的一元二次方程．
（1）该方程根的情况是 ．
（2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，，，，…，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
20．（8分）已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出 ABC的周长．
21．（10分）已知关于的方程有两个实数根、．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值及此方程的两根．
22．（10分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根．
23．（10分）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是______；填写序号
①；②
(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值．
(3)已知 ABC是直角三角形，，的长为，若 ABC的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
24．（12分）（阅读材料，解答问题：
材料1：
为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：
已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：方程的解为_________
(2)利用上述方法求下列方程中的值：
(3)拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴．
故选C．
2．C
解：∵，是方程的根，
∴可得，，
∴，
故选：C．
3．A
解：设另外两边为和，由一元二次方程及根与系数的关系可知：，
∴该等腰三角形的周长为，
当该等腰三角形的腰长为3时，则，当底边长为3时，则腰长为，均符合三角形三边关系，
∴该等腰三角形的周长为11；
故选A．
4．B
解：∵、是方程的两根，
∴，，
∴．
∴ ．
故选：B
5．C
解：解方程可得：，
∵方程与方程的解相同，
∴方程的解为，
根据根与系数的关系可得：，，
∴， ．
故选 C．
6．D
解：∵a是方程的解，
∴
∴
∵a和b是方程的两个解
∴，
∴
，
故选：D．
7．D
解：设方程的两个实数根为，，且，，
则，，，
所以，，
所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限，
故选：D．
8．B
解：设较长直角边为a，较短直角边为b，（），
由题意得：，
∴，
∵把a和b看作是一元二次方程的两个根，
∴解方程得：，
∵a是较长直角边，
∴；
故选：B．
9．B
解：是方程的根，
，
即 ，
，
，
， 是关于的方程的两个根，
，，
原式
，
故选：B．
10．C
解：①当时：
∵a和b满足，且（因为代入得），
∴原式；
②当时：
∵a和b是方程的两个根，
∴，，
原式，
∵，
∴分子，分母，
∴原式，
综上所述，原式的值为2或．
故选：C．
二、填空题
11．
解：设方程的另一个根为，
由根与系数的关系，两根之和为 ，
已知一个根为，则，
解得，
故答案为．
12．（
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为和，
∴两根之和，两根之积．
设一元二次方程为，
∵，，
∴，，
∴所求方程为．
故答案为：．
13．2026
解：∵、是方程的两根，
∴，
把代入中，得，
∴，
故答案为：2026．
14．或
解：设等腰 ABC的腰长为a，底边长为b，
当，则4和b是关于x的方程的两个实数根，
∴
∴；
此时且，符合题意；
当，则a和a是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
此时且，符合题意；
故答案为：或．
15．
设一元二次方程的两个根为，
∵，
∴菱形的面积为．
故答案为：．
16．
解：由根与系数的关系，得，，
则，
所以，即，
解得或.
又因为方程有两个实数根，所以判别式，即.
当时，不成立，舍去；
当时，成立.
故.
故答案为：．
17．
解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾），
两边除以，得，
又，
所以和是方程的两个根，
根据根与系数的关系，有，，即，
所以，
代入原式：，
将代入，
分子为，
分母为．
由，得，
代入分子：，
分母：，
所以原式．
故答案为：．
18． 有两个不相等的实数根
解：（1）．
，
，即，
该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系，得，；，； ；，，
∴原式
．
故答案为：．
三、解答题
19．
解：关于的一元二次方程有一个根是，
设另一个根为，
则，
解得：，
将代入，
得，
解得：．
20．
解：∵的长是关于x的方程，
∴．
当时，，
∴ ABC的周长为；
当时，，
∴ ABC的周长为．
所以这个三角形的周长为16．
21．
（1）解：，，，
，
方程有两个实数根，
，
；
（2）解：∵关于的方程有两个实数根、，
∴，，
又，
，
即，
，
当时，方程，
解得，，
，方程两根为，．
22．
（1）证明：∵，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为t，，
根据根与系数的关系得，
∴，
∴方程的两根分别为1和3，
即方程的两个根为，．
23．
（1）解：由得，
，，
则，
所以①符合题意；
由得，
，，
则，
所以②不符合题意．
故答案为：①；
（2）解：由得，
，
因为此方程是“差根方程”，
所以，
解得；
（3）解：由题知，不妨令，
因为，的长为，
则
因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根，
所以，
则，
所以，
所以，
所以，
同理可得，，
所以，，
则这个差根方程为
24．
（1）解：令，则原方程可化为，
∴，
∴，，
∴或3，
∴，，，；
故答案为：，，，；
（2）解：令，则原方程可化为，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
令，，
则，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴；
故答案为：．