八年级数学下册试题 2.1《一元二次方程和它的解》--浙教版（含答案）

2.1《一元二次方程和它的解》
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （ ）
A．2021 B．2023 C．2027 D．2029
5．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ）
x … …
… …
A． B． C． D．
6．一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（ ）
A． B．1 C． D．4
7．若是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2025 B．-2025 C．2026 D．
8．设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（ ）
A．0 B．2024 C．2025 D．2026
9．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若为一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程 ．
12．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ．
13．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则
15．已知一元二次方程，则代数式的值等于 ．
16．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是 ．
17．已知a是一元二次方程的一个根，则 ．
18．根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2
0.84
由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
(1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值．
20．（8分）已知a为方程的一个根，求代数式的值．
21．（10分）已知是方程的一个根，求的值．
22．（10分）已知关于x的方程．
(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
23．（10分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的“倒方程”是 ；
(2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ．
24．（12分）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，
则，所以．
把代入已知方程，得，
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程；
(2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程．
对选项A：当时，方程变为，是一元一次方程，且未明确，∴不是一元二次方程．
对选项B：整理方程得，满足一元二次方程的三个条件，∴是一元二次方程．
对选项C：展开右边得，移项化简得，是一元一次方程，∴不是一元二次方程．
对选项D：方程中含有，是分式方程，不是整式方程，∴不是一元二次方程．
故选B．
2．A
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴二次项系数，
∴，
故选：A．
3．B
解：A、当时，，该选项不符合题意；
B、当时，，该选项符合题意；
C、当时，，该选项不符合题意；
D、当时，，该选项不符合题意．
故选：B．
4．A
解：∵m是一元二次方程的一个根
∴
∴
∵
．
故选：A．
5．D
解：∵当时，，
当时，，
∴一元二次方程的一个根的范围是，
故选：D．
6．A
解：原方程：，
移项得：，
，，，
，
故选：A．
7．A
解：∵ a是方程的根，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
8．A
解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∴
．
故选：A．
9．A
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
解得；
又∵方程为一元二次方程，
∴，即，
∴，
∴直线为，
∵，
∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限，
故选：A．
10．C
解：∵是方程的根，
∴，即，
∴，则，
∴ ，
∴．
故选：．
二、填空题
11．
解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．11
将方程化为标准形式后，识别二次项系数、一次项系数和常数项，并计算它们的和即可．
原方程移项得标准形式，
其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3，
因此系数之和为．
故答案为：11．
13．2
解：根据题意，方程是关于的一元二次方程，
∴，解得或 ，
当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件，
当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件，
∴a的值为2．
故答案为：2．
14．
解：是关于的一元二次方程的一个根，
将代入方程，得，即，
解得．
故答案为：．
15．3
解：由方程 ，可知 ，将方程两边除以，得
，
即，
∴，
故答案为：3．
16．2
解：原方程化为：，
移项得：，
由不含的一次项，得一次项系数，
解得 ，
故答案为：．
17．2
解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故答案为：2．
18．
解：∵时，，
时，，
∴，在内有一个解，
即方程必有一个解x满足，
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：方程为波浪方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴方程为波浪方程，
（2）解：∵关于x的方程为波浪方程，
∴，且，
∴，
∵是关于x的方程的一个根，
∴，
联立①②解得；
20．
解：是方程的一个根，
，
，
．
21．
解：
，
∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴原式．
22．
（1）解：
移项、合并同类项，得，
∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为；
（2）解：若方程是一元一次方程，则，，
解得．
23．
（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；
（2）解： 由题知，方程的倒方程为，
将代入此方程得，，
解得；
（3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是，
∵是此方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
24．
（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此，
即，
代入原方程，
得：，
则．
（2）解：，；
∵，
∴移项得，
，
设，则方程变为，
故的根为和，
当时，，解得；
当时，，解得；
则方程的两个根是，．