八年级数学下册试题 2.2《一元二次方程的解法》--浙教版（含答案）

2.2《一元二次方程的解法》
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．方程的根是（ ）．
A． B．， C． D．，
2．关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程： 配方后所得的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列方程一定有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于y的方程，下面解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴，
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．方程的解是 ．
12．解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ．
13．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ．
14．一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为 ；
15．若，则 ．
16．，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是 ．
17．已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ．
18．某建筑公司购进77根装饰用的罗马柱，每根罗马柱可近似地看作底面直径为的圆柱体，现需将这批装饰用的罗马柱按如图方式进行堆放（第一排放2根，第二排放3根，第三排放4根……以此类推），为避免雨水浸湿，计划在罗马柱上方搭建遮雨棚，则遮雨棚的高度至少为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解下列方程：
(1)； (2)．
20．（8分）计算或解方程：
(1) (2)．
21．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，求方程的根．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根；
(2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长．
23．（10分）【材料阅读】解方程：
第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：．
第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，，
第三步：所以原方程的解是：，，，
上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
【初步应用】（1）解方程：
【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数．
24．（12分）如图，点是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴，y轴分别交于点，，直线经过点B和点并与x轴交于点C．
(1)求直线和的表达式及点C的坐标．
(2)当点P在 ABC的内部（包含边界）时，
①求a的取值范围；
②是否存在点P，使得？ 若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
解：，
，
，
或，
解得：，，
故选：D．
2．C
解：∵对于任意实数x，有，
∴当时，无实数根．
故选：C．
3．A
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．B
解：选项A：
∵，，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项B：
∵，，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
选项C：
∵，，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项D：
∵，，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
5．D
A、原方程为一元二次方程，根的判别式，原方程无实数根，该选项不符合题意；
B、原方程为分式方程，变形为整式方程为，变形得，原方程无实数根，该选项不符合题意；
C、原方程为分式方程，变形为整式方程为，但为原方程的增根，原方程无实数根，该选项不符合题意；
D、原方程解得，为实数根，该选项符合题意．
故选：D
6．B
解：由题意得，，
∴该一元二次方程为，
故选：B．
7．D
解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误；
乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误；
丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误；
丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确；
综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求．
故选：D．
8．D
解：∵方程是一元二次方程，
∴，即；
∵方程有实数根，
∴，
即，
化简得．
综上，且．
故选：D．
9．B
解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
A．由函数图象可得，，即，故A不正确；
B．由函数图象可得，，即，故B正确；
C．由函数图象可得，，即，故C不正确；
D．由函数图象可得，，即，故D不正确．
故选：B．
10．B
系数，得到关于的方程，解出的值，再代入关系式求，最后计算代数式的值．
解：∵方程 是“倍根方程”，
∴设两根为和 （），
则方程可写为，即，
与原方程比较系数得：
①，
，即②，
将②代入①得：，
两边除以（）：，
即，解得或．
，
当时，由 ②得，此时，
∴．
当 时，由 (2) 得，此时，
∴.
综上，代数式的值为或.
故选 B.
二、填空题
11．，
解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
12．2026
解：
，
∴，
∴，
故答案为：．
13．8
解：由，因式分解得 ，
解得 或 （舍去负根），
∴斜边上的高为4，
在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半，
∴斜边长为 ，
故答案为 8．
14．
解：对于一元二次方程 （其中 ），
移项得，，
系数化为1得，，
两边加上 得，，
则，
开平方得，，
移项得，，
故答案为： ．
15．0
解：设（），则原方程化为，
因式分解得，
解得或，
又，故，即．
故答案为：．
16．有两个不相等的实数根
解：∵，
∴，
由数轴可知，
∴，
即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
17．
解：∵，
∴或，
∴或，即，
∵是关于的方程的一个根，为有理数，
∴，的一个值是，
∴是方程的另外一个根，
∴该方程的另外两个根分别是和，
故答案为：，．
18．
解：设有排，根据题意可得第排，有根，
∴
解得：或（不合题意舍去）
如图，
依题意，是等边三角形，，
∴，
∴2层的高度为，
3层的高度为，……，
因此遮雨棚的高度至少为：
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：，
移项，得，
直接开方，得，
解得，；
（2）解：，
因式分解，得，
解得，．
20．
（1）解：
；
（2）解：，
可得，，，
，
．
21．
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：．
（2）解：当时，原方程为：
∴
解得 ，．
22．
（1）证明：∵
∴
∴无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为5时，5为方程的解，
把代入，得，
得，
∴
或
解得，
∴方程的另外一个解为，
∴此时三角形三边长为3，5，5
∵，符合题意，
此时三角形的周长；
当底为5时，
∵另两边恰好是这个方程的两根，
∴，
解得，
∴
∴
∴
此时方程的解为，
∴此时三角形三边长为3，3，5
∵，符合题意，
∴三角形的周长．
综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11．
23．
解：（1）设，
原方程可变为，
则，
∴或，
∴，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
∴原方程的解为，，，；
（2）解：设四个连续自然数为n，，，，
由题意得，
整理得，即，
设，则方程化为，
即，
因式分解得，
（舍去），，
当时，，即，
因式分解得，，
∴，（舍去），
∴四个连续自然数是2，3，4，5．
24．
（1）解：设直线的表达式为，
∵直线过点，，
∴，解得：，
∴直线的表达式为；
设直线的表达式为，
∵直线经过点和点，
∴，解得：，
∴直线的表达式为，
令，解得，
∴．
（2）解：①当时，，，
当点P位于 AOB内部（包含边界）时，
∴，
解得：；
当点P位于内部（包含边界）时，
，
解得：，
综合起来得：；
②存在；
∵，,，
当时，，
即，
整理得：，
解得：，
∵,不符合a的取值范围，
∴，
∴，
∴．