浙教版数学八年级下册 5.1 矩形 一阶训练
一、选择题
1．（2023八下·丛台月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·梓潼期末）已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．（2025八上·宝安期中）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）
A． B．4m C． D．6m
4．（2024七下·厦门期末）如图，矩形中，对角线、交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·桂阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．（2024八下·曲靖期末）如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（ ）
A． B． C．6 D．
7．（2024七下·呼和浩特期中）一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七上·江阴月考）一个长方形的周长为20，长为，这个长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·绥江期末）如图，在矩形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七上·蒙山期末）如图，将长方形纸片的角C沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若平分，则的度数α是（ ）
A． B．
C． D．α随折痕位置的变化而变化
二、填空题
11．（2026八上·关岭期末）一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为 ．
12．（2025八上·深圳期中）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离AC为0.5米，将踏板水平推动3米（BE=3米），此时踏板与地面的距离BD为1.5米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳OA的长度为 米.
13．（2024八下·宁乡市期末）某办公桌摆件的示意图如图所示，四边形是矩形，若对角线与办公桌面垂直，，，延长交办公桌面于点，，则 cm．
14．（2024八下·连云港期末）若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为 ．
15．（2024八下·忠县期中）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
三、解答题
16．（2025八下·惠阳期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形．
17．（2023八下·秦安期末）如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴平行四边形是矩形，符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①当时，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴结论符合题意；
②当时，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴结论不符合题意；
③当时，
∵，四边形为平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴结论符合题意；
④当时， ．
∵，四边形为平行四边形，
∴，四边形是矩形，
∴结论符合题意．
综上可得：平行四边形是矩形的条件的序号是①③④．
故答案为：D.
【分析】 ①根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判断求解；
②根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”可判断求解；
③根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断求解；
④同③ 可判断求解．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定
【解析】【解答】
解：如图，由题意可知，大树高AC=6m，小树高为BD= 2m，
过B点作BE⊥AC于点E，连接AB，
则四边形EBDC是矩形，
∴EC=BD=2m，EB=CD= 5m， ，
∴AE=AC- EC=6-2=4 (m)， .
在RtAEB中，AB=
即小鸟至少飞行 ，
故答案为：A
【分析】过B点作BELAC于点E，连接AB，可判定四边形EBDC是矩形，再由勾股定理求出AB的长，即可解答.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可得出OA=OB=4，再根据∠AOB=60°，可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AB=4。
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【分析】
由于矩形的对角线互相平分且相等，则OB等于OC，则等于等于30度，则由三角形外角的性质可得是60度 ．
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵
∴为等边三角形．
∴．
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过、两点分别作轴、轴的平行线，
交点为，即为第四个顶点坐标．
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再作出长方形，最后结合平面直角坐标系直接求出第四个点的坐标即可.
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为20，长为，
∴长方形的宽为，
∴长方形的面积为，
故选：D．
【分析】根据长方形性质可得长方形的宽为，再根据长方形的面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】根据矩形的性质求出，再求出为等边三角形，最后根据等边三角形的性质计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】角的运算；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵且平分，
∴
．
故选：C．
【分析】本题考查了折叠的性质，以及角的平分线的定义，平角的定义，由且平分，结合，列出算式，即可求解.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
故答案为：．
【分析】根据长方形面积，结合多项式除以单项式即可求出答案.
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵将踏板水平推动3米（BE=3米），AC=0.5米，BD=1.5米
∴BE⊥OA
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形CDBE是矩形
∴CE=BD=1.5米
∴AE=CE-AC=1米
设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2
即(x-1)2+32=x2
解得：x=5
∴秋千的拉绳OA的长度为5米
故答案为：5
【分析】由题意可得BE⊥OA，根据矩形判定定理可得四边形CDBE是矩形，则CE=BD=1.5米，根据边之间的关系可得AE，设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米，再根据定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
又∵AB=15cm，BC=8cm，
∴cm，
又∵CE=8cm，
∴．
故答案为：25．
【分析】由矩形性质得∠B=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理算出AC，进而根据AE=AC+CE列式计算即可.
14．【答案】（4，3）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∵，，，
∴-a=-4，C（a，3），
∴a=4，
∴点C的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）.
【分析】本题考查了坐标与图形，根据矩形的性质可知AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，由A、B、D的坐标得-a=-4，
C（a，3），求出a的值，即可得点C坐标.
15．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵ CE=BC， ，AE=AB，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA=AE，OC=CD，AE=CD，
∴OA=OC，
∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC=AC=4，
∴CD=8．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据平i形四边形的性质证明AD=CE，AD∥CE，可得出四边形ACED是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质证得∠ACE=90°，即可得出四边形ACED是矩形；
（2）首先根据矩形的性质可得OC=AC，再根据邻补角定义的出∠AOC=60°， 即可得出△AOC是等边三角形，进而可得CD=2OC=2AC=8．
1 / 1浙教版数学八年级下册 5.1 矩形 一阶训练
一、选择题
1．（2023八下·丛台月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴平行四边形是矩形，符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八上·梓潼期末）已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①当时，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴结论符合题意；
②当时，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴结论不符合题意；
③当时，
∵，四边形为平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴结论符合题意；
④当时， ．
∵，四边形为平行四边形，
∴，四边形是矩形，
∴结论符合题意．
综上可得：平行四边形是矩形的条件的序号是①③④．
故答案为：D.
【分析】 ①根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判断求解；
②根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”可判断求解；
③根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断求解；
④同③ 可判断求解．
3．（2025八上·宝安期中）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）
A． B．4m C． D．6m
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定
【解析】【解答】
解：如图，由题意可知，大树高AC=6m，小树高为BD= 2m，
过B点作BE⊥AC于点E，连接AB，
则四边形EBDC是矩形，
∴EC=BD=2m，EB=CD= 5m， ，
∴AE=AC- EC=6-2=4 (m)， .
在RtAEB中，AB=
即小鸟至少飞行 ，
故答案为：A
【分析】过B点作BELAC于点E，连接AB，可判定四边形EBDC是矩形，再由勾股定理求出AB的长，即可解答.
4．（2024七下·厦门期末）如图，矩形中，对角线、交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可得出OA=OB=4，再根据∠AOB=60°，可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AB=4。
5．（2024八下·桂阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【分析】
由于矩形的对角线互相平分且相等，则OB等于OC，则等于等于30度，则由三角形外角的性质可得是60度 ．
6．（2024八下·曲靖期末）如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵
∴为等边三角形．
∴．
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．（2024七下·呼和浩特期中）一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过、两点分别作轴、轴的平行线，
交点为，即为第四个顶点坐标．
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再作出长方形，最后结合平面直角坐标系直接求出第四个点的坐标即可.
8．（2023七上·江阴月考）一个长方形的周长为20，长为，这个长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为20，长为，
∴长方形的宽为，
∴长方形的面积为，
故选：D．
【分析】根据长方形性质可得长方形的宽为，再根据长方形的面积即可求出答案.
9．（2024八下·绥江期末）如图，在矩形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】根据矩形的性质求出，再求出为等边三角形，最后根据等边三角形的性质计算求解即可.
10．（2023七上·蒙山期末）如图，将长方形纸片的角C沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若平分，则的度数α是（ ）
A． B．
C． D．α随折痕位置的变化而变化
【答案】C
【知识点】角的运算；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵且平分，
∴
．
故选：C．
【分析】本题考查了折叠的性质，以及角的平分线的定义，平角的定义，由且平分，结合，列出算式，即可求解.
二、填空题
11．（2026八上·关岭期末）一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
故答案为：．
【分析】根据长方形面积，结合多项式除以单项式即可求出答案.
12．（2025八上·深圳期中）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离AC为0.5米，将踏板水平推动3米（BE=3米），此时踏板与地面的距离BD为1.5米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳OA的长度为 米.
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵将踏板水平推动3米（BE=3米），AC=0.5米，BD=1.5米
∴BE⊥OA
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形CDBE是矩形
∴CE=BD=1.5米
∴AE=CE-AC=1米
设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2
即(x-1)2+32=x2
解得：x=5
∴秋千的拉绳OA的长度为5米
故答案为：5
【分析】由题意可得BE⊥OA，根据矩形判定定理可得四边形CDBE是矩形，则CE=BD=1.5米，根据边之间的关系可得AE，设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米，再根据定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2024八下·宁乡市期末）某办公桌摆件的示意图如图所示，四边形是矩形，若对角线与办公桌面垂直，，，延长交办公桌面于点，，则 cm．
【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
又∵AB=15cm，BC=8cm，
∴cm，
又∵CE=8cm，
∴．
故答案为：25．
【分析】由矩形性质得∠B=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理算出AC，进而根据AE=AC+CE列式计算即可.
14．（2024八下·连云港期末）若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，3）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∵，，，
∴-a=-4，C（a，3），
∴a=4，
∴点C的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）.
【分析】本题考查了坐标与图形，根据矩形的性质可知AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，由A、B、D的坐标得-a=-4，
C（a，3），求出a的值，即可得点C坐标.
15．（2024八下·忠县期中）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题
16．（2025八下·惠阳期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
17．（2023八下·秦安期末）如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵ CE=BC， ，AE=AB，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA=AE，OC=CD，AE=CD，
∴OA=OC，
∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC=AC=4，
∴CD=8．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据平i形四边形的性质证明AD=CE，AD∥CE，可得出四边形ACED是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质证得∠ACE=90°，即可得出四边形ACED是矩形；
（2）首先根据矩形的性质可得OC=AC，再根据邻补角定义的出∠AOC=60°， 即可得出△AOC是等边三角形，进而可得CD=2OC=2AC=8．
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