浙教版数学八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 二阶训练
一、选择题
1．（2023八下·莲池期末）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八下·莲都期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB=DC B．AB=DC，AD=BC
C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD
3．（2025八下·杭州期中）在四边形ABCD中，，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·临平月考）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径作弧；②以点D为圆心，AB长为半径作弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别相等 D．对角线互相平分
5．（2025八下·杭州期中）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
6．（2025八下·深圳期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//CD，AD//BC B．AB//CD，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB=CD，AD=BC
7．（2018·呼和浩特）顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为( )
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
9．（2025八下·天河期中）在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·三台期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ．
12．（2024八上·烟台期末）在如图1所示的上按图2和图3所示的尺规作图痕迹作图，不借助三角形全等就能直接推出四边形是平行四边形的依据是 ．
13．（2025八下·成都期中）如图，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若，CD=6，则BD= .
14．（2025八下·贵州期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是 ．
15．（2025八下·杭州期中）如图，已知在 ABCD中，3AB=2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EF//AB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC.则下列结论正确的有 .
①AO⊥BO；②点O是EF的中点；
③；④
三、解答题
16．（2025·苏州）如图，C是线段AB 的中点，.
（1）求证：
（2） 连接DE，若 求 DE 的长.
17．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥DC，AB=DC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故B不符合题意；
C、∵AB∥DC，AD=BC ，∴ 四边形ABCD可以为等腰梯形，故C符合题意；
D、∵OA=OC，OB=OD ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可一一判断得出答案。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、若仅有一组对边相等且另一组对边平行，无法确定另一组对边是否平行或相等，则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
B、无法通过直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
C、若则四边形ABCD为平行四边形，则本项符合题意；
D、∵
∴则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到然后根据平行四边形判定定理逐项分析即可求解．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可得CD=AB，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴判定四边形ABCD为平行四边形的依据是两组对边分别相等.
故答案为：C.
【分析】由作图过程知CD=AB，BC=AD，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC、BD的中点，
∴四边形ABCD是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ，故A正确；
B、 仅有一组对边平行且另一组对边相等，可能构成等腰梯形而非平行四边形 ，故B错误；
C、 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ，故C正确；
D、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ，故D正确。
故答案为：B.
【分析】 根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可判断。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解；当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理即可一一判断出。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：
如图所示，根据题意可以作出平行四边形的最后一个顶点，
将点向右平移4个单位长度可得
将点向右左平移4个单位长度可得；
将点向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度可得；
故符合题意的是D选项，
故答案为：D
【分析】本题考查平行四边形的判定及坐标平移的性质，平行四边形的对边平行且相等，因此可通过线段的平移来确定第四个顶点。分别考虑以 、、 为对角线的三种情况，将其中两点作为一组对边，通过平移这组对边的方式得到第四个顶点的坐标，例如将点 向右平移4个单位长度，或向左平移4个单位长度，或经过其他平移组合，结合选项筛选出符合条件的坐标。
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，由题意，用边角边可证，根据全等三角形的对应边相等可得，结合等角对等边可求解．
11．【答案】74
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】本题主要对三角形外角的性质，平行四边形的判定，平行线的性质进行考查．根据三角形的外角性质：三角形外外角等于与其不相邻的两个内角之和，求出，又因为折射光线，所以四边形是平行四边形，因此有．
12．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图可知先作的垂直平分线，则点O为的中点，由作图可知，
可得：，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定和作图进行判断即可．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：点C作NF∥AB， 且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，则∠DCN =∠A=45°，
∴DN=CN，由勾股定理得： ，
∵CF\|BE， CF=BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴BF = EC = BD，BF∥EC，
∴∠DBF=180°-∠BOC =180°-120°= 60°
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】过点C作NF∥AB，且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，根据勾股定理求出DN、CN，进而求出FN，根据平行四边形的性质得到BF =EC =BD，BF∥EC，根据等边三角形的性质得到BD =DF，根据勾股定理求出DF，得到答案.
14．【答案】3个
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
故答案为：3个．
【分析】分别以较长直角边为对角线、较短直角边为对角线及以斜边为对角线，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼图即可得出答案.
15．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD， AB=CD， AD= BC，
∴∠BAD+∠ABC =180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
180°= 90°
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥BO， 所以①正确；
∵EF∥AB，
∴∠BAO=∠AOE， ∠ABO =∠BOF，
∵∠OAB =∠OAE， ∠OBA=∠OBF，
∴∠OAE =∠AOE， ∠OBF =∠BOF，
∴AE=OE， BF=OF，
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE=BF，
∴OE=OF， 即O点为EF的中点， 所以②正确；
∵3AB=2BC，
∴设AB=2x， BC=3x，
∴EF =2x， AD=3x，
∴AD=3AE，
∴C平行四边形ABFE=2x+2×2x=6x
∴C平行四边形ABCD =2×2x+2×3x= 10x，所以③不正确；
∵OE=OF，
所以④正确.
故答案为：①②④.
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，AD=BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB+∠OBA=90°，则∠AOB=90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO=∠AOE，∠OBF=∠BOF得到AE=OE， BF=OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE=BF，所以OE =OF，则可对②进行判断；设AB=2x， BC=3x， 则EF=2x， AD=3x，EA=OE=x， AD=3x， 则可对③进行判断；证明 可对④进行判断.
16．【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是线段的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得，，根据全等三角形判定定理”“得证结论；
（2）先求出，根据全等三角形对应边相等得，于是证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到的长.
17．【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
1 / 1浙教版数学八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 二阶训练
一、选择题
1．（2023八下·莲池期末）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2019八下·莲都期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB=DC B．AB=DC，AD=BC
C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥DC，AB=DC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故B不符合题意；
C、∵AB∥DC，AD=BC ，∴ 四边形ABCD可以为等腰梯形，故C符合题意；
D、∵OA=OC，OB=OD ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可一一判断得出答案。
3．（2025八下·杭州期中）在四边形ABCD中，，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、若仅有一组对边相等且另一组对边平行，无法确定另一组对边是否平行或相等，则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
B、无法通过直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
C、若则四边形ABCD为平行四边形，则本项符合题意；
D、∵
∴则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到然后根据平行四边形判定定理逐项分析即可求解．
4．（2025八下·临平月考）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径作弧；②以点D为圆心，AB长为半径作弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可得CD=AB，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴判定四边形ABCD为平行四边形的依据是两组对边分别相等.
故答案为：C.
【分析】由作图过程知CD=AB，BC=AD，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.
5．（2025八下·杭州期中）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC、BD的中点，
∴四边形ABCD是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.
6．（2025八下·深圳期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//CD，AD//BC B．AB//CD，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB=CD，AD=BC
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ，故A正确；
B、 仅有一组对边平行且另一组对边相等，可能构成等腰梯形而非平行四边形 ，故B错误；
C、 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ，故C正确；
D、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ，故D正确。
故答案为：B.
【分析】 根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可判断。
7．（2018·呼和浩特）顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解；当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理即可一一判断出。
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为( )
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
9．（2025八下·天河期中）在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：
如图所示，根据题意可以作出平行四边形的最后一个顶点，
将点向右平移4个单位长度可得
将点向右左平移4个单位长度可得；
将点向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度可得；
故符合题意的是D选项，
故答案为：D
【分析】本题考查平行四边形的判定及坐标平移的性质，平行四边形的对边平行且相等，因此可通过线段的平移来确定第四个顶点。分别考虑以 、、 为对角线的三种情况，将其中两点作为一组对边，通过平移这组对边的方式得到第四个顶点的坐标，例如将点 向右平移4个单位长度，或向左平移4个单位长度，或经过其他平移组合，结合选项筛选出符合条件的坐标。
10．（2025八上·三台期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，由题意，用边角边可证，根据全等三角形的对应边相等可得，结合等角对等边可求解．
二、填空题
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ．
【答案】74
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】本题主要对三角形外角的性质，平行四边形的判定，平行线的性质进行考查．根据三角形的外角性质：三角形外外角等于与其不相邻的两个内角之和，求出，又因为折射光线，所以四边形是平行四边形，因此有．
12．（2024八上·烟台期末）在如图1所示的上按图2和图3所示的尺规作图痕迹作图，不借助三角形全等就能直接推出四边形是平行四边形的依据是 ．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图可知先作的垂直平分线，则点O为的中点，由作图可知，
可得：，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定和作图进行判断即可．
13．（2025八下·成都期中）如图，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若，CD=6，则BD= .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：点C作NF∥AB， 且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，则∠DCN =∠A=45°，
∴DN=CN，由勾股定理得： ，
∵CF\|BE， CF=BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴BF = EC = BD，BF∥EC，
∴∠DBF=180°-∠BOC =180°-120°= 60°
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】过点C作NF∥AB，且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，根据勾股定理求出DN、CN，进而求出FN，根据平行四边形的性质得到BF =EC =BD，BF∥EC，根据等边三角形的性质得到BD =DF，根据勾股定理求出DF，得到答案.
14．（2025八下·贵州期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是 ．
【答案】3个
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
故答案为：3个．
【分析】分别以较长直角边为对角线、较短直角边为对角线及以斜边为对角线，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼图即可得出答案.
15．（2025八下·杭州期中）如图，已知在 ABCD中，3AB=2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EF//AB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC.则下列结论正确的有 .
①AO⊥BO；②点O是EF的中点；
③；④
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD， AB=CD， AD= BC，
∴∠BAD+∠ABC =180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
180°= 90°
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥BO， 所以①正确；
∵EF∥AB，
∴∠BAO=∠AOE， ∠ABO =∠BOF，
∵∠OAB =∠OAE， ∠OBA=∠OBF，
∴∠OAE =∠AOE， ∠OBF =∠BOF，
∴AE=OE， BF=OF，
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE=BF，
∴OE=OF， 即O点为EF的中点， 所以②正确；
∵3AB=2BC，
∴设AB=2x， BC=3x，
∴EF =2x， AD=3x，
∴AD=3AE，
∴C平行四边形ABFE=2x+2×2x=6x
∴C平行四边形ABCD =2×2x+2×3x= 10x，所以③不正确；
∵OE=OF，
所以④正确.
故答案为：①②④.
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，AD=BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB+∠OBA=90°，则∠AOB=90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO=∠AOE，∠OBF=∠BOF得到AE=OE， BF=OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE=BF，所以OE =OF，则可对②进行判断；设AB=2x， BC=3x， 则EF=2x， AD=3x，EA=OE=x， AD=3x， 则可对③进行判断；证明 可对④进行判断.
三、解答题
16．（2025·苏州）如图，C是线段AB 的中点，.
（1）求证：
（2） 连接DE，若 求 DE 的长.
【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是线段的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得，，根据全等三角形判定定理”“得证结论；
（2）先求出，根据全等三角形对应边相等得，于是证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到的长.
17．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
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