浙教版数学八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 三阶训练
一、选择题
1． 下列AB，BC，CD，DA 的长度之比中，能满足四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )
A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2：3：2：3 D．2：3：3：2
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知由AB=CD，BC=DA可得到四边形ABCD是平行四边形.
故符合的选项为C，
故选：C.
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答.
2．（2024八下·成都月考）下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
C、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、由对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2023八下·方城期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，
∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故选：B．
【分析】由作图可得，，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可．
4．（2023八下·威县期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意；
添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意；
添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意；
添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
5．（2023八下·义乌期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABD=∠CDB；如果添加BE=FD，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加BF=DE，能推出BE=DF，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加∠1=∠2，可用“ASA”证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行推出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，据此即可逐一判断得出答案.
6． 如图，在□ABCD 中，EF∥BC，点 H 在 EF 上，HG∥AB交BC 于点G，则图中的平行四边形有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，∵ABCD是平行四边形， EF∥BC， HG∥AB ，
∴AB∥CD∥EF，AB∥GH∥CD，
∴四边形BEHG，四边形CFHG，四边形BCFE，四边形ADFE是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD∥EF，AB∥GH∥CD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可.
7．如图， □ABCD的对角线交于点 O，EF 过点 O 且分别交AD，BC于点 E，F，在 BD 上找点 M，N（点N 在点 M 的下方），使以点 E，F，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是 （ ）
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，DE∥BF，
∴∠EDO=∠FBO.
在△DEO和△BFO中，∵
∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE=OF.
∵OB=OD，BN=DM，∴ON=OM，
∴四边形EMFN为平行四边形.
乙方案：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，DE∥BF，∴∠EDO=∠FBO.
在△DEO和△BFO中，∵
∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE=OF.
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠EMO=∠FNO=90°，
∴EM∥FN.
在△EMO和△FNO中，
∵
∴△EMO≌△FNO(AAS)，∴EM=FN，
∴四边形EMFN为平行四边形.
丙方案：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，DE∥BF，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO.
在△DEO和△BFO中，∵
∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE=OF.
∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，
∴∠MEO=∠NFO.
在△EMO和△FNO中，
∵
∴△EMO≌△FNO(ASA)，
∴MO=NO，
∴四边形EMFN为平行四边形.
综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
【分析】证明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断甲方案；证明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，然后证明△EMO≌△FNO，得到EM=FN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断乙方案；证明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，再证明△EMO≌△FNO，得到MO=NO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断丙方案解答即可.
8．（2025九上·坪山月考）在如图所示的□ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接EG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∵E，G分别为边AD，BC的中点
∴AE=DE=BG=CG
∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形
∴
∴
∴四边形EFGH的面积是定值
故答案为：C
【分析】连接EG，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，根据线段中点可得AE=DE=BG=CG，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，再根据图形面积之间的俄关系即可求出答案.
9． 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC 的中点，连结BM并延长交AE 于点D，连结CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴① ▲ .
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（② ），
∴MD=MB，∴四边形ABCD 是平行四边形.
若以上解答过程正确，则①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴∠2=∠3.
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB(ASA)
∴MD=MB
∴四边形ABCD是平行四边形
故答案为：D.
【分析】定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
二、填空题
11．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
12．（2019八下·潢川期末）如图，点D是直线 外一点，在 上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是：
.
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据尺规作图的作法可得，AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断四边形ABCD是平行四边形.
13．如图，在四边形ABCD 中， ∥M 为BD 的中点，则 CM 的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CM交AD于点N，连结BN
∵AD∥BC
∴∠CBM=∠DNM
∵M为BD的中点
∴BM=DM
在△BCM和△NDM中
∠CBM=∠DNM
∠BMC=∠NMD
BM=DM
∴△BCM≌△NDM（AAS）
∴BC=DN=3，CM=NM
∵AD=6
∴AN=AD-DN=6-3=3
∴BC=AN
∴四边形ABCN是平行四边形
∴AB=CN
∵AC⊥BC
在Rt△ABC中，BC=3，AC=4
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题运用了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。先证明△BCM≌△NDM，得到AN，从而得到四边形ABCN是平行四边形，可到AB=AN=2CM，再用勾股定理求出AB，即可得到CM.
14．（2025八下·柯桥期中）如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AE＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为 ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
四边形ABFG是平行四边形，
.
故答案为：4.
【分析】作，通过AAS判定得到AG=4，再由判定四边形ABFG是平行四边形求得BF的长度.
15．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=6，AB，BC 的垂直平分线交于点 O，D为△ABC 外一点，BD=1，且∠ABD+∠ACB =90°，连接CD，则线段 OB 长为 ，线段CD 的最大值为 .
【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接 OA，OC，
∵ ∠ABC=45°，AC=6，AB，BC的垂直平分线交于点O
∴AO=BO=CO，∠ABO+∠CBO=45°
∴∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO
∴∠BCO+∠BAO=∠CBO+∠ABO=45°
∴ ∠OAC + ∠OCA = 180°-∠ABC-(∠BCO + ∠BAO) = 90°
，即 ，解得
在OA上取一点E，使OE=BD=1，连接DE，CE
∴ CE=
∵ ∠ABD +∠ACB = 90°，∠ACO =∠ABC = 45°
∴ ∠ABD=90°-∠ACB=90°-∠ACO-∠CBO=45°-∠BCO
∵∠ABO=∠ABC-∠BCO=45°-∠BCO
∴ ∠ABO=∠ABD
∴∠ABO=∠ABD =∠OAB
∴ BD∥OA
∴四边形BDEO为平行四边形
∴OB=DE=3，
∵CD≤DE+CE，
∴当C，D，E三点共线时，CD取最大值，最大值为
故答案为：；
【分析】连接 OA，OC，根据垂直平分线性质可得AO=BO=CO，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO，根据角之间的关系可得∠BCO+∠BAO=∠CBO+∠ABO=45°，再根据三角形内角和定理可得∠OAC+∠OCA，再根据勾股定理建立方程，接返程可得AO，在OA上取一点E，使OE=BD=1，连接DE，CE，根据勾股定理可得CE，根据角之间的关系可得∠ABO = ∠ABD，则∠ABO=∠ABD =∠OAB，根据直线平行判定定理可得 BD∥OA，根据平行四边形判定定理可得四边形 BDEO 为平行四边形，则OB=DE=3，根据边之间的关系可得CD≤DE+CE，当C，D，E三点共线时，CD取最大值，即可求出答案.
三、解答题
16．在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，点 E，F 在对角线AC 上， ▲ （填写序号）.
求证：BE=DF.
【答案】证明：选择①时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
选择②时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形DEBF是平行四边形，
选择③时，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】选择①时， 证 ，即可得出结论；选择②时，证四边形DEBF是平行四边形，即可得出结论；选择③时，证 (AAS)， 即可得出结论.
17．（2025八下·雨花月考）如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
【答案】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴的值为，的值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可得，在中，用勾股定理求得OE的值，然后根据点A所在的象限即可求解；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，然后用三角形的面积公式可求解；
（2）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可将AE用含a的代数式表示出来，在Rt△AOE中，用勾股定理将OE用含a的代数式表示出来，设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于列等式，化简整理可得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求解；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可求解．
（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
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一、选择题
1． 下列AB，BC，CD，DA 的长度之比中，能满足四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )
A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2：3：2：3 D．2：3：3：2
2．（2024八下·成都月考）下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023八下·方城期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
4．（2023八下·威县期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形．
A． B．
C． D．
5．（2023八下·义乌期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6． 如图，在□ABCD 中，EF∥BC，点 H 在 EF 上，HG∥AB交BC 于点G，则图中的平行四边形有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图， □ABCD的对角线交于点 O，EF 过点 O 且分别交AD，BC于点 E，F，在 BD 上找点 M，N（点N 在点 M 的下方），使以点 E，F，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是 （ ）
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
8．（2025九上·坪山月考）在如图所示的□ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
9． 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC 的中点，连结BM并延长交AE 于点D，连结CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴① ▲ .
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（② ），
∴MD=MB，∴四边形ABCD 是平行四边形.
若以上解答过程正确，则①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA
10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
12．（2019八下·潢川期末）如图，点D是直线 外一点，在 上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是：
.
13．如图，在四边形ABCD 中， ∥M 为BD 的中点，则 CM 的长为 .
14．（2025八下·柯桥期中）如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AE＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=6，AB，BC 的垂直平分线交于点 O，D为△ABC 外一点，BD=1，且∠ABD+∠ACB =90°，连接CD，则线段 OB 长为 ，线段CD 的最大值为 .
三、解答题
16．在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，点 E，F 在对角线AC 上， ▲ （填写序号）.
求证：BE=DF.
17．（2025八下·雨花月考）如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知由AB=CD，BC=DA可得到四边形ABCD是平行四边形.
故符合的选项为C，
故选：C.
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
C、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、由对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，
∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故选：B．
【分析】由作图可得，，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可．
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意；
添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意；
添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意；
添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABD=∠CDB；如果添加BE=FD，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加BF=DE，能推出BE=DF，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加∠1=∠2，可用“ASA”证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行推出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，据此即可逐一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，∵ABCD是平行四边形， EF∥BC， HG∥AB ，
∴AB∥CD∥EF，AB∥GH∥CD，
∴四边形BEHG，四边形CFHG，四边形BCFE，四边形ADFE是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD∥EF，AB∥GH∥CD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，DE∥BF，
∴∠EDO=∠FBO.
在△DEO和△BFO中，∵
∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE=OF.
∵OB=OD，BN=DM，∴ON=OM，
∴四边形EMFN为平行四边形.
乙方案：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，DE∥BF，∴∠EDO=∠FBO.
在△DEO和△BFO中，∵
∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE=OF.
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠EMO=∠FNO=90°，
∴EM∥FN.
在△EMO和△FNO中，
∵
∴△EMO≌△FNO(AAS)，∴EM=FN，
∴四边形EMFN为平行四边形.
丙方案：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，DE∥BF，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO.
在△DEO和△BFO中，∵
∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE=OF.
∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，
∴∠MEO=∠NFO.
在△EMO和△FNO中，
∵
∴△EMO≌△FNO(ASA)，
∴MO=NO，
∴四边形EMFN为平行四边形.
综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
【分析】证明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断甲方案；证明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，然后证明△EMO≌△FNO，得到EM=FN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断乙方案；证明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，再证明△EMO≌△FNO，得到MO=NO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断丙方案解答即可.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接EG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∵E，G分别为边AD，BC的中点
∴AE=DE=BG=CG
∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形
∴
∴
∴四边形EFGH的面积是定值
故答案为：C
【分析】连接EG，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，根据线段中点可得AE=DE=BG=CG，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，再根据图形面积之间的俄关系即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴∠2=∠3.
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB(ASA)
∴MD=MB
∴四边形ABCD是平行四边形
故答案为：D.
【分析】定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
11．【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
12．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据尺规作图的作法可得，AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断四边形ABCD是平行四边形.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CM交AD于点N，连结BN
∵AD∥BC
∴∠CBM=∠DNM
∵M为BD的中点
∴BM=DM
在△BCM和△NDM中
∠CBM=∠DNM
∠BMC=∠NMD
BM=DM
∴△BCM≌△NDM（AAS）
∴BC=DN=3，CM=NM
∵AD=6
∴AN=AD-DN=6-3=3
∴BC=AN
∴四边形ABCN是平行四边形
∴AB=CN
∵AC⊥BC
在Rt△ABC中，BC=3，AC=4
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题运用了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。先证明△BCM≌△NDM，得到AN，从而得到四边形ABCN是平行四边形，可到AB=AN=2CM，再用勾股定理求出AB，即可得到CM.
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
四边形ABFG是平行四边形，
.
故答案为：4.
【分析】作，通过AAS判定得到AG=4，再由判定四边形ABFG是平行四边形求得BF的长度.
15．【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接 OA，OC，
∵ ∠ABC=45°，AC=6，AB，BC的垂直平分线交于点O
∴AO=BO=CO，∠ABO+∠CBO=45°
∴∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO
∴∠BCO+∠BAO=∠CBO+∠ABO=45°
∴ ∠OAC + ∠OCA = 180°-∠ABC-(∠BCO + ∠BAO) = 90°
，即 ，解得
在OA上取一点E，使OE=BD=1，连接DE，CE
∴ CE=
∵ ∠ABD +∠ACB = 90°，∠ACO =∠ABC = 45°
∴ ∠ABD=90°-∠ACB=90°-∠ACO-∠CBO=45°-∠BCO
∵∠ABO=∠ABC-∠BCO=45°-∠BCO
∴ ∠ABO=∠ABD
∴∠ABO=∠ABD =∠OAB
∴ BD∥OA
∴四边形BDEO为平行四边形
∴OB=DE=3，
∵CD≤DE+CE，
∴当C，D，E三点共线时，CD取最大值，最大值为
故答案为：；
【分析】连接 OA，OC，根据垂直平分线性质可得AO=BO=CO，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO，根据角之间的关系可得∠BCO+∠BAO=∠CBO+∠ABO=45°，再根据三角形内角和定理可得∠OAC+∠OCA，再根据勾股定理建立方程，接返程可得AO，在OA上取一点E，使OE=BD=1，连接DE，CE，根据勾股定理可得CE，根据角之间的关系可得∠ABO = ∠ABD，则∠ABO=∠ABD =∠OAB，根据直线平行判定定理可得 BD∥OA，根据平行四边形判定定理可得四边形 BDEO 为平行四边形，则OB=DE=3，根据边之间的关系可得CD≤DE+CE，当C，D，E三点共线时，CD取最大值，即可求出答案.
16．【答案】证明：选择①时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
选择②时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形DEBF是平行四边形，
选择③时，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】选择①时， 证 ，即可得出结论；选择②时，证四边形DEBF是平行四边形，即可得出结论；选择③时，证 (AAS)， 即可得出结论.
17．【答案】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴的值为，的值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可得，在中，用勾股定理求得OE的值，然后根据点A所在的象限即可求解；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，然后用三角形的面积公式可求解；
（2）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可将AE用含a的代数式表示出来，在Rt△AOE中，用勾股定理将OE用含a的代数式表示出来，设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于列等式，化简整理可得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求解；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可求解．
（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
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