浙教版数学八年级下册 4.6 反证法 一阶训练
一、选择题
1．（2026八上·常宁期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子.若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，则应先假设（ ）
A．三角形中没有内角大于60° B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中三个内角都大于60° D．三角形中有两个内角大于60°
2．（2024八下·郑州期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（ ）
A． B．
C． D．且
3．（2024八下·西安月考）用反证法证明“若，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0
4．（2025八上·桥西期末）用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（ ）
A．不平行于 B．平行于 C．不垂直于 D．不垂直于
5．（2024八下·龙岗期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ）
A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
6．（2025八上·宁波开学考） 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
7．（2024八下·龙海月考）用反证法证明：，至少有一个是，应该假设 （ ）
A．，都不是 B．，只有一个是
C．，至多一个是 D．，两个都是
8．（2025八下·北仑期末） 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八下·鄞州期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．等腰三角形的底角大于90°
B．等腰三角形的底角等于90°
C．等腰三角形的底角小于90°
D．等腰三角形的底角大于或等于90
10．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
二、填空题
11． 用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是 .
12．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为a， b， c (a < b < c)， 若， 则不是直角三角形”时， 应先假设 .
13．（2024八下·长兴期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设 ．
14．（2023七下·志丹月考）把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的三条直线a，b，c，若，，则 ．”
15．（2023八上·镇海区期末）判断命题“若a2＝9，则a＝3”是假命题，需要举出的反例是 ．
三、解答题
16．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于，
故选：C．
【分析】根据反证法的第一步假设结论不成立解答即可.
2．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则，
∴首先应该假设．
故选：B．
【分析】根据反证法的步骤先假设结论不成立，反面成立进行作答即可．
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“若，则a，b至少有一个不小于0．”
第一步应假设：a，b都小于0．
故选：A．
【分析】根据反证法即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于，
故选：A．
【分析】
根据反证法是一种间接证明的方法，其步骤为：先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立。在本题中，原命题结论是a与b平行，那么其否定就是a不平行于
b。
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“至少有两个”的反面为“至多有一个”，
应假设：三角形三个内角中至多有一个锐角；
故选：B．
【分析】“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此可以解答．
6．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时，
应先假设两个锐角都大于
故答案为：A .
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可.
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由于命题：“、至少有一个为”的反面是：“、都不是”，
故用反证法证明：“、至少有一个为”，应假设“、都不是”，
故答案为：A．
【分析】用反证法证明一个命题，第一步应该假设命题的反面成立，而命题：“、至少有一个为”的反面是：“、都不是”，从而可得答案．
8．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的论证过程可知，第一步应为假设结论为假，然后进行一推理，
∴在本题中：命题“在中，若，则”，
命题的结论为：，
∴我们应该假设： ，
故答案为：C.
【分析】反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的，结合本题的命题结构即可确定.
9．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于90°”时，第一步应假设：与原命题相反的假设，即等腰三角形的底角大于或等于90.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的一般步骤，先假设一个与命题结论相反的假设，即可求得.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
11．【答案】假设多边形的内角中锐角的个数至少有四个
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，
原命题的结论为“锐角的个数最多有三个”，即锐角个数≤3，
其否定应为“锐角个数>3”，即至少存在四个锐角，
∴反证法的第一步应假设多边形的内角中锐角的个数至少有四个，
故答案为：假设多边形的内角中锐角的个数至少有四个.
【分析】 反证法的核心在于假设原命题的结论不成立，进而推导矛盾，根据题意即可确定原命题的结论，进行假设不成立即可.
12．【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知△ABC的三边长为a，b，c（a＜b＜c），若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”时，应先假设△ABC是直角三角形，
故答案为：是直角三角形 .
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，即△ABC是直角三角形．
13．【答案】四边形中的每个内角都是锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中的每个内角都是锐角.
故答案为：四边形中的每个内角都是锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步应该先假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；反证法
【解析】【解答】解：在同一平面内的三条直线a，b，c，
若a⊥b，b∥c，则a⊥c，
故答案为：a⊥c.
【分析】根据平行线的性质“一条直线与两条平行线中的一条垂直，则这条直线与另一条直线也垂直”补充完整即可.
15．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵当 时，满足 但不能得出
∴判断命题“若 则 是假命题，可以举的反例是‘
故答案为：
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.
16．【答案】证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
【知识点】反证法
【解析】【分析】用反证法证明。首先否定结论即假设A≥60°，根据已知条件A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，由三角形内角和定理可得B≥A≥60°，C＞A≥60°，所以A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，所以原命题成立，即A＜60°.
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一、选择题
1．（2026八上·常宁期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子.若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，则应先假设（ ）
A．三角形中没有内角大于60° B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中三个内角都大于60° D．三角形中有两个内角大于60°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于，
故选：C．
【分析】根据反证法的第一步假设结论不成立解答即可.
2．（2024八下·郑州期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则，
∴首先应该假设．
故选：B．
【分析】根据反证法的步骤先假设结论不成立，反面成立进行作答即可．
3．（2024八下·西安月考）用反证法证明“若，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“若，则a，b至少有一个不小于0．”
第一步应假设：a，b都小于0．
故选：A．
【分析】根据反证法即可求出答案.
4．（2025八上·桥西期末）用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（ ）
A．不平行于 B．平行于 C．不垂直于 D．不垂直于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于，
故选：A．
【分析】
根据反证法是一种间接证明的方法，其步骤为：先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立。在本题中，原命题结论是a与b平行，那么其否定就是a不平行于
b。
5．（2024八下·龙岗期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ）
A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“至少有两个”的反面为“至多有一个”，
应假设：三角形三个内角中至多有一个锐角；
故选：B．
【分析】“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此可以解答．
6．（2025八上·宁波开学考） 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时，
应先假设两个锐角都大于
故答案为：A .
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可.
7．（2024八下·龙海月考）用反证法证明：，至少有一个是，应该假设 （ ）
A．，都不是 B．，只有一个是
C．，至多一个是 D．，两个都是
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由于命题：“、至少有一个为”的反面是：“、都不是”，
故用反证法证明：“、至少有一个为”，应假设“、都不是”，
故答案为：A．
【分析】用反证法证明一个命题，第一步应该假设命题的反面成立，而命题：“、至少有一个为”的反面是：“、都不是”，从而可得答案．
8．（2025八下·北仑期末） 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的论证过程可知，第一步应为假设结论为假，然后进行一推理，
∴在本题中：命题“在中，若，则”，
命题的结论为：，
∴我们应该假设： ，
故答案为：C.
【分析】反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的，结合本题的命题结构即可确定.
9．（2025八下·鄞州期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．等腰三角形的底角大于90°
B．等腰三角形的底角等于90°
C．等腰三角形的底角小于90°
D．等腰三角形的底角大于或等于90
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于90°”时，第一步应假设：与原命题相反的假设，即等腰三角形的底角大于或等于90.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的一般步骤，先假设一个与命题结论相反的假设，即可求得.
10．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
二、填空题
11． 用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是 .
【答案】假设多边形的内角中锐角的个数至少有四个
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，
原命题的结论为“锐角的个数最多有三个”，即锐角个数≤3，
其否定应为“锐角个数>3”，即至少存在四个锐角，
∴反证法的第一步应假设多边形的内角中锐角的个数至少有四个，
故答案为：假设多边形的内角中锐角的个数至少有四个.
【分析】 反证法的核心在于假设原命题的结论不成立，进而推导矛盾，根据题意即可确定原命题的结论，进行假设不成立即可.
12．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为a， b， c (a < b < c)， 若， 则不是直角三角形”时， 应先假设 .
【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知△ABC的三边长为a，b，c（a＜b＜c），若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”时，应先假设△ABC是直角三角形，
故答案为：是直角三角形 .
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，即△ABC是直角三角形．
13．（2024八下·长兴期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设 ．
【答案】四边形中的每个内角都是锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中的每个内角都是锐角.
故答案为：四边形中的每个内角都是锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步应该先假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
14．（2023七下·志丹月考）把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的三条直线a，b，c，若，，则 ．”
【答案】
【知识点】平行线的性质；反证法
【解析】【解答】解：在同一平面内的三条直线a，b，c，
若a⊥b，b∥c，则a⊥c，
故答案为：a⊥c.
【分析】根据平行线的性质“一条直线与两条平行线中的一条垂直，则这条直线与另一条直线也垂直”补充完整即可.
15．（2023八上·镇海区期末）判断命题“若a2＝9，则a＝3”是假命题，需要举出的反例是 ．
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵当 时，满足 但不能得出
∴判断命题“若 则 是假命题，可以举的反例是‘
故答案为：
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.
三、解答题
16．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
【答案】证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
【知识点】反证法
【解析】【分析】用反证法证明。首先否定结论即假设A≥60°，根据已知条件A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，由三角形内角和定理可得B≥A≥60°，C＞A≥60°，所以A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，所以原命题成立，即A＜60°.
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