浙教版数学八年级下册 4.6 反证法 二阶训练
一、选择题
1．（2019八下·嘉兴期末）利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（ ）
A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B．四边形中所有内角都是锐角
C．四边形的每一个内角都是钝角或直角
D．四边形中所有内角都是直角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中所有内角都是锐角。
故答案为：B
【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解。
2．（2025八下·禅城期中）若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法来证明命题“若，则”，
第一步假设，
故选：C．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，所以假设成立解答即可．
3．（2024八下·苍南期末）用反证法证明“如果，则”是真命题时，应假设( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“若，则”时，假设，
故答案为：B
【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
4．用反证法证明 “若实数 满足 ， 则 中至少有一个是 0 ”时，应先假设（ ）
A． 中至多有一个是 0 B． 中至少有两个是 0
C． 都不等于 0 D． 都等于 0
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a，b是否等于0总共有①a等于0，b不等于0；②a不等于0，b等于0；③a、b都等于0；④a、b都不等于0四种情况，命题结论中“a，b中至少有一个是0”包含了前面三种情况，故用反证法应设a、b都不等于0.
故答案为：C
【分析】当直接证明一个命题为真有困难时，我们可采用反证法证明，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
5．（2025八下·余姚期中）用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设（ ）
A．四边形中每一个内角都小于90°
B．四边形中每一个内角都大于90°
C．四边形中最多有一个内角不小于90°
D．四边形中有一个内角大于90°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设四边形中每一个内角都小于90°.
故答案为：A.
【分析】 根据反证法的原理，我们首先需要假设原命题的否定成立.原命题是“在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°”，因此，其否定是“四边形中每一个内角都小于90°”.
6．（2024八下·义乌期中）用反证法证明命题“在△ABC中，若AB≠BC，则∠A≠∠C”时，首先应假设( )
A．∠A=∠C B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠B
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，
首先应假设．
故答案为：A．
【分析】根据反证法第一步假设结论不成立，故首先应假设．
7．（2025八下·杭州月考）用反证法证明命题“在△ABC中，若AB+BC，则∠A+∠C“时，首先应假设（ ）
A．∠A=∠C B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠B
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∠A≠∠C的反面是∠A=∠C，故可以假设∠A=∠C，
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断.
8．（2025八下·镇海区期末）用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题的结论是 “a＜b”，那么它的反面就是 “a≥b”，
所以用反证法证明该命题时，第一步应假设a≥b，
故答案为： D，
【分析】本题考查的是证明（包括反证法） 中 “反证法的步骤” 知识点，反证法关键在于准确找出原命题结论的反面，通过否定结论进行推理，从而证明原命题的正确性 ，本题需要清晰理解逻辑关系中 “小于” 的反面是 “大于或等于” .
9．（2025八下·达川期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等
B．若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或
C．三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于”
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；反证法；中心对称及中心对称图形；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A：中心对称的两个图形全等，选项A说法正确，故不符合题意；
B：等腰三角形边长为，
若腰为，则三边为，此时，不满足三角形三边关系，
若腰为，则三边为，此时，满足三角形三边关系，
故周长是，
选项B说法错误，故符合题意；
C：由可得，符合勾股定理的逆定理，说明该三角形是直角三角形，故选项C正确，故不符合题意；
D：反证法需假设原命题的否定，即“三个内角都小于”，故选项D正确，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的概念，三角形的三边关系，等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理、反证法的应用判断即可．
10．（2023八上·裕华期末）已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设原命题的反面成立即第一步为③；得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，所以正确顺序为③④①②
故选：D．
【分析】根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②．
二、填空题
11．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为 ．
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立．
以上证明过程正确的步骤：③①②．
故答案为：③①②．
【分析】根据反证法的步骤即可判断.
12．（2024八上·广州竞赛）4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有 局为平局.
【答案】1
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：如果没有平局，则每个人的得分都是偶数，又由于没有人全胜，故各人的得分只能是0、2或4分，从而，必有两个人得分相同，矛盾，
下面的例子说明恰有一局为平局是可能的.如下图所示：
所以至少有一局为平局.
故答案为：1.
【分析】单循环赛共有6局比赛，总得分固定为12分，得分不同、无人全胜，需构造满足条件的得分组合，并找到平后数的最小值.
13．用反证法证明（填空）：
已知：如图，是直线被直线截得的内错角，与不平行．
求证：．
证明：假设，
那么 ），这与 相矛盾，所以 不能成立，即所求证的命题正确．
【答案】//；内错角相等，两直线平行；已知；假设
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 证明：假设∠1=∠2，
那么l1∥l2（内错角相等，两直线平行），这与已知相矛盾，所以假设不能成立，即所求证的命题∠1≠∠2正确．
故答案为：∥；内错角相等，两直线平行；已知；假设．
【分析】 利用平行线的判定方法结合反证法的一般步骤得出答案．
14． 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩要， 忽听“砰”的一声， 讲台上的花盆被打破了．甲说： “是乙不小心闯的祸．”乙说： “是丙闯的祸．”丙说： “乙说的不是实话．”丁说： “反正不是我闯的祸．”如果四个小朋友中只有一个人说了实话，那么说实话的小朋友是 ，闯祸的是 .
【答案】丙；丁
【知识点】推理与论证；反证法
【解析】【解答】解：假设甲说的是实话，“是乙不小心闯的祸．”，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；假设乙说的是实话，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；假设丁说的是实话，乙说的是假话，则丙说：“乙说的不是实话．”应该是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；所以四个小朋友中只有一个人说了实话，这个小朋友是丙，则丁说：“反正不是我闯的祸”为假话，所以闯祸的是丁.
故答案为：第1空、丙；
第2空、丁.
【分析】本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证，四个小朋友中一个说真话，三个说假话为突破点.
15．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 .
【答案】a，b都不能被5整除
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：命题“a，b是整数，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
所以假设a，b都不能被5整除．
【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
三、解答题
16．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：如图4，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B，∠C必为锐角.
证明：假设结论不成立，则∠B，∠C……
请将证明过程补充完整.
【答案】证明：假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
当∠B，∠C为直角时，∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾；
当∠B，∠C为钝角或一直角一钝角时，∠B+∠C>180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾.
因此假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】假设∠B，∠C为直角或钝角，然后分为∠B，∠C为直角，∠B，∠C为钝角或一直角一钝角两种情况，得到三角形的内角和大于180°，与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾解答即可.
1 / 1浙教版数学八年级下册 4.6 反证法 二阶训练
一、选择题
1．（2019八下·嘉兴期末）利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（ ）
A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B．四边形中所有内角都是锐角
C．四边形的每一个内角都是钝角或直角
D．四边形中所有内角都是直角
2．（2025八下·禅城期中）若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·苍南期末）用反证法证明“如果，则”是真命题时，应假设( )
A． B． C． D．
4．用反证法证明 “若实数 满足 ， 则 中至少有一个是 0 ”时，应先假设（ ）
A． 中至多有一个是 0 B． 中至少有两个是 0
C． 都不等于 0 D． 都等于 0
5．（2025八下·余姚期中）用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设（ ）
A．四边形中每一个内角都小于90°
B．四边形中每一个内角都大于90°
C．四边形中最多有一个内角不小于90°
D．四边形中有一个内角大于90°
6．（2024八下·义乌期中）用反证法证明命题“在△ABC中，若AB≠BC，则∠A≠∠C”时，首先应假设( )
A．∠A=∠C B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠B
7．（2025八下·杭州月考）用反证法证明命题“在△ABC中，若AB+BC，则∠A+∠C“时，首先应假设（ ）
A．∠A=∠C B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠B
8．（2025八下·镇海区期末）用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八下·达川期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等
B．若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或
C．三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于”
10．（2023八上·裕华期末）已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
二、填空题
11．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为 ．
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
12．（2024八上·广州竞赛）4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有 局为平局.
13．用反证法证明（填空）：
已知：如图，是直线被直线截得的内错角，与不平行．
求证：．
证明：假设，
那么 ），这与 相矛盾，所以 不能成立，即所求证的命题正确．
14． 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩要， 忽听“砰”的一声， 讲台上的花盆被打破了．甲说： “是乙不小心闯的祸．”乙说： “是丙闯的祸．”丙说： “乙说的不是实话．”丁说： “反正不是我闯的祸．”如果四个小朋友中只有一个人说了实话，那么说实话的小朋友是 ，闯祸的是 .
15．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 .
三、解答题
16．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：如图4，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B，∠C必为锐角.
证明：假设结论不成立，则∠B，∠C……
请将证明过程补充完整.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中所有内角都是锐角。
故答案为：B
【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解。
2．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法来证明命题“若，则”，
第一步假设，
故选：C．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，所以假设成立解答即可．
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“若，则”时，假设，
故答案为：B
【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
4．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a，b是否等于0总共有①a等于0，b不等于0；②a不等于0，b等于0；③a、b都等于0；④a、b都不等于0四种情况，命题结论中“a，b中至少有一个是0”包含了前面三种情况，故用反证法应设a、b都不等于0.
故答案为：C
【分析】当直接证明一个命题为真有困难时，我们可采用反证法证明，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设四边形中每一个内角都小于90°.
故答案为：A.
【分析】 根据反证法的原理，我们首先需要假设原命题的否定成立.原命题是“在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°”，因此，其否定是“四边形中每一个内角都小于90°”.
6．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，
首先应假设．
故答案为：A．
【分析】根据反证法第一步假设结论不成立，故首先应假设．
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∠A≠∠C的反面是∠A=∠C，故可以假设∠A=∠C，
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断.
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题的结论是 “a＜b”，那么它的反面就是 “a≥b”，
所以用反证法证明该命题时，第一步应假设a≥b，
故答案为： D，
【分析】本题考查的是证明（包括反证法） 中 “反证法的步骤” 知识点，反证法关键在于准确找出原命题结论的反面，通过否定结论进行推理，从而证明原命题的正确性 ，本题需要清晰理解逻辑关系中 “小于” 的反面是 “大于或等于” .
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；反证法；中心对称及中心对称图形；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A：中心对称的两个图形全等，选项A说法正确，故不符合题意；
B：等腰三角形边长为，
若腰为，则三边为，此时，不满足三角形三边关系，
若腰为，则三边为，此时，满足三角形三边关系，
故周长是，
选项B说法错误，故符合题意；
C：由可得，符合勾股定理的逆定理，说明该三角形是直角三角形，故选项C正确，故不符合题意；
D：反证法需假设原命题的否定，即“三个内角都小于”，故选项D正确，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的概念，三角形的三边关系，等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理、反证法的应用判断即可．
10．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设原命题的反面成立即第一步为③；得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，所以正确顺序为③④①②
故选：D．
【分析】根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②．
11．【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立．
以上证明过程正确的步骤：③①②．
故答案为：③①②．
【分析】根据反证法的步骤即可判断.
12．【答案】1
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：如果没有平局，则每个人的得分都是偶数，又由于没有人全胜，故各人的得分只能是0、2或4分，从而，必有两个人得分相同，矛盾，
下面的例子说明恰有一局为平局是可能的.如下图所示：
所以至少有一局为平局.
故答案为：1.
【分析】单循环赛共有6局比赛，总得分固定为12分，得分不同、无人全胜，需构造满足条件的得分组合，并找到平后数的最小值.
13．【答案】//；内错角相等，两直线平行；已知；假设
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 证明：假设∠1=∠2，
那么l1∥l2（内错角相等，两直线平行），这与已知相矛盾，所以假设不能成立，即所求证的命题∠1≠∠2正确．
故答案为：∥；内错角相等，两直线平行；已知；假设．
【分析】 利用平行线的判定方法结合反证法的一般步骤得出答案．
14．【答案】丙；丁
【知识点】推理与论证；反证法
【解析】【解答】解：假设甲说的是实话，“是乙不小心闯的祸．”，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；假设乙说的是实话，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；假设丁说的是实话，乙说的是假话，则丙说：“乙说的不是实话．”应该是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；所以四个小朋友中只有一个人说了实话，这个小朋友是丙，则丁说：“反正不是我闯的祸”为假话，所以闯祸的是丁.
故答案为：第1空、丙；
第2空、丁.
【分析】本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证，四个小朋友中一个说真话，三个说假话为突破点.
15．【答案】a，b都不能被5整除
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：命题“a，b是整数，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
所以假设a，b都不能被5整除．
【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
16．【答案】证明：假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
当∠B，∠C为直角时，∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾；
当∠B，∠C为钝角或一直角一钝角时，∠B+∠C>180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾.
因此假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】假设∠B，∠C为直角或钝角，然后分为∠B，∠C为直角，∠B，∠C为钝角或一直角一钝角两种情况，得到三角形的内角和大于180°，与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾解答即可.
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