浙教版数学八年级下册期中仿真模拟卷（范围：1-4章）
一、选择题
1．（2026八上·宁波期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026九上·南湖期末）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
4． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
5．（2024八下·温州经济技术开发月考）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026九上·温岭期末）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八下·瑞安期中）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BC
C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC
8．（2025八下·温州月考）为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差．根据表中数据，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（）
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2025八下·诸暨期中）一组数据1，1，1，3，4，7，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
10．（2025·龙港模拟）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
二、填空题
11．（2026七上·镇海区期末）= .
12．（2022八下·肇源期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
13．（3.4四分位数与箱线图（1)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）一组数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是 。
14． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
15．（2026九上·玉环期末）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则p的取值范围是 .
16．（2025八下·诸暨期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠BAD=45°，AD=4，过点B作BE⊥AD于点E，点F为BC上一动点，连接EF，取EF中点G，连接AG，BG，DG，若△BDG面积为△ABG面积的，则BF的长度是 .
三、解答题
17．（2025九上·嵊州开学考）
（1）计算：.
（2）解方程：.
18．已知 x1，x2 是关于x 的方程 的两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k<5，且k，x1，x2 都是整数，求k的值.
19．（2025八下·余姚期中）在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点O，点A，B的坐标分别为A（3，1），B（-1，2)．在如图直角坐标系中画出这个平行四边形，并写出点C，D的坐标。
20．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
21． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，AE∥CF，则DF=BE.
请完成以下填空：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴ =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴ -AF=BC- ，即DF=BE.
22．（3.4 四分位数与箱线图（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）某银行有A和B两个理财经营团队。2022年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%)如下：
A：4.773.984.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B：3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平。下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数。
两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%)
团队 m25 m50 m75
A 3.195 3.915 4.440
B a 3.890 b
请根据以上信息完成下列问题：
（1）表中 ；b= .
（2）该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示。请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价。
23．（2025八下·北仑期末） 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
24．
（1）如图①，已知 OC 是∠AOB 的平分线，P是OC上任意一点，点D，E分别在边 OA，OB 上，连 结 PD，PE，∠AOB +∠DPE=180°.若∠AOB=60°，OD+OE= ，则OP的长为 ；
（2）如图②，在 ABCD 中，∠ABC=60°，BE平分∠ABC交AD 于点E，连结CE，将CE 绕点 E 旋转，当点 C 的对应点 F 落在边AB 上时，若 求四边形BCEF的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A选项中，被开方数为分数，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B选项中，12的因数中有完全平方数4，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C选项中，被开方数为小数，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D选项中，7为质数，为最简二次根式，故D符合题意；
故选：D.
【分析】直接观察各选项中的被开方数，即可判断.
2．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
∴，
解得，
又∵多边形的外角和为，
∴一个外角的度数为．
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
【分析】将完全平方式展开后，二次项，一次项和常数项的系数相同，即可求得.
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：A．
【分析】根据长方形面积建立方程即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程 中，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=，据此解题即可.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
8．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据表中数据可知：甲，乙，丙的平均数一样，且大于丁的平均数，
∴从甲，乙和丙选择一人参加比赛，
∵乙的方差最小，
∴选择乙参赛，
故答案为：B．
【分析】先根据平均数可得从甲，乙，丙中选择一人参加比赛，然后从中选择方差最小的乙去参赛.
9．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原来数据的众数是1，加入一个整数a后众数仍为1，符合题意；
B、原来数据的平均数是，加入一个整数a，平均数一定变化，不符合题意；
C、原来数据的中位数是3，加入一个整数a后，如果a≠3中位数一定变化，不符合题意；
D、原来数据的方差加入一个整数a后的方差一定发生了变化，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可判断A选项；平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此可判断B选项；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断C选项；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此判断D选项.
10．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，过点作交于点，过点作交于点，
由题意可知，，
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴上的点到上的点距离相同，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴已知的面积，则一定能求出的面积，
故选：B．
【分析】
连接，过点作交于点，过点作交于点，由平行四边形的性质可证，则，由同底等高可得，由等底同高可得，由等底等高可得，得到，即得到结论．
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为：5.
【分析】先计算(-5)2=25，再根据二次根式的性质，将转化为∣-5∣，最后求出绝对值为5．
12．【答案】(-3，5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
13．【答案】2
【知识点】中位数；四分位数
【解析】【解答】解：∵数据1，2，2，x，4，4的唯一众数是2，
∴x=2，
∴数据为1，2，2，2，4，4，
∴这组数据的下四分位数是2.
故答案为：2.
【分析】根据下四分位数的计算方法解答即可.
14．【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
15．【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，
解得：．
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围．
16．【答案】或
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=BD，BE⊥AD，AD=4，
∴AE=DE=AD=2.（"三线合一"）
又∵∠BAD=45°，∠AEB=90°，
∴BE=AE=2.
设点A到BG的距离为h1，点D到BG的距离为h2，
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=BG×h1，S△BDG=BG×h2.
又∵S△BDG=S△ABG，
∴BG×h2=BG×h1，即h2=h1.
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∴h1+h2=BE=2.
∴h1=，h2=.
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=(S△ABE+S△ABF)，S△BDG=(S△BDE+S△BDF)，
又S△ABE=×AE×BE=×2×2=2，S△BDE=×DE×BE=×2×2=2，
S△ABF=×BF×BE=×BF× 2=2=BF，S△BDF=×BF×BE=×BF× 2=BF，
∴S△ABG=(2+BF)，S△BDG=(2-BF).
又∵S△BDG=S△ABG，
∴( 2-BF)=×( 2+BF)，解得BF=.
同理，假设点A到BG的距离h1是点D到BG的距离h2的（即h1=h2），解得BF=.
故答案为：或.
【分析】先根据等腰三角形 “三线合一” 的性质和结合等腰直角三角形，求出AE、DE、BE的长度；再根据三角形的面积公式，分析△ABG与△BDG的面积关系（第一种情况：h2=h1），再结合已知条件S△BDG=S△ABG，求出BF的长为；最后同理求出BF的长为；综上，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式=3-2-2+2-
=0
（2）解：
x-2=
x1=2-，x2=2+
【知识点】配方法解一元二次方程；实数的绝对值；无理数的混合运算
【解析】【分析】(1)先去括号和绝对值，再合并同类二次根式即可得结果；
(2)两边同时加4配方，再两边同时开方即可得方程的两根.
18．【答案】（1）解：∵x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0，
解得k>1.
（2）解：∵k<5，由(1)得k>1，
∴1∴整数k的值可取2，3，4.
当k=2时，方程为x2-4x+3=0.
∴(x-1)(x-3)=0，
解得x1=1，x2=3(都是整数，此情况符合题意)；
当k=3时，方程为x2-6x+7=0，
∴(不是整数，此情况不符合题意)；
当k=4时，方程为x2-8x+13=0，
(不是整数，此情况不符合题意).
综上所述，k的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)根据“x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根”，则Δ>0，得出关于k的不等式，求解即可；
(2)根据k<5，结合(1)所求k的取值范围，得出整数k的值有2，3，4，分别计算讨论整数k的不同取值时，方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个实数根x1，x2是否符合都是整数，选择符合情况的整数k的值即可.
19．【答案】解：如图， C（-3，-1），D（1，-2)．
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】利用中心对称的性质可得 C（-3，-1），D（1，-2)，再在坐标系中标出点A、B、C、D并连接得到□ABCD .
20．【答案】（1）解：另一条直角边长为
（2）解：当x=40时，另一条直角边的长为 =9
【知识点】二次根式的概念；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出另一条直角边长为，即可得出答案；
（2）把x=40代入进行计算，即可得出答案.
21．【答案】AD ； CE；AD ； CE.
【知识点】平行线之间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴AD =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= CE (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴AD -AF=BC- CE，即DF=BE.
故答案为：AD ； CE；AD ； CE.
【分析】根据“ 夹在两条平行线间的平行线段相等 ”得AD =BC，AF= CE，从而得 DF=BE.
22．【答案】（1）3.635；4.125
（2）解：补全B团队的箱线图，如图。
通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明细比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适。
【知识点】四分位数；百分位数
【解析】【解答】解：(1)将B团队负责经营的12项理财产品的收益率 (单位： %)按从小到大排列为： 3.18.3.40.3.60.3.67.3.84， 3.87， 3.91， 3.99， 4.10， 4.15， 4.21，4.44，
∵a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数，
4.125.
故答案为： 3.635， 4.125；
【分析】(1)根据中位数的定义解决问题即可；
(2)作出图形，根据数据分析即可.
23．【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
24．【答案】（1）5
（2）解：如图，过点 E 分别作 EM⊥BA，EN⊥BC，垂足分别为M，N.
由旋转的性质，得CE=EF.
∵BE 平分∠ABC，
EM⊥BA，EN⊥BC，
∴EM= EN，∠EMB = ∠ENB =∠ENC=90°.
又∵CE=EF，
∴
∴MF=NC.
在 Rt△BEM和 Rt△BEN中，
∵
∴Rt△BEM≌Rt△BEN(HL).
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠MBE=30°.
∴EN=BN·tan∠CBE=6.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【分析】（1） 已知角平分线OC，点P在OC上，D、E分别在OA、OB上，且∠AOB + ∠DPE = 180°，结合∠AOB=60°，可推导出∠DPE=120°，需利用对称性或全等三角形，将OD+OE转化为OP的函数，结合已知 OD+OE= 求解OP.
（2） 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC=60°，故∠ABE=30°，旋转CE至F在AB上，利用旋转性质及已知 结合几何关系求四边形BCEF的面积.
1 / 1浙教版数学八年级下册期中仿真模拟卷（范围：1-4章）
一、选择题
1．（2026八上·宁波期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A选项中，被开方数为分数，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B选项中，12的因数中有完全平方数4，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C选项中，被开方数为小数，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D选项中，7为质数，为最简二次根式，故D符合题意；
故选：D.
【分析】直接观察各选项中的被开方数，即可判断.
2．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
3．（2026九上·南湖期末）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
∴，
解得，
又∵多边形的外角和为，
∴一个外角的度数为．
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可．
4． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
【分析】将完全平方式展开后，二次项，一次项和常数项的系数相同，即可求得.
5．（2024八下·温州经济技术开发月考）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：A．
【分析】根据长方形面积建立方程即可求出答案.
6．（2026九上·温岭期末）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程 中，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=，据此解题即可.
7．（2025八下·瑞安期中）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BC
C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
8．（2025八下·温州月考）为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差．根据表中数据，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（）
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据表中数据可知：甲，乙，丙的平均数一样，且大于丁的平均数，
∴从甲，乙和丙选择一人参加比赛，
∵乙的方差最小，
∴选择乙参赛，
故答案为：B．
【分析】先根据平均数可得从甲，乙，丙中选择一人参加比赛，然后从中选择方差最小的乙去参赛.
9．（2025八下·诸暨期中）一组数据1，1，1，3，4，7，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原来数据的众数是1，加入一个整数a后众数仍为1，符合题意；
B、原来数据的平均数是，加入一个整数a，平均数一定变化，不符合题意；
C、原来数据的中位数是3，加入一个整数a后，如果a≠3中位数一定变化，不符合题意；
D、原来数据的方差加入一个整数a后的方差一定发生了变化，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可判断A选项；平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此可判断B选项；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断C选项；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此判断D选项.
10．（2025·龙港模拟）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，过点作交于点，过点作交于点，
由题意可知，，
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴上的点到上的点距离相同，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴已知的面积，则一定能求出的面积，
故选：B．
【分析】
连接，过点作交于点，过点作交于点，由平行四边形的性质可证，则，由同底等高可得，由等底同高可得，由等底等高可得，得到，即得到结论．
二、填空题
11．（2026七上·镇海区期末）= .
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为：5.
【分析】先计算(-5)2=25，再根据二次根式的性质，将转化为∣-5∣，最后求出绝对值为5．
12．（2022八下·肇源期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】(-3，5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
13．（3.4四分位数与箱线图（1)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）一组数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是 。
【答案】2
【知识点】中位数；四分位数
【解析】【解答】解：∵数据1，2，2，x，4，4的唯一众数是2，
∴x=2，
∴数据为1，2，2，2，4，4，
∴这组数据的下四分位数是2.
故答案为：2.
【分析】根据下四分位数的计算方法解答即可.
14． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
15．（2026九上·玉环期末）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则p的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，
解得：．
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围．
16．（2025八下·诸暨期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠BAD=45°，AD=4，过点B作BE⊥AD于点E，点F为BC上一动点，连接EF，取EF中点G，连接AG，BG，DG，若△BDG面积为△ABG面积的，则BF的长度是 .
【答案】或
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=BD，BE⊥AD，AD=4，
∴AE=DE=AD=2.（"三线合一"）
又∵∠BAD=45°，∠AEB=90°，
∴BE=AE=2.
设点A到BG的距离为h1，点D到BG的距离为h2，
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=BG×h1，S△BDG=BG×h2.
又∵S△BDG=S△ABG，
∴BG×h2=BG×h1，即h2=h1.
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∴h1+h2=BE=2.
∴h1=，h2=.
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=(S△ABE+S△ABF)，S△BDG=(S△BDE+S△BDF)，
又S△ABE=×AE×BE=×2×2=2，S△BDE=×DE×BE=×2×2=2，
S△ABF=×BF×BE=×BF× 2=2=BF，S△BDF=×BF×BE=×BF× 2=BF，
∴S△ABG=(2+BF)，S△BDG=(2-BF).
又∵S△BDG=S△ABG，
∴( 2-BF)=×( 2+BF)，解得BF=.
同理，假设点A到BG的距离h1是点D到BG的距离h2的（即h1=h2），解得BF=.
故答案为：或.
【分析】先根据等腰三角形 “三线合一” 的性质和结合等腰直角三角形，求出AE、DE、BE的长度；再根据三角形的面积公式，分析△ABG与△BDG的面积关系（第一种情况：h2=h1），再结合已知条件S△BDG=S△ABG，求出BF的长为；最后同理求出BF的长为；综上，即可得出答案.
三、解答题
17．（2025九上·嵊州开学考）
（1）计算：.
（2）解方程：.
【答案】（1）解：原式=3-2-2+2-
=0
（2）解：
x-2=
x1=2-，x2=2+
【知识点】配方法解一元二次方程；实数的绝对值；无理数的混合运算
【解析】【分析】(1)先去括号和绝对值，再合并同类二次根式即可得结果；
(2)两边同时加4配方，再两边同时开方即可得方程的两根.
18．已知 x1，x2 是关于x 的方程 的两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k<5，且k，x1，x2 都是整数，求k的值.
【答案】（1）解：∵x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0，
解得k>1.
（2）解：∵k<5，由(1)得k>1，
∴1∴整数k的值可取2，3，4.
当k=2时，方程为x2-4x+3=0.
∴(x-1)(x-3)=0，
解得x1=1，x2=3(都是整数，此情况符合题意)；
当k=3时，方程为x2-6x+7=0，
∴(不是整数，此情况不符合题意)；
当k=4时，方程为x2-8x+13=0，
(不是整数，此情况不符合题意).
综上所述，k的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)根据“x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根”，则Δ>0，得出关于k的不等式，求解即可；
(2)根据k<5，结合(1)所求k的取值范围，得出整数k的值有2，3，4，分别计算讨论整数k的不同取值时，方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个实数根x1，x2是否符合都是整数，选择符合情况的整数k的值即可.
19．（2025八下·余姚期中）在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点O，点A，B的坐标分别为A（3，1），B（-1，2)．在如图直角坐标系中画出这个平行四边形，并写出点C，D的坐标。
【答案】解：如图， C（-3，-1），D（1，-2)．
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】利用中心对称的性质可得 C（-3，-1），D（1，-2)，再在坐标系中标出点A、B、C、D并连接得到□ABCD .
20．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
【答案】（1）解：另一条直角边长为
（2）解：当x=40时，另一条直角边的长为 =9
【知识点】二次根式的概念；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出另一条直角边长为，即可得出答案；
（2）把x=40代入进行计算，即可得出答案.
21． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，AE∥CF，则DF=BE.
请完成以下填空：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴ =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴ -AF=BC- ，即DF=BE.
【答案】AD ； CE；AD ； CE.
【知识点】平行线之间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴AD =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= CE (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴AD -AF=BC- CE，即DF=BE.
故答案为：AD ； CE；AD ； CE.
【分析】根据“ 夹在两条平行线间的平行线段相等 ”得AD =BC，AF= CE，从而得 DF=BE.
22．（3.4 四分位数与箱线图（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）某银行有A和B两个理财经营团队。2022年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%)如下：
A：4.773.984.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B：3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平。下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数。
两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%)
团队 m25 m50 m75
A 3.195 3.915 4.440
B a 3.890 b
请根据以上信息完成下列问题：
（1）表中 ；b= .
（2）该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示。请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价。
【答案】（1）3.635；4.125
（2）解：补全B团队的箱线图，如图。
通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明细比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适。
【知识点】四分位数；百分位数
【解析】【解答】解：(1)将B团队负责经营的12项理财产品的收益率 (单位： %)按从小到大排列为： 3.18.3.40.3.60.3.67.3.84， 3.87， 3.91， 3.99， 4.10， 4.15， 4.21，4.44，
∵a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数，
4.125.
故答案为： 3.635， 4.125；
【分析】(1)根据中位数的定义解决问题即可；
(2)作出图形，根据数据分析即可.
23．（2025八下·北仑期末） 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
24．
（1）如图①，已知 OC 是∠AOB 的平分线，P是OC上任意一点，点D，E分别在边 OA，OB 上，连 结 PD，PE，∠AOB +∠DPE=180°.若∠AOB=60°，OD+OE= ，则OP的长为 ；
（2）如图②，在 ABCD 中，∠ABC=60°，BE平分∠ABC交AD 于点E，连结CE，将CE 绕点 E 旋转，当点 C 的对应点 F 落在边AB 上时，若 求四边形BCEF的面积.
【答案】（1）5
（2）解：如图，过点 E 分别作 EM⊥BA，EN⊥BC，垂足分别为M，N.
由旋转的性质，得CE=EF.
∵BE 平分∠ABC，
EM⊥BA，EN⊥BC，
∴EM= EN，∠EMB = ∠ENB =∠ENC=90°.
又∵CE=EF，
∴
∴MF=NC.
在 Rt△BEM和 Rt△BEN中，
∵
∴Rt△BEM≌Rt△BEN(HL).
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠MBE=30°.
∴EN=BN·tan∠CBE=6.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【分析】（1） 已知角平分线OC，点P在OC上，D、E分别在OA、OB上，且∠AOB + ∠DPE = 180°，结合∠AOB=60°，可推导出∠DPE=120°，需利用对称性或全等三角形，将OD+OE转化为OP的函数，结合已知 OD+OE= 求解OP.
（2） 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC=60°，故∠ABE=30°，旋转CE至F在AB上，利用旋转性质及已知 结合几何关系求四边形BCEF的面积.
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