4.2 平行四边形及其性质(1)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025八下·衢州期末） 如图，在 ABCD中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·北仑期末） 如图，已知在中，，则（ ）
A． B． C． D．
3． 如图， □ABCD 的对角线 AC与 BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD
4．（2025九上·拱墅月考） 如图，在 ABCD中， ， ， 的平分线交BC于点E， 则CE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025八下·诸暨期末）已知一个平行四边形的对角线长度为6和8，那么这个平行四边形的边长长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·柯桥期中）如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若□ABCD的周长为18，OE＝2，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
7．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG=DH.对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH=∠BFG；③EH// GF；④EG=BD.其中正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论x，y的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
二、填空题
9．能够平分平行四边形面积的直线有 条，它们的共同特点是 .
10． 如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC的平分线 BE 交边 AD 于点 E，则 DE 的长为 .
11．（2025八下·杭州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，则对角线BD的长为 ．．
12．（2025八下·新昌期末） 已知，在中，，则= 度.
13．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则 ．
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，连结 OE，OF，EF.若 ∠DAB=45°，则点 C到直线 AB 的距离是 ，△OEF周长的最小值是 .
三、解答题
15．（2024八下·慈溪期中）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点，
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
16．如图，在中，对角线AC，BD相交于点．已知两条对角线长的和为长为．求的周长．
17．（2022·拱墅模拟）问题：如图，在 中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF.若▲ ，求证： .在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答.
18．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有 与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积= ；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C
又
∴2∠A=110°
∴∠A=55°
故答案为：B .
【分析】由平行四边形的性质知∠A=∠C，再结合可得∠A的度数.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，对边平行，由题意知 ，所以得到，进而根据平行线的性质得到的值.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=OC，BO=OD
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质即可求解.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC，BC=AD=7
∴∠EAD=∠BEA
∵AE平分∠DAB
∴∠EAB=∠EAD
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=BA=5
∵CE=BC-BE
∴CE=7-5=2
故答案为：A .
【分析】由角平分线知∠EAB=∠EAD，结合平行四边形的性质知AD||BC得∠EAD=∠BEA，由此得∠BAE=∠BEA，即BE=BA，由此可得EC的长.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作平行四边形如图所示：
由题意可得：AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】作平行四边形ABCD，可得AC=8，BD=6，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得AO=4，BO=3，再结合三角形三边关系求解即可．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
□ABCD的周长为18，OE＝2，
，
四边形EFCD的周长=.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可得OA=OC，再通过AAS判定，得到，进而证得四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，即可求得周长值.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
在和中，
∴
∴则②正确；
∴
∴
∴四边形EGFH为平行四边形，则③正确；
∴
则不一定成立，则④错误；
∵不一定等于90°，
∴不正确，则①错误；
综上所述，正确的说法有②③.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到进而利用"SAS"证明则进而得到结合平行线的判定得到即可证明四边形EGFH为平行四边形，则最后逐项分析即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AM⊥BE于M，
根据等腰三角形三线合一，得BM=ME，
由平行四边形性质，知AD=BC，
=BC·CE=(BM+MC)(ME-MC)=BM2-MC2
在Rt△ABM中，BM2=AB2-AM2=x2-AM2，
在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=y2-AM2，
∴BM2-MC2=x2-AM2-（y2-AM2）=x2-y2，
故答案为：B.
【分析】通过作AM⊥BE于M，利用等腰三角形的性质得到BM=ME，根据等量代换以及线段和差，将AD·CE转化为BM2-MC2，再根据勾股定理，分别表示出BM与MC，最后进行相减即可.
9．【答案】无数；过平行四边形对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：解：如图，连结AC，BD，
AC与BD 交于点 O，过点 O作直线分别交 BC，AD 于点 E，F，则线段EF分割的这两个四边形的面积相等.
故答案为：无数，过平行四边形对角线的交点.
【分析】根据平行四边形的中心对称性质解答即可.
10．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，
∴∠AEB=∠EBC.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
∴ED=AD-AE=AD-AB=8-5=3.
故答案为：3.
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD-AE=AD-AB即可得出答案.
11．【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴OA=OC==2，OB=OD=
由勾股定理得BC=
在△BOC中，由勾股定理得OB=
故BD=2
【分析】由勾股定理可得BC的长，根据平行四边形的性质得OC，再用勾股定理得OB的长，即得BD的长.
12．【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴∠C=∠A=110°
故答案为：110.
【分析】利用平行四边形的对角相等性质直接求解.
13．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设空白部分的面积分别是x、y、m、n
∵，
∴①；②
∵，
∴①＋②得，
故答案为：4.
【分析】
根据平行四边形的面积及平行四边形的性质即可列出面积的关系等式，即可解答.
14．【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CH⊥AB交延长线于H，
在 ABCD中， AD∥BC，∠DAB=45°，
∴∠CBH=∠DAB=45°，
∴∠BCH=90°-∠CBH=45°，
∴CH=BH=BC=×=5，
即点C到直线AB的距离是5；
如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，
此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，
连接AN、AM，
由对称性可得AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠OAB，
∵ ∠DAB=∠DAO+∠OAB=45° ，
∴∠MAN=2∠DAB=90°，
在Rt△CAH中，AB=AB+BH=12，CH=5，
由勾股定理可得AC=13，
∴AO=AC=6.5，
∴AN=AO=AM=6.5，
∴MN=AM=
∴ △OEF周长的最小值是 .
故答案为：5，.
【分析】 过点C作CH⊥AB交延长线于H，易得△CBH为等腰直角三角形，可得CH=BH=BC，求出CH的长，即得点C到直线 AB的距离；如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，根据轴对称的性质及勾股定理求出MN的长即可.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO
∵AD=BC，AF=EC，
∴AD－AF=BC－EC，即DF=EB.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO（ASA）
∴BO=OD．
即O是BD的中点．
（2）12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）∵OB=OD，OF⊥BD，
∴FB=FD，
△ABF的周长=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12．
故答案为：12．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，继而可得DF=BE．再利用ASA证明△FDO≌△EBO，利用全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB=FD，推出△ABF的周长=AB+AD即可解决问题；
16．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AC＋BD＝20cm，
∴OC+OD＝AC+BD＝(AC+BD)=10cm，
∵CD＝5cm，
∴△OCD的周长为OC+OD＋CD＝15cm．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质求出OC+OD＝AC+BD＝10cm，然后进一步计算即可．
17．【答案】解：选择③； ，
证明如下： ，
，
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选择③：∠BEC=∠DFA，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由平行线的性质可得∠DAF=∠BCE，证明△ADF≌△CBE，据此可得结论.
18．【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
1 / 14.2 平行四边形及其性质(1)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025八下·衢州期末） 如图，在 ABCD中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C
又
∴2∠A=110°
∴∠A=55°
故答案为：B .
【分析】由平行四边形的性质知∠A=∠C，再结合可得∠A的度数.
2．（2025八下·北仑期末） 如图，已知在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，对边平行，由题意知 ，所以得到，进而根据平行线的性质得到的值.
3． 如图， □ABCD 的对角线 AC与 BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=OC，BO=OD
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质即可求解.
4．（2025九上·拱墅月考） 如图，在 ABCD中， ， ， 的平分线交BC于点E， 则CE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC，BC=AD=7
∴∠EAD=∠BEA
∵AE平分∠DAB
∴∠EAB=∠EAD
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=BA=5
∵CE=BC-BE
∴CE=7-5=2
故答案为：A .
【分析】由角平分线知∠EAB=∠EAD，结合平行四边形的性质知AD||BC得∠EAD=∠BEA，由此得∠BAE=∠BEA，即BE=BA，由此可得EC的长.
5．（2025八下·诸暨期末）已知一个平行四边形的对角线长度为6和8，那么这个平行四边形的边长长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作平行四边形如图所示：
由题意可得：AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】作平行四边形ABCD，可得AC=8，BD=6，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得AO=4，BO=3，再结合三角形三边关系求解即可．
6．（2025八下·柯桥期中）如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若□ABCD的周长为18，OE＝2，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
□ABCD的周长为18，OE＝2，
，
四边形EFCD的周长=.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可得OA=OC，再通过AAS判定，得到，进而证得四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，即可求得周长值.
7．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG=DH.对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH=∠BFG；③EH// GF；④EG=BD.其中正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
在和中，
∴
∴则②正确；
∴
∴
∴四边形EGFH为平行四边形，则③正确；
∴
则不一定成立，则④错误；
∵不一定等于90°，
∴不正确，则①错误；
综上所述，正确的说法有②③.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到进而利用"SAS"证明则进而得到结合平行线的判定得到即可证明四边形EGFH为平行四边形，则最后逐项分析即可.
8．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论x，y的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AM⊥BE于M，
根据等腰三角形三线合一，得BM=ME，
由平行四边形性质，知AD=BC，
=BC·CE=(BM+MC)(ME-MC)=BM2-MC2
在Rt△ABM中，BM2=AB2-AM2=x2-AM2，
在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=y2-AM2，
∴BM2-MC2=x2-AM2-（y2-AM2）=x2-y2，
故答案为：B.
【分析】通过作AM⊥BE于M，利用等腰三角形的性质得到BM=ME，根据等量代换以及线段和差，将AD·CE转化为BM2-MC2，再根据勾股定理，分别表示出BM与MC，最后进行相减即可.
二、填空题
9．能够平分平行四边形面积的直线有 条，它们的共同特点是 .
【答案】无数；过平行四边形对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：解：如图，连结AC，BD，
AC与BD 交于点 O，过点 O作直线分别交 BC，AD 于点 E，F，则线段EF分割的这两个四边形的面积相等.
故答案为：无数，过平行四边形对角线的交点.
【分析】根据平行四边形的中心对称性质解答即可.
10． 如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC的平分线 BE 交边 AD 于点 E，则 DE 的长为 .
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，
∴∠AEB=∠EBC.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
∴ED=AD-AE=AD-AB=8-5=3.
故答案为：3.
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD-AE=AD-AB即可得出答案.
11．（2025八下·杭州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，则对角线BD的长为 ．．
【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴OA=OC==2，OB=OD=
由勾股定理得BC=
在△BOC中，由勾股定理得OB=
故BD=2
【分析】由勾股定理可得BC的长，根据平行四边形的性质得OC，再用勾股定理得OB的长，即得BD的长.
12．（2025八下·新昌期末） 已知，在中，，则= 度.
【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴∠C=∠A=110°
故答案为：110.
【分析】利用平行四边形的对角相等性质直接求解.
13．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则 ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设空白部分的面积分别是x、y、m、n
∵，
∴①；②
∵，
∴①＋②得，
故答案为：4.
【分析】
根据平行四边形的面积及平行四边形的性质即可列出面积的关系等式，即可解答.
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，连结 OE，OF，EF.若 ∠DAB=45°，则点 C到直线 AB 的距离是 ，△OEF周长的最小值是 .
【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CH⊥AB交延长线于H，
在 ABCD中， AD∥BC，∠DAB=45°，
∴∠CBH=∠DAB=45°，
∴∠BCH=90°-∠CBH=45°，
∴CH=BH=BC=×=5，
即点C到直线AB的距离是5；
如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，
此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，
连接AN、AM，
由对称性可得AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠OAB，
∵ ∠DAB=∠DAO+∠OAB=45° ，
∴∠MAN=2∠DAB=90°，
在Rt△CAH中，AB=AB+BH=12，CH=5，
由勾股定理可得AC=13，
∴AO=AC=6.5，
∴AN=AO=AM=6.5，
∴MN=AM=
∴ △OEF周长的最小值是 .
故答案为：5，.
【分析】 过点C作CH⊥AB交延长线于H，易得△CBH为等腰直角三角形，可得CH=BH=BC，求出CH的长，即得点C到直线 AB的距离；如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，根据轴对称的性质及勾股定理求出MN的长即可.
三、解答题
15．（2024八下·慈溪期中）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点，
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO
∵AD=BC，AF=EC，
∴AD－AF=BC－EC，即DF=EB.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO（ASA）
∴BO=OD．
即O是BD的中点．
（2）12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）∵OB=OD，OF⊥BD，
∴FB=FD，
△ABF的周长=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12．
故答案为：12．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，继而可得DF=BE．再利用ASA证明△FDO≌△EBO，利用全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB=FD，推出△ABF的周长=AB+AD即可解决问题；
16．如图，在中，对角线AC，BD相交于点．已知两条对角线长的和为长为．求的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AC＋BD＝20cm，
∴OC+OD＝AC+BD＝(AC+BD)=10cm，
∵CD＝5cm，
∴△OCD的周长为OC+OD＋CD＝15cm．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质求出OC+OD＝AC+BD＝10cm，然后进一步计算即可．
17．（2022·拱墅模拟）问题：如图，在 中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF.若▲ ，求证： .在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答.
【答案】解：选择③； ，
证明如下： ，
，
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选择③：∠BEC=∠DFA，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由平行线的性质可得∠DAF=∠BCE，证明△ADF≌△CBE，据此可得结论.
18．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有 与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积= ；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
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