4.2 平行四边形及其性质(2)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1． 如图，直线a∥b，点 A，C，E，G在直线a 上，点 B，D，F，H 在直线b 上，则直线a，b之间的距离是 ( )
A．线段AB 的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF 的长度 D．线段GH 的长度
2．（2024八上·柯桥月考）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
3．如图所示的伸缩门， 其原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
4．（2023八下·长兴期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5 cm，b与c间的距离为4 cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．1 B．9 C．4或5 D．1或9
5．平行线之间的距离是指（ ）
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段；
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度；
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度；
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度.
6．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
7．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（ ）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
8．（2024八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9． 如图，已知直线l1∥l2，点 A，D，F在直线l1上，点 B，C，E，G在直线l2上，AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，则AB CD，DE FG.(填“>”“<”或“=”)
10．如图，已知l1∥l2，点 A，E在直线 l1上，点 B，C在直线l2上，D 是 BC 的 中 点.若 则S△BDE= cm2.
11．（2020九下·台州月考）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，点A到DE的距离是1，则DE与BC的距离是 .
12．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为 ．
13．（2025八上·宁波期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ．
14．（2020八上·柯桥开学考）小方将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则a、b满足的等量关系为 。
三、解答题
15． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，AE∥CF，则DF=BE.
请完成以下填空：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴ =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴ -AF=BC- ，即DF=BE.
16．（2024七下·上城期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将平移，使点A平移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的，并求出的面积是______；
（2）在网格中标出所有满足条件的格点P（A点除外），使．
17．如图，在方格纸中将三角形ABC水平向右平移4 个单位，再向上平移 2 个单位，得到三角形A'B'C'.
（1）画出平移后的三角形.
（2）过点 B 画一条平分三角形面积的直线BD，与AC相交于点D.
（3）连结 AA'，CC'，则这两条线段的关系是 .
（4）在平移的过程中，线段 AB 扫过的部分的面积是 .
18．（2020八下·鄞州期末）如图1，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD，若顶点B，C，D中存在某点到对角线的距离等于该对角线的一半，则称这个四边形为“距离和谐四边形”，这条对角线称为和谐对角线.如点C到对角线BD的距离是BD的一半，则四边形ABCD是距离和谐四边形，BD称为和谐对角线.显然，正方形ABCD属于距离和谐四边形，它的两条对角线都是和谐对角线.
（1）如图2，在4×4的网格中，点A，B，D都是网格的格点，请你确定所有格点C，使得四边形ABCD是以BD为和谐对角线的距离和谐四边形；
（2）如图1，距离和谐四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，
①若BD为和谐对角线，求线段AC的取值范围；
②若AC为和谐对角线，记AC的长度值为x，四边形ABCD的面积值为s，当s＝2x时，求x的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度即为直线a，b之间的距离.
故选：B.
【分析】根据平行线之间的距离的定义作答.
2．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得，再根据平行线性质即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性.
故答案为：B.
【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图，直线c在直线a、b外，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5+4=9（cm）；
如图，直线c在直线a、b之间，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5-4=1（cm）；
综上所述，a与c之间的距离为1cm或9cm.
故答案为：D.
【分析】由于直线c的位置不明确，所以分①当直线c在直线a、b外，②当直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解.
5．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可。
【解答】平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．
故选B．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴△PED与△PFC的面积之和不变，
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC
∴∠BAD=180°-∠ADC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠BAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∠DAC=∠BAD-∠BAC=30°，故①正确；
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴
∴，
在Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴，
∴，故②正确；
∵∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴S平行四边形ABCD=AB×AC，故③正确；
∵点O是AC的中点，点E是BC的中点，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形性质得∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC，然后根据二直线平行，同旁内角互补可得∠BAD=120°，由角平分线的定义得∠BAE=∠BAD=60°，根据有两个角为60°的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，由等边三角形性质得BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，由等边对等角及三角形外角相等推出∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，由角的和差得∠BAC=90°，∠DAC=30°，据此可判断①；利用勾股定理算出AC，可得AO的长，进而再利用勾股定理算出BO，从而可得BD的长，据此可判断②；由平行四边形的面积计算公式可判断③；由三角形中位线定理得，据此可判断④.
9．【答案】=；=
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵ 直线l1∥l2， AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
又 AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，
∴DE=FG，
故答案为：=；=.
【分析】根据l1∥l2， AB∥CD知四边形ABCD是平行四边形，从而得AB=CD；根据平行线间距离处处相等知CD=FG.
10．【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：
如图，过A作AM⊥ l2 ，过E作EN⊥ l2 ，
∵ l1∥l2，
∴AM=EN，
又 D 是 BC 的 中 点，
∴BC=2BD，
∴S△ABC=2S△BDE， ∵
∴S△BDE=4，
故答案为：4.
【分析】根据平行线间距离处处相等知AM=EN，结合题意易知S△ABC=2S△BDE， 从而得出S△BDE=4.
11．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】∵在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴点A到AB的距离＝ ，
∵DE∥BC，
∴DE与BC的距离是 ，
故答案为：
【分析】由三角形的面积公式可得可得BC边上的高h，由平行线间的距离处处相等可得DE与BC的距离是 h-1.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作，交于，交于，如图，
，，
，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
；
故答案为：．
【分析】构造辅助线，利用平行线的性质，推导角的等量关系，证明三角形全等，再利用全等性质求出边长，计算出的值，再计算出的面积.
14．【答案】a=2b
【知识点】列式表示数量关系；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由题意得：大正方形面积=（a+b）2，
小正方形面积=（a-b）2，
四个空白三角形面积=ab+(a+b)×b=b2+2ab，
∴阴影部分图形面积=大正方形面积-小正方形面积-四个空白三角形面积
=（a+b）2-（a-b）2-b2-2ab，
=2ab-b2.
∴（a+b）2=3（2ab-b2），
解得：a=2b.
故答案为：a=2b.
【分析】根据面积公式分别把大正方形、小正方形和阴影部分面积表示出来，最后根据 大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍列关系式整理即可求解.
15．【答案】AD ； CE；AD ； CE.
【知识点】平行线之间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴AD =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= CE (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴AD -AF=BC- CE，即DF=BE.
故答案为：AD ； CE；AD ； CE.
【分析】根据“ 夹在两条平行线间的平行线段相等 ”得AD =BC，AF= CE，从而得 DF=BE.
16．【答案】（1）解：平移后的如图所示：
7
（2）解：根据平行线间的距离处处相等可知：在格点图中过点A画出与平行的直线，以及过点A关于BC的对称点画出于BC平行的直线，直线与格点的交点，，，即为所求．
【知识点】平行线之间的距离；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∴；
故答案为：7.
【分析】（1）根据平移的性质，先确定△ABC向右平移6个单位，向下平移2个单位，据此先确定 B，C的对应点，在进行作图即可；最后可利用割补法计算△DEF的面积即可.
（2）由等积法及平行线间的距离相等可进行求解．
（1）解：平移后的如图所示：
∴；
（2）解：根据平行线间的距离相等可知：在格点图中画出与平行的直线，如图所示直线与格点的交点，，，即为所求．
17．【答案】（1）解： 三角形A'B'C'即为所求.
（2）解： 点即为所求D.
（3）AA'∥CC'且AA'=CC'
（4）解： ∵在平移的过程中，如图所示，线段AB扫过的封闭图形有平行四边形ABED和平行四边形DEGF两部分组成，
∴平行四边形ABED的面积+平行四边形DEGF的面积=4×4+2×1=16+2=18，
∴ 线段 AB 扫过的部分的面积是18
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：（3）如图， AA'，CC'即为所求.
由平移的性质可得，AA'∥CC'且AA'=CC'.
故答案为：AA'∥CC'且AA'=CC'.
【分析】（1）分别找到A、B、C三点水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位的对应点A'、B'、C'，再连线即可；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即找出AC的中点即可得出答案；
（3）根据题意画出图形，再根据平移的性质即可得出答案；
（4） 在平移的过程中，线段 AB 扫过的部分的面积是两个平行四边形的面积，画出图形，列出算式即可得出答案.
18．【答案】（1）解：如图2中，满足条件的点C有3个，如图所示.
（2）解：①如图1中，
如图，∵AB＝AD＝3，∠DAB＝90°，
∴BD＝3 ，
∵BD为和谐对角线，
∴点C到直线BD的距离为 ，
∵四边形ABCD是距离和谐四边形，
∴点C在直线l上，直线l与直线BD之间的距离为 ，
设AD交直线l于T，过点A作AR⊥CT于R.
∵AR＝3 ，AT＝6，
观察图象可知3 ≤AC＜6.
②如图3中，不妨假设点D到直线AC的距离等于 AC＝ x，过点D作DT⊥AC于T，过点B作BH⊥AC于H.
∵AB＝AD＝3，∠ATD＝∠AHB＝∠DAB＝90°，
∴∠DAT+∠BAH＝90°，∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠DAT＝∠ABH，
∴△ATD≌△BHA（AAS），
∴AH＝DT＝ x，BH＝AT＝ ，
∵S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝2x，
∴ ×x×（ x+ ）＝2x，
整理得：x2﹣8x+14＝0，
解得x＝4± .
【知识点】一元二次方程的其他应用；垂线段最短及其应用；平行线之间的距离；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图2中，根据要求作出点C，满足条件的点C有3个，如图所示.（2）①如图1中，由题意四边形ABCD是距离和谐四边形，推出点C在直线l上，直线l与直线BD之间的距离为 ，设AD交直线l于T，过点A作AR⊥CT于R.可得AR＝3 ，AT＝6，由此即可得出结论.②如图3中，不妨假设点D到直线AC的距离等于 AC＝ x，过点D作DT⊥AC于T，过点B作BH⊥AC于H.利用面积关系构建方程求出x即可.
1 / 14.2 平行四边形及其性质(2)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1． 如图，直线a∥b，点 A，C，E，G在直线a 上，点 B，D，F，H 在直线b 上，则直线a，b之间的距离是 ( )
A．线段AB 的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF 的长度 D．线段GH 的长度
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度即为直线a，b之间的距离.
故选：B.
【分析】根据平行线之间的距离的定义作答.
2．（2024八上·柯桥月考）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得，再根据平行线性质即可求出答案.
3．如图所示的伸缩门， 其原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性.
故答案为：B.
【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案.
4．（2023八下·长兴期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5 cm，b与c间的距离为4 cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．1 B．9 C．4或5 D．1或9
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图，直线c在直线a、b外，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5+4=9（cm）；
如图，直线c在直线a、b之间，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5-4=1（cm）；
综上所述，a与c之间的距离为1cm或9cm.
故答案为：D.
【分析】由于直线c的位置不明确，所以分①当直线c在直线a、b外，②当直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解.
5．平行线之间的距离是指（ ）
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段；
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度；
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度；
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度.
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可。
【解答】平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．
故选B．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度。
6．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
7．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（ ）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴△PED与△PFC的面积之和不变，
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案.
8．（2024八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC
∴∠BAD=180°-∠ADC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠BAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∠DAC=∠BAD-∠BAC=30°，故①正确；
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴
∴，
在Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴，
∴，故②正确；
∵∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴S平行四边形ABCD=AB×AC，故③正确；
∵点O是AC的中点，点E是BC的中点，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形性质得∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC，然后根据二直线平行，同旁内角互补可得∠BAD=120°，由角平分线的定义得∠BAE=∠BAD=60°，根据有两个角为60°的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，由等边三角形性质得BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，由等边对等角及三角形外角相等推出∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，由角的和差得∠BAC=90°，∠DAC=30°，据此可判断①；利用勾股定理算出AC，可得AO的长，进而再利用勾股定理算出BO，从而可得BD的长，据此可判断②；由平行四边形的面积计算公式可判断③；由三角形中位线定理得，据此可判断④.
二、填空题
9． 如图，已知直线l1∥l2，点 A，D，F在直线l1上，点 B，C，E，G在直线l2上，AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，则AB CD，DE FG.(填“>”“<”或“=”)
【答案】=；=
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵ 直线l1∥l2， AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
又 AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，
∴DE=FG，
故答案为：=；=.
【分析】根据l1∥l2， AB∥CD知四边形ABCD是平行四边形，从而得AB=CD；根据平行线间距离处处相等知CD=FG.
10．如图，已知l1∥l2，点 A，E在直线 l1上，点 B，C在直线l2上，D 是 BC 的 中 点.若 则S△BDE= cm2.
【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：
如图，过A作AM⊥ l2 ，过E作EN⊥ l2 ，
∵ l1∥l2，
∴AM=EN，
又 D 是 BC 的 中 点，
∴BC=2BD，
∴S△ABC=2S△BDE， ∵
∴S△BDE=4，
故答案为：4.
【分析】根据平行线间距离处处相等知AM=EN，结合题意易知S△ABC=2S△BDE， 从而得出S△BDE=4.
11．（2020九下·台州月考）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，点A到DE的距离是1，则DE与BC的距离是 .
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】∵在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴点A到AB的距离＝ ，
∵DE∥BC，
∴DE与BC的距离是 ，
故答案为：
【分析】由三角形的面积公式可得可得BC边上的高h，由平行线间的距离处处相等可得DE与BC的距离是 h-1.
12．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
13．（2025八上·宁波期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作，交于，交于，如图，
，，
，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
；
故答案为：．
【分析】构造辅助线，利用平行线的性质，推导角的等量关系，证明三角形全等，再利用全等性质求出边长，计算出的值，再计算出的面积.
14．（2020八上·柯桥开学考）小方将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则a、b满足的等量关系为 。
【答案】a=2b
【知识点】列式表示数量关系；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由题意得：大正方形面积=（a+b）2，
小正方形面积=（a-b）2，
四个空白三角形面积=ab+(a+b)×b=b2+2ab，
∴阴影部分图形面积=大正方形面积-小正方形面积-四个空白三角形面积
=（a+b）2-（a-b）2-b2-2ab，
=2ab-b2.
∴（a+b）2=3（2ab-b2），
解得：a=2b.
故答案为：a=2b.
【分析】根据面积公式分别把大正方形、小正方形和阴影部分面积表示出来，最后根据 大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍列关系式整理即可求解.
三、解答题
15． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，AE∥CF，则DF=BE.
请完成以下填空：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴ =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴ -AF=BC- ，即DF=BE.
【答案】AD ； CE；AD ； CE.
【知识点】平行线之间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴AD =BC(夹在两条平行线间的平行线段相等).
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴AF= CE (夹在两条平行线间的平行线段相等)，
∴AD -AF=BC- CE，即DF=BE.
故答案为：AD ； CE；AD ； CE.
【分析】根据“ 夹在两条平行线间的平行线段相等 ”得AD =BC，AF= CE，从而得 DF=BE.
16．（2024七下·上城期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将平移，使点A平移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的，并求出的面积是______；
（2）在网格中标出所有满足条件的格点P（A点除外），使．
【答案】（1）解：平移后的如图所示：
7
（2）解：根据平行线间的距离处处相等可知：在格点图中过点A画出与平行的直线，以及过点A关于BC的对称点画出于BC平行的直线，直线与格点的交点，，，即为所求．
【知识点】平行线之间的距离；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∴；
故答案为：7.
【分析】（1）根据平移的性质，先确定△ABC向右平移6个单位，向下平移2个单位，据此先确定 B，C的对应点，在进行作图即可；最后可利用割补法计算△DEF的面积即可.
（2）由等积法及平行线间的距离相等可进行求解．
（1）解：平移后的如图所示：
∴；
（2）解：根据平行线间的距离相等可知：在格点图中画出与平行的直线，如图所示直线与格点的交点，，，即为所求．
17．如图，在方格纸中将三角形ABC水平向右平移4 个单位，再向上平移 2 个单位，得到三角形A'B'C'.
（1）画出平移后的三角形.
（2）过点 B 画一条平分三角形面积的直线BD，与AC相交于点D.
（3）连结 AA'，CC'，则这两条线段的关系是 .
（4）在平移的过程中，线段 AB 扫过的部分的面积是 .
【答案】（1）解： 三角形A'B'C'即为所求.
（2）解： 点即为所求D.
（3）AA'∥CC'且AA'=CC'
（4）解： ∵在平移的过程中，如图所示，线段AB扫过的封闭图形有平行四边形ABED和平行四边形DEGF两部分组成，
∴平行四边形ABED的面积+平行四边形DEGF的面积=4×4+2×1=16+2=18，
∴ 线段 AB 扫过的部分的面积是18
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：（3）如图， AA'，CC'即为所求.
由平移的性质可得，AA'∥CC'且AA'=CC'.
故答案为：AA'∥CC'且AA'=CC'.
【分析】（1）分别找到A、B、C三点水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位的对应点A'、B'、C'，再连线即可；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即找出AC的中点即可得出答案；
（3）根据题意画出图形，再根据平移的性质即可得出答案；
（4） 在平移的过程中，线段 AB 扫过的部分的面积是两个平行四边形的面积，画出图形，列出算式即可得出答案.
18．（2020八下·鄞州期末）如图1，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD，若顶点B，C，D中存在某点到对角线的距离等于该对角线的一半，则称这个四边形为“距离和谐四边形”，这条对角线称为和谐对角线.如点C到对角线BD的距离是BD的一半，则四边形ABCD是距离和谐四边形，BD称为和谐对角线.显然，正方形ABCD属于距离和谐四边形，它的两条对角线都是和谐对角线.
（1）如图2，在4×4的网格中，点A，B，D都是网格的格点，请你确定所有格点C，使得四边形ABCD是以BD为和谐对角线的距离和谐四边形；
（2）如图1，距离和谐四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，
①若BD为和谐对角线，求线段AC的取值范围；
②若AC为和谐对角线，记AC的长度值为x，四边形ABCD的面积值为s，当s＝2x时，求x的值.
【答案】（1）解：如图2中，满足条件的点C有3个，如图所示.
（2）解：①如图1中，
如图，∵AB＝AD＝3，∠DAB＝90°，
∴BD＝3 ，
∵BD为和谐对角线，
∴点C到直线BD的距离为 ，
∵四边形ABCD是距离和谐四边形，
∴点C在直线l上，直线l与直线BD之间的距离为 ，
设AD交直线l于T，过点A作AR⊥CT于R.
∵AR＝3 ，AT＝6，
观察图象可知3 ≤AC＜6.
②如图3中，不妨假设点D到直线AC的距离等于 AC＝ x，过点D作DT⊥AC于T，过点B作BH⊥AC于H.
∵AB＝AD＝3，∠ATD＝∠AHB＝∠DAB＝90°，
∴∠DAT+∠BAH＝90°，∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠DAT＝∠ABH，
∴△ATD≌△BHA（AAS），
∴AH＝DT＝ x，BH＝AT＝ ，
∵S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝2x，
∴ ×x×（ x+ ）＝2x，
整理得：x2﹣8x+14＝0，
解得x＝4± .
【知识点】一元二次方程的其他应用；垂线段最短及其应用；平行线之间的距离；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图2中，根据要求作出点C，满足条件的点C有3个，如图所示.（2）①如图1中，由题意四边形ABCD是距离和谐四边形，推出点C在直线l上，直线l与直线BD之间的距离为 ，设AD交直线l于T，过点A作AR⊥CT于R.可得AR＝3 ，AT＝6，由此即可得出结论.②如图3中，不妨假设点D到直线AC的距离等于 AC＝ x，过点D作DT⊥AC于T，过点B作BH⊥AC于H.利用面积关系构建方程求出x即可.
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