4.3 图形的旋转(2)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2026九上·临海期末）以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·雨花期末）已知（a，-2）和（3，b）关于原点对称，则（a+b）2026的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-52026 D．52026
3．（2025八下·路北期末）如图，点A关于原点的中心对称点是（ ）
A．点P B．点Q C．点K D．点R
4．（2026九上·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·乐清期中）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（3，0） D．（0，3）
6．（2025·长兴二模）如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形.若已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（ ）
A．AM B．MD C．ME D．EF
7．（2022九上·金华月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2019八下·盐湖期中）如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A（ ，0），B（0，2），则点B2018的坐标为（ ）
A．（6048，0） B．（6054，0） C．（6048，2） D．（6054，2）
二、填空题
9．（2026九上·临海期末）在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则 ．
10．在如图所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂上阴影，使所有阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种.
11．（2024九上·金平期末）若点，关于原点对称，则
12．（2025·西昌模拟）已知点P的坐标为，且，则点P关于原点的对称点坐标为
13．（2024九上·成都期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ．
14．（2020七下·温州月考）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，那么点A2020的坐标是 。
三、解答题
15．（2026九上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到．
（1）在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标；
（2）作关于轴对称的，并写出的坐标．
16．（2025九上·扶绥月考）如图，下列网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可）
（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
17．（2024八上·长沙期中）“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”．
（1）将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）；
（2）若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且；
（3）若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标．
18．（2023八上·南充期末）在直角坐标系中，的顶点О与原点重合，，.
（1）如图1，过点A作轴于C，过点B作轴于D，若点A的坐标为，求点B的坐标.
（2）如图2，将绕点О任意旋转.若点A的坐标为，求点B的坐标.
（3）若点A的坐标为，点B的坐标为，试求，的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该此选项中人工智能大模型的图标是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和关于原点对称，
∴（横纵坐标均互为相反数），
∴．
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代入计算即可．
3．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图知A点的坐标为
∴A关于原点的中心对称点，即K点．
故选：C．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作轴于点M，过点作轴于点N，
∵点绕原点顺时针旋转得到点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故，
故答案为：B．
【分析】过点P作轴于点M，过点作轴于点N，先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再求出，最后可得点，从而得解.
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，
将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（3，0），
故选：C.
【分析】根据点A（0，2），点B（2，0），建立直角坐标系，再利用旋转的定义作图即可求解．
6．【答案】A
【知识点】全等图形的概念；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，
则l=2（2a+b+c），
由题意得，
①-②，得b-a=a+d-c-d=a-c，即2a=b+c，
∴l=2（2a+b+c）=2（b+c+b+c）=2（2b+2c）=4（b+c）或l=2（2a+b+c）=2（2a+2a）=2×4a=8a，
∴已知矩形ABCD的周长，则能够求出a，即能够求出线段AM的长度．
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，则可得l=2（2a+b+c），由题意，得，①-②，得b-a=a-c，即可得出2a=b+c，再根据矩形的周长公式计算，进而得出答案．
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴C（2，2），
又∵点P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°得到线段AP'
∴P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时，则P'的起点与终点分别为N和M，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，如下图所示：
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝OB＝4，
∴AN=4，AB＝ ，
∴NB＝-4，
又∵Rt△NHB是等腰直角三角形，
∴NB=HB，
∴HB＝4 ，
∴CP'＝OB HB 2＝4 （4 ） 2＝ 2．
故答案为：B.
【分析】由直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点可得出点A、B坐标，易得△OAB是等腰直角三角形，
利用中点坐标公式求得点C坐标；由题意可得P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时，则可确定P'的起点与终点分别为N和M，从而得出点P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小；再利用等腰直角三角形性质分别求出NB、HB的长，最后通过点C的坐标及线段和差关系，即可求得CP'的最小值.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】∵A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∴Rt△AOB中，AB＝ ，
∴OA+AB1+B1C2＝ +2+ ＝6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，
即B2018的坐标是（6054，2）．
故答案为：D．
【分析】利用AB的坐标，可得OA、OB的长，利用勾股定理求出AB=，从而求出OA+AB1+B1C2＝6，通过旋转发现，可得B、B1、B2……每偶数之间的B相差6个单位，据此规律可求出B2018的坐标.
9．【答案】5
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
．
故答案为：5．
【分析】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此求解即可.
10．【答案】1
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
根据中心对称图形的定义，可得涂法只有1种，如图所示.
故答案为：1.
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”解答即可.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据点，关于原点对称，
得，
故．
故答案为：．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标分别互为相反数。由点 与 关于原点对称，可得 ，。代入计算 即可。
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，
∵关于原点对称的点的坐标横纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点的对称点坐标为．
故答案为：．
【分析】先对原式进行变形，再根据算术平方根与平方的非负性，求出x，y的值，再代入即可求解．
13．【答案】；
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，关于原点对称，
∴，
∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为；
如图，，，过点作轴于点，
，
，
，
，
∴，
在和中
，
（），
，，
，
，
点关于原点的对称点为，
，即：P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为，
同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为，
点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为，
如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，
直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，
直线与正方形的边有交点，
当时，，
解得：，
直线经过定点，
（ⅰ）当直线经过时，
，
解得：；
（ⅱ）当直线经过时，
，
解得：；
综上所述：．
故答案为：，．
【分析】根据定义即可求出P关于点B为直角顶点的“变换点”R坐标，求得P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标可得到点G的坐标，利用余角的性质可证得∠KAE=∠APO，利用AAS可证得△AEK≌△POA，利用全等三角形的性质可推出OE的长，可得到点K、G的坐标；同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”F的坐标，点P关于点C为直角顶点的“变换点”H的坐标；如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，可得到直线与正方形的边有交点，由y=0可求出对应的x的值，可得到直线经过定点的坐标；分情况讨论：当直线经过时；当直线经过时；分别求出k的值，可得到k的取值范围.
14．【答案】（0，）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵正方形OABC绕点O顺时针旋转45°
∴ 360°45°=8
∵20208=252…4
∴正方形OA2020B2020C2020 与 正方形OA4B4C4的位置相同
∴A2020 的坐标和 A4的坐标相同
在平面直角坐标系中作出正方形OA4B4C4，如图所示，AOA4=45°4=180°
∴OA=OA4=
∴A4的坐标是（0，）
【分析】由360°45°=8可知，每经过8次旋转，正方形会回到旋转前所在的位置；因为20208=252…4可知正方形OA2020B2020C2020 与 正方形OA4B4C4的位置相同，即A2020 的坐标和 A4的坐标相同；画出旋转4次的图像，从图中可得到OA=OA4=，则A4的坐标是（0，）.
15．【答案】（1）解：如图，即为所求：
点、、的坐标分别为，，；
（2）解：如图，即为所求，的坐标为．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据旋转性质，结合对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质作出点关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求：
点、、的坐标分别为，，；
（2）解：如图，即为所求，的坐标为．
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示．
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；利用轴对称设计图案；两个图形成中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）本题考察轴对称图形的定义及作图，轴对称图形需满足沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，且不满足中心对称图形的定义（旋转 180°后不与自身重合）。已知已有 2 个阴影小正方形，需在空白处选取两个补充，使得 4 个阴影正方形符合要求。例如在第一行第二列和第三行第二列的位置补充阴影，此时图形沿竖直方向的直线 x=2（假设网格左上角为原点）折叠后，左右两侧的阴影完全重合，满足轴对称图形的定义；而将图形绕中心旋转 180°后，阴影位置无法与原图重合，因此不是中心对称图形。
（2）本题考察中心对称图形的定义及作图，中心对称图形需满足绕某定点旋转 180°后与自身重合，且不满足轴对称图形的定义（无折叠重合的直线）。在空白小正方形中选取两个补充，例如在第一行第四列和第三行第一列的位置补充阴影，此时图形绕网格的中心旋转 180°后，每个阴影小正方形都能与另一个阴影小正方形的位置重合，满足中心对称图形的定义；同时找不到一条直线，使得图形沿直线折叠后完全重合，因此不是轴对称图形。
（1）解：如图所示：
（2）如图所示．
17．【答案】（1）；；可持续发展
（2）证明：①当时，作点关于x轴的对称点，∵，
∴，
∴作点关于y轴的对称点，
∴，且，
∴；
②当时，作点关于y轴的对称点；
∵，
∴，
∴作点关于x轴的对称点
∴且，
∴，
综上所述，与不重合，
∴必为“合作共赢点”，且；
（3）解：∵，
∴作点关于x轴的对称点，
∴，
∴，
又由（2）可知，，
∴，
求得，
即的坐标为，
∵，
∴，
∴．
∴，的坐标为．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；关于原点对称的点的坐标特征；开平方（求平方根）
【解析】【解答】
（1）
解：中，，
点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
中，，
点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
与重合，
为“可持续发展点”，
故答案为：；；可持续发展；
【分析】
（1）关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；由于，则第一次“可持续发展”后P1的坐标为，由于，则第二次“可持续发展”后P2的坐标为，即P2与P0重合；
（2）如图所示：
若点为第三象限中的一点，则同号，则应分类讨论，即：①或②，对于①，则第一次“可持续发展”后点与关于轴对称，即，因为，则第二次“可持续发展”后，与关于轴对称，即，所以与关于原点对称；对于②，则第一次“可持续发展”后点与关于轴对称，即，因为，则第二次“可持续发展”后，与关于轴对称，即，所以与关于原点对称；综上所述，与不重合，即必为“合作共赢点”；
由轴对称和中心对称的性质知，为直角三角形，且、，则由三角形的面积计算公式得；
（3）先根据“可待续发展”的概念可得，即的坐标为，再由，求得即可．
（1）解：中，，
点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
中，，
点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
与重合，
为“可持续发展点”，
故答案为：；；可持续发展；
（2）解：①当时，作点关于x轴的对称点，
∵，
∴，
∴作点关于y轴的对称点，
∴，且，
∴；
②当时，作点关于y轴的对称点；
∵，
∴，
∴作点关于x轴的对称点
∴且，
∴，
综上所述，与不重合，
∴必为“合作共赢点”，且；
（3）解：∵，
∴作点关于x轴的对称点，
∴，
∴，
又由（2）可知，，
∴，
求得，
即的坐标为，
∵，
∴，
∴．
∴，的坐标为．
18．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ， .
∵ 轴， 轴，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ， .
∴点B的坐标为 （3，1）；
（2）解：作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N.
如图2，若点 A（m，n） 在第一象限，则 ， .
由（1），同理可证 .
则 ， .
则第四象限点 为 .
同理，若点 在第二象限，则第一象限点B为 .
若点 在第三象限，则第二象限点B为 .
若点 在第四象限，则第三象限点B为 .
综上，若点A的坐标为 ，点B的坐标为 .
（3）解：由（2），可得
由①，解得 .
把 代入②，得 .
解得 .检验符合.
∴ ， .
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由点A的坐标易得AC=3，OC=1，由同角的余角相等得∠CAO=∠DOB，从而用AAS判断出△AOC≌△OBD，根据全等三角形对应边相等得OC=BD=1，AC=OD=3，据此即可得出点B的坐标；
（2）作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，若点 A（m，n） 在第一象限，则AM=n，OM=m，由（1），同理可证△AOM≌△OBN，得ON=AM=n，BN=OM=m，则第四象限的点B为（n，-m）；同理证出点A在二、三、四，三个象限时，在第一、二、三象限的点B的坐标都为（n，-m），从而即可得出答案；
（3）根据（2）中的规律可得点A、B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此建立方程，求解可得a、b的值.
1 / 14.3 图形的旋转(2)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2026九上·临海期末）以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该此选项中人工智能大模型的图标是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2026九上·雨花期末）已知（a，-2）和（3，b）关于原点对称，则（a+b）2026的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-52026 D．52026
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和关于原点对称，
∴（横纵坐标均互为相反数），
∴．
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代入计算即可．
3．（2025八下·路北期末）如图，点A关于原点的中心对称点是（ ）
A．点P B．点Q C．点K D．点R
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图知A点的坐标为
∴A关于原点的中心对称点，即K点．
故选：C．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．（2026九上·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作轴于点M，过点作轴于点N，
∵点绕原点顺时针旋转得到点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故，
故答案为：B．
【分析】过点P作轴于点M，过点作轴于点N，先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再求出，最后可得点，从而得解.
5．（2025九上·乐清期中）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（3，0） D．（0，3）
【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，
将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（3，0），
故选：C.
【分析】根据点A（0，2），点B（2，0），建立直角坐标系，再利用旋转的定义作图即可求解．
6．（2025·长兴二模）如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形.若已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（ ）
A．AM B．MD C．ME D．EF
【答案】A
【知识点】全等图形的概念；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，
则l=2（2a+b+c），
由题意得，
①-②，得b-a=a+d-c-d=a-c，即2a=b+c，
∴l=2（2a+b+c）=2（b+c+b+c）=2（2b+2c）=4（b+c）或l=2（2a+b+c）=2（2a+2a）=2×4a=8a，
∴已知矩形ABCD的周长，则能够求出a，即能够求出线段AM的长度．
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，则可得l=2（2a+b+c），由题意，得，①-②，得b-a=a-c，即可得出2a=b+c，再根据矩形的周长公式计算，进而得出答案．
7．（2022九上·金华月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴C（2，2），
又∵点P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°得到线段AP'
∴P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时，则P'的起点与终点分别为N和M，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，如下图所示：
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝OB＝4，
∴AN=4，AB＝ ，
∴NB＝-4，
又∵Rt△NHB是等腰直角三角形，
∴NB=HB，
∴HB＝4 ，
∴CP'＝OB HB 2＝4 （4 ） 2＝ 2．
故答案为：B.
【分析】由直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点可得出点A、B坐标，易得△OAB是等腰直角三角形，
利用中点坐标公式求得点C坐标；由题意可得P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时，则可确定P'的起点与终点分别为N和M，从而得出点P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小；再利用等腰直角三角形性质分别求出NB、HB的长，最后通过点C的坐标及线段和差关系，即可求得CP'的最小值.
8．（2019八下·盐湖期中）如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A（ ，0），B（0，2），则点B2018的坐标为（ ）
A．（6048，0） B．（6054，0） C．（6048，2） D．（6054，2）
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】∵A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∴Rt△AOB中，AB＝ ，
∴OA+AB1+B1C2＝ +2+ ＝6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，
即B2018的坐标是（6054，2）．
故答案为：D．
【分析】利用AB的坐标，可得OA、OB的长，利用勾股定理求出AB=，从而求出OA+AB1+B1C2＝6，通过旋转发现，可得B、B1、B2……每偶数之间的B相差6个单位，据此规律可求出B2018的坐标.
二、填空题
9．（2026九上·临海期末）在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则 ．
【答案】5
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
．
故答案为：5．
【分析】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此求解即可.
10．在如图所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂上阴影，使所有阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种.
【答案】1
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
根据中心对称图形的定义，可得涂法只有1种，如图所示.
故答案为：1.
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”解答即可.
11．（2024九上·金平期末）若点，关于原点对称，则
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据点，关于原点对称，
得，
故．
故答案为：．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标分别互为相反数。由点 与 关于原点对称，可得 ，。代入计算 即可。
12．（2025·西昌模拟）已知点P的坐标为，且，则点P关于原点的对称点坐标为
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，
∵关于原点对称的点的坐标横纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点的对称点坐标为．
故答案为：．
【分析】先对原式进行变形，再根据算术平方根与平方的非负性，求出x，y的值，再代入即可求解．
13．（2024九上·成都期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ．
【答案】；
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，关于原点对称，
∴，
∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为；
如图，，，过点作轴于点，
，
，
，
，
∴，
在和中
，
（），
，，
，
，
点关于原点的对称点为，
，即：P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为，
同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为，
点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为，
如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，
直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，
直线与正方形的边有交点，
当时，，
解得：，
直线经过定点，
（ⅰ）当直线经过时，
，
解得：；
（ⅱ）当直线经过时，
，
解得：；
综上所述：．
故答案为：，．
【分析】根据定义即可求出P关于点B为直角顶点的“变换点”R坐标，求得P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标可得到点G的坐标，利用余角的性质可证得∠KAE=∠APO，利用AAS可证得△AEK≌△POA，利用全等三角形的性质可推出OE的长，可得到点K、G的坐标；同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”F的坐标，点P关于点C为直角顶点的“变换点”H的坐标；如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，可得到直线与正方形的边有交点，由y=0可求出对应的x的值，可得到直线经过定点的坐标；分情况讨论：当直线经过时；当直线经过时；分别求出k的值，可得到k的取值范围.
14．（2020七下·温州月考）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，那么点A2020的坐标是 。
【答案】（0，）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵正方形OABC绕点O顺时针旋转45°
∴ 360°45°=8
∵20208=252…4
∴正方形OA2020B2020C2020 与 正方形OA4B4C4的位置相同
∴A2020 的坐标和 A4的坐标相同
在平面直角坐标系中作出正方形OA4B4C4，如图所示，AOA4=45°4=180°
∴OA=OA4=
∴A4的坐标是（0，）
【分析】由360°45°=8可知，每经过8次旋转，正方形会回到旋转前所在的位置；因为20208=252…4可知正方形OA2020B2020C2020 与 正方形OA4B4C4的位置相同，即A2020 的坐标和 A4的坐标相同；画出旋转4次的图像，从图中可得到OA=OA4=，则A4的坐标是（0，）.
三、解答题
15．（2026九上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到．
（1）在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标；
（2）作关于轴对称的，并写出的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
点、、的坐标分别为，，；
（2）解：如图，即为所求，的坐标为．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据旋转性质，结合对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质作出点关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求：
点、、的坐标分别为，，；
（2）解：如图，即为所求，的坐标为．
16．（2025九上·扶绥月考）如图，下列网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可）
（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示．
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；利用轴对称设计图案；两个图形成中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）本题考察轴对称图形的定义及作图，轴对称图形需满足沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，且不满足中心对称图形的定义（旋转 180°后不与自身重合）。已知已有 2 个阴影小正方形，需在空白处选取两个补充，使得 4 个阴影正方形符合要求。例如在第一行第二列和第三行第二列的位置补充阴影，此时图形沿竖直方向的直线 x=2（假设网格左上角为原点）折叠后，左右两侧的阴影完全重合，满足轴对称图形的定义；而将图形绕中心旋转 180°后，阴影位置无法与原图重合，因此不是中心对称图形。
（2）本题考察中心对称图形的定义及作图，中心对称图形需满足绕某定点旋转 180°后与自身重合，且不满足轴对称图形的定义（无折叠重合的直线）。在空白小正方形中选取两个补充，例如在第一行第四列和第三行第一列的位置补充阴影，此时图形绕网格的中心旋转 180°后，每个阴影小正方形都能与另一个阴影小正方形的位置重合，满足中心对称图形的定义；同时找不到一条直线，使得图形沿直线折叠后完全重合，因此不是轴对称图形。
（1）解：如图所示：
（2）如图所示．
17．（2024八上·长沙期中）“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”．
（1）将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）；
（2）若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且；
（3）若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标．
【答案】（1）；；可持续发展
（2）证明：①当时，作点关于x轴的对称点，∵，
∴，
∴作点关于y轴的对称点，
∴，且，
∴；
②当时，作点关于y轴的对称点；
∵，
∴，
∴作点关于x轴的对称点
∴且，
∴，
综上所述，与不重合，
∴必为“合作共赢点”，且；
（3）解：∵，
∴作点关于x轴的对称点，
∴，
∴，
又由（2）可知，，
∴，
求得，
即的坐标为，
∵，
∴，
∴．
∴，的坐标为．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；关于原点对称的点的坐标特征；开平方（求平方根）
【解析】【解答】
（1）
解：中，，
点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
中，，
点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
与重合，
为“可持续发展点”，
故答案为：；；可持续发展；
【分析】
（1）关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；由于，则第一次“可持续发展”后P1的坐标为，由于，则第二次“可持续发展”后P2的坐标为，即P2与P0重合；
（2）如图所示：
若点为第三象限中的一点，则同号，则应分类讨论，即：①或②，对于①，则第一次“可持续发展”后点与关于轴对称，即，因为，则第二次“可持续发展”后，与关于轴对称，即，所以与关于原点对称；对于②，则第一次“可持续发展”后点与关于轴对称，即，因为，则第二次“可持续发展”后，与关于轴对称，即，所以与关于原点对称；综上所述，与不重合，即必为“合作共赢点”；
由轴对称和中心对称的性质知，为直角三角形，且、，则由三角形的面积计算公式得；
（3）先根据“可待续发展”的概念可得，即的坐标为，再由，求得即可．
（1）解：中，，
点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
中，，
点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点，
与重合，
为“可持续发展点”，
故答案为：；；可持续发展；
（2）解：①当时，作点关于x轴的对称点，
∵，
∴，
∴作点关于y轴的对称点，
∴，且，
∴；
②当时，作点关于y轴的对称点；
∵，
∴，
∴作点关于x轴的对称点
∴且，
∴，
综上所述，与不重合，
∴必为“合作共赢点”，且；
（3）解：∵，
∴作点关于x轴的对称点，
∴，
∴，
又由（2）可知，，
∴，
求得，
即的坐标为，
∵，
∴，
∴．
∴，的坐标为．
18．（2023八上·南充期末）在直角坐标系中，的顶点О与原点重合，，.
（1）如图1，过点A作轴于C，过点B作轴于D，若点A的坐标为，求点B的坐标.
（2）如图2，将绕点О任意旋转.若点A的坐标为，求点B的坐标.
（3）若点A的坐标为，点B的坐标为，试求，的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ， .
∵ 轴， 轴，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ， .
∴点B的坐标为 （3，1）；
（2）解：作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N.
如图2，若点 A（m，n） 在第一象限，则 ， .
由（1），同理可证 .
则 ， .
则第四象限点 为 .
同理，若点 在第二象限，则第一象限点B为 .
若点 在第三象限，则第二象限点B为 .
若点 在第四象限，则第三象限点B为 .
综上，若点A的坐标为 ，点B的坐标为 .
（3）解：由（2），可得
由①，解得 .
把 代入②，得 .
解得 .检验符合.
∴ ， .
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由点A的坐标易得AC=3，OC=1，由同角的余角相等得∠CAO=∠DOB，从而用AAS判断出△AOC≌△OBD，根据全等三角形对应边相等得OC=BD=1，AC=OD=3，据此即可得出点B的坐标；
（2）作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，若点 A（m，n） 在第一象限，则AM=n，OM=m，由（1），同理可证△AOM≌△OBN，得ON=AM=n，BN=OM=m，则第四象限的点B为（n，-m）；同理证出点A在二、三、四，三个象限时，在第一、二、三象限的点B的坐标都为（n，-m），从而即可得出答案；
（3）根据（2）中的规律可得点A、B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此建立方程，求解可得a、b的值.
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