4.4 平行四边形的判定定理—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025八下·瑞安期中）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BC
C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
2．在四边形ABCD中，现给出下列结论：
①若四边形ABCD 是平行四边形，则AC=BD；
②若AB∥CD，∠A=∠C，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AB=CD，∠A=∠C，则四边形 ABCD是平行四边形.
其中正确的结论是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有②
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①若四边形ABCD是平行四边形，则AC，BD互相平分，故①错误；
②∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°.
∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③若AB=CD，∠A=∠C，则四边形ABCD不一定是平行四边形，如图.
故③错误.
故选D.
【分析】根据平行四边形的性质和判定逐项判断解答即可.
3．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，则他带的碎玻璃编号是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为： C.
【分析】根据平行四边形的判定解答即可.
4．（2025八下·临平月考）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径作弧；②以点D为圆心，AB长为半径作弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可得CD=AB，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴判定四边形ABCD为平行四边形的依据是两组对边分别相等.
故答案为：C.
【分析】由作图过程知CD=AB，BC=AD，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.
5．（2024八下·嵊州月考）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形DEFC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DC＝EF＝8，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
6．如图，△ABC是锐角三角形，E是 BC的中点，分别以AB，AC为腰向外侧作等腰三角形 ABM 和等腰三角形 ACN. D，F分别是底边 BM，CN的中点，连结 DE，EF.若∠BAM=∠CAN=θ(θ是锐角)，则∠DEF 的度数是 ( )
A．180°-2θ B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连结MC交AB于点L，交EF于点I，连结BN交DE于点H，交MC于点G.
∵∠BAM=∠CAN=θ，
∴∠MAC=∠BAN=∠BAC+θ.
∵△ABM和△ACN是分别以BM，CN为底边的等腰三角形，
∴AM=AB，AC=AN.
在△AMC和△ABN中，
∵
∴△AMC≌△ABN(SAS)，
∴∠AMC=∠ABN，
∴∠BGM=∠BLM-∠ABN=∠BLM-∠AMC=∠BAM=θ.
∵E，D，F分别是BC，BM，CN的中点，
∴DE∥MC，EF∥BN，
∴四边形EHGI是平行四边形，
∴∠DEF=∠BGC=180°-∠BGM=180°-θ.
故选：B.
【分析】连接MC交AB于点L， 交EF于点I， 连接BN交DE于点H，交MC于点G，可证明 和 N， 得 可推导出 由三角形的中位线定理得 ，则四边形EHGI是平行四边形，得到 ，于是得到问题的答案.
7． 如图，点 A，B，C在同一直线上，点 D，E，F，G在同一直线上，且 AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF 与 BE 交于点 H，
BG与CF 交于点I，则图中平行四边形有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵ AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，
∴四边形ADEB、四边形ADFC、四边形AFGB、四边形BEFC、四边形BHFI都是平行四边形.
故选：B.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答.
8．（2022八下·温州期中）如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
【分析】如图，延长HD交AG于点Q，由 DECF性质得DF∥CE，ED∥CF，从而得∠CFH=∠EDQ，易证明四边形HQEC为平行四边形，由平行四边形性质得EQ=CH，∠EQD=∠CHF，易证△EDQ≌△CHF，即得S△EDQ=S△CHF，从而得到S HQEC=S DECF，由△ABC的面积为24，可得到S△BEC=24，又有AD=CD，所以S△BDC=S△ABC=16，从而求得S△DEC=8，进而求出S HQEC=2S△DEC=16，最后由S△AHC=S HQEC即可求得其面积.
二、填空题
9． 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线 AC，BD 相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形，你添加的条件是： .
【答案】答案不唯一，如OB=OD，AB∥CD等
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OB=OD.
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答.
10．（2025八下·柯桥期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 ．（填序号）
【答案】③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
四边形ABCD不是平行四边形，不符合题意；
如图，
，
，
，
无法判断四边形ABCD不是平行四边形，不符合题意；
如图③，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，③符合题意.
故答案为：③.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
11． 如图所示， 四边形 的对角线相交于点 ． 请添加一个条件， 使四边形 是平行四边形： (写一个即可)．
【答案】AD∥BC(案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件可以是AD∥BC，
在四边形ABCD中，∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：AD∥BC，开放性命题，答案不唯一.
【分析】由于题干中已经给出了一组对边平行，根据平行四边形的判定定理添加的条件可以是另一组对边平行或平行的这组对边相等或一组对角相等.
12．（2025八下·龙港期中） 如图，点G是等边三角形ABC内任意一点，GD//BC，GE//AC，GF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB=6，则DG+EG+FG= .
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=6，
∵GF∥AB，GE∥AC，
∴∠GHE=∠B=60°，∠GEH=∠C=60°，
∴△GEH与△FCH都是等边三角形，
∴GE=GH，FH=HC，
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC，FH∥AB，
∴四边形BDGH是平行四边形，
∴DG=BH，
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为：6.
【分析】延长FG交BC于点H，由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=6，由二直线平行，同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形， 由等边三角形的三边相等得GE=GH，FH=HC，从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DG=BH，从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC，此题得解.
13． 如图，在3×3的正方形网格中，以线段 AB 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作 个.
【答案】5
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，可以作出5个符合题意的平行四边形.
故答案为：D.
【分析】根据AB为边和AB为对角线两种情况作出平行四边形解答即可.
14．（2024八下·金华期末）如图，过内的点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H.连结AF，AG，FG.已知与的面积分别为m，n.
（1）若点P是的对称中心，则 ；
（2）的面积为 （用含m、n的代数式表示）.
【答案】（1）
（2）2m+n
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，点P是 ABCD的对称中心，连接AC、BD．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD．
∴AB∥FH∥CD，AD∥EG∥BC．
∴四边形AEPH为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形CFPG为平行四边形，四边形AEGD为平行四边形．
设四边形ABCD的面积为S，
∴S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG．
∵点P是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，
∴S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接BD，
由平行四边形的性质，点P在BD上．
由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形．
∵S△ABD=S△BEP+S AEPH+S△DHP=S△BCD=S△BPF+S CFPG+S△DPG，
又S△BEP=S△BFP，S△DHP=S△DPG，
∴S AEPH=S CFPG=n.
∵S ABCD=S△AFG+S△ABF+S△CFG+S△ADG，
又S△AFG=m，S△ABF=S ABFH，S△CFG=S CFPG=n，S△ADG=S AEGD，
∴S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD）．
又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，
∴S ABCD=m+n+S ABCD．
∴S ABCD=m+n.
∴S ABCD=2m+n.
故答案为：2m+n.
【分析】（1）依据题意，连接AC、BD，根据平行四边形的判定及性质得出四边形AEPH为平行四边形，再根据中心对称的性质设四边形ABCD的面积为S，可得S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG，又点P是平行四边形ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质及中心对称图形的性质得S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，则S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，从而即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质及判定可得由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形，根据平行四边形的性质得S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD），结合图形可得又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，从而即可得出S ABCD=m+n，此题得解了.
三、解答题
15．求作□ABCD，使得边BC=5cm ，对角线 AC=6 cm，BD=8cm.
【答案】解：如图：
先作出线段BC=5cm，
∵对角线.AC=6cm，BD=8cm，
∴以点B为圆心，BD的一半4cm为半径作圆弧，以点C为圆心，AC的一半3cm为半径作圆弧，交于点O，
然后延长BO至点D，使得OB=OD；延长CO至点C，使得OC=OA，
最后连接AB、CD、AD， 四边形ABCD即为所求平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】先作△BOC，然后把BO和AO延长一倍到点D和A，再连接AB、CD、AD得到四边形即可.
16．（2025·西湖模拟）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，且，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为4cm.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，结合条件得，即可根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质以及平行线的性质得，进行等量代换得，于是根据等腰三角形的判定得，然后求出，结合等腰三角形的判定得出即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
17．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
18．（2024八下·北仑期中）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，则∠B= °．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
（3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF＝8时，求AC的长．
（4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝4cm，求△APF的面积．
【答案】（1）60
（2）4.8或8或9.6
（3）解：如图3，延长AE交CF于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝∠HCE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠HEC＝90°，
∵CE＝CE，
∴△AEC≌△HEC（ASA），
∴AE＝EH，AC＝CH，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠HFE，
∵∠AEB＝∠HEF，
∴△ABE≌△HEF（AAS），
∴AB＝FH，
∵AB＝CD，
∴FH＝CD，
∵DF＝DH+FH＝DH+CD＝CH＝8，
∴AC＝CH＝8；
∴AC的长为8；
（4）解：如图2，作CH⊥AD于H，
∵△PDC是等边三角形，
∴CD＝PD＝AB＝4cm，∠DCH＝30°，DH＝PD=2cm，
∴CH＝cm，
∴S△PCD＝cm2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB=CD
∴S△PBC＝S△FAB＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABP+S△PCD＝S平行四边形ABCD，
∴S△APF+S△ABP＝S△ABP+S△PCD，
∴S△APF＝S△PCD＝cm2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC，
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D＝∠B＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，
∴PD∥BQ．
要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，根据题意可知：AP＝t cm，AD＝6cm，
①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝6﹣2t，
解得t＝0，不合题意；
②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝2t﹣6，
解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝18﹣2t，
解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝2t﹣18，
解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：4.8或8或9.6；【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义得到∠DPC=∠DCP，由等角对等边得到DP=DC，从而根据三边相等的三角形是等边三角形得△PDC是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠D=60°，再根据平行四边形的对角相等得∠B=∠D=60°；
（2）分0（3）延长AE交CF于点H，用ASA证明△AEC≌△HEC，可得AE=EH，AC-CH，再用AAS证明△ABE≌△HEF，得AB=FH，然后利用线段的和差即可解决问题；
（4）作CH⊥AD于点H，由等边三角形的性质得CD＝PD＝AB＝4cm，∠DCH＝30°，DH＝PD=2cm，根据含30°角直角三角形的性质得CH＝cm，求出S△PCD；根据平行线间的距离处处相等、平行四边形的面积计算方法及三角形面积公式得到S△APF＝S△PCD，从而即可得到答案.
1 / 14.4 平行四边形的判定定理—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025八下·瑞安期中）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BC
C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC
2．在四边形ABCD中，现给出下列结论：
①若四边形ABCD 是平行四边形，则AC=BD；
②若AB∥CD，∠A=∠C，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AB=CD，∠A=∠C，则四边形 ABCD是平行四边形.
其中正确的结论是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有②
3．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，则他带的碎玻璃编号是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
4．（2025八下·临平月考）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径作弧；②以点D为圆心，AB长为半径作弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别相等 D．对角线互相平分
5．（2024八下·嵊州月考）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，△ABC是锐角三角形，E是 BC的中点，分别以AB，AC为腰向外侧作等腰三角形 ABM 和等腰三角形 ACN. D，F分别是底边 BM，CN的中点，连结 DE，EF.若∠BAM=∠CAN=θ(θ是锐角)，则∠DEF 的度数是 ( )
A．180°-2θ B． C． D．
7． 如图，点 A，B，C在同一直线上，点 D，E，F，G在同一直线上，且 AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF 与 BE 交于点 H，
BG与CF 交于点I，则图中平行四边形有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
8．（2022八下·温州期中）如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、填空题
9． 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线 AC，BD 相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形，你添加的条件是： .
10．（2025八下·柯桥期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 ．（填序号）
11． 如图所示， 四边形 的对角线相交于点 ． 请添加一个条件， 使四边形 是平行四边形： (写一个即可)．
12．（2025八下·龙港期中） 如图，点G是等边三角形ABC内任意一点，GD//BC，GE//AC，GF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB=6，则DG+EG+FG= .
13． 如图，在3×3的正方形网格中，以线段 AB 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作 个.
14．（2024八下·金华期末）如图，过内的点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H.连结AF，AG，FG.已知与的面积分别为m，n.
（1）若点P是的对称中心，则 ；
（2）的面积为 （用含m、n的代数式表示）.
三、解答题
15．求作□ABCD，使得边BC=5cm ，对角线 AC=6 cm，BD=8cm.
16．（2025·西湖模拟）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，且，求的长．
17．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
18．（2024八下·北仑期中）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，则∠B= °．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
（3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF＝8时，求AC的长．
（4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝4cm，求△APF的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①若四边形ABCD是平行四边形，则AC，BD互相平分，故①错误；
②∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°.
∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③若AB=CD，∠A=∠C，则四边形ABCD不一定是平行四边形，如图.
故③错误.
故选D.
【分析】根据平行四边形的性质和判定逐项判断解答即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为： C.
【分析】根据平行四边形的判定解答即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可得CD=AB，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴判定四边形ABCD为平行四边形的依据是两组对边分别相等.
故答案为：C.
【分析】由作图过程知CD=AB，BC=AD，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形DEFC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DC＝EF＝8，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连结MC交AB于点L，交EF于点I，连结BN交DE于点H，交MC于点G.
∵∠BAM=∠CAN=θ，
∴∠MAC=∠BAN=∠BAC+θ.
∵△ABM和△ACN是分别以BM，CN为底边的等腰三角形，
∴AM=AB，AC=AN.
在△AMC和△ABN中，
∵
∴△AMC≌△ABN(SAS)，
∴∠AMC=∠ABN，
∴∠BGM=∠BLM-∠ABN=∠BLM-∠AMC=∠BAM=θ.
∵E，D，F分别是BC，BM，CN的中点，
∴DE∥MC，EF∥BN，
∴四边形EHGI是平行四边形，
∴∠DEF=∠BGC=180°-∠BGM=180°-θ.
故选：B.
【分析】连接MC交AB于点L， 交EF于点I， 连接BN交DE于点H，交MC于点G，可证明 和 N， 得 可推导出 由三角形的中位线定理得 ，则四边形EHGI是平行四边形，得到 ，于是得到问题的答案.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵ AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，
∴四边形ADEB、四边形ADFC、四边形AFGB、四边形BEFC、四边形BHFI都是平行四边形.
故选：B.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
【分析】如图，延长HD交AG于点Q，由 DECF性质得DF∥CE，ED∥CF，从而得∠CFH=∠EDQ，易证明四边形HQEC为平行四边形，由平行四边形性质得EQ=CH，∠EQD=∠CHF，易证△EDQ≌△CHF，即得S△EDQ=S△CHF，从而得到S HQEC=S DECF，由△ABC的面积为24，可得到S△BEC=24，又有AD=CD，所以S△BDC=S△ABC=16，从而求得S△DEC=8，进而求出S HQEC=2S△DEC=16，最后由S△AHC=S HQEC即可求得其面积.
9．【答案】答案不唯一，如OB=OD，AB∥CD等
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OB=OD.
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答.
10．【答案】③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
四边形ABCD不是平行四边形，不符合题意；
如图，
，
，
，
无法判断四边形ABCD不是平行四边形，不符合题意；
如图③，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，③符合题意.
故答案为：③.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
11．【答案】AD∥BC(案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件可以是AD∥BC，
在四边形ABCD中，∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：AD∥BC，开放性命题，答案不唯一.
【分析】由于题干中已经给出了一组对边平行，根据平行四边形的判定定理添加的条件可以是另一组对边平行或平行的这组对边相等或一组对角相等.
12．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=6，
∵GF∥AB，GE∥AC，
∴∠GHE=∠B=60°，∠GEH=∠C=60°，
∴△GEH与△FCH都是等边三角形，
∴GE=GH，FH=HC，
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC，FH∥AB，
∴四边形BDGH是平行四边形，
∴DG=BH，
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为：6.
【分析】延长FG交BC于点H，由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=6，由二直线平行，同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形， 由等边三角形的三边相等得GE=GH，FH=HC，从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DG=BH，从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC，此题得解.
13．【答案】5
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，可以作出5个符合题意的平行四边形.
故答案为：D.
【分析】根据AB为边和AB为对角线两种情况作出平行四边形解答即可.
14．【答案】（1）
（2）2m+n
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，点P是 ABCD的对称中心，连接AC、BD．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD．
∴AB∥FH∥CD，AD∥EG∥BC．
∴四边形AEPH为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形CFPG为平行四边形，四边形AEGD为平行四边形．
设四边形ABCD的面积为S，
∴S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG．
∵点P是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，
∴S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接BD，
由平行四边形的性质，点P在BD上．
由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形．
∵S△ABD=S△BEP+S AEPH+S△DHP=S△BCD=S△BPF+S CFPG+S△DPG，
又S△BEP=S△BFP，S△DHP=S△DPG，
∴S AEPH=S CFPG=n.
∵S ABCD=S△AFG+S△ABF+S△CFG+S△ADG，
又S△AFG=m，S△ABF=S ABFH，S△CFG=S CFPG=n，S△ADG=S AEGD，
∴S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD）．
又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，
∴S ABCD=m+n+S ABCD．
∴S ABCD=m+n.
∴S ABCD=2m+n.
故答案为：2m+n.
【分析】（1）依据题意，连接AC、BD，根据平行四边形的判定及性质得出四边形AEPH为平行四边形，再根据中心对称的性质设四边形ABCD的面积为S，可得S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG，又点P是平行四边形ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质及中心对称图形的性质得S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，则S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，从而即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质及判定可得由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形，根据平行四边形的性质得S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD），结合图形可得又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，从而即可得出S ABCD=m+n，此题得解了.
15．【答案】解：如图：
先作出线段BC=5cm，
∵对角线.AC=6cm，BD=8cm，
∴以点B为圆心，BD的一半4cm为半径作圆弧，以点C为圆心，AC的一半3cm为半径作圆弧，交于点O，
然后延长BO至点D，使得OB=OD；延长CO至点C，使得OC=OA，
最后连接AB、CD、AD， 四边形ABCD即为所求平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】先作△BOC，然后把BO和AO延长一倍到点D和A，再连接AB、CD、AD得到四边形即可.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为4cm.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，结合条件得，即可根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质以及平行线的性质得，进行等量代换得，于是根据等腰三角形的判定得，然后求出，结合等腰三角形的判定得出即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
17．【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
18．【答案】（1）60
（2）4.8或8或9.6
（3）解：如图3，延长AE交CF于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝∠HCE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠HEC＝90°，
∵CE＝CE，
∴△AEC≌△HEC（ASA），
∴AE＝EH，AC＝CH，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠HFE，
∵∠AEB＝∠HEF，
∴△ABE≌△HEF（AAS），
∴AB＝FH，
∵AB＝CD，
∴FH＝CD，
∵DF＝DH+FH＝DH+CD＝CH＝8，
∴AC＝CH＝8；
∴AC的长为8；
（4）解：如图2，作CH⊥AD于H，
∵△PDC是等边三角形，
∴CD＝PD＝AB＝4cm，∠DCH＝30°，DH＝PD=2cm，
∴CH＝cm，
∴S△PCD＝cm2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB=CD
∴S△PBC＝S△FAB＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABP+S△PCD＝S平行四边形ABCD，
∴S△APF+S△ABP＝S△ABP+S△PCD，
∴S△APF＝S△PCD＝cm2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC，
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D＝∠B＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，
∴PD∥BQ．
要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，根据题意可知：AP＝t cm，AD＝6cm，
①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝6﹣2t，
解得t＝0，不合题意；
②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝2t﹣6，
解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝18﹣2t，
解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，
∴6﹣0.5t＝2t﹣18，
解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：4.8或8或9.6；【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义得到∠DPC=∠DCP，由等角对等边得到DP=DC，从而根据三边相等的三角形是等边三角形得△PDC是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠D=60°，再根据平行四边形的对角相等得∠B=∠D=60°；
（2）分0（3）延长AE交CF于点H，用ASA证明△AEC≌△HEC，可得AE=EH，AC-CH，再用AAS证明△ABE≌△HEF，得AB=FH，然后利用线段的和差即可解决问题；
（4）作CH⊥AD于点H，由等边三角形的性质得CD＝PD＝AB＝4cm，∠DCH＝30°，DH＝PD=2cm，根据含30°角直角三角形的性质得CH＝cm，求出S△PCD；根据平行线间的距离处处相等、平行四边形的面积计算方法及三角形面积公式得到S△APF＝S△PCD，从而即可得到答案.
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