浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形核心素养评估测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026九上·温岭期末）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的 镂空砖雕图案不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、此选项中的 镂空砖雕图案不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、此选项中的 镂空砖雕图案不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、此选项中的 镂空砖雕图案是中心对称图形，故该选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2026九上·临海期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：绕点A逆时针旋转得到，
，，
是等腰三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质得AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BAB'=30°，从而即可得出答案.
3．（2026九上·雨花期末）已知（a，-2）和（3，b）关于原点对称，则（a+b）2026的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-52026 D．52026
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和关于原点对称，
∴（横纵坐标均互为相反数），
∴．
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代入计算即可．
4．（2026八上·祁东期末）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、用反证法证明“a>b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可.
5．（2026八上·海珠期末） 如图， 在四边形ABCD中， BD平分∠ABC， 且AD=CD，若∠CBD=m， 则∠ADC一定等于 （ )
A．3m B．90°+2m C．180°-2m D．180°-m
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴ DE=DF，∠ABD=∠CBD=α，
在Rt△ADE和Rt△CDF中：AD=CD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ ∠ADC= ∠CDF+∠ADF =∠ADE+∠ADF=∠EDF，
∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2m，
∴∠ADC=180°-2m，
故答案为：C.
【分析】作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，首先根据角平分线的性质可得出DE=DF，再根据HL可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，进而得出∠ADE=∠CDF，进一步根据四边形内角和即可得出∠ADC=∠EDF=180°-2m。
6．如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则符合要求的直线可以画（ )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过PQ中点的直线即可将这个图形分成面积相等的两个部分，共有无数条.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？( )
A．AC B．BC C．CD D．AD
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为( )
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
9．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
10．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州月考）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
【分析】根据多边形内角和公式（为边数，且为整数 ） 再结合该多项式内角和为720°列出方程，求解即可.
12．（2025八下·东莞期中）平行四边形中，，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∴，而，
∴，
故答案为．
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边互相平行，因此同旁内角互补，即，将代入该等式，计算即可求出的度数。
13．如图，将该图案绕其中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 .
【答案】72
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转 的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72.
故答案为：72.
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是 并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，据此解答即可.
14．（2025八下·柳江期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故可添加，
根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，
故可添加，
故答案为：．（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，已知四边形有一组对边，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”添加条件，添加可满足一组对边平行且相等，添加可满足两组对边分别相等，任选其一即可。
15．（2025·凉州模拟）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题可知：，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点A作于点H，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。由旋转可知：，，；
根据等腰直角三角形判定：且，所以为等腰直角三角形，斜边。
添加辅助线：过点作于点，根据等腰直角三角形的性质，可得。
最后利用勾股定理计算的长度。
16．（2025八上·长兴期中）如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为 .
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（2026九上·龙马潭期末） 如图， 在 中，E是 CD的中点，AE的延长线与 BC的延长线相交于点 F.
求证： CF=BC.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE=CE.
在△ADE 和△FCE 中
∴△ADE≌△FCE (AAS)，
∴AD=CF，
∴CF=BC.
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠DAE=∠F，再证明△ADE≌△FCE，最后由全等三角形的对应边相等解题即可.
18．（2026九上·增城期末） 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）写出，，三个点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，．
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
19． 如图所示，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，垂足为 B，∠A = 130°，∠C=2∠D，∠E-∠D=50°，求∠D 的度数.
【答案】解：五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°.
∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
又∵∠A=130°，
∴∠C+∠D+∠E=540°-90°-130°=320°.
∵∠C=2∠D，∠E-∠D=50°，
∴2∠D+∠D+50°+∠D=320°，
∴∠D=67.5°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【分析】先根据多边形内角和公式求出五边形内角和，再结合已知角的度数以及∠D与∠B的关系，从而求出∠D的度数.
20．（2025·南京会考）如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
21．（2026九上·诸暨期末）如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
22．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则 ．
是2的倍数，
，
可设（为正整数），则，
，即，
，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
【答案】②；④；①；③；②④①③
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，
是2的倍数，
可设（为正整数），则，
，
即，
是2的倍数，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
故答案为：②④①③
【分析】利用反证法假设是有理数，利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确.
23．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
24．（2025八下·义乌期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
1 / 1浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形核心素养评估测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026九上·温岭期末）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·临海期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026九上·雨花期末）已知（a，-2）和（3，b）关于原点对称，则（a+b）2026的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-52026 D．52026
4．（2026八上·祁东期末）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
5．（2026八上·海珠期末） 如图， 在四边形ABCD中， BD平分∠ABC， 且AD=CD，若∠CBD=m， 则∠ADC一定等于 （ )
A．3m B．90°+2m C．180°-2m D．180°-m
6．如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则符合要求的直线可以画（ )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？( )
A．AC B．BC C．CD D．AD
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为( )
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
9．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州月考）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ．
12．（2025八下·东莞期中）平行四边形中，，则 ．
13．如图，将该图案绕其中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 .
14．（2025八下·柳江期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ．
15．（2025·凉州模拟）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为 ．
16．（2025八上·长兴期中）如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为 .
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（2026九上·龙马潭期末） 如图， 在 中，E是 CD的中点，AE的延长线与 BC的延长线相交于点 F.
求证： CF=BC.
18．（2026九上·增城期末） 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）写出，，三个点的坐标．
19． 如图所示，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，垂足为 B，∠A = 130°，∠C=2∠D，∠E-∠D=50°，求∠D 的度数.
20．（2025·南京会考）如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
21．（2026九上·诸暨期末）如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
22．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则 ．
是2的倍数，
，
可设（为正整数），则，
，即，
，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
23．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
24．（2025八下·义乌期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的 镂空砖雕图案不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、此选项中的 镂空砖雕图案不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、此选项中的 镂空砖雕图案不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、此选项中的 镂空砖雕图案是中心对称图形，故该选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：绕点A逆时针旋转得到，
，，
是等腰三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质得AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BAB'=30°，从而即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和关于原点对称，
∴（横纵坐标均互为相反数），
∴．
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代入计算即可．
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、用反证法证明“a>b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴ DE=DF，∠ABD=∠CBD=α，
在Rt△ADE和Rt△CDF中：AD=CD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ ∠ADC= ∠CDF+∠ADF =∠ADE+∠ADF=∠EDF，
∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2m，
∴∠ADC=180°-2m，
故答案为：C.
【分析】作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，首先根据角平分线的性质可得出DE=DF，再根据HL可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，进而得出∠ADE=∠CDF，进一步根据四边形内角和即可得出∠ADC=∠EDF=180°-2m。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过PQ中点的直线即可将这个图形分成面积相等的两个部分，共有无数条.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
【分析】根据多边形内角和公式（为边数，且为整数 ） 再结合该多项式内角和为720°列出方程，求解即可.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∴，而，
∴，
故答案为．
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边互相平行，因此同旁内角互补，即，将代入该等式，计算即可求出的度数。
13．【答案】72
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转 的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72.
故答案为：72.
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是 并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，据此解答即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故可添加，
根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，
故可添加，
故答案为：．（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，已知四边形有一组对边，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”添加条件，添加可满足一组对边平行且相等，添加可满足两组对边分别相等，任选其一即可。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题可知：，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点A作于点H，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。由旋转可知：，，；
根据等腰直角三角形判定：且，所以为等腰直角三角形，斜边。
添加辅助线：过点作于点，根据等腰直角三角形的性质，可得。
最后利用勾股定理计算的长度。
16．【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE=CE.
在△ADE 和△FCE 中
∴△ADE≌△FCE (AAS)，
∴AD=CF，
∴CF=BC.
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠DAE=∠F，再证明△ADE≌△FCE，最后由全等三角形的对应边相等解题即可.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，．
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
19．【答案】解：五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°.
∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
又∵∠A=130°，
∴∠C+∠D+∠E=540°-90°-130°=320°.
∵∠C=2∠D，∠E-∠D=50°，
∴2∠D+∠D+50°+∠D=320°，
∴∠D=67.5°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【分析】先根据多边形内角和公式求出五边形内角和，再结合已知角的度数以及∠D与∠B的关系，从而求出∠D的度数.
20．【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
22．【答案】②；④；①；③；②④①③
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，
是2的倍数，
可设（为正整数），则，
，
即，
是2的倍数，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
故答案为：②④①③
【分析】利用反证法假设是有理数，利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
24．【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
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