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5.1矩形（第1课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（ ）
A．46° B．36° C．54° D．56°
5．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等
C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等
6．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是________．
8．如图，在矩形中，，，与交于点，则与的周长差为____________．
9．如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为________．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数．
11．如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？
12．把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．所在直线为矩形的对称轴
16．在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
17．如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________．
20．如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是______．
21．已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
22．如下图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，点C的对应点是交于点F．
(1)重合部分是什么图形？请说明理由．
(2)若，求的面积．
23．【理解概念】
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”．
(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________；
(2)钝角三角形的“矩形框”有___________个；
(3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长。
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《5.1矩形（第1课时） 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 12 13 14 15
答案 B C A B D B B C C B
题号 16 17 18
答案 B D A
1．B
【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点，
∴，，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵矩形的四个角都是直角，
∴；
故A正确，不符合题意；
∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴，，
∴；
故B、D正确，不符合题意；
C错误，符合题意；
故选：C
3．A
【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等求解．
【详解】解： 直线，
．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．由平行线的性质可得，由矩形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意；
、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等，
∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意；
、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行，
∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意；
、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质，
∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意；
故选：．
6．B
【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系．
【详解】∵，，
∴．
故选：B．
7．5
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，由矩形的性质得到即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5 ．
8．2
【分析】根据矩形的性质，结合三角形的周长即可求解．
【详解】四边形为矩形，，，
，，
，
与的周长之差为2．
9．
【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立与矩形的性质，掌握利用矩形对边平行且相等的性质，结合坐标系的方向确定点的坐标是解题的关键．
先根据坐标系的建立规则，确定上点的坐标；再结合矩形对边平行且相等的性质，利用的边长，推导点的坐标．
【详解】解：以的中点为坐标原点，边所在直线为轴：
∵，为中点，
∴，
∴点坐标为，点坐标为，
∵矩形中，，且平行于轴，
∴点由点向右平移个单位得到，坐标为．
故答案为：．
10．＝28°．
【分析】四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到，又，由等腰三角形性质得到∠OBA＝62°，由得∠AEB＝90°，直角三角形两锐角互余得到的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴．
∴△AOB是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11．．
【分析】本题考查了平移的概念和性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键；
通过平移将土地内的小路变成“L”形，然后计算出草坪的长和宽就能计算出草坪的面积．
【详解】解：如图，通过平移可将小路转化为“”形图案，
则草坪部分转化为宽为，长为的长方形，
草坪部分的面积．
12．B
【分析】本题考查了折叠问题，由题意得，；根据，即可求解.
【详解】解：∵，，
∴；
∴；
由折叠可知：，
∴
故选：B.
13．C
【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案．
【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确；
∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确；
根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确；
矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误；
矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误；
综上，正确的说法有①②③，共3个，
故选：C．
14．C
【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
15．B
【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断．
【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
16．B
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案．
【详解】解：在矩形中，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
17．D
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，由可得，推出即可求解．
【详解】解：由翻折可得，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选项D不符合题意；
矩形，
，
，
，
，
故选项A不符合题意；
根据现有条件无法证明选项BC；
故选：D．
18．A
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
，，
，
，
故选：A．
19．
【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键．
矩形的对角线互相平分且相等，因此，的周长等同于．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
的周长为．
故答案为：．
20．
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
21．见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
22．(1)等腰三角形，见解析
(2)10
【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，等角对等边判定等腰三角形，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键．
（1）根据矩形与折叠的性质得到，，由此即可求解；
（2）设，则，由勾股定理，得，得到，根据面积即可求解．
【详解】（1）解：重合部分是等腰三角形，
理由：四边形是矩形，
，
是由折叠得到的，
，
，
∴重合部分是等腰三角形．
（2）解：设，
四边形是矩形，
，
．
由勾股定理，得，
即，
解得，即，
．
23．(1)
(2)1
(3)或
【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键．
（1）利用面积公式可直接得到答案；
（2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案；
（2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案；
【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框”
∴；
故答案为：
（2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个，
故答案为：1
（3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为；
当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D．
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴周长为．
综上，的“矩形框”的周长为或．
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