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5.1矩形（第2课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C．8 D．4
3．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
5．下列四边形中，不一定为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为( )
A． B． C． D．
7．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________．
8．如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是______．
9．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________
10．如图，四边形的对角线与相交于点，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
11．如图，，过点作，垂足为，在边上，， ．求证：．
12．如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
13．下列命题中，不成立的是（ ）
A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
14．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
16．如图．在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为（ ）
A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4
17．如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形．
20．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________．
21．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞_____．
22．如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：．
23．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：．
24．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度．
25．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点作直线交于点．在边上存在一点、当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题：
(1)若，则________；
(2)若，则________；
(3)连结，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长．
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《5.1矩形（第2课时） 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 12 13 14 15
答案 B D B C A A D D B D
题号 16 17 18
答案 A A D
1．B
【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，
根据判定定理逐项判断即可.
【详解】解：∵，
∴是菱形，则A不符合题意；
∵，
∴是矩形，则B符合题意；
当四边形是时，，则C不符合题意；
∵，
∴是菱形，则D不符合题意.
故选：B.
2．D
【分析】本题主要考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，从而是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解得．
【详解】解∶∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解．
【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案．
【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，
∴书架是平行四边形，
∵书架的对角线相等，
∴书架是矩形，
∴书架是四个角都是直角，
这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键．
先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项．
【详解】解：选项：
∵，，
∴四边形是平行四边形．
由于无直角条件，所以无法判定为矩形．
选项：
∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为，
∴第四个角也是直角．
∴四边形是矩形．
选项：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形．
选项：
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴．
∴．
∴平行四边形是矩形．
故选：．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：，，，
，
如图，连接，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时，
，
即线段的最小值为，
故选：A．
7．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．
先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论．
【详解】解：已知四边形是平行四边形，
若对角线，
则平行四边形是矩形，
其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
8．/60度
【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等．由作图得：平分，垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质可得，即可求解．
【详解】解：由作图得：平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
9．(答案不唯一)
【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
若，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形，
故答案为：．
10．(1)见解析
(2)的周长是3
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键；
（1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论；
（2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长.
【详解】（1）证明：在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形．
∴, ．
又∵，
∴．
（2）解：∵，四边形是平行四边形．
∴平行四边形是矩形．
∴．即．
∴，
即的周长是3．
11．见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：，
∴，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
12．D
【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，，
四边形是平行四边形，
，，，，
即，
，
四边形是矩形；
故A选项不符合题意；
B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等，
四边形是矩形；
故B选项不符合题意；
C、观察图形可知，，
四边形是矩形；
故C选项不符合题意；
D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形，
故D选项符合题意．
故选：D．
13．D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，成立，不符合题意；
B、对角互补的平行四边形是矩形，成立，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，成立，不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等但不是矩形，故该命题不成立，符合题意．
故选：D．
14．B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
过点D作轴于点M，作轴于点N，则四边形是矩形，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可．
【详解】解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，
∴，
由翻折的性质得：，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为．
故选：B
15．D
【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，由勾股定理得出，连接，由直角三角形的性质得出，再证明四边形为矩形，即可得出答案．
【详解】解：在 中，，
，
如图，连接，
∵是斜边的中点，
，
，
，
∴四边形为矩形，
，
故选：D．
16．A
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，矩形性质的运用是解题的关键；连接，证明四边形是矩形，则，当时，最短，从而最小，利用面积关系求出的最小值即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
当时，最短，从而最小；
∵，，
∴由勾股定理得；
∵当时，，
∴，
即的最小值为，从而的最小值为．
故选：A．
17．A
【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可．
【详解】解：添加条件为：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
故选：A．
18．D
【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解．
【详解】解：∵，即，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
∵平移到，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
∴，故②正确；
∵四边形是矩形，
∴，，故④正确，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵平分，即，
∴，
∴平分，故③正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D ．
19．
【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可．
【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
故答案为：45．
20．3
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解．
【详解】解：如图，作于M，交于N；
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
21．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质与判定，过点作于C，则可证明四边形矩形得到的长，再求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于C，
∵，
∴四边形矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
则小鸟至少要飞，
故答案为：．
22．证明见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证．
【详解】证明：如图，延长至，使得，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
23．证明见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
24．米，米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用．首先得出，进而得出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：作，垂足分别是E、F，
则由题意得：，
∴四边形是矩形，
同理，四边形是矩形，
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
则，
所以，
所以，
又因为由勾股定理得，
所以．
答：旗杆的高度为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．
25．(1)2
(2)3
(3)2或
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，
对于（1），先说明四边形是矩形，再说明，根据得出答案；
对于（2），仿照（1）解答即可；
对于（3），分，情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）如图所示，根据题意可知，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
故答案为：2；
（2）∵，
∴，
∴；
故答案为：3；
（3）2或.
当时，
∴，
∴；
当时，
根据勾股定理，得，
解得，
∴．
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