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《5.3正方形（第1课时） 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 12 13 14
答案 B A B A C D A D B D
题号 15 16 17
答案 D B A
1．B
【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案．
【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误；
B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确；
C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误；
D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误；
故选：B．
2．A
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
即或．
故选：A
【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答．
3．B
【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
根据正方形的判定逐个判定即可得到答案．
【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意，
选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意，
选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意，
选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意，
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法．
根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法逐一分析即可．
【详解】解：A．：中心对称是平行四边形的固有性质，无法判断其为矩形；
B．：对边相等是矩形的固有性质，无法判断其为正方形；
C．：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写正确；
D．：对角线互相平分是菱形的固有性质，无法判断其为正方形；
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键．根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．
【详解】解：①，
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
②，；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
③，；
由是平行四边形，可得与互相平分，而，
所以，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
④，，
由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；
由是平行四边形，可得与互相平分，，则，
所以，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确．
则①②③④均能判定是正方形．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）；
故选A．
8．（答案不唯一）
【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．
根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可．
【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形，
∴添加的条件是．
故答案为：（答案不唯一）．
9．不对
【分析】根据文文的选择结合矩形的判定和正方形的判定只能证明四边形是矩形，无法证明为正方形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
再根据现有条件无法证明为正方形，
∴文文选择的不对，
故答案为：不对．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟知矩形的判定和正方形的判定定理是解题的关键．
10．详见解析
【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论．
【详解】证明：四边形为平行四边行，
，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
平行四边形为矩形，
为的平分线，
，
∴，
，
∴平行四边形为正方形
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
11．正方形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，菱形与正方形的判定，掌握先通过勾股定理计算边长判断菱形，再用勾股定理逆定理判断直角，从而确定正方形是解题的关键．
连接对角线，用勾股定理计算四边形各边长度，先判断四边相等为菱形，再通过勾股定理逆定理判断有一个角为直角，从而确定四边形为正方形．
【详解】解：四边形是正方形．
理由：如图，连接．
由勾股定理，得，，
∴四边形是菱形．
，
是直角三角形，且，
∴四边形是正方形．
12．D
【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确；
B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确；
C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确；
D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误．
13．B
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，掌握好特殊平行四边形的判定定理是解题关键．
根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：对于A，对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不满足题意；
对于B，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，满足题意；
对于C，邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确，不满足题意；
对于D，一个角为直角的平行四边形是矩形，故D正确，不满足题意．
故选：B．
14．D
【分析】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，中点四边形，中位线的性质，根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；
B、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；
C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；
D、如图，四边形中，
设四边形各边中点分别为，
∴
又∵，
∴
∴四边形是菱形，即顺次连接四边形各边中点得到的图形是菱形，原说法错误；
故选：D．
15．D
【分析】本题考查了基本作图，矩形和正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的判定定理逐项判断即可．
【详解】根据题意得，，
∴四边形是平行四边形
∵
∴平行四边形是矩形
A．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意；
B．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意；
C．添加，
∵
∴
∴
∴，故可证明矩形是正方形，不符合题意；
D．添加，不能证明矩形是正方形，符合题意；
故选：D．
16．B
【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质与判定等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键．结合图形可知，由菱形变形到正方形所需要的条件，根据菱形的性质以及正方形的判定判断即可作答．
【详解】解：由图可知：
平行四边形中，当时，平行四边形为菱形，
菱形中，，
当时，菱形为正方形，当时，菱形为正方形，
∴所有正确选项的序号是②④．
故选：B．
17．A
【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条件是解题关键．
结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选项．
【详解】解：已知四边形为矩形，且平分，平分．
故，，
可得，，是等腰直角三角形．
选项：由两边平行可得四边形为平行四边形，
再由可得四边形为菱形，
再由可得四边形为正方形，故选项正确；
选项：，，仅可得到，无法证明四边形为正方形，故选项错误；
选项：根据题意可知，故，无法判定正方形，故选项错误；
选项：，，仅能判断是等腰三角形，不能证明，无法判定正方形，故选项错误．
故选：．
18．②
【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解．
【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形，
添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形，
故答案为：②．
19．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键
【详解】解：由折叠得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形
20．(1)见解析
(2)45
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
（1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论；
（2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形．
【详解】（1）证明：∵点D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：当时，四边形是正方形，证明如下：
由（1）可得，且四边形是矩形，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形．
21．见解析
【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论．
【详解】证明：∵菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形为平行四边形形，
又，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴四边形为正方形．
22．(1)直角
(2)见解析
(3)是
【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形；
（2）根据矩形的性质得到，，由折叠性质得到，，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形；
（3）连接，，由E为的中点，得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据折叠的性质得到，，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：依题意，研究报告中“▲”处空缺的内容：直角，
故答案为：直角；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠性质可得：，，
∴四边形是正方形；
（3）解：连接，，
∵E为的中点，
∴，
∵将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵将沿折痕折叠，使点E落在点处，
∴，，
∴，
∴四边形即为正方形，
故答案为：是．
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5.3正方形（第1课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．平分
3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形
5．在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（ ）
A．：中心对称 B．：对边相等
C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分
6．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
8．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________．
9．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的____（填“对”或“不对”）
10．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．
11．如图，图中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在格点（小正方形顶点）上．判断四边形的形状，并说明理由．
12．下列叙述错误的是（ ）
A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．有一个角是直角的菱形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
13．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）．
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是正方形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
14．下列说法中，不正确的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴
D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形
15．如图，已知，，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
16．一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件，
①②③④中，选择其中一个条件填入（）中，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
17．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（ ）
A．， B．，
C． D．，
18．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)．
19．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________．
20．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当 时，四边形是正方形．
21．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形．
22．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务．
关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明： ． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形．
任务：
(1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ；
(2)请补全材料中“…”处的证明过程；
(3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”）
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