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《5.3正方形（第2课时） 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 13 14
答案 C A C D C D C B D D
题号 15 16 17 18 19
答案 A D A B B
1．C
【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断．
【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等，
矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直，
∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直，
故选C．
2．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：四边形为正方形，
，
在中，，
．
故选：．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据正方形的性质得出边长相等，四个内角都是直角，正方形的对角线长为，即可作答．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴该正方形的对角线长为，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案．
【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O，
∴，，，
∴，
∴说法不正确的只有D选项，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了正方形的性质与直角坐标系中坐标的求解，解题的关键是求解出正方形的边长．
由面积可求解出正方形的边长，由此可求解坐标．
【详解】解：正方形的面积为25，
∴，
解得，
即正方形的边长为5，
∵正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，
∴点C的坐标为．
故选：C ．
6．D
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解．
本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 正方形 的对角线.
，
∵四边形是菱形，
，
故选：D ．
7．C
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
根据正方形的性质与判定，菱形的性质进行判断即可．
【详解】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；
菱形的对角线互相垂直， 而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
正方形拥有菱形的一切性质，
故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；
即
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形的面积的一半是解题的关键．
【详解】解：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=，
∵正方形的边长为，
∴阴影部分的面积=．
故选：B．
9．
【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴，，
∵
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
10．5
【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据平分即可求解．
【详解】解：由题意得：平分
∵点P到的距离，
∴点P到直线的距离为5 cm．
故答案为：5
11．图中有8个等腰三角形，并且都是等腰直角三角形．
【分析】分别考虑以正方形的对角线为斜边的等腰三角形和以正方形的边为斜边的等腰三角形即可．
【详解】以正方形的对角线为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△ABC，△ADC，△ABD，△BCD，
以正方形的边为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△AOB，△BOC，△OCD，△AOD，
故总共有8个等腰三角形，且都是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的定义，掌握正方形的性质是关键，另外不要出现遗漏或重复．
12．，理由见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质．
延长交于点，证明即可求解．
【详解】解：，理由如下：
延长交于点，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．D
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D
14．D
【分析】本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质解答是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①是矩形，③是菱形，②是正方形．
故选：D．
15．A
【分析】先证四边形是矩形，再根据可进一步证四边形是正方形，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
∴四边形是矩形
由折叠可得：
∴四边形是正方形
∴
故选：A
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．熟记相关定理内容是解题关键．
16．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点D是斜边的中点，
∴．
故选：D．
17．A
【分析】本题考查了正方形的性质，根据图形可得“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：依题意，“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的，
∵边长为的正方形纸板，
∴“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为，
故选：A．
18．B
【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．由为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可．
【详解】解：∵为正方形与菱形的对角线，
∴．
∵，
∴．
∵菱形中，，
∴．
∴．
故选：B．
19．B
【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键．
20．/75度
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等边三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：
21．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得，再根据勾股定理算出，因为，所以，再在中，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形对角线互相平分且相等，
∴
∴，
∴，
则，
∵，
∴在中，，
故答案为：．
22．见解析
【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质；证即可解答．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案；
（2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解．
【详解】（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
即
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，据此可利用证明；
（2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
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5.3正方形（第2课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（ ）
A．1 B．3 C． D．4
4．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．符号“”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论∶①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“”表示的推出过程正确的是（ ）
A．① ② ③ B．①③② C． D．③①②
8．如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（ ）．
A．4 B．8 C．12 D．16
9．如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________．
10．如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为________cm．
11．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，图中有多少个等腰三角形？
12．如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系 请说明理由．
13．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
15．如图，在矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
16．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
17．如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
20．如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______．
21．如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是________ ．
22．如图，在正方形中，点、分别在边和的延长线上，连接、、，且．求证：．
23．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
24．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
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