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5.2菱形（第2课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．四边相等的四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定
2．如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定
3．如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
4．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可）
8．如图，在中，．将沿方向平移得到，则当________时，四边形是菱形，依据是________________．
9．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形．
10．下列说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
11．要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度
12．如图，四边形的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
13．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
15．学习矩形之后，老师给同学们出了一道题，有下列四个条件：①；②；③；④．从中选一个作为补充条件，使平行四边形为矩形，现有下列四种选法，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
16．如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
17．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________．
18．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________．
19．一个平行四边形的一条边长是，两条对角线的长分别是和，这个平行四边形的面积是______．
20．如图，在四边形中，，过点B作于点E，过点B作于点F．求证：．
21．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求菱形的面积．
22．思思同学在平时的数学学习中喜欢钻研和思考问题，他想要证明命题“被一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形”是真命题，于是她先作了如图所示的四边形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在平行四边形中，连接， 平分．求证：四边形是 ．
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按思思同学的想法完成证明过程．
23．四边形的对角线，相交于点O，，，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）．
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《5.2菱形（第2课时） 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13
答案 B A C A C C D B B C
题号 14 15 16
答案 C B B
1．B
【分析】本题考查的是菱形的判定，根据菱形的判定方法可得答案.
【详解】解：四边相等的四边形一定是菱形.
故选：B
2．A
【分析】本题考查菱形的判定．根据题意，先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可．
【详解】解：如图，过点作于,过点作于
四边形是平行四边形
两张等宽的纸条交叉叠放在一起
四边形是菱形．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质．
利用矩形的性质得出和它们的长度，根据条件判定四边形为菱形，即可求出四边形的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，且
，
又，，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为8．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定；
结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
添加条件①可得是矩形，不是菱形；
条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形；
添加条件③可得是矩形，不是菱形；
添加条件④能判定是菱形；
综上，能够判定是菱形的有1个，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．
根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可．
【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形；
B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形；
C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形；
D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案．
【详解】解；由作图方法可得，
∴四边形是菱形，，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
7．（答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可．
【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由：
∵四边形是平行四边形，，
∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
8． 5 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是关键，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，结合平行四边形的性质分析即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
当四边形是菱形时，，
∴，
上述证明的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
故答案为：①；② 有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
9．证明见解析
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、三线合一，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据等腰三角形的判定和性质得出，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形．
10．D
【分析】本题考查了菱形和矩形的判定和性质，根据菱形、矩形的性质及判定定理逐一分析选项即可.
【详解】A. 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，只有正方形（特殊菱形）的对角线才相等，故A错误；
B. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直是正方形的特性，普通矩形对角线不垂直，故B错误；
C. 邻边相等的平行四边形是菱形，而矩形需满足有一个角为直角或对角线相等，故C错误；
D. 对角线互相垂直平分的四边形必为菱形（因对角线互相平分可得平行四边形，加上垂直则为菱形），故D正确.
故选：D.
11．B
【分析】本题考查菱形的判定．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形．
【详解】A.任选两个角，测量它们的角度，不能判定，此选项错误；
B.测量四条边的长度，可以判定，此选项正确；
C.测量两条对角线的长度，不能判定，此选项错误；
D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度，不能判定，此选项错误．
故选：B．
12．B
【分析】根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形，故选项A，C正确；
当时，但与可能不相等，四边形不是菱形，故选项B错误；
当时，
由得：，
，
，
平行四边形是菱形，故选项D正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和判定．
13．C
【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∵点、、、分别为四边形各边中点，
∴，
∴，
故选项C正确，选项A，B，D不正确，
故选：C．
14．C
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的判定定理和性质．
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，得出四边形为菱形，再根据菱形的性质求解即可．
【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形，
∴四边形为菱形，
∴四边形的周长为，
故选：C．
15．B
【分析】此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．
利用矩形、菱形与平行四边形之间的关系，结合矩形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】解：A．∵四边形是平行四边形，当①时，平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意；
B．∵四边形是平行四边形，当②时，平行四边形是矩形，故此选项正确，符合题意；
C．∵四边形是平行四边形，
∴当③时，无法得出四边形是矩形，故此选项错误，不符合题意；
D．∵四边形是平行四边形，
∴当④时，平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
16．B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先根据菱形的性质可得，，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵菱形的边长为5，且，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
17．70
【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴四边形是菱形，则，
又∵，
，
故答案为70．
18． 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键．
根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案．
【详解】解：∵在中，，，，
，
又∵，
∴,
，即，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
19．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定和性质，利用平行四边形的性质和勾股定理的逆定理可得，即得平行四边形是菱形，再根据菱形的面积公式计算即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，平行四边形中，，，，
则，，
∵，
∴是直角三角形，，即，
∴平行四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
20．见解析
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，先证明四边形为菱形，得出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)证明见详解
(2)54
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用．
（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果；
（2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点为的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∴菱形的面积为．
22．(1)，菱形
(2)见解析
【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法，是解题的关键：
（1）根据题意，补全已知和求证即可；
（2）根据平行四边形的性质结合角平分线的性质，推出，即可得证．
【详解】（1）解：补全已知和求证如下：
已知：如图，在平行四边形中，连接，平分．求证：四边形是菱形；
故答案为：，菱形；
（2）∵平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
23．(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明；
（2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O，
∴点A和点C关于所在直线对称，
∴；
∵，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，与线段相等的线段有，，，．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
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