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第5章 特殊平行四边形 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是菱形，过点D的直线分别交，的延长线于点E，F，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．正方形和正方形如图摆放，边长分别为．若两个正方形的面积和为65，，则图中阴影部分面积和为（ ）
A．15.5 B．16.5 C．31 D．33
5．如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度
12．如图，点A、B在直线m上，点C、D在直线n上，，则等于_________．
13．如图，在矩形中，有以下结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤当时，矩形会变成正方形．正确的结论是_____．
14．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是______．
15．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是________．
16．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是___________．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求：
(1)求的坐标；
(2)求的坐标．
18．如图，在长方形中，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，求线段的长．
19．如图，在正方形中，延长到点，过点作交于点，交于点．求证：．
20．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，．
(1)求证：．
(2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由．
21．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为．
(1)求为何值时，四边形是矩形；
(2)求为何值时，四边形是菱形．
22．如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点．
(1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长：
(2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线．
23．如图，在 中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．
(1)求的长；
(2)若．
①证明四边形是菱形；
②若，求四边形的周长．
24．在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点．
(1)如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接．
求证：①；
②．
(2)如图2，当点在BC的延长线上时，连接CM，作，交AE于点．求证：点是EF的中点；
(3)若是等腰三角形，求的度数．
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《第5章 特殊平行四边形 单元测试（基础卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B A A C B A B
1．C
【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别进行判断即可．
【详解】解：A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故选项正确，不符合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项正确，不符合题意；
C．有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，符合题意；
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形、菱形、矩形的判定，熟练掌握正方形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．
3．B
【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
∵四边形是菱形，
，
，
，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，数形结合是解题的关键．
结合图形可得，，结合，可得， ，最后根据利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．
【详解】∵四边形，为正方形，且边长分别为．
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去）
∴，
∵，，
∴．
故选：B
5．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得：，根据比的周长多2，得；根据矩形的周长为，得；即可求解；
【详解】解：由题意得：，
∵比的周长多2，
∴，即；
∵矩形的周长为，
∴；
∴，
∴该矩形的面积为：，
故选：A
7．C
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，掌握菱形的性质，折叠的性质是关键．
根据菱形的性质得到，根据折叠得到，则，由三角形的外角的性质得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵是对角线，
∴，
∴，
∵将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
8．B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先根据菱形的性质可得，，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵菱形的边长为5，且，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
过点作轴，证明，得到，，计算的长即可得到答案．
【详解】解：过点作轴，垂足为，
由题可得：，，，
∴，
∴，，
点，的坐标分别为，，
，
，
，
，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
当时，取得最小值，
此时，，
，
，，，
，
，
，
的最小值是，
故选：B．
11．60
【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
先根据菱形的周长求出边长，再根据较短对角线与边长相等，得出由对角线和两边组成的三角形是等边三角形，进而求解．
【详解】解：由题意知，菱形的边长为，
又∵较短的对角线也为，
如图，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：60．
12．6
【分析】由已知证明四边形为矩形，从而得出对边相等．
【详解】∵
∴
∴四边形为矩形
∴，
故答案为：6.
【点睛】本题考查矩形的性质和判定，掌握矩形的判定方法是关键．
13．①②③⑤
【分析】根据矩形的性质和正方形的性质，可以判断各个小题是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC= BD，AO= CO，BO= DO，
故③正确；
∴AO= BO，
∴△AOB是等腰三角形，故①正确；
设点A到BD的距离为h，
则 ，
故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC= BD，但是AC不一定和BD垂直，
故④错误；
∵∠BAD= 90°，
∴当∠ABD= 45°时，∠ADB= 45°，
∴AB= AD，
∴矩形ABCD是正方形，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查正方形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．
14．25
【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
四边形为正方形，
，
阴影部分的面积，
故答案为：25．
15．
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质是解题的关键．
连接，交于点，根据矩形的性质易得到，，再利用得到，最后由等腰三角形的性质求解．
【详解】解：连接，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴，,
∴．
∵，，
∴，
．
故答案为：．
16．1
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可．
【详解】解：如图，过点E作于点P，于点Q，
则，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题．
（1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标；
（2）在中，根据勾股定理即可求点坐标．
【详解】（1）解：由折叠可知：，
，
，，
在中，由勾股定理得，
点坐标为；
（2） ，，
由折叠可知：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，
点坐标为．
18．的长为
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
∴．
由折叠得，
∴，
∴．
设，则．
∴在直角中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴的长为．
19．见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质；
求出，证明即可得出结论．
【详解】证明：在正方形中，，，
∵，
，
，
，
．
20．(1)见详解
(2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4
【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得．
【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示：
∴，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下：
连接，如图所示：
∵四边形是正方形，点为对角线的中点，
∴，，
∴是等腰直角三角形
∵
∴
则
由（1）得
∴
由（1）得，矩形是正方形，
则．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题．
(1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值；
(2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t．
【详解】（1）解：由题意，得，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，
故当时，四边形为矩形．
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形．
在中，，
时，四边形为菱形，
解得，
故当时，四边形为菱形．
22．(1)见解析，所截得的线段长为3
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．
（1）过点A画一条竖直的直线即可，此时左边的正方形面积为3，右边的正方形面积为5，那么截得的线段长为3；
（2）点A为上方正方形的对称中心，取出下方矩形的对称中心，根据正方形和矩形均是中心对称图形的性质，可得经过正方形和矩形对称中心的直线即可将该图形面积等分．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求：
线段
（2）解：如图，直线即为所求：
23．(1)
(2)①见解析；②10
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到即可求解；
（2）①先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定可证的结论；
②根据平行四边形的性质和菱形的性质证明是等边三角形，进而得到可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，即，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是平行四边形，,
∴,，，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
24．(1)①见解析；②见解析；
(2)见解析；
(3)或
【分析】（1）先根据正方形的性质证，根据证即可；②根据全等三角形的性质和直角三角形的性质，证即可；
（2）根据，证得，由证得，
通过证，得到，，再根据等角的余角相等证得，最后证得问题得证；
（3）分情况讨论：当点在上或点在的延长线上两种情况求解即可．
【详解】（1）证明：①四边形是正方形
，
又 ，
；
② ，
，
是EF的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在正方形中，,
,
,
，
，
，
.
，
，
，
，
在中，
，
，
点是EF的中点；
（3）解：如图①，当点在BC边上时，
，要使是等腰三角形，必须，
，
，
，
，
，
；
如图②，当点在BC的延长线上时，同法可知，
．
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确理解图形的性质及分类讨论思想是解题的关键．
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