八年级数学下册浙教版 4.2《平行四边形及其性质》同步练习（含答案）

4.2《平行四边形及其性质》同步练习
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短
2．如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
6．如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
8．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
9．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______．
12．在中，与的度数之比为，则的度数是___________．
13．如图，点在的对角线上，连接、，设的面积为，的面积为，则_______．（填“>”“<”或“＝”）
14．如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______．
15．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____．
16．如图，在中，若，，，则______．
17．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______．
18．如图，是平行四边形对角线的中点，，，垂足分别为、，如果，那么的度数是______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知平行四边形．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在①的条件下，求证： ADE是等腰三角形．
20．（8分）如图，在平行四边形中，于点，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
21．（10分）如图，点在的边上，，请从以下四个选项中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．
①；②为的中点；③；④平分；平分．
（1）你选择的条件是___________；（填序号，填写一种即可）
（2）添加条件后，求证：为矩形．
22．（10分）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E．与的面积相等吗？为什么？
解：作，垂足为，作，垂足为．
又因为（已知），
所以______（平行线间距离的意义）．
（完成以下说理过程）
23．（10分）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点．
（1）求证：；
（2）若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：．
24．（12分）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究．
【初步探究】
如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系；
【深入探究】
在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系；
【拓展延伸】
如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强，
所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能．
故选：B ．
2．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
3．C
解：∵在中，，
∴，
∵，，
∴．
4．D
解：四边形是平行四边形，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：D．
5．C
解：由题意知，，
在中，，
∴．
故选：C ．
6．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴A. ，不一定成立；
B. ，不一定成立；
C. ，一定成立；
D. ，不一定成立．
故选：C．
7．B
解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵□ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故选：B．
8．C
解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度．
线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离．
故选：C．
9．B
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
的周长．
10．A
解：作于点，
∵平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵平行四边形的面积为28，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴.
填空题
11．3
解：设平行四边形的底和其对应的高的长分别为、，
平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，
，
平行四边形的面积．
12．
解：∵四边形是平行四边形，
，
．
，
，，
．
故答案为：．
13．
解：如图，分别过、两点作的垂线，垂足为点、，
则．
四边形是平行四边形，
且，
．
在和 CDF中，
，
．
，，
．
14．
解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O，
∴点D与点B关于原点成中心对称，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴．
故答案为：．
15．12
解：设直线与直线之间的距离是h，
∵，，，
∴，
∴是，
∴，
∴，
∴直线与直线之间的距离是，
故答案为：12．
16．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴,，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
18．
解：如下图所示，连接，
四边形是平行四边形，点是的中点，
经过点，且，
，，
，
，，
，，
，
在四边形中，，
．
三、解答题
19．
解：（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵为的平分线，
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ADE是等腰三角形．
20．
解：（1）解：因为，四边形内角和为，
所以．
（2）解：平行四边形面积，
∵，
则，
解得：．
21．
解：（1）解：依题意，选择的条件是③，为矩形．或选择的条件是②，为矩形．
（2）解：由（1）得选择的条件是③，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为矩形．
当选择②为的中点，过程如下：
∵为的中点；
∴延长至点，，
连接，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴三线合一得，
∴为矩形．
22．
解：相等，理由如下：
作，垂足为，作，垂足为．
又因为（已知），
所以（平行线间距离的意义）
因为，，
所以，所以，
所以，
所以与的面积相等．
23．
解：（1）证明：由折叠得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵平行四边形的对角线与的交点为点，
∴为中点，
∴为中边上的高，
∴．
24．
解：[初步探究]数量关系：
解： 四边形是平行四边形，
∴,
∴,
∵，
∴,
∴,
又,
，
．
[深入探究]数量关系：
证明：如图，延长到点，使，即，连接，
是斜边上的中线，
．
四边形为平行四边形．
，
又，
，在和中，
，
．
[拓展延伸]
解：理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点，
由[深入探究]得，
，
，
，
平分，
，
，即，
，
，
，
所在的直线是线段的垂直平分线，
，
．