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1第1章《二次根式》单元测试A卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＞﹣1
3．（3分）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）1﹣2a，则（ ）
A．a B．a C．a D．a
6．（3分）若a+b＝3+2，a﹣b＝3﹣2，则的值是（ ）
A．6 B．4 C．﹣1 D．1
7．（3分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6
8．（3分）如图，斜坡AB的坡度为1：3，坡面AB的长为，则坡顶B到水平地面AC的距离为（ ）
A．1m B．2m C． D．
9．（3分）已知m是的小数部分，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）若化简的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意实数 B．1≤x≤4
C．x≥1 D．x≤4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ．
13．（3分）2，3，4，…观察下列各式：请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 ．
14．（3分）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简： ．
15．（3分）若a，b为有理实数且，则a+b＝ ．
16．（3分）n为自然数，且是整数，那么n的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）已知a＝5+2，b＝5﹣2，求下列各式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）．
19．（8分）一个直角三角形的斜边长为2a+1，一条直角边长为a+1．
（1）用含a的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长．
（2）当a＝2时，这个直角三角形的面积是多少？
20．（8分）如图，在5×5正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．
（1）如图1，在网格中有格点△ABC，则BC＝ ；
（2）请用无刻度的直尺画出图1中△ABC中AC边上高BD（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且BD＝ ；
（3）如图2，求△ABC的面积．
21．（8分）已知；
（1）求x2﹣xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
22．（10分）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则2ab＝ ；
（2）已知实数m，n（n≠0）满足，求m﹣n的值；
（3）若x，y为实数，且，求x+y的值．
23．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
24．（12分）求代数式的值，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
解：原式＝a ＝a+1﹣a＝1
解：原式＝a ＝a+a﹣1＝2013
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）通过对上面错因的分析，求解代数式的值，其中a＝﹣2021．中小学教育资源及组卷应用平台
1第1章《二次根式》单元测试A卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B B D A A C B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二次根式，故本选项不符合题意；
B．是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是二次根式，故本选项不符合题意；
D．中﹣2＜0，不是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＞﹣1
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：B．
3．（3分）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：C、∵；
∴它不是最简二次根式．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．
【解答】解：A、，不合题意；
B、，符合题意；
C、，不合题意；
D、和不是同类二次根式，不能合并，不合题意，
故选：B．
5．（3分）1﹣2a，则（ ）
A．a B．a C．a D．a
【分析】根据二次根式的性质得出2a﹣1≤0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵|2a﹣1|＝1﹣2a，
∴2a﹣1≤0，
解得：a．
故选：B．
6．（3分）若a+b＝3+2，a﹣b＝3﹣2，则的值是（ ）
A．6 B．4 C．﹣1 D．1
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）解答即可．
【解答】解：1．
故选：D．
7．（3分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6
【分析】根据数轴先确定a﹣2、a﹣4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故选：A．
8．（3分）如图，斜坡AB的坡度为1：3，坡面AB的长为，则坡顶B到水平地面AC的距离为（ ）
A．1m B．2m C． D．
【分析】根据斜坡AB的坡度为1：3，设BC＝xm，则AC＝3xm，根据勾股定理可得ABxm．，又因为，可知x＝1，可得坡顶B到水平地面AC的距离为1m．
【解答】解：由题意可得：BC：AC＝1：3，
设BC＝xm，则AC＝3xm，
在△ABC中，BC⊥AC，
ABxm
∵，
∴，
解得：x＝1．
故选：A．
9．（3分）已知m是的小数部分，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先根据题意可得m1，再根据完全平方公式可得，再代入求值即可．
【解答】解：∵m是的小数部分，
∴m1，
∴2，
故选：C．
10．（3分）若化简的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意实数 B．1≤x≤4
C．x≥1 D．x≤4
【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1﹣x|﹣|x﹣4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【解答】解：原式可化简为|1﹣x|﹣|x﹣4|，
当1﹣x≥0，x﹣4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1﹣x≥0，x﹣4≤0时，可得x≤4时，原式＝1﹣x﹣4+x＝﹣3；
当1﹣x≤0，x﹣4≥0时，可得x≥4时，原式＝x﹣1﹣x+4＝3；
当1﹣x≤0，x﹣4≤0时，可得1≤x≤4时，原式＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5．
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x﹣5．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x且x≠2 ．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x且x≠2，
故答案为：x且x≠2．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 2 ．
【分析】根据两点之间的距离公式进行计算即可．
【解答】解：因为点的坐标为，
则，
即点到原点的距离为2．
故答案为：2．
13．（3分）2，3，4，…观察下列各式：请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 （n+1） ．
【分析】根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案．
【解答】解：由2，3，4，…得
（n+1），
故答案为：（n+1）．
14．（3分）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简： 4c ．
【分析】利用三角形的三边关系定理确定出a+b+c，a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b的符号，再利用二次根式的性质化简运算即可．
【解答】解：∵△ABC的三边分别为a、b、c，
∴a+b+c＞0，a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+c+a﹣b﹣（a+b﹣c）
＝a+b+c+c+b﹣a+c+a﹣b﹣a﹣b+c
＝4c．
故答案为：4c．
15．（3分）若a，b为有理实数且，则a+b＝ ．
【分析】将左边化简，利用对应相等，可得出a、b的值，代入可得a+b的值．
【解答】解：∵2﹣32a+b，
∴a＝2，b，
∴a+b．
故答案为：．
16．（3分）n为自然数，且是整数，那么n的最小值是 2 ．
【分析】先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即2n必须是一个完全平方数，当n＝2时，2n＝2×2＝4，4是完全平方数，进而得出答案．
【解答】解：∵n为自然数，且是整数，
∴必须是整数，即2n必须是一个完全平方数，
当n＝2时，2n＝2×2＝4，4是完全平方数，
此时，
∴是整数，
∴n的最小值是2．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算二次根式乘法、再用有理数乘方、绝对值化简，最后计算加减法即可；
（2）先运用完全平方公式、平方差公式化简，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
18．（8分）已知a＝5+2，b＝5﹣2，求下列各式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）．
【分析】（1）先求出a+b＝10，ab＝1，再将所求式子变形乘含a+b、ab的形式，整体代入计算即可；
（2）先求出（）2＝12，即可得到答案．
【解答】解：∵a＝5+2，b＝5﹣2，
∴a+b＝10，ab＝1，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×10
＝10；
（2）（）2
＝a+b+2
＝10+2
＝12，
∵0，
∴2．
19．（8分）一个直角三角形的斜边长为2a+1，一条直角边长为a+1．
（1）用含a的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长．
（2）当a＝2时，这个直角三角形的面积是多少？
【分析】（1）利用勾股定理解答；
（2）将a的值代入（1）中的代数式，求得直角三角形的两直角边，由三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由勾股定理，得
另一直角边的长度为：；
（2）当a＝2时，一条直角边长为：a+1＝2+1＝3，
另一直角边长为：4．
所以该直角三角形的面积为：3×4＝6．
20．（8分）如图，在5×5正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．
（1）如图1，在网格中有格点△ABC，则BC＝ ；
（2）请用无刻度的直尺画出图1中△ABC中AC边上高BD（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且BD＝ ；
（3）如图2，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用勾股定理求出BC；
（2）利用面积法求解即可；
（3）利用（2）中结论即可．
【解答】解：（1）如图1中，BC．
故答案为：；
（2）如图2中，线段BD即为所求；
∵△ABC的面积＝3×42×31×31×4＝5.5，AC，
∴ AC BD＝5.5，
∴BD，
故答案为：；
（3）由（2）可知△ABC的面积＝5.5．
21．（8分）已知；
（1）求x2﹣xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
【分析】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可；
（2）先求出a，b的值，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵x2，y2，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（22）2﹣3×（2）（2）
＝42﹣3×1
＝16﹣3
＝13；
（2）由（1）知，x＝2，y＝2，
∵1＜3＜4，
∴12，
∴﹣21，3＜24，
∴0＜21，
∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴a＝2，b＝231，
∴原式＝（21）2
＝1
＝1+23
＝22．
22．（10分）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则2ab＝ ﹣20 ；
（2）已知实数m，n（n≠0）满足，求m﹣n的值；
（3）若x，y为实数，且，求x+y的值．
【分析】（1）由题意可得，求出a，b的值，即可得出答案．
（2）由题意可得，求出m，n的值，即可得出答案．
（3）根据二次根式有意义的条件可得y﹣3≥0，3﹣y≥0，即可得y﹣3＝3﹣y＝0，则y＝3，进而可得x＝±8，从而可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，
∴2ab＝2×2×（﹣5）＝﹣20．
故答案为：﹣20．
（2）由题意得，，
解得，
∴m﹣n＝2﹣（﹣3）＝5．
（3）由题意得，y﹣3≥0，3﹣y≥0，
∴y﹣3＝3﹣y＝0，
解得y＝3，
∴x2＝64，
解得x＝±8，
∴x+y＝11或﹣5．
23．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以解答本题；
（2）根据勾股定理可以解答本题；
（3）根据等积法可以解答本题．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，
∴Rt△ABC的面积4，
即Rt△ABC的面积是4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，
∴AB2，
即AB的长是2；
（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，
∴AB边上的高是：，
即AB边上的高是．
24．（12分）求代数式的值，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
解：原式＝a ＝a+1﹣a＝1
解：原式＝a ＝a+a﹣1＝2013
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）通过对上面错因的分析，求解代数式的值，其中a＝﹣2021．
【分析】（1）先根据a的值，判断1﹣a的正负，再根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可；
（2）由（1）可知未能正确利用二次根式的性质：负数的平方的算术平方根等于它的相反数；
（3）先把被开方数分解因式，再根据二次根式的性质化简，最后把a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
∵a＝1007，
∴1﹣a＝1﹣1007＝﹣1006＜0，
∴
＝a+a﹣1
＝2a﹣1
＝2×1007﹣1
＝2014﹣1
＝2013，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）由（1）可知错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：，
故答案为：；
（3）∵a＝﹣2021，
∴a﹣3＝﹣2021﹣3＝﹣2024＜0，
∴
＝a﹣2（3﹣a）
＝a﹣6+2a
＝3a﹣6
＝3×（﹣2021）﹣6
＝﹣6063﹣6
＝﹣6069．
