(共11张PPT)
专题特训一 整体思想在二次根式的化简求值中的应用
第1章 二次根式
类型一 先运用整式乘法或因式分解将待求式子整理，再整体代入求值
1. 若x＋y＝2 －1，且xy＝ ，则代数式（2－x）（2－y）的值
为（ D ）
A. 2－ B. 2－3
C. 6－ D. 6－3
解析： 原式＝4－2y－2x＋xy＝4－2（x＋y）＋xy.当x＋y＝2 －
1，xy＝ 时，原式＝4－2×（2 －1）＋ ＝6－3 .
D
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2. 已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，则a2b－ab2＝ 4 .
解析：a2b－ab2＝ab（a－b）＝（3＋2 ）（3－2 ）［（3＋
2 ）－（3－2 ）］＝（9－8）×4 ＝4 .
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类型二 先整体平方，再代入求值
3. 若 ＋ ＝ ，0＜x＜1，则 － 的值为 （ A ）
A. － B. －2
C. ±2 D. ±
解析：2＝（ ＋ ）2－4＝（ ）2－4＝2.因为0＜x＜
1，所以 ＜ .所以 － ＝－ .
A
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4. 若a＋b＝2＋ ，ab＝2 ，则a－b＝ 2－ 或－2＋ .
解析：因为（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝（2＋ ）2－4×2 ＝
（2－ ）2，所以a－b＝2－ 或a－b＝－2＋ .
2－ 或－2＋
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5. 已知x＝2－ ，求代数式（7＋4 ）x2＋（2＋ ）x＋ 的值.
因为x＝2－ ，
所以x2＝（2－ ）2＝4－4 ＋3＝7－4 .
所以（7＋4 ）x2＋（2＋ ）x＋ ＝（7＋4 ）×（7－4 ）
＋（2＋ ）×（2－ ）＋ ＝49－48＋4－3＋ ＝2＋ .
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类型三 先将代数式变形，再整体代入求值
6. （2025 杭州期中）若a＝1＋ ，b＝1－ ，则代数式a2＋b2－
3ab的值为（ C ）
A. ±3 B. 3 C. 9 D. ±9
解析：因为a＝1＋ ，b＝1－ ，所以a－b＝1＋ －（1－
）＝2 ，ab＝（1＋ ）（1－ ）＝－1.所以a2＋b2－3ab＝
a2＋b2－2ab－ab＝（a－b）2－ab＝（2 ）2－（－1）＝8＋1＝9.
C
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7. 若a＝ ＋ ，b＝ － ，则 － ＝ 4 .
解析：原式＝ ＝ .因为a＝ ＋ ，b＝ －
，所以a＋b＝（ ＋ ）＋（ － ）＝2 ，a－b＝（
＋ ）－（ － ）＝2 ，ab＝（ ＋ ）×（ － ）＝
3.所以原式＝ ＝4 .
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8. 已知x＝ ，y＝ ，则代数式3x2－6xy＋3y2的值
为 288 .
解析：原式＝3（x2－2xy＋y2）＝3（x－y）2.因为x＝ ＝
＝5－2 ，y＝ ＝
＝5＋2 ，所以x－y＝－4 .所以原式＝
3×（－4 ）2＝288.
288
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9. 已知a＝ ，求 a3－a2－a＋2的值.
因为a＝ ＝1＋ ，
所以a－1＝ .
所以（a－1）2＝3，即a2－2a＋1＝3.
所以a2＝2a＋2.
所以a2－2a＝2，a2＋a－2＝3a.
所以原式＝ a3－（a2＋a－2）＝ a3－3a＝ a（a2－6）＝ a（2a－4）
＝a2－2a＝2.
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10. 若a＝ ，b＝ ，求 － 的值.
原式＝ － ＝ －
＝ － ＝ .
因为a＝ ＝ ＝2＋ ，b＝ ＝
＝2－ ，
所以a＋b＝4，a－b＝2 .
所以原式＝ ＝ .
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1.3 二次根式的运算
第2课时 二次根式的加减及混合运算
第1章 二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 义乌期末）下列计算中，正确的是（ B ）
A. 2＋ ＝2 B. 2 ＋ ＝3
C. 2 － ＝2 D. ＋ ＝
B
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2. 下列计算中，正确的是（ C ）
A. 2 ＋3 ＝5
B. （ ＋ ）× ＝10
C. （3＋2 ）（3－2 ）＝－3
D. （ － ）2＝7－3＝4
C
3. 计算 （ ＋2）－ 的结果是（ D ）
A. 2 B. 3＋2
C. 3＋ D. 3
D
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4. 计算：
（1） ＋ ＝ 5 .
（2） （ ＋ ）（ － ）＝ 3 .
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5. 计算：
（1） （2025 宁波奉化期中）2 － ＋3 .
（1） 原式＝4 － ＋3× ＝4 － ＋ ＝4 .
（2） （2025 义乌段考） ＋ × － .
（2） 原式＝2 ＋3 － ＝4 .
（3） （2025 杭州萧山段考）（ － ）÷ ＋（1－ ）2.
（3） 原式＝ －2＋（4－2 ）＝ －2＋4－2 ＝2－ .
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6. （2025 杭州拱墅段考）估算3×（ － ）的值在（ C ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间
C. 6和7之间 D. 7和8之间
解析：原式＝3×（2 － ）＝3 ＝ .因为36＜45＜49，所以
6＜ ＜7，即原式的值在6和7之间.
C
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7. 若x为实数，在“（ ＋1）□x”的“□”中添上一种运算符号
（在“＋”“－”“×”“÷”中选择）后，其计算的结果为有理数，
则x不可能是（ C ）
A. ＋1 B. －1 C. 2 D. 1－
解析：（ ＋1）－（ ＋1）＝0.故A不符合题意.（ ＋1）×
（ －1）＝2.故B不符合题意.（ ＋1）与2 无论是相加、相
减、相乘、相除，结果都是无理数.故C符合题意.（ ＋1）×
（1－ ）＝－2.故D不符合题意.
C
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8. 按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为 ，则最后输出的结
果是（ C ）
A. 14 B. 16 C. 8＋5 D. 14＋
（第8题）
解析：当n＝ 时，n（n＋1）＝ ×（ ＋1）＝2＋ ＜15；
当n＝2＋ 时，n（n＋1）＝（2＋ ）×（3＋ ）＝6＋5 ＋2
＝8＋5 ＞15.所以最后输出的结果是8＋5 .
C
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9. 若a，b为有理数，且 ＋ ＋ ＝a＋b ，则a＝ ，b
＝ 3 .
解析：因为a，b为有理数，且 ＋ ＋ ＝a＋b ，所以 ＋
2 ＋ ＝a＋b ，即 ＋3 ＝a＋b .所以a＝ ，b＝3.
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10. 计算：（ － ）2×（5＋2 ）＝ .
解析：原式＝（3＋2－2 ）×（5＋2 ）＝（5－2 ）×（5＋
2 ）＝25－24＝1.
11. 计算（ ＋2）2 026×（ －2）2 025的结果是 .
解析：原式＝［（ ＋2）2 025×（ －2）2 025］×（ ＋2）＝
［（ ＋2）×（ －2）］2 025×（ ＋2）＝［（ ）2－22］
2 025×（ ＋2）＝12 025×（ ＋2）＝ ＋2.
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12. 如果（a＋b）2＝ － ，（a－b）2＝ － ，那么ab
的值为 －2 .
解析：因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2，所
以（a＋b）2－（a－b）2＝a2＋2ab＋b2－（a2－2ab＋b2）＝a2＋
2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab.所以ab＝ ＝
＝ ＝ ＝ －2 .
－2
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13. ★计算：
（1） （2025 义乌期中）3 × － ÷ .
（1） 原式＝3× － ＝3× － ＝ － ＝
－6.
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（2） （2 － ）÷ ＋ .
（2） 原式＝（2 － ）＋ － ＝2 －3＋ － ＝ ＋
－3.
（3） ＋（ －2）2－ （ － ）.
（3） 原式＝2＋（3－4 ＋4）－（2－2 ）＝2＋3－4 ＋4－2＋
2 ＝7－2 .
（4） （2 ＋ ）×（2 － ）＋（4 －3 ）÷2 .
（4） 原式＝12－6＋（2－ ）＝6＋2－ ＝8－ .
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二次根式混合运算的做题方法
（1） 在进行二次根式混合运算的过程中，可以先把每个二次根式
看成一个单项式，多个被开方数不同的二次根式的和看成多项式，再类
比整式运算法则进行运算，二次根式混合运算的结果，应写成最简二次
根式或整式的形式.
（2） 进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公
式，以最大程度简化计算过程.
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14. 新考法 阅读理解 阅读材料，并回答问题.
＝ ＝ －1；
＝ ＝ － ；
＝ ＝2－ ；
…
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（1） 求 与 的值.
（1） ＝ ＝ － ， ＝
＝ ＋ .
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（2） 已知n是正整数，求 与 的值.
（2） ＝ ＝ － ，
＝ ＝ ＋ .
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（3） 计算： ＋ ＋…＋ ＋ .
（3） 原式＝ －1＋ － ＋…＋ － ＋ － ＝
－1＋ ＝－1＋10＝9.
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14(共31张PPT)
第1章整合拔尖
第1章 二次根式
01
知识体系构建
02
高频考点突破
目
录
03
综合素能提升
考点一 二次根式有意义的条件
典例1 （2025 义乌期中）若 ＋ 有意义，则x的取值范
围是 1≤x＜5且x≠2 .
解析：由题意，得 解得1≤x＜5且x≠2.
1≤x＜5且x≠2
［变式］ （2025 杭州上城段考）已知实数x，y满足y＝ ＋
＋x－2，则 ＝ 3 .
解析：因为x－1≥0，1－x≥0，所以x＝1.所以y＝－1.所以原式＝
＝ ＝3.
3
考点二 二次根式的双重非负性
典例2 若实数m，n满足｜m－n－5｜＋ ＝0，则3m＋n
＝ 7 .
解析：因为｜m－n－5｜＋ ＝0，｜m－n－5｜≥0，
≥0，所以m－n－5＝0，2m＋n－4＝0.所以m＝3，n
＝－2.所以3m＋n＝9－2＝7.
7
［变式］ 已知实数a，b满足 ＋a2＋4b2＝4ab，则 －
的值为 － .
－
解析：因为 ＋a2＋4b2＝4ab，所以 ＋（a－
2b）2＝0.又因为 ≥0，（a－2b）2≥0，所以
解得 所以原式＝ － ＝ －2
＝－ .
考点三 二次根式 的性质
典例3 已知2，5，m是某三角形的三边长，则 ＋
的结果为（ D ）
A. 2m－10 B. 10－2m C. 10 D. 4
解析：因为2，5，m是某三角形的三边长，所以5－2＜m＜5＋2，即3
＜m＜7.所以m－3＞0，m－7＜0.所以 ＋
＝m－3＋［－（m－7）］＝m－3＋7－m＝4.
D
［变式］ （2025 杭州西湖段考）已知实数a，b在数轴上对应点的位置
如图所示，则化简 ＋ 的结果是 a－b＋3 .
解析：由实数a，b在数轴上对应点的位置可知，－1＜a＜0，1＜b＜
2，所以a＋1＞0，b－2＜0.所以原式＝｜a＋1｜＋｜b－2｜＝a＋1
－b＋2＝a－b＋3.
a－b＋3
考点四 二次根式的化简
典例4 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝ 进行计算，
其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长.如果a＝5×105 m/s2，s＝
0.64 m，那么子弹射出枪口时的速度用科学记数法表示
为 8×102 m/s.
解析：把a＝5×105 m/s2，s＝0.64 m代入公式v＝ ，得v＝
＝ ＝8×102（m/s）.
8×102
［变式］ 如图，一根细线上端固定，下端系一小球，让小球来回自由摆
动，来回摆动一次所用时间t（单位：s）与细线长度l（单位：m）之
间满足关系t＝2π ，当细线长度为0.2 m时，小球来回摆动一次所用
的时间是 π s（结果保留π）.
π
解析：把l＝0.2 m代入关系式t＝2π ，得t＝2π× ＝2π× ＝ π（s）.
考点五 二次根式的运算
典例5 计算：
（1） ÷2 .
（1） 原式＝（6 － ＋4 ）÷2 ＝ ÷2 ＝ .
（2） （ ＋1）16×（3－2 ）9.
（2） 原式＝［（ ＋1）2］8×（3－2 ）9＝（3＋2 ）8×（3－
2 ）9＝［（3＋2 ）（3－2 ）］8×（3－2 ）＝（9－8）8×
（3－2 ）＝1×（3－2 ）＝3－2 .
［变式］ 计算：
（1） （2 － ）（ ＋3 ）.
（1） 原式＝（2 －3 ）×（2 ＋3 ）＝（2 ）2－
（3 ）2＝12－18＝－6.
（2） （2 ＋5 ）（5 －2 ）－（ － ）2.
（2） 原式＝（5 ）2－（2 ）2－（5－2 ＋2）＝50－20－7＋
2 ＝23＋2 .
考点六 与二次根式有关的化简求值
典例6 （2025 杭州临平段考）已知x＝ ＋ ，y＝ － .求：
（1） x＋y和xy的值.
（1） 因为x＝ ＋ ，y＝ － ，
所以x＋y＝（ ＋ ）＋（ － ）＝2 ，xy＝（ ＋ ）
×（ － ）＝3－2＝1.
（2） x2－xy＋y2的值.
（2） 因为x＋y＝2 ，xy＝1，
所以x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝（2 ）2－3×1＝12－3＝9.
［变式］ 当a＝ －2，b＝5－ 时， ÷ 的值为
－6 .
解析：原式＝（ － ）÷ ＝
＝－2（a＋b）.当a＝ －2，b＝5－ 时，原式＝－2×（ －2＋5－ ）＝－2×3＝－6.
－6
考点七 二次根式的实际应用
典例7 新情境 日常生活 如图所示为一座人行天桥的示意图，天桥的高
度是10 m，CB⊥AB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天
桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡比为1∶ .若新坡面的
底部（点D处）前需留3 m宽的人行道，则距离原坡面底部（点A处）
10 m的建筑物是否需要拆除（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）？
（典例7图）
因为CB⊥AB，∠CAB＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形.
所以AB＝BC＝10 m.
因为新坡面DC的坡比为1∶ ，
所以 ＝ .
所以BD＝10 m.
所以AD＝BD－AB＝10 －10≈7.32（m）.
因为3＋7.32＝10.32（m），10.32＞10，
所以距离原坡面底部（点A处）10 m的建筑物需要拆除.
［变式］ 新情境 日常生活 现有两张同样大小的长方形纸片，丽丽采用
如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两张面积分别为18 cm2和
32 cm2的正方形纸片A，B.
（1） 裁出的正方形纸片A的边长为 3 cm.
解析：根据题意，得裁出的正方形纸片A的边长为 ＝3 （cm）.
3
（2） 求图①中涂色部分的面积.
（2） 根据题意，得裁出的正方形纸片B的边长为 ＝4 （cm），
则长方形纸片的长为3 ＋4 ＝7 （cm），宽为4 cm，
所以涂色部分的面积为7 ×4 －（18＋32）＝56－50＝6（cm2）.
（3） 小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积均为
25 cm2的两张正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由.
（3） 不能裁出.
理由：面积均为25 cm2的两张正方形纸片的边长均为 ＝5（cm），5＋5＝10（cm），
由（2）知，长方形纸片的长为7 cm，而10＝ ，7 ＝ ，
所以10＞7 .
所以不能在长方形纸片上裁出面积均为25 cm2的两张正方形纸片.
1. （2025 绍兴诸暨期中）如果实数a满足｜2 024－a｜＋
＝a，那么a－2 0242的值是（ A ）
A. 2 025 B. 2 024
C. 2 023 D. 2 022
解析：因为 有意义，所以a－2 025≥0.所以a≥2 025.所以
2 024－a＜0.所以｜2 024－a｜＋ ＝a－2 024＋
＝a.所以 ＝2 024.所以a＝2 0242＋2 025.所以
a－2 0242＝2 0242＋2 025－2 0242＝2 025.
A
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2. 对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”：m*n＝m（m－n）
＋n（m＋n），等式右侧为通常的混合运算. * 的值为（ C ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：因为m*n＝m（m－n）＋n（m＋n），所以 * ＝
（ － ）＋ （ ＋ ）＝2－ ＋ ＋5＝7.
C
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3. 设x＝ ，则代数式x（x＋1）（x＋2） （x＋3）的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. －1 D. 2
解析：因为x＝ ，所以x＋1＝ ，x＋2＝ ，x＋3＝
.所以原式＝ × × × ＝
× ＝－1×1＝－1.
C
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4. 若一个三角形的三边长分别是a，b，c，且（a－2 ）2＋
＋｜c－4｜＝0，则这个三角形的周长为 4 ＋3 .
解析：根据题意，得a－2 ＝0，a－b－1＝0，c－4＝0，所以a＝
2 ，b＝2 －1，c＝4.所以这个三角形的周长为2 ＋2 －1＋4
＝4 ＋3.
4 ＋3
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5. 已知a＝ ＋1，b＝ －1，则 （ ＋ －1）的值为 3 .
解析： （ ＋ －1）＝ ＝ .因为a＝
＋1，b＝ －1，所以a＋b＝2 ，ab＝（ ＋1）（ －1）
＝2.所以原式＝ ＝ ＝3 .
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6. 如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，
且正方形①②的面积分别为4和3，求图中阴影部分的面积.
（第6题）
因为正方形①②的面积分别为4和3，
所以正方形①的边长为2，正方形②的边长为 .
所以正方形③的边长为2－ .
所以阴影部分长方形的宽为2－ ，长为 －（2－ ）＝2 －2.
所以阴影部分的面积为（2 －2）×（2－ ）＝4 －6－4＋2
＝6 －10.
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7. 计算：（ ＋ ）（ － ）－（ ＋3 ）2.
原式＝（ ＋ ）（2 －2 ）－（3＋18＋6 ）＝2（ ＋
）（ － ）－（21＋6 ）＝2×2－21－6 ＝－17－6 .
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8. （2025 杭州期中）定义：若两个二次根式a，b满足a b＝c，且c
是有理数，则称a与b是关于c的共和二次根式.
（1） 若3 与 是关于c的共和二次根式，则c＝ 6 .
解析：因为3 与 是关于c的共和二次根式，所以c＝3 ×
＝6.
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（2） 若a与 － 是关于4的共和二次根式，求a的值.
（2） 因为a与 － 是关于4的共和二次根式，
所以a（ － ）＝4.
所以a＝ ＝ ＝2 ＋2 .
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（3） 若3＋ 与6＋ m是关于12的共和二次根式，求m的值.
（3） 因为3＋ 与6＋ m是关于12的共和二次根式，
所以（3＋ ）（6＋ m）＝12.
所以6＋ m＝ ＝ ＝6－2 .
所以m＝－2.
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8(共17张PPT)
1.3 二次根式的运算
第3课时 二次根式的实际应用
第1章 二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 现有两根细木条，长分别为 cm和 cm.若再添加一根细木条，
使这根细木条与前两根细木条首尾顺次相接恰好能构成一个直角三角
形，则后来添加的一根细木条的长可以是（ D ）
A. 1 cm B. cm
C. 5 cm D. 1 cm或 cm
D
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2. 如图，某河堤横断面迎水坡AB的坡比为1∶2，堤高BC＝6 m，则坡
面AB的长度是（ D ）
A. 6 m B. 12 m
C. 6 m D. 6 m
（第2题）
D
3. 要用栅栏围成如图所示的两个正方形鸡圈，它们的面积分别为
20 m2，45 m2，则所需栅栏的总长度最少为（ B ）
A. 22 m B. 18 m
C. 16 m D. （6 ＋20 ）m
（第3题）
B
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4. 如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛A40 海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达距离小岛A 80海里的B处，则该轮船航行的路程为 （40＋40 ） 海里.
（第4题）
（40＋40 ）
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5. 如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B
两个凉亭之间的距离.已知CD⊥AB，交BA的延长线于点D，现测得
AC＝20 m，BC＝60 m，CD＝30 m，请计算A，B两个凉亭之间的
距离.
（第5题）
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因为CD⊥BD，
所以∠D＝90°.
在Rt△CDA中，AD＝ ＝ ＝
10 （m）.
在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝30 （m）.
所以AB＝BD－AD＝30 －10 ＝20 （m）.
所以A，B两个凉亭之间的距离为20 m.
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6. 新情境 日常生活 如图，钓竿AC的长为6 m，露在水面上的钓线BC
的长为3 m.某钓者想看看钓钩上的情况，把钓竿AC转动到AC′的位
置，此时露在水面上的钓线B′C′的长为 m，则BB′的长为（ ）
A. m B. 2 m C. m D. 2 m
（第6题）
B
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解析：根据题意，得AC＝AC′＝6 m，BC＝3 m，B′C′＝ m.
在Rt△ABC中，
因为∠ABC＝90°，所以AB＝ ＝ ＝
3 （m）.在Rt△AB′C′中，
因为∠AB′C′＝90°，所以AB′＝ ＝
＝ （m）.所以BB′＝AB－AB′＝3 － ＝2 （m）.
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7. （2025 杭州拱墅段考）把四张形状、大小完全相同的宽为1 cm的小
长方形卡片不重叠地放在一个底面长为 cm、宽为4 cm的长方体盒
子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两
块阴影部分的周长之和为（ B ）
A. 4 cm B. 16 cm
C. 2（ －4）cm D. 4（ －4）cm
（第7题）
B
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解析：由题意知，小长方形的长为（ －2）cm.因为题图中，左下
方阴影长方形的宽为4－2＝2（cm），所以左下方阴影长方形的周长为
2×（ －2＋2）＝2 （cm）.因为右上方阴影长方形的长为
2 cm，宽为4－（ －2）＝（6－ ） cm，所以右上方阴影长方
形的周长为2×（2＋6－ ）＝（16－2 ） cm.所以题图中两块
阴影部分的周长之和为2 ＋16－2 ＝16（cm）.
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8. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向
走了50 m到达B地，然后沿北偏西30°方向走了20 m到达目的地
C，则A，C两地之间的距离为 10 m.
（第8题）
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解析：如图，取点A正北方向上一点D，过点B作EF∥AD. 由题意可知，∠CBF＝30°，∠ABE＝∠DAB＝60°.因为∠CBF＋∠CBA＋∠ABE＝180°，所以∠CBA＝180°－∠CBF－∠ABE＝180°－30°－60°＝90°.所以在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝10 （m）.
（第8题）
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9. 如图，水库大坝横截面的迎水坡AD的坡比（DE与AE的长度之比）
为1∶0.6，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝高DE＝30 m，大坝顶宽CD
＝10 m.求大坝横截面的面积和周长（周长的结果保留根号）.
（第9题）
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过点C作CF⊥AB于点F.
易得CF＝DE＝30 m，EF＝CD＝10 m.
由题意，得 ＝ ， ＝ .
所以AE＝18 m，BF＝60 m.
所以AB＝AE＋EF＋BF＝18＋10＋60＝88（m）.
在Rt△ADE中，AD＝ ＝ ＝6 （m）.
在Rt△BCF中，BC＝ ＝ ＝30 （m）.
所以大坝横截面的面积为 ×（10＋88）×30＝1 470（m2），周长为10
＋6 ＋88＋30 ＝（98＋6 ＋30 ）m.
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10. 新情境 日常生活 如图，某居民小区内有一块长方形绿地ABCD，
长方形绿地的长BC为8 米，宽AB为7 米.现要在长方形绿地中修
建一个长方形花坛（涂色部分），长方形花坛的长为（ ＋1）米，
宽为（ －1）米.
（第10题）
（1） 长方形绿地ABCD的周长是多少米？
（1） 因为2×（8 ＋7 ）＝（16 ＋14 ）米，
所以长方形绿地ABCD的周长是（16 ＋14 ）米.
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（2） 除修建花坛的地方外，其他地方全修建成通道，通道上要铺
地砖，价格为每平方米6元.若要铺完整个通道，则购买地砖需要花
费多少元？
（2） 因为通道的面积为8 ×7 －（ ＋1）（ －1）＝
56 －（13－1）＝（56 －12）平方米，
所以购买地砖需要花费6×（56 －12）＝（336 －72）元.
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10(共21张PPT)
1.2 二次根式的性质
第1课时 二次根式（）2与的性质
第1章 二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算（2 ）2的结果是（ D ）
A. 2 B. 6 C. 9 D. 12
2. 实数7不能写成的形式为（ D ）
A. B.
C. （－ ）2 D. －
D
D
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3. （2025 义乌期中）若 ＝3－b，则（ D ）
A. b＞3 B. b＜3 C. b≥3 D. b≤3
4. （2025 杭州钱塘段考）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所
示，则化简 －｜m－n｜的结果是（ B ）
A. n B. －n
C. 2m－n D. －2m＋n
（第4题）
D
B
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5. （1） 计算 的结果是 2 026 .
（2） 在直角坐标系中，点（ ，－ ）到原点的距离是 3 .
2 026
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6. 计算：
（1） －2.
（1） 原式＝ .
（2） ＋ .
（2） 原式＝ .
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（3） （－ ）2－ ＋3 .
（3） 原式＝3.
（4） ［ ＋ ］× －5 .
（4） 原式＝5.
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7. （2025 宁波北仑期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所
示，则化简（ ）2＋ －｜b－a｜的结果是（ ）
A. a－2b－c B. c－a
C. －a＋2b＋c D. a－c
（第7题）
解析：由题意，得a－b－c＝a＋（－b）＋（－c）＞0，b－a＜0，
所以原式＝a＋（a－b－c）－（a－b）＝a＋a－b－c－a＋b＝
a－c.
D
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8. 易错题 化简 －（ ）2的结果是（ C ）
A. 2 B. －4x＋4 C. x D. 5x－2
解析：由题意，得1－3x≥0，解得x≤ .所以2x－1≤－ ＜0.所以原
式＝ －（1－3x）＝1－2x－1＋3x＝x.
C
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勿忽视题目中的隐含条件
给出算式要求化简，则说明原式一定有意义，这是题目的隐含条
件，求解时，若忽视这一条件，则容易造成化简错误，故本题的解题关
键是确定x的取值范围.
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9. 若－1＜a＜0，则化简 ＋ 的结果
是（ ）
A. 2a B. 2a＋ C. D. －
D
解析：因为－1＜a＜0，所以原式＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋
＝a－ － ＝－ .
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10. 若式子 ＋ 的值是2，则x的取值范围
是（ C ）
A. x≥4 B. x≤2
C. 2≤x≤4 D. x＝2或x＝4
C
解析：因为式子 ＋ 的值是2，不含x，所以2
－x与x－4的符号一致.当 时，解得2≤x≤4；当
时，无解.综上所述，x的取值范围是2≤x≤4.
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11. 已知实数m满足 ＋ ＝ ，则m＝ 8 .
解析： 由题意，易知m－4≥0，即m≥4.因为 ＋
＝ ，所以｜2－m｜＋ ＝｜m｜.所以m－2＋
＝m，即 ＝2，解得m＝8.
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12. 已知｜a｜＝5， ＝7，且 ＝b－a，则a＋b＝
2或12 .
解析：因为｜a｜＝5， ＝7，所以a＝±5，b＝±7.又因为
＝b－a，所以a－b≤0，即a≤b.所以a＝－5，b＝7或
a＝5，b＝7.当a＝－5，b＝7时，a＋b＝－5＋7＝2；当a＝5，b＝7
时，a＋b＝5＋7＝12.综上所述，a＋b＝2或12.
2或12
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13. 如果a，b，c是△ABC的三边长，那么化简 －
＋ 的结果为 3a＋b－c .
解析：因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＋b＋c＞0，a－b＜
c，b＋a＞c.所以a－b－c＜0，b－c＋a＞0.所以原式＝｜a＋b＋
c｜－｜a－b－c｜＋｜b－c＋a｜＝a＋b＋c＋a－b－c＋b－c
＋a＝3a＋b－c.
3a＋b－c
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14. 对于题目“化简并求值： ＋ ，其中a＝ ”，甲、乙
两人的解答如下.
甲的解答： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ －a＝ －a＝ .
乙的解答： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋a－ ＝a＝ .
谁的解答是错误的？为什么？
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乙的解答是错误的.
因为a＝ ，所以 －a＞0.
所以 ＝ ＝ －a.
所以原式＝ ＋ －a＝ .
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15. 新考法 阅读理解 先阅读下面的材料，再回答问题.
化简： ＋ .
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由于题中没有给出x的取值范围，所以要分类讨论.
＋ ＝ ＋ ＝｜x－3｜
＋｜x＋2｜.令x－3＝0，x＋2＝0，分别求出x＝3，x＝－2［称3，－
2分别为 ， 的零点值］，然后在数轴上标出表
示3和－2的点.如图，数轴被分成三段，即x＜－2，－2≤x＜3，x≥3.
当x＜－2时，原式＝－（x－3）－（x＋2）＝－x＋3－x－2＝－2x
＋1；当－2≤x＜3时，原式＝－（x－3）＋（x＋2）＝－x＋3＋x＋2
＝5；当x≥3时，原式＝（x－3）＋（x＋2）＝x－3＋x＋2＝2x－1.
（第15题）
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（1） 分别求出 和 的零点值.
（1） ＝｜x＋1｜， ＝｜x－2｜.
令x＋1＝0，得x＝－1；令x－2＝0，得x＝2.
所以 的零点值为－1， 的零点值为2.
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（2） 化简： ＋ － .
（2） 原式＝ ＋ － ＝｜x＋3｜
＋｜x－1｜－｜x－2｜.
当x＜－3时，原式＝－（x＋3）－（x－1）＋（x－2）＝－x－4；
当－3≤x≤1时，原式＝（x＋3）－（x－1）＋（x－2）＝x＋2；
当1＜x≤2时，原式＝（x＋3）＋（x－1）＋（x－2）＝3x；
当x＞2时，原式＝（x＋3）＋（x－1）－（x－2）＝x＋4.
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15(共20张PPT)
1.3 二次根式的运算
第1课时 二次根式的乘除
第1章 二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 关于 × 的变形，不正确的是（ C ）
A. × ＝
B. × ＝ × ×
C. × ＝
D. × ＝ ×2
C
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2. 下列运算中，正确的是（ C ）
A. × ＝8
B. ＝
C. ÷ ＝
D. 4 × ＝8
C
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3. 若一个直角三角形的两条直角边的长分别为 cm， cm，则这
个直角三角形的面积为 cm2.
4. 方程5 x＋ ＝0的解是 x＝－1 .
x＝－1
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5. 计算：
（1） × .
（1） 原式＝ ＝ ＝6.
（2） × .
（2） 原式＝2 ×2 ＝4× ＝4 .
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（3） .
（3） 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
（4） .
（4） 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
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6. 下列各数中，与 的积仍为无理数的是（ C ）
A. B. C. D.
解析： × ＝ ＝ ＝4，为有理数.故A不符合题意.
× ＝ ＝ ＝ ，为有理数.故B不符合题意. × ＝
，为无理数.故C符合题意. × ＝ ＝ ＝8，为有
理数.故D不符合题意.
C
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7. 已知m＝ ×（－2 ），则下列各式中，正确的是（ ）
A. 5＜m＜6 B. 4＜m＜5
C. －5＜m＜－4 D. －6＜m＜－5
解析：m＝ ×（－2 ）＝ × ＝ ＝ .
因为 ＜ ＜ ，所以5＜ ＜6，即5＜m＜6.
A
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8. 在如图所示的3×3方格中，每个小方格的边长均为1，点A，B，C
都在格点上.若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
A. B. C. D.
（第8题）
D
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解析：由勾股定理，得AC＝ ＝ .因为S△ABC＝3×3－
×1×2－ ×1×3－ ×2×3＝ ，所以 AC BD＝ .所以 BD＝7.
所以BD＝ ＝ .
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9. 若 × a＝6 ，则a＝ 2 .
解析：因为 × a＝ ×a＝ ×a＝ ×a＝
3 a，所以3 a＝6 ，解得a＝2.
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10. ★计算：
（1） ÷ × .
（1） 原式＝2 ÷3 ×3 ＝（2÷3×3）× ＝2 .
（2） ÷ × .
（2） 原式＝ ÷ × ＝ ＝1.
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12
（3） ÷3 × .
（3） 原式＝ × ＝－4 ＝－4× ＝
－ .
（4） 4x2 ÷12 3 （x＞0，y≥0）.
（4） 因为x＞0，y≥0，
所以原式＝ ＝x2 ＝xy.
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二次根式的乘除混合运算的计算方法
（1） 进行二次根式的乘除混合运算时，先把除以一个不为0的数
改为乘这个数的倒数，将除法统一成乘法，再利用乘法交换律、结合律
约分计算.
（2） 对于被开方数是整数的二次根式的乘除混合运算，可以将每
个二次根式先化简，再计算，如第（1）题；对于被开方数有分数或小
数的，一般直接根据法则进行计算，这类题中被开方数之间的乘除大多
可以约分化简，如第（2）题.
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11. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 若DE＋DF＝3 ，△ABC
的面积为 ，求AB的长.
（第11题）
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12
连结AD.
因为DE⊥AB，DF⊥AC，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以 AB DE＋ AC DF＝ .
因为AB＝AC，
所以 （DE＋DF） AB＝ .
又因为DE＋DF＝3 ，
所以 ×3 AB＝ .
所以AB＝ ＝ ＝ ＝ .
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12. 新考法 探究题 观察数据，寻找规律：0，－ ， ，－3，
2 ，－ ，….
（1） 这组数据中的第10个数是什么？请说明理由.
（1） 第10个数是－3 .
理由：原数据可依次变形为0，－ ， ，－ ， ，
－ ，…，
所以第10个数为－ ＝－3 .
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（2） 你发现了什么规律？写出这组数据中的第n个数（n≥1，n为
整数）.
（2） 根据（1）中的变形，得被开方数都是3的倍数，并且倍数是这个
数的序号减1，根号外的符号是由这个数的序号决定的，当序号为奇数
时，根号外的符号是正号，当序号为偶数时，根号外的符号是负号.
这组数据中的第n个数为
（－1）n－1 （n≥1，n为整数）.
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（3） 求这组数据中的第26个数与第55个数的积.
（3） 因为这组数据中的第26个数为 － ＝－
＝－5 ，第55个数为 ＝ ＝9 ，
所以这两个数的积为－5 ×9 ＝－45 .
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12(共20张PPT)
1.1 二次根式的意义
第1章 二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 杭州拱墅段考）在下列代数式中，不属于二次根式的
为（ C ）
A. B. C. D.
2. （2025 宁波鄞州段考）若代数式 有意义，则x的取值范围
是（ A ）
A. x＞3 B. x≤3 C. x≥3 D. x≠3
C
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3. （2025 台州临海期末）若x，y为实数，且 ＋ ＝0，则
2 025的值为（ B ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
B
4. 在直角坐标系中，如果点P的坐标为（a，b），那么它到原点O的
距离用二次根式表示为 .
5. （1） 当x＝－5时， ＝ .
（2） 当x＝120时， ＝ 9 .
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6. 求使得下列各式有意义的x的取值范围.
（1） .
（1） x≤ .
（2） .
（2） x≥0且x≠3.
（3） .
（3） x为任意实数.
（4） ＋ .
（4） 1≤x≤2.
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7. 下列说法中，正确的是（ A ）
A. 式子 一定是二次根式
B. 带二次根号的式子一定是二次根式
C. 式子 一定是二次根式
D. 二次根式的值必定是无理数
A
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解析：在实数范围内，2x2＋1＞0，则式子 一定是二次根式.
故A正确.若被开方数是负数，则带二次根号的式子不是二次根式.故B
错误.当x＝0时， 无意义，则式子 无意义.故C错误. ＝2，不
是无理数.故D错误.
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8. 如果代数式 ＋ 有意义，那么在直角坐标系中，点P（m，n）
位于（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：要使代数式 ＋ 有意义，必须有－m≥0，mn＞0，所
以m＜0，n＜0.所以点P（m，n）位于第三象限.
C
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9. 已知实数x，y满足y＝1＋ ＋ ，则2x＋3y的平方根
为（ C ）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. ±
解析：根据题意，得 解得x＝ .所以y＝1.所以2x＋3y＝2× ＋3×1＝4.所以2x＋3y的平方根为±2.
C
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10. ★若实数a，b满足 ＋｜2a－b＋1｜＝0，则
（b－a）2 026的值为（ B ）
A. －1 B. 1 C. 52 026 D. －52 026
解析：因为 ＋｜2a－b＋1｜＝0，所以 ＝0，
｜2a－b＋1｜＝0.所以 解得 所以
（b－a）2 026＝（－1）2 026＝1.
B
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二次根式的双重非负性的应用
二次根式具有双重非负性：一是被开方数为非负数，二是二次根式
的值为非负数.解答本题要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负
数均为0”列出方程组，解方程组求出字母的值，再把字母的值代入所
要求的式子中即可.
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11. 若 有意义，则m能取的最大整数值是 0 .
解析：因为 有意义，所以－2m＋1≥0，解得m≤ .所以m
能取的最大整数值是0.
0
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12. 若一个等腰三角形的腰长为a（a＞5），底边长为10，则底边上的
高为 （用含a的代数式表示）.
解析：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝a，BC＝10，AD为
底边BC上的高，则易知BD＝ BC＝5.在Rt△ABD中，
因为∠ADB＝90°，所以AD＝ ＝ ＝ .
（第12题）
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13. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边的长，且a，b满足b＝4＋
＋3 ，则此三角形的周长为 10 .
解析：由题意，得3a－6≥0，2－a≥0，解得a＝2.所以b＝4.因为2＋
2＝4，所以以2，2，4为三边长不能构成等腰三角形.所以此等腰三角形
的三边长分别为2，4，4.所以周长为2＋4＋4＝10.
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14. 求使得下列各式有意义的x的取值范围.
（1） .
（1） 由题意，得6x＋8＞0，解得x＞－ .
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（2） .
（2） 由题意，得 解得x≥－ 且x≠1.
（3） － .
（3） 由题意，得 解得－9≤x＜5.
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15. 当a为何值时，代数式8－3 取得最大值？请求出这个最
大值.
因为 ≥0，
所以当 ＝0，即a＝ 时， 取得最小值，最小值是0.
所以当a＝ 时，代数式8－3 取得最大值，最大值是8.
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16. 已知实数x，y满足 －（y－1） ＝0，求x2 026－y2 025
的值.
因为 －（y－1） ＝0，
所以1＋x≥0，1－y≥0.
所以－（y－1）≥0.
所以－（y－1） ≥0.
所以 ＝0，－（y－1） ＝0，即1＋x＝0，1－y＝0，解
得x＝－1，y＝1.
所以x2 026－y2 025＝（－1）2 026－12 025＝1－1＝0.
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17. 新情境 日常生活 交警为了估计肇事汽车在出事时刹车后车轮滑动
的距离d（米），总结出经验公式d＝ ，其中v（千米/时）、f分别
表示汽车在出事前的速度、出事时的地面摩擦系数.
（1） 把这个公式变形成用含d，f的式子表示v的形式.
（1） 因为d＝ ，
所以v2＝256df.
所以v＝ .
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（2） 在某次交通事故调查中，测得d＝20，f＝1.2，请帮交警计算出
肇事汽车在出事前的速度（精确到0.1千米/时）.
（2） 把d＝20，f＝1.2代入（1）中的式子，得v＝
≈78.4.所以肇事汽车在出事前的速度约为78.4千米/时.
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17(共18张PPT)
1.2 二次根式的性质
第2课时 积、商的算术平方根
第1章 二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 杭州西湖段考）下列各式中，属于最简二次根式的为（ ）
A. B.
C. D.
D
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2. 若实数x满足 ＝ ，则x的取值范
围是（ B ）
A. x≥－5 B. x≥3
C. x＞－5 D. x＞3
B
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3. 下列各式的化简中，正确的是（ D ）
A. ＝9×25＝225
B. ＝－7× ＝－7
C. ＝ ＝ ＝
D. ＝ ＝ ＝
4. 化简： ＝ 6 ， ＝ .
D
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5. 将下列各式化为最简二次根式：
（1） .
（1） 原式＝ × ＝6×11＝66.
（2） .
（2） 原式＝ × ＝32×5 ＝45 .
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（3） .
（3） 原式＝ ＝ ＝ ＝ .
（4） .
（4） 原式＝ ＝ ＝
＝3×10－2× ＝ .
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6. 若k，m，n都是整数，且 ＝k ， ＝15 ， ＝
6 ，则下列关于k，m，n的大小关系中，正确的是（ A ）
A. m＜k＜n B. m＝n＞k
C. m＜n＜k D. m＝k＞n
解析：因为 ＝ ＝ × ＝3 ， ＝
＝ × ＝15 ， ＝ ＝ × ＝
6 ，所以k＝3，m＝2，n＝5.所以m＜k＜n.
A
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7. 已知在直角坐标系中，点P（x，y）在第二象限，则化简 的
结果是（ A ）
A. －x B. x C. －x D. x
解析：因为点P在第二象限，所以x＜0，y＞0.所以 ＝｜x｜
＝－x .
A
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8. 若 ＝a， ＝b，则 等于（ C ）
A. B. C. D.
解析： ＝ ＝ ＝ ＝ .
C
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9. 若二次根式 的值是整数，则满足条件的最小正整数x
＝ 17 .
解析： 因为 ＝ ＝ × × ＝
2×3× ＝6 ， 的值是整数，所以被开方数17x是平方
数.因为17不含平方数，所以当6 的值是整数时，x为17或一个平
方数与17的乘积.所以最小正整数x＝17.所以使二次根式 的值是
整数的最小正整数x＝17.
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10. 在△ABC中，AB＝1，BC＝4 ，CA＝ .
（1） 化简：4 和 .
（1） 4 ＝2 ， ＝ .
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（2） 如图，在4×4的方格纸中画出△ABC，使它的三个顶点都在格点
上（每个小正方形的边长均为1）.
（第10题）
（2） 如图所示（画法不唯一）.
（第10题）
（第10题）
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11. 新趋势 跨学科 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周
期，其计算公式为T＝2π ，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长
（单位：m），g为重力加速度且g＝9.8 m/s2.假如一台座钟的摆长为
0.5 m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1 min内，该座钟发
出多少次滴答声（精确到1次.参考数据： ≈3.16，π取3.14）？
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当l＝0.5 m，g＝9.8 m/s2 时，
T＝2π ＝2π ＝2π× ＝ × ＝ × ≈ ×3.16
≈1.42（s）.
因为1 min＝60 s，
所以60÷1.42≈42（次）.
答：在1 min内，该座钟发出约42次滴答声.
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12. 新考法 探究题 观察下列等式：
① ＝3；
② ＝4；
③ ＝5；
…
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（1） 猜想： ＝ 10 .请验证这一猜想.
验证： ＝ ＝ ＝10.
（2） 用含n（n≥1，且n为整数）的等式来表示上述规律.
（2） ＝n＋2（n≥1，且n为整数）.
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（3） 验证（2）中的等式.
（3） 因为n≥1，且n为整数，
所以 ＝ ＝ ＝n＋2.
（4） 请再写出一个具有这一性质的等式.
（4） 答案不唯一，如 ＝11.
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