(共21张PPT)
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 因式分解法
第2章 一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 我们解一元二次方程2x2－8x＝0时，可以运用因式分解法，将此方
程化为2x（x－4）＝0，从而得到2x＝0或x－4＝0，进而得到原方程
的根为x1＝0，x2＝4.这种解法体现的数学思想是（ A ）
A. 转化思想 B. 函数思想
C. 数形结合思想 D. 公理化思想
A
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2. 方程（x－2）2＝2x（x－2）的根是（ B ）
A. x1＝2，x2＝1 B. x1＝2，x2＝－2
C. x1＝2，x2＝0 D. x1＝2，x2＝－1
3. 一元二次方程x（x＋1）－x＝1的根是（ C ）
A. x1＝x2＝－1 B. x1＝x2＝1
C. x1＝1，x2＝－1 D. x1＝x2＝0
4. 若关于x的方程ax2＋bx＋c＝3的一个根与一元二次方程x2＝x的较
大根相同，则a＋b＋c的值为 3 .
B
C
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5. 解下列方程：
（1） 2x2＋3x＝0.
（1） 将方程的左边分解因式，得x（2x＋3）＝0.
所以x＝0或2x＋3＝0，解得x1＝0，x2＝－ .
（2） 2x2－3＝－x2＋9.
（2） 移项、合并同类项，得3x2＝12.
方程两边都除以3，得x2＝4.
直接开平方，得x＝±2，即x1＝2，x2＝－2.
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（3） x（x＋2）－3x＝0.
（3） 将方程的左边分解因式，得x （x＋2－3）＝0，即x（x－1）
＝0.
所以x＝0或x－1＝0，解得x1＝0，x2＝1.
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6. 若代数式3x（2x－1）和3（1－2x）的值互为相反数，则x的值
为（ A ）
A. 1或 B. －1或－
C. 1或－2 D. 1或2
解析：由题意，得3x（2x－1）＋3（1－2x）＝0.将方程的左边分解
因式，得3（2x－1）（x－1）＝0.所以2x－1＝0或x－1＝0，解得x
＝ 或x＝1.
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7. 若一个等腰三角形的两边长分别是方程2x（x－3）－12x＋36＝0的
两根，则该等腰三角形的周长是（ A ）
A. 15 B. 16 C. 12 D. 15或12
解析：由2x（x－3）－12x＋36＝0，得2x（x－3）－12（x－3）＝
0.所以（x－3）（2x－12）＝0，得x－3＝0或2x－12＝0，解得x1＝
3，x2＝6.若等腰三角形的三边长分别为3，3，6，因为3＋3＝6，所以
不能构成三角形.若等腰三角形的三边长分别为3，6，6，因为3＋6＞
6，所以能构成三角形，此时三角形的周长为3＋6＋6＝15.
A
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8. 已知x＝2m是关于x的方程3x2－2x＋7m＝0的一个根，则m的值
为（ D ）
A. 0 B. －
C. D. 0或－
解析： 因为x＝2m是关于x的方程3x2－2x＋7m＝0的一个根，所以
3×（2m）2－2×2m＋7m＝0，即12m2＋3m＝0，即3m（4m＋1）
＝0，则3m＝0或4m＋1＝0，解得m1＝0，m2＝－ .
D
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9. 已知单项式 x2 与－2x2y6a（a为整数）是同类项，则代数
式（a＋1）－2的值为 .
解析：因为单项式 x2 与－2x2y6a是同类项，所以3a2－a＋2
＝6a，即3a2－a＝6a－2.所以a（3a－1）＝2（3a－1）.移项，得a
（3a－1）－2（3a－1）＝0，即（3a－1）（a－2）＝0，则3a－1＝
0或a－2＝0，解得a1＝ ，a2＝2.又因为a为整数，所以a＝2.所以当
a＝2时，（a＋1）－2＝（2＋1）－2＝ .
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10. 已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为x＝
0，则m＝ 2 .
解析：因为关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为x
＝0，所以m2－2m＝0且m≠0，解得m＝2.
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11. 新考法 新定义题 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝
（a＋b）2－（a－b）2，等式右侧为通常的混合运算.若（m＋2）◎
（m－3）＝24，则m＝ －3或4 .
解析：由题意，得［（m＋2）＋（m－3）］2－［（m＋2）－（m－
3）］2＝24，即（2m－1）2－52＝24.所以（2m－1＋7）（2m－1－
7）＝0.所以2m－1＋7＝0或2m－1－7＝0，解得m1＝－3，m2＝4.
－3或4
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12. ★解下列方程：
（1） （3x－2）2＝（5－4x）2.
（1） 移项，得（3x－2）2－（5－4x）2＝0.
将方程的左边分解因式，得（3x－2＋5－4x）（3x－2－5＋4x）＝
0，即（3－x）（7x－7）＝0，则3－x＝0或7x－7＝0，解得x1＝3，
x2＝1.
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（2） （x＋3）（x－3）＝7.
（2） 化简方程，得x2－16＝0.
将方程的左边分解因式，得（x＋4） （x－4）＝0，则x＋4＝0或x－
4＝0，解得x1＝－4，x2＝4.
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（3） 4x＝5x2＋15x.
（3） 移项、合并同类项，得5x2＋11x＝0.
将方程的左边分解因式，得x（5x＋11）＝0，则x＝0或5x＋11＝0，
解得x1＝0，x2＝－ .
（4） x（x－ ）＝ x－5.
（4） 去括号、移项、合并同类项，得x2－2 x＋5＝0.
所以（x－ ）2＝0，解得x1＝x2＝ .
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先观察特征整理方程,再选择方法求解
解一元二次方程时，要先观察方程的特征，再选择方法求解.对于
（1），方程左右两边都是完全平方的形式，可直接移项后利用平方差
公式分解因式求解；对于（2）（3）（4），要先通过去括号、移项、
合并同类项等过程将原方程化为一般形式.若整理所得的方程缺少一次
项，则可用平方差公式分解因式后求解；若缺少常数项，则可用提公因
式法分解因式后求解；若方程的左边符合完全平方公式的特征，则可用
完全平方公式分解因式后求解.
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13. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m后得到大圆形场地，场地的面积
增加了一倍，求小圆形场地的半径.
（第13题）
设小圆形场地的半径为x m.
依题意，得π（x＋5）2＝2πx2，即（x＋5）2＝2x2，
所以（x＋5＋ x）（x＋5－ x）＝0.
所以x＋5＋ x＝0或x＋5－ x＝0，解得x1＝－5 ＋5，x2＝
5 ＋5.
因为－5 ＋5＜0，
所以x1应舍去.
所以x＝5 ＋5.
所以小圆形场地的半径为（5 ＋5）m.
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14. 新考法 阅读理解 由多项式的乘法法则知，若（x＋a）（x＋b）
＝x2＋px＋q，则p＝a＋b，q＝ab；反过来，要将多项式x2＋px＋q
进行分解，关键是找到两个数a，b，使a＋b＝p，ab＝q.如对多项
式x2－3x＋2，有p＝－3，q＝2，a＝－1，b＝－2，此时（－1）＋
（－2）＝－3，（－1）×（－2）＝2，故x2－3x＋2可分解为
（x－1）（x－2），即x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）.
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（1） 运用上述方法分解因式：
① x2－x－12.
② 6x2－11x－35.
（1） ① 原式＝（x－4）（x＋3）.
② 原式＝（2x－7）（3x＋5）.
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（2） 结合上述分解因式的方法，解下列方程：
① x2＋15x－126＝0.
② 2x（4x－5）＝－3.
（2） ① 因为x2＋15x－126＝（x－6）（x＋21），
所以（x－6）（x＋21）＝0，即x－6＝0或x＋21＝0，解得x1＝6，x2
＝－21.
② 原方程可化为8x2－10x＋3＝0.
因为8x2－10x＋3＝（2x－1）（4x－3），
所以（2x－1）（4x－3）＝0，即2x－1＝0或4x－3＝0，解得x1＝
，x2＝ .
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（3） 已知△ABC的两边AB，AC的长分别是一元二次方程x2－11x＋
30＝0的两个实数根，且BC＝ ，试判断△ABC的形状（按角分）.
（3） 因为x2－11x＋30＝x2＋（－5－6）x＋（－5）×（－6）＝0，
所以（x－5）（x－6）＝0，解得x1＝5，x2＝6.
因为△ABC的两边AB，AC的长分别是一元二次方程x2－11x＋30＝0
的两个实数根，且BC＝ ，52＋62＝（ ）2＝61，即AB2＋AC2
＝BC2，
所以△ABC是直角三角形.
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专题特训四 构建一元二次方程解决实际问题
第2章 一元二次方程
类型一 平均变化率问题
1. 某种商品的原价为50元，因销售不畅，3月降价10%，从4月开始涨
价，5月的售价为64.8元，则4月、5月两个月的平均涨价率为 20 %.
解析：设4月、5月两个月的平均涨价率为x.根据题意，得50（1－10%）（1＋x）2＝64.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）.所以4月、5月两个月的平均涨价率为 20%.
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2. 新能源汽车因为节能、环保，越来越受消费者的喜爱，各种品牌的
新能源汽车相继投放市场.已知2025年7月～9月某国产品牌新能源汽车
的销售量数据如下表：
月 份 7月 8月 9月
新能源汽车销售量/万辆 16 17.6 19.36
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（1） 求2025年7月～9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增
长率.
（1） 设2025年7月～9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率
为x.
由题意，得16（1＋x）2＝19.36，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1（不
合题意，舍去）.
答：2025年7月～9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为
10%.
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（2） 假设该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率保持不变，试
通过计算说明2025年7月～10月该国产品牌新能源汽车销售总量能否达
到75万辆.
（2） 由题意，得10月的销售量为19.36×（1＋10%）＝21.296（万
辆）.
因为16＋17.6＋19.36＋21.296＝74.256＜75，
所以2025年7月～10月该国产品牌新能源汽车销售总量不能达到75万辆.
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类型二 数字问题
3. 有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个两位
数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的
两位数的积是736，则原来的两位数为 23或32 .
解析：设原两位数的个位上的数字是x，则十位上的数字是5－x.由题
意，得［10（5－x）＋x］ ［10x＋（5－x）］＝736，解得x1＝2，
x2＝3.所以原来的两位数是23或32.
23或32
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类型三 图表类问题
4. 新考法 操作实践题 要在一块长为16 m、宽为12 m的长方形荒地上建
造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积的一半，如图所示分别为
小明和小亮的设计方案.
（1） 小明的说法正确吗？为什么？
（第4题）
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（1） 小明的说法不正确.
理由：设小路的宽为y m.
根据题意，得（16－2y）（12－2y）＝ ×16×12.
整理，得y2－14y＋24＝0，解得y1＝2，y2＝12.
因为荒地的宽为12 m，
所以小路的宽为12 m不符合实际情况.
所以y＝2.
所以小路的宽为2 m.
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（2） 帮小亮求出图中x的值（精确到0.1）.
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（2） 因为小亮的设计方案中的4个相同扇形的面积之和恰为一个半径
为x m的圆的面积，
所以πx2＝ ×12×16，解得x≈±5.5.
因为x＞0，
所以x≈5.5.
所以小亮的设计方案中x的值约为5.5.
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（3） 请再提供一个设计方案.
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（3） 方案不唯一，如图.
根据题意，得（16－z）（12－z）＝ ×12×16.
整理，得z2－28z＋96＝0，解得z1＝4，z2＝24（不合题意，舍去）.
所以方案为在荒地的中央修两条互相垂直的宽为4 m的小路.
（第4题）
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类型四 利润问题
5. （2025 浙江期中）某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已
知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15
元/千克.在销售过程中发现，日销量y（千克）与售价x（元/千克）之
间满足一次函数关系，对应关系如下表：
x … 9 10 11 12 …
y … 33 30 27 24 …
（1） 求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
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（1） 设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
将（9，33），（10，30）代入y＝kx＋b，得 解得
所以y＝－3x＋60.
因为销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于
15元/千克，
所以y与x之间的函数表达式为y＝－3x＋60（8≤x≤15）.
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（2） 若该经销商想使这种商品获得平均每天96元的利润，求售价应定
为多少.
（2） 根据题意，得（x－8）（－3x＋60）＝96.
整理，得x2－28x＋192＝0，解得x1＝12，x2＝16（不合题意，舍
去）.
答：售价应定为12元/千克.
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（3） 小杭同学说：“若销售这种商品10天，可以获得总利润1 200
元.”你觉得他的说法正确吗？请说明理由.
（3） 小杭同学的说法不正确.
理由：假设小杭同学的说法正确，根据题意，得（x－8）（－3x＋
60）＝1 200÷10.
整理，得x2－28x＋200＝0.
因为b2－4ac＝（－28）2－4×1×200＝－16＜0，
所以原方程没有实数根.
所以假设不成立，即小杭同学的说法不正确.
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类型五 动态探究问题
6. （2025 杭州拱墅段考）如图，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC
＝12 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2 cm/s的速度移动，与此同
时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4 cm/s的速度移动，当点Q运动
到点C时，两点停止运动.设运动时间为t s（t＞0）.
（1） 当t为何值时，PQ的长为10 cm？
（第6题）
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（1） 由题意，得AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝AB－AP＝（10
－2t）cm.
在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PB2＋BQ2＝PQ2，即（10－2t）2＋
（4t）2＝102.
整理，得t2－2t＝0，解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）.
所以当t＝2时，PQ的长为10 cm.
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（2） 是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104 cm2？若存
在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
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（2） 存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104 cm2.
由题意，得S长方形ABCD＝10×12＝120（cm2），S△PBQ＝ PB BQ＝
×（10－2t）×4t＝（－4t2＋20t）cm2.
所以S五边形APQCD＝S长方形ABCD－S△PBQ，即104＝120－（－4t2＋20t）.
整理，得t2－5t＋4＝0，解得t1＝4，t2＝1.
当t＝4时，BQ＝16 cm，16＞12，不合题意，舍去.
当t＝1时，BQ＝4 cm，4＜12，符合题意.
所以存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104 cm2，此时t的
值为1.
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6(共27张PPT)
2.3 一元二次方程根与系数的关系
第2章 一元二次方程
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思维拓展
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1. （2025 义乌段考）已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两根分别为
x1，x2，则x1＋x2的值为（ D ）
A. B. － C. D. －
D
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2. 已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，
x1x2＝1，则a，b的值分别是（ D ）
A. 3，1 B. 3，－1
C. － ，－1 D. － ，1
D
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3. 若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则 ＋ 的值
为（ C ）
A. B. － C. － D.
C
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4. （2025 苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的
两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ －3 .
5. 已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2.若x1x2＋2x1
＋2x2＝1，则k＝ －5 .
－3
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6. 已知一元二次方程2x2－9x＋3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值：
（1） （x1＋1）（x2＋1）.
因为一元二次方程2x2－9x＋3＝0的两根为x1和x2，
所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
（1） （x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＝x1x2＋（x1＋x2）＋1
＝ ＋ ＋1＝7.
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（2） －x1x2＋ .
因为一元二次方程2x2－9x＋3＝0的两根为x1和x2，
所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
（2） －x1x2＋ ＝ ＋2x1x2＋ －3x1x2＝（x1＋x2）2－3x1x2
＝2－3× ＝ － ＝ .
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7. 若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝
3x2，则m的值为（ C ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
解析：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝8 ①，x1x2＝m ②.把x1＝3x2
代入①，得3x2＋x2＝8，解得x2＝2.所以x1＝3×2＝6.把x1＝6，x2＝2
代入②，得m＝6×2＝12.
C
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8. （2025 杭州钱塘段考）嘉嘉和淇淇在解一道二次项系数为1的一元二
次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为
－7和－2，淇淇在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两
个根为3和6，则原来的方程是（ B ）
A. x2－9x＋18＝0 B. x2＋9x＋18＝0
C. x2＋5x＋18＝0 D. x2－9x＋14＝0
解析：设该方程为x2＋bx＋c＝0.由题意可知，－b＝（－7）＋（－
2）＝－9，c＝3×6＝18，所以b＝9，c＝18.所以原来的方程是x2＋
9x＋18＝0.
B
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9. （2025 金华永康段考）设直角三角形的两条直角边的长a，b是方程
2x2－6x＋1＝0的两个根，则该直角三角形的斜边长为（ B ）
A. B. 2 C. 3 D.
解析：由题意可知，a＋b＝3，ab＝ ，所以a2＋b2＝（a＋b）2－
2ab＝32－2× ＝8.所以该直角三角形的斜边长为 ＝ ＝
2 .
B
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10. 关于x的方程（x－1）（x＋2）＝p2（p为常数）的根的情况，下
列结论中正确的是（ C ）
A. 有两个正根 B. 有两个负根
C. 有一个正根，一个负根 D. 没有实数根
解析：整理方程，得x2＋x－2－p2＝0，则根的判别式为12－4×1×
（－2－p2）＝9＋4p2＞0，故该方程有两个不相等的实数根x1，x2.因
为x1 x2＝－2－p2＜0，所以x1，x2异号.所以该方程有一个正根，一个
负根.
C
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11. 易错题 已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k＋3＝0的两个实数根
分别为x1，x2，且 ＋ ＝9，则k的值是（ A ）
A. －3 B. 5
C. －3或5 D. 3或－7
A
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解析：由根与系数的关系，得x1＋x2＝k，x1 x2＝k＋3.所以 ＋
＝（x1＋x2）2－2x1x2＝k2－2（k＋3）＝k2－2k－6.又因为 ＋
＝9，所以k2－2k－6＝9，解得k1＝－3，k2＝5.当k＝－3时，一元二
次方程为x2＋3x＝0.因为32－4×1×0＝9＞0，所以方程有两个不相等
的实数根，符合题意.当k＝5时，一元二次方程为x2－5x＋8＝0.因为
（－5）2－4×8×1＝－7＜0，所以方程没有实数根，不符合题意，舍
去.所以k的值为－3.
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忽视根与系数关系的应用条件导致出现多解
一元二次方程有实数根是运用根与系数关系的前提条件，即运用一
元二次方程根与系数的关系解题时，必须保证原一元二次方程根的判别
式大于或等于0.本题容易犯的错误是运用根与系数的关系求得原方程未
知字母的值后不去验证根的判别式是否大于或等于0，就会错误地得出
k的值为－3或5，即出现多解的错误，从而选择错误答案C.
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12. 若关于y的一元二次方程y2＋my＋n＝0的两个根分别是一元二次方
程x2＋x－1＝0的两个根的2倍，则m＋n的值为 －2 .
解析：设关于y的方程y2＋my＋n＝0的两个根为y1，y2，方程x2＋x
－1＝0的两个根为x1，x2，则y1＋y2＝－m，y1y2＝n，x1＋x2＝－1，
x1x2＝－1.因为关于y的一元二次方程y2＋my＋n＝0的两个根分别是
一元二次方程x2＋x－1＝0的两个根的2倍，所以y1＋y2＝2x1＋2x2＝2
（x1＋x2）＝2×（－1）＝－m，y1y2＝2x1 2x2＝4x1x2＝4×（－1）
＝n.所以m＝2，n＝－4.所以m＋n＝－2.
－2
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13. 已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx－（c－a）＝0的两
根之和为－1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长.
（1） 求方程的根.
（1） 设方程的两根分别为x1，x2（x1＞x2）.
由题意，得
解得
所以方程的两根为x1＝0，x2＝－1.
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（2） 试判断△ABC的形状.
（2） 因为x1x2＝ ＝0，
所以a－c＝0，即a＝c.
又因为x1＋x2＝－ ＝－1，
所以2b＝a＋c.
所以2b＝2a＝2c，即a＝b＝c.
所以△ABC为等边三角形.
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14. 已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实
数根x1，x2.
（1） 求实数k的取值范围.
（1） 因为原方程有两个实数根，
所以［－（2k＋1）］2－4（k2＋2k）≥0.
所以4k2＋4k＋1－4k2－8k≥0.
所以1－4k≥0，解得k≤ .
所以实数k的取值范围是k≤ .
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（2） 是否存在实数k，使得x1x2－ － ≥0成立？若存在，请求出k
的值；若不存在，请说明理由.
（2） 不存在.
理由：假设存在实数k，使得x1x2－ － ≥0成立.
因为x1，x2是原方程的两个实数根，
所以x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋2k.
由x1x2－ － ≥0，得3x1x2－（x1＋x2）2≥0.
所以3（k2＋2k）－（2k＋1）2≥0.
整理，得（k－1）2≤0.
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又（k－1）2≥0，
所以（k－1）2＝0，即k＝1.
又由（1）知，k≤ ，
所以k＝1不符合题意，即不存在实数k，使得x1x2－ － ≥0成立.
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15. ★新考法 阅读理解 阅读材料：
材料一：为了解方程（x2）2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整
体，然后设y＝x2，那么原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原
方程的根为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.我们把以上这种解决问题
的方法叫作换元法.
材料二：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且
m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根.由根与
系数的关系知，m＋n＝1，mn＝－1.
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根据上述材料，解决下列问题：
（1） 方程x4－5x2＋6＝0的根为 x1＝ ，x2＝－ ，x3＝ ，x4
＝－ . .
解析：令y＝x2，则有y2－5y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝3.当y＝2时，
x2＝2.所以x＝± .当y＝3时，x2＝3.所以x＝± .所以x1＝
，x2＝－ ，x3＝ ，x4＝－ .
x1＝ ，x2＝－ ，x3＝ ，x4
＝－ .
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（2） 已知实数a，b满足2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0，且
a≠b，求a4＋b4的值.
（2） ① 当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n.
所以m≠n，则2m2－7m＋1＝0，2n2－7n＋1＝0.
所以m，n是方程2x2－7x＋1＝0的两个不相等的实数根.
所以
此时a4＋b4＝m2＋n2＝（m＋n）2－2mn＝2－2× ＝ .
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② 当a2＝b2（a＝－b）时，易得a2＝b2＝ ，此时a4＋b4＝2a4＝
2（a2）2＝ .
综上所述，a4＋b4＝ 或 .
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（3） 已知实数m，n满足 ＋ ＝7，n2－n＝7，且n＞0，求 ＋
n2的值.
（3） 令 ＝p，－n＝q，则p2＋p－7＝0，q2＋q－7＝0.
因为n＞0，
所以 ≠－n，即p≠q.
所以p，q是方程x2＋x－7＝0的两个不相等的实数根.
所以
故 ＋n2＝p2＋q2＝（p＋q）2－2pq＝（－1）2－2×（－7）＝15.
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解决构造新方程问题的一般方法
根据所给两个方程的整体结构特征，将其转化为具有相同结构的方
程，从而构造新方程，并确定这个新方程的两个根，再根据一元二次方
程根与系数的关系确定原来两个方程的根之间的数量关系，对待求代数
式进行适当变形，进而求得结果.
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2.2 一元二次方程的解法
第3课时 配 方 法（2）
第2章 一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 金华婺城段考）用配方法解方程2x2－x－1＝0时，变形结果
正确的是（ A ）
A. 2＝ B. 2＝
C. 2＝ D. 2＝
A
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2. 用配方法解方程 x2－x－2＝0的步骤依次如下：① x2－2x＝4；② x2
－2x＋1＝5；③ （x－1）2＝5；④ x＝ ＋1.开始出现错误的步骤
是（ D ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
D
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3. 已知k为实数，若方程9x2－kx＋1＝0的左边可以写成关于x的完全平
方式的形式，则k的值为 －6或6 .
4. 用配方法解方程3x2－6x＋2＝0时，将方程变为（x－m）2＝ 的形
式，则m的值为 1 .
－6或6
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5. 用配方法解下列方程：
（1） x2＋2x－2＝0.
（1） 去分母，得x2＋4x－4＝0.
移项，得x2＋4x＝4.
方程的两边同时加上4，得x2＋4x＋4＝4＋4，即（x＋2）2＝8，则x＋
2＝2 或x＋2＝－2 ，
所以x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2 .
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（2） 3x2－4x－2＝0.
（2） 方程的两边同时除以3，得x2－ x－ ＝0.
移项，得x2－ x＝ .
方程的两边同时加上 ，得x2－ x＋ ＝ ＋ ，即2＝ ，则x
－ ＝ 或x－ ＝－ ，
所以x1＝ ，x2＝ .
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（3） －2x2－7x＋4＝0.
（3） 方程的两边同时除以－2，得x2＋ x－2＝0.
移项，得x2＋ x＝2.
方程的两边同时加上 ，得x2＋ x＋ ＝2＋ ，即2＝ ，则
x＋ ＝ 或x＋ ＝－ ，
所以x1＝ ，x2＝－4.
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（4） 4x2－1＝12x.
（4） 方程的两边同时除以4，得x2－ ＝3x.
移项，得x2－3x＝ .
方程的两边同时加上 ，得x2－3x＋ ＝ ＋ ，即2＝ ，
则x－ ＝ 或x－ ＝－ ，
所以x1＝ ，x2＝ .
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6. 小刚用配方法解关于x的一元二次方程2x2－bx＋a＝0，得x－ ＝
± ，则b的值为（ C ）
A. －6 B. －3 C. 6 D. 3
C
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解析：方程2x2－bx＋a＝0的两边同时除以2并移项，得x2－ x＝
－ ，方程的两边同时加上2，得x2－ x＋2＝－ ＋2，即
2＝ .因为解关于x的一元二次方程2x2－bx＋a＝0，得
x－ ＝± ，所以 ＝ ，解得b＝6.
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7. 用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，c＜0）得到
（x－c）2＝4c2，从而解得方程的一个根为x＝1，则a－3b的值
为（ B ）
A. －5 B. －1
C. 2 D. 3
B
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解析： 由（x－c）2＝4c2，可得x－c＝±2c，所以x－c＝－2c或x
－c＝2c，解得x1＝－c，x2＝3c.因为c＜0，所以－c＞0，3c＜0.又
因为方程的一个根为x＝1，所以－c＝1，即c＝－1.所以原方程为［x
－（－1）］2＝4×（－1）2，化为一般形式，得x2＋2x－3＝0.方程的
两边同时除以3，得 x2＋ x－1＝0.所以a＝ ，b＝ .所以a－3b＝
－2＝－1 .
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8. 当x＝ 或－4 时，代数式2x2＋7x－1的值与代数式x2－19的值互
为相反数.
解析：因为代数式2x2＋7x－1的值与代数式x2－19的值互为相反数，
所以2x2＋7x－1＝－（x2－19）.整理，得3x2＋7x－20＝0.移项，得
3x2＋7x＝20.方程的两边同时除以3，得x2＋ x＝ .配方，得x2＋ x
＋ ＝ .所以2＝ .所以x＋ ＝ 或x＋ ＝－ ，解得x1
＝ ，x2＝－4.所以当x＝ 或－4时，代数式2x2＋7x－1的值与代数式
x2－19的值互为相反数.
或－4
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9. 若方程2x2＋8x－32＝0能配方成（x＋p）2＋q＝0的形式，则直线y
＝px＋q不经过第 二 象限.
解析：因为2x2＋8x－32＝0，所以x2＋4x－16＝0.所以x2＋4x＋4－4
－16＝0，即（x＋2）2－20＝0.所以p＝2，q＝－20.所以直线对应的
函数表达式为y＝2x－20，此直线经过第一、三、四象限，不经过第二
象限.
二
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10. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数，
a≠0）配方后为（x＋1）2＝d（d为常数），则 ＝ 1 .
解析：因为配方后为（x＋1）2＝d，即x2＋2x＋1＝d，即x2＋2x＋1
－d＝0，所以原方程为ax2＋2ax＋a－ad＝0.所以b＝2a.所以 ＝1.
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11. 用配方法解下列方程：
（1） （x＋1）（2x－3）＝1.
（1） 整理，得x2－ x＝2.
方程的两边同时加上 ，得x2－ x＋ ＝2＋ ，即2＝ ，
则x－ ＝ 或x－ ＝－ ，
解得x1＝ ，x2＝ .
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（2） x（2x＋1）＝5x＋70.
（2） 整理，得x2－2x＝35.
方程的两边同时加上1，得x2－2x＋1＝35＋1，即（x－1）2＝36，则x
－1＝6或x－1＝－6，解得x1＝7，x2＝－5.
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12. 大家知道用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项
系数化为1，再进行配方.小聪在解方程3x2－2 x－1＝0时，没有先把
二次项系数化为1，而是用如下方法解答.
解：因为 3x2－2 x－1＝0，
所以（ x）2－2 x－1＝0.
所以（ x）2－2 x＝1.
所以（ x）2－2 x＋1＝1＋1.
所以（ x－1）2＝2.
所以 x－1＝± .
所以x1＝ ＋ ，x2＝ － .
请模仿小聪的解法解方程：5x2＝2（ x－1）.
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因为5x2＝2（ x－1），
所以5x2－2 x＝－2.
所以（ x）2－2 x ＝－2.
所以（ x）2－2 x ＋（ ）2＝－2＋（ ）2.
所以（ x－ ）2＝1.
所以 x－ ＝±1.
所以x1＝ ＋ ，x2＝ － .
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13. ★ 新考法 阅读理解 阅读材料，并回答问题.
通过对实数的学习，我们知道x2≥0，由此可以得出（a±b）2
的值为非负数，如探求多项式2x2＋8x－3的最小值时，我们可以这
样处理：
解：原式＝2（x2＋4x）－3＝2（x2＋2x 2＋22－22）－3＝2（x＋2）2
－11.
因为 2（x＋2）2≥0，
所以 2（x＋2）2－11≥－11，且当x＝－2时，2（x＋2）2－11的值最
小，为－11.
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（1） 求多项式3x2－6x＋2的最小值，并写出对应的x的值.
（1） 原式＝3（x2－2x）＋2＝3（x2－2x＋1－1）＋2＝3（x－1）2
－1.
因为3（x－1）2≥0，
所以3（x－1）2－1≥－1，且当x＝1时，3（x－1）2－1的值最小，为
－1.
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（2） 求多项式8－2x2＋4x的最大值.
（2） 原式＝－2（x2－2x）＋8＝－2（x2－2x＋1－1）＋8＝－2（x
－1）2＋10.
因为（x－1）2≥0，
所以－2（x－1）2≤0.
所以－2（x－1）2＋10≤10，且当x＝1时，－2（x－1）2＋10的值最
大，为10.
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（3） 对于任意实数x，试比较代数式3x3－2x2－4x＋1与3x3＋4x＋10
的值的大小.
（3） （3x3－2x2－4x＋1）－（3x3＋4x＋10）＝－2x2－8x－9＝－2
（x2＋4x）－9＝－2（x2＋4x＋4－4）－9＝－2（x＋2）2－1.
因为（x＋2）2≥0，
所以－2（x＋2）2≤0.
所以－2（x＋2）2－1≤－1＜0.
所以对于任意实数x，恒有3x3－2x2－4x＋1＜3x3＋4x＋10.
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（4） 求证：无论x取何值，多项式x2＋4y2＋8x－8y＋28的值总是正的.
（4） x2＋4y2＋8x－8y＋28＝x2＋8x＋16－16＋4y2－8y＋4－4＋28
＝（x＋4）2＋4（y－1）2＋8.
因为（x＋4）2＋4（y－1）2≥0，
所以（x＋4）2＋4（y－1）2＋8≥8＞0.
所以无论x取何值，多项式x2＋4y2＋8x－8y＋28的值总是正的.
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用作差法比较两个代数式的大小
比较两个代数式A，B的大小关系时，可运用作差法，求得A－B
的结果，若结果是二次代数式，则可对其运用配方法化成（x＋m）2
＋（y＋n）2＋h或－（x＋m）2－（y＋n）2－h（h≥0）的形式，
根据（x＋m）2和（y＋n）2的非负性，可确定A－B≥0或A－
B≤0，从而确定A≥B或A≤B.
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第2章整合拔尖
第2章 一元二次方程
01
知识体系构建
02
高频考点突破
目
录
03
综合素能提升
考点一 一元二次方程的一般形式
典例1 易错题 已知关于x的一元二次方程（m－3）x2＋m2x＝9x＋5
化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ D ）
A. 0 B. ±3
C. 3 D. －3
解析：因为（m－3）x2＋m2x＝9x＋5，所以（m－3）x2＋
（m2－9）x－5＝0.由题意，得m－3≠0，m2－9＝0，解得m＝－3.
D
勿忽视二次项系数不为0的条件
根据一元二次方程各项系数的要求确定参数的取值时，应同时考虑
二次项系数不为0的条件.本题若忽视二次项系数m－3≠0这个条件，则
易导致错选B.
把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念
列式计算即可.
［变式］ （2025 义乌期中）若关于x的一元二次方程（a－1）x2＋2x
＋a2－1＝0的常数项为0，则a的值为（ C ）
A. ±1 B. 1
C. －1 D. 0
解析：若关于x的一元二次方程（a－1）x2＋2x＋a2－1＝0的常数项
为0，则a2－1＝0，解得a＝±1.因为a－1≠0，所以a≠1.所以a＝
－1.
C
考点二 一元二次方程的根
典例2 （2024 南充）已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则（m＋
5）（m－1）的值为 －4 .
解析：因为m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，所以m2＋4m＝1.所以
（m＋5）（m－1）＝m2－m＋5m－5＝m2＋4m－5＝1－5＝－4.
－4
把x＝m代入方程x2＋4x－1＝0，求出m2＋4m的值，然后利用多
项式乘多项式法则计算（m＋5）（m－1），最后把m2＋4m的值代入
进行计算即可.
［变式］ （2025 宁波期末）若m是一元二次方程2x2＋2x－3＝0的一个
根，则2m2－ ＝ 2 .
解析：因为m是一元二次方程2x2＋2x－3＝0的一个根，所以2m2＋2m
－3＝0.所以2m2＝3－2m.所以2m2－6＝－2m－3.所以原式＝3－2m
－ ＝3－2m＋ ＝ ＝ ＝－ ＝－
＝ ＝2.
2
考点三 解一元二次方程
典例3 ★选择合适的方法解下列一元二次方程：
（1） （2x＋3）2－25＝0.
（1） 方程移项，得（2x＋3）2＝25.
两边开平方，得2x＋3＝5或2x＋3＝－5，解得x1＝1，x2＝－4.
（2） x2＋4x＋2＝0.
（2） 方程变形，得x2＋4x＝－2.
配方，得x2＋4x＋4＝－2＋4，即（x＋2）2＝2.
两边开平方，得x＋2＝± ，解得x1＝－2＋ ，x2＝－2－ .
（3） 2x2－5x＋1＝0.
（3） 因为a＝2，b＝－5，c＝1，
所以b2－4ac＝（－5）2－4×2×1＝17＞0.
所以x＝ .
所以x1＝ ，x2＝ .
（4） （x－5）2＝（2x－1）（5－x）.
（4） 方程变形，得（x－5）2＋（2x－1） （x－5）＝0.
分解因式，得（x－5）（x－5＋2x－1）＝0，即（x－5）（3x－6）
＝0.
所以x－5＝0或3x－6＝0，解得x1＝5，x2＝2.
根据方程的特征巧选解方程的方法
开平方法和因式分解法适合解特殊的一元二次方程，如缺少一次项
的一元二次方程适合用开平方法求解.公式法和配方法可解任意的一元
二次方程，但当各项系数均为整数且绝对值较小时首选公式法.对于含
有括号的一元二次方程，不要急于去掉括号，可根据方程的特点，选用
因式分解法或开平方法求解.
（1） 方程移项，得（2x＋3）2＝25，用开平方法解.（2） 此方程
的二次项系数为1，一次项系数是偶数，可考虑运用配方法求解.（3）
此题不可能用开平方法，方程左边不能用已学过的方法分解因式，因此
也不可能用因式分解法.配方法较复杂，所以选用公式法.（4） 把方程
右边整体移到左边后，经过变形可提取公因式（x－5），故用因式分解
法求解.
［变式］ （2025 杭州期中）解方程：
（1） x2－6x＝0.
（1） 将方程的左边分解因式，得x（x－6）＝0，
则x＝0或x－6＝0，解得x1＝0，x2＝6.
（2） 4x（3＋x）＝7（x＋3）.
（2） 将方程移项，得4x（x＋3）－7（x＋3）＝0.
将方程的左边分解因式，得（x＋3）（4x－7）＝0，
则x＋3＝0或4x－7＝0，解得x1＝－3，x2＝ .
（3） x2＋2x＋1＝4.
（3） 将方程的左边配方，得（x＋1）2＝4.
开平方，得x＋1＝2或x＋1＝－2，解得x1＝1，x2＝－3.
（4） 3x2＋5x＋1＝0.
（4） 因为a＝3，b＝5，c＝1，
所以b2－4ac＝52－4×3×1＝13＞0.
所以x＝ .
所以x1＝ ，x2＝ .
考点四 一元二次方程根的判别式
典例4 （2024 潍坊）已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1
＝0，其中m，n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断中正
确的是（ C ）
A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
解析：因为m－2n＝3，所以该方程的根的判别式为（－m）2－4（－
n2＋mn＋1）＝m2＋4n2－4mn－4＝（m－2n）2－4＝32－4＝9－4＝
5＞0.所以原方程有两个不相等的实数根.
C
［变式］ 已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x
的方程x2＋2mx＋m（m＋1）＝0的根的情况.
因为关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，
所以（－2）2－4 （－m）＝4＋4m＜0，解得m＜－1.
关于x的方程x2＋2mx＋m（m＋1）＝0的根的判别式为（2m）2－
4m（m＋1）＝－4m＞4，
所以方程有两个不相等的实数根.
考点五 一元二次方程根与系数的关系
典例5 （2024 遂宁）已知关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋m
－1＝0.
（1） 求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（1） 关于x的方程x2－（m＋2）x＋m－1＝0的根的判别式为
［－（m＋2）］2－4×1×（m－1）＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2＋8.
因为m2≥0，
所以m2＋8＞0.
所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2） 如果方程的两个实数根为x1，x2，且 ＋ －x1x2＝9，求m
的值.
（2） 由题意，得x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.
因为 ＋ －x1x2＝9，即（x1＋x2）2－3x1x2＝9，
所以（m＋2）2－3（m－1）＝9.
整理，得m2＋m－2＝0.
解得m1＝－2，m2＝1.
所以m的值为－2或1.
［变式］ （2025 浙江期中）已知关于x的方程x2＋（m－1）x＋m＋3
＝0的两个根分别为t＋1和t－3，则t的值为 ±3 .
解析：因为关于x的方程x2＋（m－1）x＋m＋3＝0的两个根分别为t
＋1和t－3，所以由根与系数的关系，得t＋1＋t－3＝－m＋1，（t＋
1）（t－3）＝m＋3.所以m＝3－2t，则（t＋1）（t－3）＝3－2t＋
3.整理，得t2＝9，解得t＝±3.
±3
考点六 一元二次方程的实际应用
典例6 （2025 丽水期中）社区利用一块长方形空地建了一个小型停车
场，其布局如图所示.已知AD＝50 m，AB＝30 m，涂色部分设计为停
车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x m的道路.已知铺花砖的面积为
800 m2.
（典例6图）
（1） 道路的宽是多少米？
（1） 由题意，得（50－2x） （30－2x）＝800.
整理，得x2－40x＋175＝0，解得x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5.
答：道路的宽是5米.
（2） 该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为
200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1
个车位.设每个车位的月租金上涨a元.
① 求停车场可以租出多少个车位（用含a的代数式表示）.
② 当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10 080元，
同时尽可能让利于民？
（2） ① 停车场可以租出 个车位.
② 由题意，得（200＋a） ＝10 080.
整理，得a2－50a＋400＝0，解得a1＝10，a2＝40.
因为要尽可能让利于民，所以a＝10.
所以200＋a＝210.
答：当每个车位的月租金为210元时，停车场的月租金收入为10 080
元，同时尽可能让利于民.
［变式］ （2024 淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身
心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021
年的32万人增加到2023年的50万人.
（1） 求该市参加健身运动人数的年均增长率.
（1） 设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.
由题意，得32（1＋x）2＝50，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25（不
合题意，舍去）.
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
（2） 为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身
器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100
套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1 000元.
已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买这种健身器材的套数.
（2） 设购买这种健身器材m套.
因为240 000÷1 600＝150（套），
所以m＞100.
由题意，得m（1 600－ ×40）＝240 000.
整理，得m2－500m＋60 000＝0，解得m1＝200，m2＝300.
当m＝200时，1 600－ ×40＝1 600－400＝1 200＞1 000，符合题
意.当m＝300时，1 600－ ×40＝1 600－800＝800＜1 000，不符
合题意，舍去.
答：购买这种健身器材200套.
1. 关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是x＝－2，则k的值为（ ）
A. 2或4 B. 0或4 C. －2或0 D. －2或2
解析：把x＝－2代入方程x2＋4kx＋2k2＝4，得4－8k＋2k2＝4.整
理，得k2－4k＝0，解得k1＝0，k2＝4.所以k的值为0或4.
B
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2. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a＋b）
（a－b）－1，其中等式的右边是通常的加法、减法、乘法运算.例
如：4*3＝（4＋3）×（4－3）－1＝7－1＝6.若x*k＝x（k为常数）
是关于x的方程，则它的根的情况为（ C ）
A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
解析：由题意，得（x＋k）（x－k）－1＝x，即x2－x－k2－1＝0.
因为b2－4ac＝（－1）2－4（－k2－1）＝4k2＋5＞0，所以关于x的方
程有两个不相等的实数根.
C
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3. 若x1，x2是方程x2－x－2 026＝0的两个实数根，则代数式 －
2 026x1＋ 的值是（ A ）
A. 4 053 B. 4 052
C. 2 026 D. 1
解析：因为x1，x2是方程x2－x－2 026＝0的两个实数根，所以 －x1
－2 026＝0，即 －2 026＝x1，且x1＋x2＝1，x1x2＝－2 026.所以
－2 026x1＋ ＝x1（ －2 026）＋ ＝ ＋ ＝（x1＋x2）2－
2x1x2＝1＋4 052＝4 053.
A
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4. 已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数
根，则 ＋c的值为 2 .
解析：因为关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实
数根，所以a≠0，且方程的根的判别式为22－4a（2－c）＝0.整理22
－4a（2－c）＝0，得4a（c－2）＝－4. 等式两边同时除以4a，得c
－2＝－ ，即 ＋c＝2.
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5. 如图，AO＝BO＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由
点A以2 cm/s的速度沿AB向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3 cm/s
的速度沿OC 方向爬行，则 10或15或30 s后，两只蚂蚁所处的位置
（视为两点）与点O组成的三角形的面积为450 cm2.
（第5题）
10或15或30
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解析：设x s后两只蚂蚁所处位置与点O组成的三角形的面积为
450 cm2.有两种情况：① 如图①，当沿AB爬行的蚂蚁在AO上，即
0≤x≤25时，由题意，得 ×3x（50－2x）＝450，解得x1＝15，x2＝
10；② 如图②，当沿AB爬行的蚂蚁在OB上，即25＜x≤50时，由题
意，得 ×3x（2x－50）＝450，解得x1＝30，
x2＝－5（不合题意，舍去）.综上所述，10 s或
15 s或30 s后，两只蚂蚁所处位置与点O组成
的三角形的面积为450 cm2.
（第5题）
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6. （2025 南充）设x1，x2是关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2的
两根.
（1） 当x1＝－1时，求x2及m的值.
方程（x－1）（x－2）＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.
因为b2－4ac＝（－3）2－4（2－m2）＝4m2＋1＞0，
所以关于x的方程总有两个不相等的实数根.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1 x2＝2－m2.
（1） 当x1＝－1时，－1＋x2＝3，－x2＝2－m2.
所以x2＝4，则－4＝2－m2.
所以m＝± .
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（2） 求证：（x1－1）（x2－1）≤0.
方程（x－1）（x－2）＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.
因为b2－4ac＝（－3）2－4（2－m2）＝4m2＋1＞0，
所以关于x的方程总有两个不相等的实数根.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1 x2＝2－m2.
（2） （x1－1）（x2－1）＝x1 x2－（x1＋x2）＋1＝2－m2－3＋1＝
－m2.
因为m2≥0，
所以－m2≤0，即（x1－1）（x2－1）≤0.
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7. 新情境 日常生活 （2025 绍兴新昌期末）某农户的西瓜，除了销售
到县城，消费者还可以直接去农田采摘.该农户在西瓜上市的第一天共
计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元，剩余的部
分在农田采摘销售，单价为6元.
（1） 求该农户这一天销售西瓜的总收入.
（1） 根据题意，得8×200＋6×（600－200）＝8×200＋6×400＝
4 000（元）.
答：该农户这一天销售西瓜的总收入为4 000元.
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（2） 为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售
的西瓜，单价每降1元，平均每天可多售出60千克.已知在农田采摘的单
价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4 300元，则在
县城销售的单价应降低多少元？
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（2） 设在县城销售的单价降低x元，则销售量为（200＋60x）千克.
根据题意，得（8－x）（200＋60x）＋6×（600－200）＝4 300.
整理，得3x2－14x＋15＝0，解得x1＝3，x2＝ .
又因为要扩大销售，
所以x＝3.
答：在县城销售的单价应降低3元.
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7(共21张PPT)
专题特训二 用恰当的方法解一元二次方程
第2章 一元二次方程
类型一 缺“一”选“开”
1. 下列方程中，不能用开平方法求解的是（ C ）
A. x2－3＝0 B. （x－1）2－4＝0
C. x2＋2＝0 D. （x－1）2＝（－2）2
C
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2. 解方程：
（1） x2－5＝ .
（1） 原方程可变形为x2＝ ＋5，即x2＝ .
直接开平方，解得x1＝ ，x2＝－ .
（2） 4（x－1）2－12＝0.
（2） 原方程可变形为（x－1）2＝3，
直接开平方，得x－1＝± ，
所以x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1.
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类型二 遇“大”选“配”
3. 解方程：
（1） x2＋24x＝9 856.
（1） 方程的两边同时加上122，得x2＋24x＋122＝9 856＋122，即（x
＋12）2＝10 000，则x＋12＝100或x＋12＝－100，解得x1＝88，x2＝
－112.
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（2） －2 697＝0.
（2） 原方程可变形为x2－6x－8 091＝0.
移项，得x2－6x＝8 091.
方程的两边同时加上32，得x2－6x＋32＝8 091＋32，即（x－3）2＝
8 100，则x－3＝90或x－3＝－90，解得x1＝93，x2＝－87.
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类型三 遇“小”选“公”
4. 设x1为一元二次方程2x2－2x－1＝0的较大实数根，则下列结论中，
正确的是（ C ）
A. 3＜x1＜4 B. 2＜x1＜3
C. 1＜x1＜2 D. 0＜x1＜1
C
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解析：解方程2x2－2x－1＝0，得x＝ ＝ ，所以原方程的两
根为x＝ 或x＝ .因为 ＞ ，所以较大实数根x1＝
.因为1＜ ＜2，所以2＜1＋ ＜3.所以1＜ ＜ ＜2，即1
＜x1＜2.
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5. 解方程：3x2－4x＝2.
原方程可变形为3x2－4x－2＝0.
因为a＝3，b＝－4，c＝－2，
所以b2－4ac＝（－4）2－4×3×（－2）＝40.
所以x＝ .
所以x1＝ ，x2＝ .
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类型四 缺“项”选“因”
6. 解方程：
（1） （2025 杭州滨江期末）（x－2）2＝2x（x－2）.
（1） 将原方程移项，得（x－2）2－2x（x－2）＝0.
将方程的左边分解因式，得（x－2－2x）（x－2）＝0，即（－x－
2）（x－2）＝0，则－x－2＝0或x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
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（2） 2（4－x）2＝x2－16.
（2） 将原方程移项，得2（x－4）2－（x＋4）（x－4）＝0.
将方程的左边分解因式，得（x－4） ［2（x－4）－（x＋4）］＝
0，即（x－4） （x－12）＝0，则x－4＝0或x－12＝0，解得x1＝4，
x2＝12.
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类型五 先整理，再选择
7. 用适当的方法解下列一元二次方程：
（1） （x－1）（x＋3）＝12.
（1） 将原方程去括号、移项，得x2＋2x－15＝0.
将方程的左边分解因式，得（x－3） （x＋5）＝0.
所以x－3＝0或x＋5＝0.
所以x1＝3，x2＝－5.
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（2） （x＋2）2＋（x－1）2＝6.
（2） 将原方程去括号、移项，得2x2＋2x－1＝0.
所以a＝2，b＝2，c＝－1.
所以b2－4ac＝22－4×2×（－1）＝12＞0.
所以x＝ ＝ .
所以x1＝ ，x2＝ .
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类型六 阅读材料，获取方法
8. 阅读材料：
我们解决一个数学问题，从某一角度用某种方法难以奏效时，不妨换一
个角度去观察思考，换一种方法去处理，从而使问题迎刃而解.
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例如：解方程x3－2 x2＋2x－ ＋1＝0.这是一个高次方程，我们未
学过其解法，难以求解.如果我们换一个角度（将“已知”和“未知”
互换），即将 看成“未知数”，而将x看成“已知数”，易知
x≠0，那么原方程可整理为x （ ）2－（2x2＋1） ＋（x3＋1）
＝0，则a＝x，b＝－（2x2＋1），c＝x3＋1.所以 b2－4ac＝［－（2x2
＋1）］2－4x（x3＋1）＝4x2－4x＋1＝（2x－1）2.所以由公式法，可
得 ＝x＋1或 ＝ .故原方程可转化为一个一元一次方程
＝x＋1和一个一元二次方程x2－x＋1＝ x，进而求得这个高次方程
的解.
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（1） 上述解题过程中，运用的数学思想方法是（ C ）
A. 类比思想 B. 函数思想
C. 转化思想 D. 整体思想
C
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（2） 解方程：9x－3x2－3＋ x3＋ x＝0.
（2） 因为9x－3x2－3＋ x3＋ x＝0，易知x≠0，
所以将3看成“未知数”，x看成“已知数”，则原方程可整理为x 323
－（x2＋1） 3＋ ＝0，则a＝x，b＝－（x2＋1），c＝
x3＋ x.
所以b2－4ac＝［－（x2＋1）］2－4x （ x3＋ x）＝1.
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所以由公式法，可得3＝ 或3＝ .
当3＝ 时，解得x＝6.
当3＝ 时，解得x1＝3－ ，x2＝3＋ .
经检验，x1＝3－ ，x2＝3＋ 都是分式方程的解.
所以原方程的解为x1＝3－ ，x2＝3＋ ，x3＝6.
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9. 【提出问题】
为解方程（x2－2）2－11（x2－2）＋18＝0，我们可以将x2－2视为一个
整体，然后可设x2－2＝y，于是原方程可转化为y2－11y＋18＝0，解
得y1＝2，y2＝9.
当y＝2时，x2－2＝2，即x2＝4，则x＝±2；
当y＝9时，x2－2＝9，即x2＝11，则x＝± .
所以原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝－ ，x4＝ .
以上解方程的方法就是换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转
化的思想.
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【解决问题】
（1） 运用上述换元法解方程：
① x4－3x2－4＝0.
② 2x－5 ＋2＝0.
（1） ① 设x2＝y，则原方程可转化为y2－3y－4＝0，解得y1＝4，y2＝
－1.
当y＝4时，x2＝4，则x＝±2；当y＝－1时，x2＝－1，此方程无实
数解.
所以原方程的解为x1＝2，x2＝－2.
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② 设 ＝m（m≥0），则原方程可转化为2m2－5m＋2＝0，解得m1
＝2，m2＝ .
当m＝2时， ＝2，则x＝4；当m＝ 时， ＝ ，则x＝ .
所以原方程的解为x1＝4，x2＝ .
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【延伸拓展】
（2） 已知实数m，n满足（m＋3n）（m＋3n－2）＝2m＋6n－4，
求4m＋12n－3的值.
（2） 因为（m＋3n）（m＋3n－2）＝2m＋6n－4，
所以（m＋3n）（m＋3n－2）＝2（m＋3n－2）.
设m＋3n＝t，则t（t－2）＝2（t－2）.
移项，得t（t－2）－2（t－2）＝0.
将方程的左边分解因式，得（t－2）2＝0，
所以t1＝t2＝2.
所以m＋3n＝2.
所以4m＋12n－3＝4（m＋3n）－3＝4×2－3＝5.
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9(共20张PPT)
专题特训三 一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
第2章 一元二次方程
类型一 运用根的判别式判断根的情况
1. 数形结合思想 若函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，则关于
x的一元二次方程x2＋bx＋k－1＝0的根的情况是（ C ）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 只有一个实数根
（第1题）
C
解析：因为函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，所
以k＜0，b＜0.所以b2＞0，－4k＞0.所以b2－4（k－1）＝b2－4k＋
4＞0.所以原方程有两个不相等的实数根.
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2. 若1和－1有一个是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根，则关于x的一元
二次方程（a＋1）x2＋2bx＋（a＋1）＝0根的情况是（ B ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
解析：因为1和－1有一个是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根，所以1
＋b＋a＝0或1－b＋a＝0.所以－b＝a＋1或b＝a＋1，即b2＝（a＋
1）2.所以（2b）2－4（a＋1）2＝4［b2－（a＋1）2］＝0.所以关
于x的一元二次方程（a＋1）x2＋2bx＋（a＋1）＝0有两个相等的
实数根.
B
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3. 已知关于x的方程x2－（k＋2）x＋2k－1＝0.
（1） 求证：无论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根.
（1） 由题意，得方程x2－（k＋2）x＋2k－1＝0的根的判别式为
［－（k＋2）］2－4×1×（2k－1）＝k2－4k＋8＝（k－2）2＋4.
又因为无论k取何实数，总有（k－2）2≥0，
所以（k－2）2＋4＞0.
所以无论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根.
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（2） 如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根.
（2） 因为方程的一个根为x＝3，
所以32－3（k＋2）＋2k－1＝0，解得 k＝2.
所以方程为 x2－4x＋3＝0.
解得x1＝1，x2＝3.
所以方程的另一根为x＝1.
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类型二 一元二次方程根的判别式和整数根
4. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1） x＋m2＝0有两个不相等
的实数根.
（1） 求m的取值范围.
（1） 因为关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2＝0有两个不相
等的实数根，
所以（2m＋1）2－4m2＞0，解得m＞－ .
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（2） 若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求
此时方程的根.
（2） 利用求根公式求出方程的根为x＝ .
因为方程的两个根都为整数，
所以4m＋1为平方数.
所以m的值不唯一，如当m的值为0时，方程的根为x1＝0，x2＝－1.
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类型三 利用根的意义、根与系数的关系求代数式的值
5. （2025 广安）已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数
式a2－4a＋b的值为 29 .
解析：因为方程x2－5x－24＝0的两根分别为a，b，所以a＋b＝5，
a2－5a－24＝0.所以a2－5a＝24.所以a2－4a＋b＝a2－5a＋a＋b＝
24＋5＝29.
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6. 整体思想 若m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n
＝3，求代数式2n2－mn＋2m＋2 026的值.
由题意，得m，n是方程x2－x－3＝0的两个不相等的实数根.
所以m＋n＝1，mn＝－3.
因为n2－n＝3，即n2＝n＋3，
所以原式＝2（n＋3）－mn＋2m＋2 026＝2（m＋n）－mn＋2 032
＝2×1－（－3）＋2 032＝2＋3＋2 032＝2 037.
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类型四 综合运用根的判别式、根与系数的关系求字母的值
7. 已知关于x的一元二次方程x2－（k－1）x－k＋2＝0有两个实数根
x1，x2.若（x1－x2＋2）（x1－x2－2）＋2x1x2＝－3，则k的值是（ ）
A. 0或2 B. －2或2
C. －2 D. 2
D
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解析：因为关于x的一元二次方程x2－（k－1）x－k＋2＝0有两个实
数根x1，x2，所以x1＋x2＝k－1，x1x2＝－k＋2.因为（x1－x2＋2）
（x1－x2－2）＋2x1x2＝－3，即（x1＋x2）2－2x1x2－4＝－3，所以
（k－1）2＋2k－4－4＝－3，解得k1＝2，k2＝－2.因为关于x的一元
二次方程x2－（k－1）x－k＋2＝0有两个实数根，所以［－（k－
1）］2－4×1×（－k＋2）＝k2＋2k－7≥0.经检验，k＝－2不符合题
意，k＝2符合题意.所以k＝2.
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8. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.
（1） 求证：无论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根.
（1） 因为关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0的根的判别式为
m2－4（m－2）＝m2－4m＋8＝（m－2）2＋4＞0，
所以无论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根.
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（2） 设该方程的两个实数根为x1，x2.若 ＋ ＋m（x1＋x2）＝m2
＋1，求m的值.
（2） 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－m，x1x2＝m－2.
因为 ＋ ＋m（x1＋x2）＝m2＋1，
所以（x1＋x2）2－2x1x2＋m（x1＋x2）＝m2＋1.
所以m2－2（m－2）－m2＝m2＋1.
整理，得m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.
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类型五 运用根的判别式、根与系数的关系求最值
9. 已知关于x的方程x2－2x＋m－2＝0有两个实数根x1，x2.求：
（1） m的取值范围.
（1） 由题意，得（－2）2－4（m－2）≥0，解得m≤3.
所以m的取值范围是m≤3.
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（2） 3x1＋3x2－x1x2的最小值.
（2） 由题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝m－2.
所以3x1＋3x2－x1x2＝6－（m－2）＝－m＋8.
因为m≤3，
所以当m＝3时，3x1＋3x2－x1x2取得最小值，为－3＋8＝5.
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类型六 根的判别式、根与系数的关系与几何知识的综合
10. （2025 杭州西湖期中）已知关于x的一元二次方程x2－mx＋ m2－
1＝0.
（1） 求证：不论实数m取何值，该方程一定有两个不相等的实数根.
（1） 由题意，得关于x的一元二次方程x2－mx＋ m2－1＝0的根的判
别式为（－m）2－4×1×（ m2－1）＝m2－m2＋4＝4＞0，
所以不论实数m取何值，该方程一定有两个不相等的实数根.
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（2） 已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长，当
这个直角三角形的斜边长为 时，求m的值.
（2） 设方程的两个根为a，b.
由根与系数的关系，得a＋b＝m，ab＝ m2－1.
由题意，得a2＋b2＝10，
所以（a＋b）2－2ab＝10.
所以m2－2 ＝10.
整理，得m2＝16，解得m＝4或m＝－4.
当m＝－4时，a＋b＝－4＜0，不合题意，舍去.
所以m＝4.
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11. 已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋ n2＝0，其中m，n分别是等
腰三角形的腰长和底边长.
（1） 求证：这个方程有两个不相等的实数根.
（1） 因为m，n是等腰三角形的腰长和底边长，
所以2m＞n，且m＞0，n＞0.
所以4m2＞n2.
所以关于x的一元二次方程x2－2mx＋ n2＝0的根的判别式为
（－2m）2－4×1× n2＝4m2－n2＞0.
所以这个方程有两个不相等的实数根.
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（2） 若方程的两个实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是
16，求m，n的值.
（2） 设x1，x2是方程的两个根.
由题意，得｜x1－x2｜＝8，
所以（x1－x2）2＝64.
所以（x1＋x2）2－4x1x2＝64.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m，x1x2＝ n2，
所以（2m）2－4× n2＝64，即 ＝4.
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设等腰三角形底边上的高为h.
由题意，易知h＝ ＝4.
因为S等腰三角形＝ n h＝ n×4＝16，
所以n＝8.
所以4m2－4× ×82＝64，解得m1＝4 ，m2＝－4 （不合题意，
舍去）.
所以m＝4 ，n＝8.
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2.4 一元二次方程的应用
第1课时 销售及增长率问题
第2章 一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开
发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游
客的年平均增长率为（ B ）
A. 10% B. 20% C. 22% D. 44%
B
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2. （2025 杭州滨江期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，
若按每个90元出售，每月可销售200个.经调查发现，该电子产品的售价
每下降2元，其销售量就增加8个.当每个电子产品下降多少元时，该店
每月销售这款电子产品的利润为8 000元？设每个电子产品降价x元，可
列出方程为（ D ）
A. （90－x）（200－4x）＝8 000
B. （90－x）（200＋8x）＝8 000
C. （90－60－2x）（200＋8x）＝8 000
D. （90－60－x）（200＋4x）＝8 000
D
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3. 某商品的原价为每件200元，连续两次降价m%后，每件的售价为162
元，则m的值为 10 .
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4. 一商店销售某种商品，当每件的利润为30元时，平均每天可售出20
件，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售
出2件，当销售单价降低 10 元时，该商店销售这种商品每天的利润
为800元.
解析： 设销售单价降低x元.根据题意，得（30－x）（20＋2x）＝
800.整理，得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10.所以当销售单价降
低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元.
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5. ★ （2025 泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商
品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价
平均每年下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.
（1） 求乙种商品每件进价的年平均下降率.
（1） 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.
根据题意，得125（1－x）2＝80，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合
题意，舍去）.
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
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（2） 2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共
100件，求最少购进多少件甲种商品.
（2） 设购进y件甲种商品，则购进（100－y）件乙种商品.
根据题意，得（125－25×2）y＋80（100－y）≤7 800，解得y≥40.
所以y的最小值为40.
答：最少购进40件甲种商品.
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增长率（或下降率）问题的规律
（1） 增长率问题：设某数为a，平均增长率为x，则一次增长后
的值为a（1＋x），两次增长后的值为a（1＋x）2，以此类推，n次
增长后的值为a（1＋x）n.
（2） 下降率问题：设某数为a，平均下降率为x，则一次下降后
的值为a（1－x），两次下降后的值为a（1－x）2，以此类推，n次
下降后的值为a（1－x）n.
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6. （2025 嘉兴秀洲段考）某店销售一批户外帐篷，经调查，当每顶帐
篷的利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降10元，平均每天
可多售出4顶.已知该店想要平均每天盈利12 160元，可列方程为（200
－x） ＝12 160，则下列表述中，正确的是（ C ）
A. 帐篷的单价为x元
B. 降价后平均每天可售出（200－x）顶帐篷
C. 帐篷的单价应降低x元
D. 降价后每顶帐篷的利润为 元
C
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解析：因为当每顶帐篷的利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价
每降10元，平均每天可多售出4顶，所以（200－x）元表示每顶帐篷的
利润， 顶表示平均每天售出帐篷的数量，所以x元表示帐
篷单价降低的钱.
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7. 某厂把500万元资金投入到新产品的生产，一年后获得了一定的利
润，在不抽调资金和利润（即第一年获得的利润也作为生产资金）的前
提下，第二年的利润率为第一年的利润率加8%，这样第二年净得利润
112万元，则第一年的利润率是（ C ）
A. 10% B. 11% C. 12% D. 13%
解析：设第一年的利润率是x，则第一年的利润是500x万元，第二年的
投入资金为（500＋500x）万元，第二年的利润率为x＋8%，利润为
112万元，所以可得方程（500＋500x）（x＋8%）＝112，解得x＝
0.12＝12%或x＝－1.2（负值舍去）.所以第一年的利润率为12%.
C
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8. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）
的产品一天能生产95件，每件的利润为6元，每提高一个档次，每件的
利润增加2元，但一天的产量会减少5件.若生产的某产品一天的总利润
为1 120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品是第 6 档
次产品.
6
解析：设该产品是第x档次产品，则每天的产量为［95－5（x－1）］
件，每件的利润是［6＋2（x－1）］元.由题意，得［6＋2（x－1）］
［95－5（x－1）］＝1 120.整理，得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2
＝12（不合题意，舍去）.所以该产品是第6档次产品.
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9. 某产品每件的生产成本为500元，原定销售价为625元，经市场预
测，从现在开始的第一个季度的销售价将下降20%，第二个季度又将回
升6%.当该产品每件的生产成本平均每个季度降低的百分率是 10%
时，才能使半年后的销售利润不变.
解析：设该产品每件的生产成本平均每个季度降低的百分率为x.由题
意，得625×（1－20%）×（1＋6%）－500（1－x）2＝625－500，解
得x1＝1.9（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%.所以当该产品每件的
生产成本平均每个季度降低的百分率是10%时，才能使半年后的销售利
润不变.
10%
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10. （2025 宁波余姚期中）位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝
伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝
“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前
来参观.据统计，假期第一天保国寺接待游客5 000人次，第三天接
待游客7 200人次.
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（1） 求游客数量从假期第一天到第三天的日平均增长率.
（1） 设游客数量从假期第一天到第三天的日平均增长率为x.
根据题意，得5 000（1＋x）2＝7 200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2
（负值舍去）.
答：游客数量从假期第一天到第三天的日平均增长率为20%.
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（2） 据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成
本为5元，当每个的售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客
尽可能得到优惠，商店决定降价销售.市场调查发现，每个的售价每降
低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利
2 800元，则每个的售价应降低多少元？
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（2） 设每个的售价应降低m元，则每天的销量为 个.
根据题意，得（10－m－5）（500＋ m）＝2 800.
整理，得2m2－5m＋3＝0，解得m1＝ ，m2＝1.
因为要让游客尽可能得到优惠，
所以m＝ .
答：每个的售价应降低 元.
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11. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为60元，当每
双的售价为100元时，平均每天能售出200双.经过一段时间的销售发
现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低的价格x（元）之间存
在如图所示的函数关系.
（第11题）
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（1） 求y与x之间的函数表达式.
（1） 因为y与x之间的函数图象为一条射线，
所以可设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0，x≥0）.
将（0，200），（10，300）代入，
得 解得
所以y与x之间的函数表达式为y＝10x＋200（x≥0）.
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（2） 公司希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力度最大，则
每双运动鞋的售价应该定为多少元？
（2） 根据题意，得（100－60－x） （10x＋200）＝8 910.
整理，得x2－20x＋91＝0，解得x1＝7，x2＝13.
因为要求优惠力度最大，
所以x＝13.
所以100－x＝100－13＝87.
所以每双运动鞋的售价应该定为87元.
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（3） 为了保证每双运动鞋的利润不低于成本的50%，公司每天能
否获得9 000元的利润？若能，求出每双运动鞋的售价；若不能，请
说明理由.
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（3） 能.
假设公司每天能获得9 000元的利润，则（100－60－x）（10x＋200）
＝9 000.
整理，得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10.
因为每双运动鞋的利润不低于成本的50%，
所以100－60－x≥60×50%.
所以x≤10.
所以x＝10符合题意.
所以公司每天能获得9 000元的利润.
因为100－x＝100－10＝90，
所以每双运动鞋的售价为90元.
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11(共19张PPT)
2.4 一元二次方程的应用
第2课时 几何面积问题
第2章 一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如
图所示，给该图形补充四个边长为10 cm的小正方形后，得到一个长方
形，且长方形的面积为2 000 cm2.根据图中的信息，可得x的值为（ ）
A. 10 B. 20 C. 25 D. 30
（第1题）
B
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2. （2025 宁波鄞州期中）如图，琪琪的爸爸用一段12 m长的铁丝网围
成一个一边靠墙（墙长6.5 m）的长方形鸡舍ABCD，其面积为21 m2.在
鸡舍的AB边的中间位置留一个1 m宽的门（由其他材料制成），则BC
的长为（ D ）
A. 6 m或7 m B. 3 m或3.5 m
C. 3.5 m D. 6 m
（第2题）
D
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3. 如图，某部门计划在某公园内一块长为32 m、宽为20 m的长方形湖面
上修筑宽度固定的观景长廊（涂色部分），要使湖面剩余部分（空白部
分）的面积为540 m2，则长廊的宽为 2 m.
（第3题）
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4. ★某地计划对长方形广场进行扩建改造.如图，原广场长50 m，宽
40 m，要求扩建后的长方形广场的长与宽的比为3∶2.扩建区域的扩建
费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖，铺设地
砖的费用为每平方米100元.如果计划的总费用为642 000元，那么扩建后
广场的长和宽应分别是多少米？
（第4题）
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设扩建后广场的长为3x m，宽为2x m.
依题意，得3x 2x 100＋30（3x 2x－50×40）＝642 000.
整理，得x2＝900，解得x1＝30，x2＝－30（不合题意，舍去）.
所以3x＝90，2x＝60.
所以扩建后广场的长为90 m，宽为60 m.
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几何图形面积问题的解法
解决几何图形面积问题的关键是把实际问题转化为数学问题，即把
实际问题中的已知量和未知量集中到某一个几何图形中，然后利用几何
知识来寻找它们之间的关系，列出方程求解.
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5. 如图，正方形被分割成四部分，其中Ⅰ，Ⅱ为正方形，Ⅲ，Ⅳ为长方
形，Ⅰ，Ⅱ的面积之和等于Ⅲ，Ⅳ面积之和的2倍.若Ⅱ的边长为2，且Ⅰ的
面积小于Ⅱ的面积，则Ⅰ的边长为（ C ）
A. 1 B. －1
C. 4－2 D. 4＋2
（第5题）
C
解析：设Ⅰ的边长为x，依题意，得x2＋22＝2（2x＋2x），解得x1＝4＋2 ，x2＝4－2 .因为Ⅰ的面积小于Ⅱ的面积，所以x＜2.所以x＝4－2 .
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6. 如图，小华准备在一个长30 m、宽24 m的长方形花圃内修建四条宽度
相等且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个小正方
形，且边长是小路宽的4倍.若四条小路所占的面积为99 m2，则小路的
宽为 m.
（第6题）
解析：设小路的宽为x m，则小正方形的边长为4x m.由题意，得（30＋4x＋24＋4x）x＝99.整理，得8x2＋54x－99＝0，解得x1＝ ，x2＝－ （不合题意，舍去）.所以小路的宽为 m.
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7. 易错题 （2025 义乌段考）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易
的长方形自行车车棚.搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙
长为42 m），其他的边用总长为73 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开
一个1 m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形.设车棚的宽AB为
x m.
（1） 求车棚的长BC（用含x的代数式表示）.
（第7题）
（1） 因为不锈钢栅栏的总长为73 m，左右两侧各开一个1 m的出口，且车棚的宽AB为x m，
所以车棚的长BC＝（73＋2－3x）＝（75－3x）m.
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（2） 若长方形车棚ABCD的面积为450 m2，求车棚的长和宽.
（2） 根据题意，得（75－3x）x＝450.
整理，得x2－25x＋150＝0，解得x1＝10，x2＝15.
当x＝10时，75－3x＝75－3×10＝45＞42，不符合题意，舍去.
当x＝15时，75－3x＝75－3×15＝30＜42，符合题意.
答：车棚的长为30 m，宽为15 m.
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（3） 在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩
建，请问能围成面积为525 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计
方案；如果不能，请说明理由.
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（3） 不能围成面积为525 m2的自行车车棚.
理由：假设能围成面积为525 m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝
（75－3y）m.
根据题意，得（75－3y）y＝525.
整理，得y2－25y＋175＝0.
因为b2－4ac＝（－25）2－4×1×175＝－75＜0，
所以原方程没有实数根.
所以假设不成立，即不能围成面积为525 m2的自行车车棚.
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忽视墙长的限制条件而出错
本题中，车棚是用不锈钢栅栏靠墙围成的，题目中隐含着与墙平行
的边不超过墙长的限制条件.列出方程求得方程的解后，若忽视此条
件，则会导致错解.
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8. 新考法 探究题 在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.
（1） 如图，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动，点Q
从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动.如果点P，Q分别从点
A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2？
（第8题）
（1） 设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm2.
依题意，得 （6－x） 2x＝8.
整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.
所以经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2.
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（2） 在（1）的条件下，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部
分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.
（2） 不能.
理由：设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分.
依题意，得△ABC的面积＝ ×6×8＝24（cm2），则 （6－y） 2y
＝ .
整理，得y2－6y＋12＝0.
因为b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，
所以此方程无实数根.
所以线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.
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（3） 若点P沿射线AB方向从点A出发，以1 cm/s的速度运动，点Q沿
射线CB方向从点C出发，以2 cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，
问：经过几秒，△PBQ的面积为1 cm2？
（3） 设P，Q两点的运动时间为m s.
① 当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，0≤m≤4.
依题意，得 （6－m）（8－2m）＝1.
整理，得m2－10m＋23＝0，解得m1＝5＋ （舍去），m2＝5－ .
所以m＝5－ .
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② 当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，4＜m≤6.
依题意，得 （6－m）（2m－8）＝1.
整理，得m2－10m＋25＝0，解得m1＝m2＝5.
③ 当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，m＞6.
依题意，得 （m－6）（2m－8）＝1.
整理，得m2－10m＋23＝0，解得m1＝5＋ ，m2＝5－ （舍去）.
所以m＝5＋ .
综上所述，经过（5－ ）s，5 s，（5＋ ）s，△PBQ的面积为
1 cm2.
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8(共26张PPT)
2.2 一元二次方程的解法
第4课时 公 式 法
第2章 一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 利用公式法解得一元二次方程3x2－11x－1＝0 的两根为x1＝a，x2
＝b，且a＞b，则a的值为（ D ）
A. B.
C. D.
D
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2. （2025 杭州西湖期中）在用求根公式x＝ 求一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0的根时，小珺正确地代入了a，b，c的值，得到x＝
，则她求解的一元二次方程是（ A ）
A. 2x2－3x－1＝0 B. 2x2＋4x－1＝0
C. －x2－3x＋2＝0 D. 3x2－2x＋1＝0
A
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3. （2025 扬州）关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结
论中正确的是（ A ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 只有一个实数根
A
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4. 已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，则m
＝ .
5. （2025 上海）如果一元二次方程2x2＋x＋m＝0没有实数根，那么m
的取值范围是 m＞ .
m＞
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6. 易错题 用公式法解下列方程：
（1） 4x2－12＝2x.
（1） 原方程可化为2x2－x－6＝0，
则a＝2，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝（－1）2－4×2×（－6）＝49
＞0.
所以x＝ .
所以x1＝2，x2＝－ .
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（2） x（3x－2）＋1＝0.
（2） 原方程可化为3x2－2x＋1＝0，则a＝3，b＝－2，c＝1，b2－
4ac＝（－2）2－4×3×1＝－8＜0.
所以原方程没有实数根.
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（3） 2（x＋1）2＝9－4x.
（3） 原方程可化为2x2＋8x－7＝0，则a＝2，b＝8，c＝－7，b2－
4ac＝82－4×2×（－7）＝120＞0.
所以x＝ .
所以x1＝ ，x2＝ .
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（4） y（y＋4）＝－2（y－1）－11.
（4） 原方程可化为y2＋6y＋9＝0，则a＝1，b＝6，c＝9，b2－4ac
＝62－4×1×9＝0.
所以y＝ ＝－3.
所以y1＝y2＝－3.
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公式法解一元二次方程的注意事项
（1） 公式法是解一元二次方程的万能方法，适合所有一元二次方
程，但使用该方法时，必须先把方程化为一般形式.
（2） 运用公式法解一元二次方程，在确定a，b，c的值的时候，
要注意其符号，因其运算量较大，要仔细计算.
（3） 当b2－4ac≥0时，一元二次方程有实数根，当b2－4ac＜0
时，一元二次方程没有实数根.
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7. 若关于x的方程x2＋bx＋c＝0的较小的根为x＝m（m≠0），则b
＋ 的值为（ D ）
A. m B. －m C. 2m D. －2m
解析：解方程x2＋bx＋c＝0，得x＝ ，则较小的根m＝
，所以b＋ ＝－2m.
D
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8. 新考法 新定义题 若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝
（a＋1）2－ab，等式右侧为通常的混合运算，则方程（x＋2）*5＝0
的根是（ D ）
A. x1＝x2＝－2 B. x1＝2，x2＝3
C. x1＝ ，x2＝ D. x1＝ ，x2＝
D
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解析：根据题意，得（x＋2）*5＝（x＋2＋1）2－（x＋2）×5＝0.
整理，得x2＋x－1＝0.因为b2－4ac＝5＞0，所以x＝ .所以x1＝
，x2＝ .
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9. （2025 浙江期中）已知关于x的方程x2－（k＋4）x＋k＋3＝0，则
下列说法中，正确的是（ B ）
A. 无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
B. 无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
C. 至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
D. 不存在k的值，使得方程有两个相等的实数根
B
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解析：因为b2－4ac＝［－（k＋4）］2－4（k＋3）＝k2＋8k＋16－
4k－12＝k2＋4k＋4＝（k＋2）2≥0，所以无论k为何值，方程总有两
个实数根.故C错误.当k＝－2时，b2－4ac＝0，此时方程有两个相等
的实数根.故A，D均错误.因为x＝ ，所以x1＝k＋3，x2
＝1.所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根1.故B正确.
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10. （2025 绍兴三模）若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相
等的实数根，则b2－2（1＋2c）＝ －2 .
解析：因为关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数
根，所以根的判别式为b2－4c＝0.所以b2＝4c.所以b2－2（1＋2c）＝
4c－2－4c＝－2.
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11. 已知关于x的一元二次方程mx2－（2m－3）x＋（m－1）＝0有两
个实数根.
（1） 求m的取值范围.
（1） 由题意，得m≠0，且［－（2m－3）］2－4m（m－1）≥0，
解得m≤ 且m≠0.
所以m的取值范围是m≤ 且m≠0.
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（2） 若m为取值范围内最大的负整数，求此时方程的根.
（2） 由（1）知，m的取值范围内最大的负整数为－1，
所以此时方程可整理为x2－5x＋2＝0.
所以a＝1，b＝－5，c＝2.
所以b2－4ac＝25－4×1×2＝17＞0.
所以x＝ .
所以x1＝ ，x2＝ .
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12. 阅读材料：
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根是x＝
，关于y的方程y2＋by＋ac＝0的根是y＝ .因此，
要求方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，只要求出方程y2＋by＋ac＝0
的根，再除以a就可以了.
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举例：解方程72x2＋8x＋ ＝0.
解：先解方程y2＋8y＋72× ＝0，得y1＝－2，y2＝－6，
所以方程72x2＋8x＋ ＝0的两个根是x1＝ ，x2＝ ，即x1＝－ ，
x2＝－ .
请按材料中所提供的方法解方程49x2＋6x－ ＝0.
先解方程y2＋6y－49× ＝0，即y2＋6y－7＝0，解得y1＝1，y2＝－7.
所以方程49x2＋6x－ ＝0的两个根是x1＝ ，x2＝ ＝－ .
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13. 新考法 新定义题 定义：我们把关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c
＝0与cx2＋bx＋a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”.如2x2
－7x＋3＝0的“友好方程”是3x2－7x＋2＝0.
（1） 写出一元二次方程x2＋2x－8＝0的“友好方程”： －8x2＋2x
＋1＝0. .
－8x2＋2x
＋1＝0
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（2） 已知一元二次方程x2＋2x－8＝0的两根为x1＝2，x2＝－4，则它
的“友好方程”的两根为x3＝ ，x4＝ － .根据以上结论，猜想ax2
＋bx＋c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2＋bx＋a＝0的两根x3，
x4之间存在的一种特殊关系为 互为倒数 ，并证明你的结论.
－
互为倒数
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由公式法可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝
，x2＝ ，其“友好方程”cx2＋bx＋a＝0的两根
为x3＝ ，x4＝ .
所以x1 x4＝ ＝ ＝ ＝1，x2 x3
＝ ＝ ＝ ＝1.
故原方程的两根与其“友好方程”的两根分别互为倒数.
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（3） 已知关于x的方程2 026x2＋bx－1＝0的两根是x1＝－1，x2＝
.请利用（2）中的结论，求出关于x的方程（x－1）2－bx＋b＝
2 026的根.
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因为方程2 026x2＋bx－1＝0的两根是x1＝－1，x2＝ ，
所以该方程的“友好方程”－x2＋bx＋2 026＝0的两根为x3＝－1，x4
＝2 026，即方程x2－bx－2 026＝0的两根为x＝－1或x＝2 026.
因为（x－1）2－bx＋b＝2 026，即（x－1）2－b（x－1）－2 026
＝0，
所以将（x－1）看成一个整体，则可知x－1＝－1或x－1＝2 026.
所以所求方程的根为x1＝0，x2＝2 027.
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2.1 一元二次方程和它的解
第2章 一元二次方程
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素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 杭州萧山段考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x＋y＝2 024 B. 3x2－5x＝2
C. x（x2＋1）＝0 D. －x2＝2
B
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2. （2024 金华婺城期中）把一元二次方程x（x＋1）＝3x＋2化为一般
形式，正确的结果可以是（ A ）
A. x2－2x－2＝0 B. x2－2x＋2＝0
C. x2－3x－1＝0 D. x2＋4x＋3＝0
A
3. （2025 舟山期末）已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋2＝0的一个
根是x＝－2，则a的值为（ D ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
D
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4. （2025 宁波余姚期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，
每两队之间都比赛一场，则下列方程中，符合题意的是（ B ）
A. x（x＋1）＝45 B. x（x－1）＝45
C. x（x－1）＝45 D. x（x＋1）＝45
5. 已知关于x的方程（m－1）x2－mx＋5＝0，当m ≠1 时，该方
程是一元二次方程，方程的二次项系数为 m－1 ，一次项系数
为 －m ，常数项为 5 .
B
≠1
m－1
－m
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6. ★把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项.
（1） （x－ ）（x＋ ）＋（2x－1）2＝0.
（1） 去括号，得x2－3＋4x2－4x＋1＝0.
合并同类项，得5x2－4x－2＝0.
这个方程的二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－2.
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（2） 4（x－3）2＝9（x＋1）2.
（2） 原方程可化为4（x2－6x＋9）＝9（x2＋2x＋1）.
去括号，得4x2－24x＋36＝9x2＋18x＋9.
移项、合并同类项，得－5x2－42x＋27＝0.
这个方程的二次项系数为－5，一次项系数为－42，常数项为27.
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将一元二次方程化为一般形式的步骤
（1） 去分母、去括号；
（2） 移项、合并同类项；
（3） 各项系数化成除1外无其他公约数的形式.
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7. 易错题 若方程（k－3）x｜k｜－1－x－2＝0是关于x的一元二次方
程，则不等式kx－2k＋6≤0的解集是（ C ）
A. x≤0 B. x≤－1
C. x≥4 D. x≤0或x≥4
解析：因为方程（k－3）x｜k｜－1－x－2＝0是关于x的一元二次方
程，所以 解得k＝－3.把k＝－3代入不等式kx－2k
＋6≤0，得－3x＋6＋6≤0，解得x≥4.
C
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忽略一元二次方程二次项系数不为0而导致错误
根据一元二次方程的概念求字母的值时，既要保证未知数的最高次
数为2，又要保证二次项系数不为0.
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8. 已知m 是方程2x2－5x－8＝0的一个根，则－4m2＋10m＋9的值
为（ C ）
A. －16 B. 16
C. －7 D. 7
解析：因为m 是方程2x2－5x－8＝0的一个根，所以2m2－5m－8＝0.
所以2m2－5m＝8.所以－4m2＋10m＋9＝－2（2m2－5m）＋9＝－
2×8＋9＝－7.
C
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9. （2025 杭州期中）如图所示为某地下停车场的平面示意图，停车场
的长为40 m，宽为22 m.若停车场内车道的宽都相等，停车位（涂色部
分）的占地面积为520 m2，求车道的宽度.设停车场内车道的宽度为
x m，根据题意所列方程为（ B ）
A. （40－2x）（22－x）＝520
B. （40－x）（22－x）＝520
C. （40－x）（22－2x）＝520
D. （40－x）（22＋x）＝520
（第9题）
B
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解析：因为停车场内车道的宽度为x m，所以停车位可合成长为（40－
x）m，宽为（22－x）m的长方形.所以根据题意，得（40－x）（22
－x）＝520.
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10. 若关于x的一元二次方程m（x－1）2＝－3x2＋x的二次项系数与一
次项系数互为相反数，则m的值为 2 .
解析：将原方程整理，得（m＋3）x2－（2m＋1）x＋m＝0.由题
意，得m＋3－（2m＋1）＝0，解得m＝2.
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11. 若2ya－b－3y2a＋b＋8＝0是关于y的一元二次方程，则a＋b的值
为 1或0或 或 或－ .
解析：由题意，得 或 或 或
或 解得 或 或
或 或 所以a＋b的值为1或0或 或 或－ .
1或0或 或 或－
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12. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是x
＝1，且a，b满足b＝ ＋ －1，求此一元二次方程.
由题意，得a－2≥0，2－a≥0，解得a＝2.
所以b＝－1.
因为关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，
所以a＋b＋c＝0.
所以2－1＋c＝0，解得c＝－1.
所以此一元二次方程为2x2－x－1＝0.
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13. 新情境 日常生活 王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的长
方形铁皮，准备用它制作一个工具箱.如图，他将长方形铁皮的四个角
各剪掉一个相同边长的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为
3 000 cm2的无盖长方体工具箱，求被剪掉的正方形的边长.若设被剪掉
的正方形的边长为x cm，请根据题意列出方程，并将其化为一般形式，
再判断该方程是否为一元二次方程.
（第13题）
由题意，得（80－2x）（70－2x）＝3 000.
化为一般形式为x2－75x＋650＝0.
该方程是一元二次方程.
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14. 定义：若关于x的方程a1x2＋b1x＋c1＝0（a1≠0，a1，b1，c1是常
数）与a2x2＋b2x＋c2＝0（a2≠0，a2，b2，c2是常数）中的二次项系
数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则
这两个方程互为“对称方程”.
（1） 写出方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”： －x2－4x－3＝0 .
－x2－4x－3＝0
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（2） 若关于x的方程5x2＋（m－1）x－n＝0与－5x2－x＝1互为“对
称方程”，求（m＋n）2的值.
（2） 由－5x2－x＝1，得－5x2－x－1＝0.
因为关于x的方程5x2＋（m－1）x－n＝0与－5x2－x－1＝0互为“对
称方程”，
所以 解得
所以（m＋n）2＝（0－1）2＝1.
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15. 整体思想已知实数a是一元二次方程x2－2 026x＋1＝0的一个根，
求代数式a2－2 025a＋ 的值.
由题意，得a2－2 026a＋1＝0.
所以a≠0，a2＝2 026a－1，a2＋1＝2 026a.
所以a2－2 025a＋ ＝2 026a－1－2 025a＋ ＝a－1＋ ＝
－1＝ －1＝2 026－1＝2 025.
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2.2 一元二次方程的解法
第2课时 配 方 法（1）
第2章 一元二次方程
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02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列方程中，能直接用开平方法解的是（ C ）
A. 3x2－2x＝0 B. x2－6x＋2＝0
C. （x－5）2＝9 D. 3x2＋10＝－1
C
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2. （2025 杭州上城期末）用配方法解方程x2－4x－9＝0时，原方程应
变形为（ A ）
A. （x－2）2＝13 B. （x－2）2＝11
C. （x－4）2＝11 D. （x－4）2＝13
3. （2025 绍兴柯桥期末）已知一元二次方程x2－4x＋m＝0可配成
（x－n）2＝1，则m＋n的值为（ D ）
A. －1 B. 1 C. －5 D. 5
A
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4. （1） 方程2x2－24＝0的解是 x1＝2 ，x2＝－2 .
（2） 方程（x－3）2＝36的解是 x1＝9，x2＝－3 .
5. 若x＝－3是关于x的一元二次方程ax2－9＝0的一个根，则这个方程
的另一个根是 x＝3 .
x1＝2 ，x2＝－2
x1＝9，x2＝－3
x＝3
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6. 易错题 用配方法解下列方程：
（1） x2－8x＝1.
（1） 方程的两边同时加上16，得x2－8x＋16＝1＋16，即（x－4）2＝
17，
则x－4＝ 或x－4＝－ ，
解得x1＝4＋ ，x2＝4－ .
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（2） x2＋4x－1＝0.
（2） 移项，得x2＋4x＝1.
方程的两边同时加上4，得x2＋4x＋4＝1＋4，即（x＋2）2＝5，则x＋
2＝ 或x＋2＝－ ，解得x1＝ －2，x2＝－ －2.
（3） x2－6x－4＝0.
（3） 移项，得x2－6x＝4.
方程的两边同时加上9，得x2－6x＋9＝4＋9，即（x－3）2＝13，则x
－3＝ 或x－3＝－ ，解得x1＝3＋ ，x2＝3－ .
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配方时易出现的错误
（1） 移项时忘记变号.
（2） 系数化为1时漏项.
（3） 方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方.
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7. 关于方程5（x－2）2＝8的两个根，下列判断中正确的是（ A ）
A. 一根小于1，另一根大于3
B. 一根小于－2，另一根大于2
C. 两个根都小于0
D. 两个根都大于2
A
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解析：方程5（x－2）2＝8可化为（x－2）2＝ ，开平方，得x－2＝
± .所以x1＝2－ ，x2＝2＋ .因为 ＞ ，即 ＞
3，所以 ＞ ＞1.所以2－ ＜1，2＋ ＞3.所以方程的两根
中，一根小于1，另一根大于3.
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8. 已知关于x的方程x2－6x＋q＝0可以配方成（x－p）2＝7的形式，
则x2－6x＋q＝2可以配方成（ B ）
A. （x－p）2＝5 B. （x－p）2＝9
C. （x－p＋2）2＝9 D. （x－p＋2）2＝5
解析：由x2－6x＋q＝0可以配方成（x－p）2＝7，得x2－6x＋q＝
（x－p）2－7，所以x2－6x＋q＝2可以写成（x－p）2－7＝2，即
（x－p）2＝9.
B
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9. （2025 杭州西湖期中）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方
后得到方程（x＋3）2＝2c，则c的值为（ C ）
A. －3 B. 0 C. 3 D. 9
解析：x2＋6x＋c＝0，x2＋6x＝－c，x2＋6x＋9＝－c＋9，（x＋
3）2＝－c＋9.因为（x＋3）2＝2c，所以2c＝－c＋9，解得c＝3.
C
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10. 若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m＋1与
2m－4，则式子 的值是 －10 .
解析：因为易知关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根互为
相反数，所以m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1.所以关于x的一元二次方
程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别为2与－2.所以x2＝ ＝4.所以原式
＝2－3× ＝2－3×4＝－10.
－10
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11. 若关于x的一元二次方程a（x－m）2＋k＝0（m，k均为常数）
的根是x1＝－3，x2＝8，则关于x的一元二次方程a（x－m＋5）2＋k
＝0的根是 x1＝－8，x2＝3 .
解析：由题意，易知关于x的一元二次方程a（x－m＋5）2＋k＝0的
两个根分别比关于x的一元二次方程a（x－m）2＋k＝0的两个根小5.
因为方程a（x－m）2＋k＝0的根为x1＝－3，x2＝8，所以方程a（x
－m＋5）2＋k＝0的根为x1＝－8，x2＝3.
x1＝－8，x2＝3
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12. 已知y1＝x2＋24x－3，y2＝18x＋6，则当x取何值时，y1＝y2？
当y1＝y2时，x2＋24x－3＝18x＋6.
化简，得x2＋6x＝9.
方程的两边同时加上9，得x2＋6x＋9＝18，即（x＋3）2＝18，则x＋3
＝3 或x＋3＝－3 ，解得x1＝－3＋3 ，x2＝－3－3 .
所以当x＝－3＋3 或－3－3 时，y1＝y2.
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13. 有n个关于x的方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，
x2＋2nx－8n2＝0.小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：①
x2＋2x＝8；② x2＋2x＋1＝8＋1；③ （x＋1）2＝9；④ x＋1＝±3；⑤
x＝1±3；⑥ x1＝4，x2＝－2.
（1） 小静同学的解法是从步骤 ⑤ 开始出现错误的（填序号）.
⑤
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（2） 用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0（用含有n的式子表示方
程的根）.
（2） 因为x2＋2nx－8n2＝0，
所以x2＋2nx＝8n2.
所以x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2.
所以（x＋n）2＝9n2.
所以x＋n＝±3n，解得x1＝2n，x2＝－4n.
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14. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为a△b＝a2－b2，
根据这个规则，解决下列问题.
（1） 求4△3的值.
（1） 由题意，得4△3＝42－32＝16－9＝7.
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（2） 当（x＋2）△5＝0时，求x的值.
（2） 由题意，得（x＋2）△5＝（x＋2）2－52.
因为（x＋2）△5＝0，
所以（x＋2）2－52＝0，即（x＋2）2＝25.
所以x＋2＝±5，则x＋2＝5或x＋2＝－5.
所以x1＝3，x2＝－7.
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（3） 已知一个直角三角形的两边长是方程3△（x－8）＝0的两个根，
求第三边的长.
（3） 因为3△（x－8）＝0，
所以9－（x－8）2＝0，解得x1＝11，x2＝5.
分两种情况讨论：
① 当11是直角三角形的斜边长时，第三边的长为 ＝4 ；
② 当11是直角三角形的一条直角边的长时，第三边的长为 ＝
.
综上所述，第三边的长为4 或 .
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15. 新考法 阅读理解 小明在解一元二次方程时，发现有一种解法如下.
解方程：x（x＋4）＝6.
解：原方程可变形为［（x＋2）－2］［（x＋2）＋2］＝6，
所以（x＋2）2－22＝6.
所以（x＋2）2＝6＋22.
所以（x＋2）2＝10.
解得x1＝－2＋ ，x2＝－2－ .
我们称小明的这种解法为“平均数法”.
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（1） 以下是小明用“平均数法”解方程（x＋3）（x＋7）＝5时写的
解题过程.
解：原方程可变形为［（x＋a）－b］［（x＋a）＋b］＝5，
所以（x＋a）2－b2＝5.
所以（x＋a）2＝5＋b2.
解得x1＝c，x2＝d（c＞d）.
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 5 ， 2 ， － ，
－8 .
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（2） 请用“平均数法”解方程：（x－5）（x＋3）＝6.
（2） 原方程可变形为［（x－1）－4］ ［（x－1）＋4］＝6，
所以（x－1）2－42＝6.
所以（x－1）2＝6＋42.
解得x1＝1＋ ，x2＝1－ .
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