(共21张PPT)
4.1 多 边 形
第1课时 四边形内角和定理
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图所示为四边形ABCD，下列说法中，错误的是（ D ）
A. ∠BAD是四边形ABCD的一个内角
B. ∠ADE是四边形ABCD的一个外角
C. AC是四边形ABCD的一条对角线
D. ∠ACF是四边形ABCD的一个外角
（第1题）
D
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2. （2025 杭州滨江期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互
补，∠B＝120°，则∠D的度数为（ A ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
（第2题）
A
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3. 如图，∠ABE是四边形ABCD的一个外角.若∠A＝95°，∠D＝
100°，∠ABE＝70°，则∠ABC的度数为 110° ，∠C的度数
为 55° .
（第3题）
4. 若一个四边形的四个内角的度数之比为1∶3∶4∶1，则最大内角的
度数为 160° .
110°
55°
160°
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5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.
（1） 求证：AB∥CD.
（第5题）
（1） 因为∠A＝∠B，∠C＝∠ADC，∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝
360°，
所以∠B＋∠C＝ （∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC）＝180°.
所以AB∥CD.
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（2） 过点D作DE∥BC，交AB于点E. 若∠ADC－∠A＝60°，请判
断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.
（2） △ADE是等边三角形.
理由：因为AB∥CD，
所以∠ADC＋∠A＝180°①.
又因为∠ADC－∠A＝60°②，
所以由①－②，得2∠A＝120°.
所以∠A＝60°.
所以∠B＝∠A＝60°.
因为DE∥BC，
所以∠AED＝∠B＝∠A＝60°.
所以△ADE是等边三角形.
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6. 如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连结AB，BC，CD，
DE，EA. 若∠C＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E的度数为（ ）
A. 220° B. 240° C. 260° D. 280°
（第6题）
D
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解析：连结BD. 因为∠C＝100°，所以∠CBD＋∠CDB＝180°－
100°＝80°.所以∠A＋∠ABC＋∠CDE＋∠E＝360°－（∠CBD
＋∠CDB）＝360°－80°＝280°.
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7. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN. 若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数
为（ A ）
A. 85° B. 80° C. 75° D. 70°
（第7题）
A
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解析：因为MF∥AD，FN∥DC，∠A＝120°，∠C＝70°，所以
∠BMF＝∠A＝120°，∠BNF＝∠C＝70°.因为将△BMN沿MN翻
折，得到△FMN，所以∠F＝∠B＝ （360°－∠BMF－∠BNF）
＝85°.所以∠D＝360°－120°－70°－85°＝85°.
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8. 如图，在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，
∠AED＝60°，则下列结论中，一定正确的是（ C ）
A. ∠ADE＝20°
B. ∠ADE＝30°
C. ∠ADE＝ ∠EDC
D. ∠ADE＝∠EDC
（第8题）
C
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解析：在△AED中，因为∠AED＝60°，所以∠A＝180°－∠AED
－∠ADE＝120°－∠ADE. 在四边形DEBC中，∠DEB＝180°－
∠AED＝180°－60°＝120°，所以∠B＝∠C＝（360°－∠DEB－
∠EDC）÷2＝120°－ ∠EDC. 因为∠A＝∠B＝∠C，所以120°
－∠ADE＝120°－ ∠EDC. 所以∠ADE＝ ∠EDC.
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9. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，如果∠ABC＝100°，
那么∠ADC的度数为 130° .
（第9题）
解析：因为AB＝BC＝BD，所以∠A＝∠ADB，∠BDC＝∠C. 因为
∠A＋∠ADB＋∠C＋∠BDC＋∠ABC＝360°，所以2∠ADB＋
2∠CDB＋∠ABC＝360°.所以2（∠ADB＋∠CDB）＋100°＝
360°.所以∠ADB＋∠CDB＝130°，即∠ADC＝130°.
130°
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10. 如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，E是边BC上一点，
EF⊥AE，EF交边CD于点F.
（1） 若∠EAD＝60°，求∠DFE的度数.
（第10题）
（1） 因为EF⊥AE，
所以∠AEF＝90°.
又因为四边形AEFD的内角和是360°，∠D＝90°，∠EAD＝60°，
所以∠DFE＝360°－∠D－∠EAD－∠AEF＝120°.
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（2） 若∠AEB＝∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B＝∠C.
（2） 因为四边形AEFD的内角和是360°，∠AEF＝90°，∠D＝
90°，
所以∠EAD＋∠DFE＝180°.
又因为∠DFE＋∠CFE＝180°，
所以∠EAD＝∠CFE.
因为AE平分∠BAD，
所以∠BAE＝∠EAD.
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所以∠BAE＝∠CFE.
又因为∠B＋∠BAE＋∠AEB＝180°，∠C＋∠CFE＋∠CEF＝
180°，∠AEB＝∠CEF，
所以∠B＝∠C.
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11. 在四边形ABCD中，∠C＋∠B＝230°.
（1） 如图①，若∠D＝2∠A，求∠A的度数.
（第11题）
（1） 因为四边形ABCD的内角和为360°，∠C＋∠B＝230°，
所以∠A＋∠D＝360°－（∠C＋∠B）＝130°.
因为∠D＝2∠A，
所以∠A＝ °.
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（2） 如图②，DP，AP分别是四边形ABCD的外角∠EDA，∠FAD的
平分线，DP与AP相交于点P，求∠P 的度数.
（2） 由（1），得∠BAD＋∠CDA＝130°.
所以∠EDA＋∠FAD＝180°－∠CDA＋180°－∠BAD＝360°－（∠BAD＋∠CDA）＝230°.
因为DP，AP分别是四边形ABCD的外角∠EDA，∠FAD的平分线，
所以∠1＝∠2＝ ∠EDA，∠3＝∠4＝ ∠FAD.
所以∠2＋∠3＝ ∠EDA＋ ∠FAD＝ （∠EDA＋∠FAD）＝115°.
所以∠P＝180°－（∠2＋∠3）＝65°.
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（3） 如图③，DF，AF分别是四边形ABCD的内角∠ADC和外角
∠BAE的平分线，DF与AF相交于点F，求∠F的度数.
（第11题）
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（3） 由（1），得∠BAD＋∠CDA＝130°，即∠1＋∠2＋∠5＝
130°.
因为DF，AF分别是四边形ABCD的内角∠ADC和外角∠BAE的平
分线，
所以∠1＝∠2＝ ∠CDA，∠3＝∠4＝ ∠BAE＝90°－ ∠5.
所以∠F＝180°－（∠2＋∠3＋∠5）＝180°－（ ∠CDA＋90°－
∠5＋∠5）＝180°－［90°＋ （∠CDA＋∠5）］＝180°－90°－
65°＝25°.
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11(共25张PPT)
4.3 图形的旋转
第1课时 旋 转
第4章 平行四边形
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，△ABC和△DEC都是直角三角形，其中一个三角形是由另一
个三角形旋转得到的.下列说法中，错误的是（ D ）
A. 旋转中心是点C
B. 旋转角度是90°或270°
C. 既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转
D. 旋转中心是点B，旋转角是∠ABC
（第1题）
D
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2. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A按
顺时针方向旋转60°得到△AED，连结BE，则BE的长为（ D ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（第2题）
D
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3. 如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点
A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′的度数为 40 .
（第3题）
40°
解析：因为CC′∥AB，∠CAB＝70°，所以∠C′CA＝∠CAB＝70°.因为△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，所以AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′.所以∠ACC′＝∠AC′C＝70°.所以∠CAC′＝40°.所以∠BAB′＝∠CAC′＝40°.
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4. 请你作出如图所示的四边形ABCD绕点O按顺时针方向旋转60°后的
图形（不写作法，保留作图痕迹）.
（第4题）
如图，四边形A′B′C′D′即为所求.
（第4题）
（第4题）
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5. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转150°，得到△ADE，这时
点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠B的度数为（ B ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
（第5题）
B
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解析：因为将△ABC绕点A按逆时针方向旋转150°，得到△ADE，所
以∠BAD＝150°，AD＝AB. 因为点B，C，D在同一条直线上，所
以△BAD是等腰三角形.所以∠B＝∠BDA＝ （180°－∠BAD）＝
×（180°－150°）＝15°.
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6. 如图，在△ABC中，AB＝BC，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转
60°得到AD，连结CD，取CD的中点E，连结BE. 若∠ABC＝α，则
∠CBE可以表示为（ D ）
A. 120°－α B. 45°－
C. 60°－ D. －30°
（第6题）
D
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解析：如图，连结BD. 因为将线段AB绕点A按顺时
针方向旋转60°得到AD，所以AB＝AD，∠BAD＝
60°.所以△ABD是等边三角形.所以AB＝BD，
∠ABD＝60°.所以∠CBD＝α－60°.因为AB＝
BC，所以BD＝BC. 因为E是CD的中点，所以
∠CBE＝ ∠CBD＝ （α－60°）＝ －30°.
（第6题）
（第6题）
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7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝
3，将边CD绕点D按逆时针方向旋转90°至ED的位置，连结AE，则
△ADE的面积为（ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定
（第7题）
A
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解析：过点D作DF⊥BC于点F，过点E作EG⊥AD，交AD的延长线
于点G，则∠DFC＝∠DGE＝90°.因为AB⊥BC，DF⊥BC，所以
∠BFD＝90°，AB∥DF. 因为AD∥BC，所以∠BFD＝∠FDG＝
90°.易得BF＝AD＝2.因为BC＝3，所以CF＝1.因为ED 由边CD绕
点D按逆时针方向旋转90°后得到，所以CD＝ED，∠CDE＝90°＝
∠FDG. 所以∠CDE－∠CDG＝∠FDG－∠CDG，即∠EDG＝
∠CDF. 在△CDF和△EDG中， 所以△CDF≌△EDG. 所以CF＝EG＝1.所以S△ADE＝ AD EG＝1.
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8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D在边BC上，
BD＝2CD. 现将△ABC绕点D按顺时针方向旋转一定的角度，使得点
B恰好落在初始时△ABC的边上.设旋转角为α（0°＜α＜180°），则α
＝ 40°或120° .
（第8题）
40°或120°
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解析：如图，分两种情况讨论：① 当点B落在边AB上时，因
为DB＝DB′，所以∠BB′D＝∠B＝70°.所以∠BDB′＝
180°－70°－70°＝40°，即旋转角α＝40°.② 当点B落在边AC上时，因为BD＝2CD，所以B″D＝2CD. 因为∠C＝
90°，所以∠DB″C＝30°.所以∠B″DC＝60°.所以
∠BDB″＝180°－60°＝120°，即旋转角α＝120°.综上所
述，α＝40°或120°.
（第8题）
（第8题）
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9. ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将
△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A1B1C（点A，B的对应点分别
为A1，B1）.当点A，B1，A1在同一条直线上时，AB1的长为 .
（第9题）
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解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝5.由旋转
的性质可知∠A1CB1＝∠ACB＝90°，CA1＝CA＝4，CB1
＝CB＝3，A1B1＝AB＝5.如图，过点C作CG⊥AA1于点
G，则A1G＝AG，所以A1B1 CG＝A1C B1C，即5CG＝
3×4.所以CG＝ .根据勾股定理，得A1G＝
＝ ＝ .所以AA1＝2A1G＝ .所以AB1＝AA1
－A1B1＝ .
（第9题）
（第9题）
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利用旋转不变性进行探究的思路
利用旋转不变性进行探究是对综合能力的考查，进行探究时要将问
题与图中旋转变换的图形联系起来，利用旋转过程中相关线段、角相等
进行转化，并结合已学知识点进行求解.
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10. 如图，在△ABC中，∠CBA＝24°，∠BCD＝54°，将△ABC绕
点C按逆时针方向旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，
连结AD.
（第10题）
（1） 求证：ED＋AC＞EC.
（1） 因为将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，
所以DC＝AC.
在△CDE中，因为ED＋DC＞EC，
所以ED＋AC＞EC.
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（2） 当点A，D，E在同一条直线上时，求∠ACD的度数.
（2） 由旋转，得DC＝AC，∠DCE＝∠ACB，∠E＝∠CBA＝24°.
因为点A，D，E在同一条直线上，
所以∠CAD＝∠CDA＝∠E＋∠DCE＝24°＋∠ACB.
因为∠BCD＝54°，
所以∠ACD＝∠ACB＋54°.
因为∠CAD＋∠CDA＋∠ACD＝180°，
所以24°＋∠ACB＋24°＋∠ACB＋∠ACB＋54°＝180°.
所以∠ACB＝26°.
所以∠ACD＝26°＋54°＝80°.
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11. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC
绕点B按逆时针方向旋转60°得到线段BD.
（1） 如图①，求∠ABD的度数（用含α的代数式表示）.
（第11题）
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（1） 由旋转，得∠DBC＝60°.
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝ （180°－∠BAC）＝ （180°－α）＝90°－ α.
因为0°＜α＜60°，
所以∠ABC＞60°.
所以线段BD在△ABC的内部.
所以∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝90°－ α－60°＝30°－ α.
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（2） 如图②，E为△ABC外一点，且满足∠BCE＝150°，∠ABE＝
60°，判断△ABE的形状并加以证明.
（第11题）
（2） △ABE为等边三角形.
如图，连结AD，CD.
因为线段BC绕点B按逆时针方向旋转60°得到线段BD，
所以BC＝BD，∠DBC＝60°.
所以△BCD为等边三角形.
所以BD＝CD＝BC.
（第11题）
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又因为∠ABE＝60°，
所以∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－ α.
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD.
所以∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝ α.
因为∠BCE＝150°，
所以∠BEC＝180°－ －150°＝ α.
所以∠BAD＝∠BEC.
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在△ABD和△EBC中，
所以△ABD≌△EBC.
所以AB＝EB.
又因为∠ABE＝60°，
所以△ABE为等边三角形.
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（3） 在（2）的条件下，如果连结DE，且∠DEC＝45°，求α.
（3） 如图，连结DE.
由（2），得△BCD为等边三角形，
所以∠BCD＝60°.
因为∠BCE＝150°，
所以∠DCE＝150°－60°＝90°.
又因为∠DEC＝45°，
所以易得△DCE为等腰直角三角形.
所以DC＝CE＝BC.
所以∠EBC＝∠BEC.
所以30°－ α＝ α.
所以α＝30°.
（第11题）
（第11题）
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11(共10张PPT)
4.6 反 证 法
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法证明命
题“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，首先应假设（ ）
A. ∠B＝∠C B. AB＝AC
C. ∠B≥∠C D. ∠B≤∠C
A
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2. （2025 绍兴诸暨期中）用反证法证明“三角形中最多有一个内角是
直角”，应先假设这个三角形中（ A ）
A. 至少有两个内角是直角
B. 没有一个内角是直角
C. 至少有一个内角是直角
D. 每一个内角都不是直角
A
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3. 用反证法证明“若a＋b≥0，则a，b至少有一个不小于0”时，第
一步应假设（ A ）
A. a，b都小于0 B. a，b不都小于0
C. a，b都不小于0 D. a，b都大于0
4. 命题：多边形中最多有3个锐角.若用反证法证明这个命题，则应先
假设 多边形中最少有4个锐角 .
A
多边形中最少有4个锐角
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5. 试证明命题“两直线相交，有且只有一个交点”，并将下列过程补
充完整.
已知：直线a，b相交.求证：直线a，b只有一个交点P.
证明：假设直线a，b相交时， 至少有两个交点 .若除交点P以外
的其他交点中的一个为P′，则点P和点P′既在直线a上又在直线b上.
所以经过点P和点P′的直线 有两条 ，这与 两点确定一条直线
矛盾.
所以假设不成立.
所以两条直线相交，有且只有一个交点.
至少有两个交点
有两条
两点确定一条直线
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6. 用反证法证明“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＜90°”时，有
下列三个步骤：① 假设在△ABC中，∠B≥90°；② 因此假设不成
立，故∠B＜90°；③ 由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋
∠C≥180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与“三角形的内角和等
于180°”矛盾.正确的排列顺序是（ A ）
A. ①③② B. ①②③
C. ③①② D. ③②①
A
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7. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，且BD≠CE.
求证：AB≠AC.
（第7题）
假设AB＝AC.
因为D，E分别是AC，AB的中点，
所以BE＝ AB，CD＝ AC.
因为AB＝AC，
所以BE＝CD，∠CBE＝∠BCD.
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在△BCD和△CBE中，
所以△BCD≌△CBE.
所以BD＝CE，这与BD≠CE矛盾.
所以假设不成立.
所以AB≠AC.
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8. 已知a，b，c为互不相等的非零实数.求证：关于x的方程ax2＋2bx
＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0不可能都有两个相等的实
数根.
假设题中的三个方程都有两个相等的实数根，则这三个方程的根的判别
式的值都等于0，即4b2－4ac＝0①，4c2－4ab＝0②，4a2－4bc＝0③.
由①＋②＋③，得4a2＋4b2＋4c2－4ab－4ac－4bc＝0，即有2a2＋2b2
＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0.
所以（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0.
所以a＝b＝c，这与a，b，c为互不相等的非零实数矛盾.
所以假设不成立.
所以题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根.
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8(共21张PPT)
4.3 图形的旋转
第2课时 中心对称
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 内蒙古）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称
图形的为（ B ）
A. B. C. D.
B
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2. 下列选项中，左右两边的图形关于某点成中心对称的是（ D ）
A. B. C. D.
D
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3. （2025 温州模拟）在直角坐标系中，点M（1，－2）关于原点对称
的点的坐标是（ D ）
A. （1，－2） B. （－2，1）
C. （－1，－2） D. （－1，2）
D
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4. 如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则AB ＝ DE，
BC∥ FE ，AC＝ DF .
（第4题）
＝
FE
DF
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5. 作出如图所示的图形关于点E成中心对称的图形.
（第5题）
如图所示.
（第5题）
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6. （2025 福建）在古代，人们常用诗词歌赋表达古算题目，古算诗词
题是一种反映数学数量关系的内在联系及其规律的文学浪漫形式.下列
分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容
圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的
是（ D ）
A. B. C. D.
D
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解析：选项A中的图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项A
不符合题意.选项B中的图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故
选项B不符合题意.选项C中的图形不是中心对称图形，但是轴对称图
形，故选项C不符合题意.选项D中的图形既不是中心对称图形，也不是
轴对称图形，故选项D符合题意.
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7. 如图，若甲、乙两图关于点O成中心对称，则乙图中不符合题意的一
块是（ C ）
（第7题）
A. B. C. D.
C
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解析：观察题中甲、乙两图，乙图中选项C的图案在绕点O旋转180°
后，不能与甲图中的相应图案重合，所以乙图中不符合题意的一块是选
项C的图案.
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8. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐
标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交
y轴于点P. 若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标
为（ A ）
A. （－4，－5） B. （－4，－3）
C. （－5，－4） D. （－5，－3）
（第8题）
A
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解析：如图，过点A作AH⊥x轴于点H，交BC于点D. 因为点B，C
的坐标分别为（2，1），（6，1），所以BC＝xC－xB＝6－2＝4.因为
AB＝AC，易知AD⊥BC，所以BD＝CD＝ BC＝2.所以xA＝xB＋
BD＝2＋2＝4.因为∠BAC＝90°，BD＝CD，所以AD＝ BC＝2.所
以yA＝AD＋yB＝2＋1＝3.所以点A的坐标为（4，3）.设直线AB对应
的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），则 解得
所以直线AB对应的函数表达式为y＝x－1.令x＝0，
得y＝－1.所以点P的坐标为（0，－1）.又因为点A
与点A′关于点P成中心对称，所以P为AA′的中点.
设A′（m，n），则 ＝0， ＝－1.所以m
＝－4，n＝－5.所以点A′的坐标为（－4，－5）.
（第8题）
（第8题）
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9. 如图，将△ABC绕其中一个顶点按顺时针方向连续旋转n1°，
n2°，n3°后，所得到的三角形与△ABC的对称关系是 关于旋转中心
成中心对称 .
（第9题）
关于旋转中心
成中心对称
解析：因为n1°＋n2°＋n3°＝180°，所以将△ABC绕其中一个顶点按顺时针方向连续旋转n1°，n2°，n3°，就是将△ABC绕其中一个顶点按顺时针方向旋转180°.所以所得到的三角形与△ABC关于这个顶点成中心对称，即所得到的三角形与△ABC关于旋转中心成中心对称.
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10. 如图所示为4×4的正方形网格.把其中一个标有数的白色小正方形
涂色，就可以使图中的涂色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小
正方形内的数是 3 .
（第10题）
解析：如图，把标有数3的白色小正方形涂色，就可以使图中的涂色部分构成一个中心对称图形.
3
（第10题）
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11. 若点P（2a＋3b，－2）关于原点的对称点为Q（3，－a－2b），
则（a＋b）2 026＝ 1 .
解析：因为点P（2a＋3b，－2）关于原点的对称点为Q（3，－a－
2b），所以 ①＋②，得a＋b＝－1，所以（a＋
b）2 026＝1.
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12. 如图，方格纸中有三个格点A，B，C，画出符合下列要求的四边
形，使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在
方格纸的格点上.
（1） 在图①中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形.
（第12题）
（1） 如图①所示（答案不唯一）.
（第12题）
（第12题）
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（2） 在图②中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形.
（2） 如图②所示（答案不唯一）.
（3） 在图③中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
（3） 如图③所示（答案不唯一）.
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13. 如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE
关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交
CF于点P.
（第13题）
（1） 求证：AC＝DC.
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（1） 因为△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
所以△ABM≌△ACM.
所以AB＝AC.
又因为△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
所以△ABE≌△DCE.
所以AB＝DC.
所以AC＝DC.
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（2） 若∠BAC＝2∠MPC，请判断∠F与∠MCD之间的数量关系，
并说明理由.
（2） ∠F＝∠MCD.
理由：由（1），得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA.
因为∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
所以设∠MPC＝α，则∠BAC＝2α，∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α；
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β.
所以∠F＝∠MPC－∠PMF＝α－β，∠MCD＝∠CDE－∠CMA＝α－β.
所以∠F＝∠MCD.
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13(共22张PPT)
4.2 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在 ABCD中，若∠B＝60°，AB＝5 cm，则下列结论中，正
确的是（ B ）
A. ∠A＝60°，AD＝5 cm
B. ∠C＝120°，CD＝5 cm
C. ∠D＝60°，BC＝5 cm
D. ∠A＝120°，AD＝5 cm
（第1题）
B
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2. （2025 宁波慈溪期中）在 ABCD中，∠B＋∠D＝160°，则∠A的
度数为（ C ）
A. 130° B. 50°
C. 100° D. 65°
C
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3. （2025 绍兴嵊州期末）如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝7，
∠DAB的平分线交BC于点E，则CE的长为（ A ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
（第3题）
A
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4. 如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于点
E，连结CE，则△CDE的周长是（ C ）
A. 6 B. 8
C. 9 D. 10
（第4题）
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC＝5，CD＝AB
＝4.因为AC的垂直平分线交AD于点E，所以AE＝CE. 所以△CDE
的周长为CE＋DE＋CD＝AE＋DE＋CD＝AD＋CD＝5＋4＝9.
C
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5. （2025 宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝
40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 70° .
（第5题）
70°
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6. （2025 杭州期末）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，
且BF＝DE. 求证：AE＝CF.
（第6题）
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
所以∠ABE＝∠CDF.
因为BF＝DE，
所以BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF.
所以AE＝CF.
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7. 如图，点A，B的坐标分别为（1，1），（－2，－1），四边形
ACDB是平行四边形，点C的坐标为（4，1），则点D的坐标为（ ）
A. （1，－1） B. （2，1）
C. （2，－1） D. （－2，3）
（第7题）
A
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8. 如图，在 ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折得到△AFC，AF交BC于点E，则∠AEC的度数是（ C ）
A. 80° B. 90°
C. 100° D. 110°
（第8题）
C
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC. 所以∠B＋
∠BAD＝180°，∠DAC＝∠ACB. 因为∠B＝40°，AB＝AC，所
以∠B＝∠ACB＝40°，∠BAD＝140°.所以∠DAC＝∠ACB＝
40°.由折叠的性质可知，∠DAC＝∠FAC＝40°，所以∠AEC＝
180°－（∠ACB＋∠FAC）＝180°－（40°＋40°）＝100°.
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9. 如图，在 ABCD中，P是边CD上一点，且AP，BP分别平分
∠DAB，∠CBA. 若AD＝2.5，AP＝4，则 ABCD的面积是（ ）
A. 6 B. 12 C. D.
（第9题）
B
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解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD∥AB，AD∥BC，
AB＝DC，BC＝AD＝2.5.所以∠DPA＝∠BAP，∠CPB＝
∠ABP，∠DAB＋∠CBA＝180°.因为AP，BP分别平分∠DAB，
∠CBA，所以∠DAP＝∠BAP＝ ∠DAB，∠CBP＝∠ABP＝
∠CBA. 所以∠BAP＋∠ABP＝ （∠DAB＋∠CBA）＝90°，
∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP.所以∠APB＝90°，PD＝AD＝2.5，PC＝BC＝2.5.所以AB＝DC＝2.5＋2.5＝5.因为∠APB＝90°，所以BP＝ ＝ ＝3.所以S△ABP＝ AP BP＝ ×4×3＝6.所以S ABCD＝2S△ABP＝2×6＝12.
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10. 如图，在 ABCD中，点E在边BC上，且AE⊥BC于点E，DE平分
∠CDA. 若BE∶EC＝1∶2，则∠BCD的度数为 120° .
（第10题）
120°
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解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD∥BC，
AB∥CD. 所以∠ADE＝∠CED，∠B＋∠BCD＝180°.因为DE平
分∠CDA，所以∠ADE＝∠CDE. 所以∠CED＝∠CDE. 所以CD＝
EC. 所以AB＝EC. 因为BE∶EC＝1∶2，所以BE∶AB＝1∶2，即
BE＝ AB. 因为AE⊥BC，所以∠AEB＝90°.所以∠BAE＝30°.所
以∠B＝60°.所以∠BCD＝120°.
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11. ★如图，在 ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线
与BA的延长线交于点F，连结BE.
（第11题）
（1） 求证：FB＝AD.
（1） 因为E为AD的中点，
所以DE＝AE＝ AD.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝DC.
所以∠EDC＝∠EAF.
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在△DEC和△AEF中，
所以△DEC≌△AEF.
所以DC＝AF.
所以AB＝AF.
所以FB＝2AB.
因为AD＝2AB，
所以FB＝AD.
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12
（2） 若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数.
（2） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以DA∥CB.
所以∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC.
因为AD＝2AB，AD＝2AE，
所以AE＝AB.
所以∠AEB＝∠ABE.
所以∠EBC＝∠ABE＝ ∠CBF＝35°.
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利用平行四边形的性质证明线段相等
（1） 利用平行四边形的性质得到对应边、对应角分别相等，进而
得到三角形全等，从而得到线段相等.
（2） 利用平行四边形的性质得到平行关系，进而结合题中的条件
得到相等的角，从而利用“等角对等边”的性质得到线段相等.
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12. 如图，在 ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，点F在CD
上，BF交CG于点E，连结AE，且AE⊥AD.
（第12题）
（1） 若BG＝2，BC＝ ，求EF的长.
（1） 因为CG⊥AB，
所以∠AGC＝∠CGB＝90°.
因为BG＝2，BC＝ ，
所以CG＝ ＝5.
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因为∠ABF＝45°，
所以易得EG＝BG＝2.
所以CE＝CG－EG＝3.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD.
所以∠GCD＝∠BGC＝90°，
∠EFC＝∠ABF＝45°.
所以易得CF＝CE＝3.
所以EF＝ ＝3 .
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12
（2） 求证：CE＋ BE＝AB.
（2） 延长AE，交BC于点H.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC∥AD.
所以∠AHB＝∠HAD.
因为AE⊥AD，
所以∠AHB＝∠HAD＝90°.
又因为∠CGB＝90°，
所以∠GAE＋∠ABH＝∠GCB＋∠ABH＝90°.
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12
所以∠GAE＝∠GCB.
由（1），得GB＝GE.
在△BCG和△EAG中，
所以△BCG≌△EAG.
所以CG＝AG.
所以AB＝AG＋BG＝CG＋BG＝EG＋CE＋BG.
因为易得BG＝EG＝ BE，
所以CE＋ BE＝AB.
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12(共18张PPT)
4.2 平行四边形及其性质
第2课时 平行线间的距离
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 金华东阳期末）如图，已知直线m∥n，则下列能表示直线
m，n之间距离的是（ B ）
A. 线段AB的长 B. 线段AC的长
C. 线段AD的长 D. 线段DE的长
（第1题）
B
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2. 如图，AB∥CD，P是直线AB上一动点，当点P的位置发生变化
时，△PCD的面积将（ C ）
A. 变大 B. 变小
C. 不变 D. 无法确定
（第2题）
C
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3. 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，则S四边形 ABCD
与S四边形 ECDF之间的大小关系是（ A ）
A. S四边形 ABCD＝S四边形 ECDF
B. S四边形 ABCD＜S四边形 ECDF
C. S四边形 ABCD＝S四边形 ECDF＋1
D. S四边形 ABCD＝S四边形 ECDF＋2
（第3题）
A
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4. 如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，则图中与△ABD的面积相
等的三角形（不包括△ABD）有 2 个.
（第4题）
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5. 如图，l1∥l2，AB∥CD，BC＝2CF. 若△CEF的面积是5，求四边
形ABCD的面积.
（第5题）
因为l1∥l2，BC＝2CF，
所以设CF＝x，l1与l2之间的距离为h，则BC＝2x.
因为△CEF的面积为5，
所以 CF h＝5，即 xh＝5.
所以xh＝10.
因为AB∥CD，l1∥l2，
所以由“夹在两条平行线间的平行线段相等”，得AD＝BC＝2x.
所以S四边形ABCD＝ AD h＋ BC h＝BC h＝2xh＝2×10＝20.
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6. 如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下
列说法中，错误的是（ D ）
A. AB＝CD
B. CE＝FG
C. A，B两点间的距离就是线段AB的长
D. 直线a，b间的距离就是线段CD的长
（第6题）
D
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解析：因为a∥b，AB∥CD，所以根据“夹在两条平行线间的平行线
段相等”，可知AB＝CD. 故选项A正确.因为a∥b，CE⊥b，
FG⊥b，所以根据“夹在两条平行线间的垂线段相等”，可知CE＝
FG. 故选项B正确.A，B两点间的距离就是线段AB的长，故选项C正
确.直线a，b间的距离就是线段CE或FG的长，故选项D错误.
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7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，△ABC的三个顶点
分别在互相平行的三条直线l1，l2，l3上.若l1与l2之间的距离为2，l2与l3
之间的距离为3，则AC的长为（ A ）
A. 2 B. 5
C. 5 D. 10
（第7题）
A
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解析：如图，过点A作AD⊥l3于点D，过点C作CE⊥l3于点E，则
∠ADB＝∠BEC＝90°.由题意知，AD＝3，CE＝2＋3＝5.因为
∠ABC＝90°，所以∠ABD＋∠CBE＝90°.又因为∠BAD＋∠ABD
＝90°，所以∠BAD＝∠CBE. 在△ABD和△BCE中，
所以△ABD≌△BCE. 所以AD
＝BE＝3.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC＝ ＝ .所以AB＝ .在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝2 .
（第7题）
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8. 若两条平行线a，b被第三条直线c所截得的同旁内角的平分线的交
点到直线c的距离是2 cm，则a，b之间的距离是 4 cm.
解析：根据题意，作出图形如图所示.由题意，得∠1＝
∠2，∠3＝∠4，CE⊥c.过点C作CD⊥a于点D，
CF⊥b于点F，则CD＝CE＝2 cm，CF＝CE＝2 cm.因
为a∥b，所以易得D，C，F三点共线.所以DF＝CF＋
CD＝4 cm.所以a，b之间的距离是4 cm.
（第8题）
4
（第8题）
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9. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上.若AE＝5，BD＝8，△ABD的
面积为16，则△ACE的面积为 10 .
（第9题）
解析：过点A作AF⊥BD于点F，所以 BD AF＝ ×8AF＝16.所以
AF＝4.因为AE∥BD，所以AF的长度等于△ACE的边AE上的高.所
以S△ACE＝ AE×4＝ ×5×4＝10.
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10. 如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，DC上的点，AF与DE相
交于点P，BF与CE相交于点Q. 若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，
求涂色部分的面积.
（第10题）
连结EF.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD.
所以△EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相等.
所以S△EFC＝S△BCF.
所以S△EFC－S△CFQ＝S△BCF－S△CFQ，即S△EFQ＝S△BCQ＝25 cm2.
同理，可得S△EFP＝S△ADP＝16 cm2.
所以S涂色＝S△EFP＋S△EFQ＝16＋25＝41（cm2）.
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11. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝
AE，AB的延长线与DE的延长线交于点F，连结AC，CF. 求证：
（第11题）
（1） △ABE是等边三角形.
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（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC.
所以∠DAE＝∠BEA.
又因为AE平分∠BAD，
所以∠BAE＝∠DAE.
所以∠BAE＝∠BEA.
所以AB＝BE.
因为AB＝AE，
所以AB＝BE＝AE.
所以△ABE是等边三角形.
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（2） △ABC≌△EAD.
（2） 由（1）知，△ABE是等边三角形，
所以∠ABE＝∠BEA＝60°.
所以∠EAD＝∠BEA＝60°.
所以∠ABC＝∠EAD.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC＝AD.
在△ABC和△EAD中，
所以△ABC≌△EAD.
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（3） S△ABE＝S△CEF.
（3） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
所以△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离处处相等）.
所以S△FCD＝S△ABC.
又因为△AEC与△DEC同底等高，
所以S△AEC＝S△DEC.
所以S△ABC－S△AEC＝S△FCD－S△DEC，即S△ABE＝S△CEF.
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第4章整合拔尖
第4章 平行四边形
01
知识体系构建
02
高频考点突破
目
录
03
综合素能提升
考点一 多边形的内角和与外角和
典例1 （2025 杭州西湖段考）若一个多边形的外角和比这个多边形的
内角和小540°，则这个多边形的边数为 7 .
解析：设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180＝360＋540，解得
n＝7.
7
［变式］ 一个多边形的外角和比它内角和的一半还少180°，则这个多
边形共有 20 条对角线.
解析：设这个多边形的边数是n.由题意，得 －180°＝
360°，解得n＝8.所以这个多边形的对角线共有 ＝20
（条）.
20
考点二 中心对称及中心对称图形
典例2 （2025 山西）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生
产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称
图形的是（ D ）
A. B. C. D.
D
［变式］ 如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE
＝5，∠D＝90°，则AC＝ 2 .
解析：因为△ABC与△DEC关于点C成中心对称，所以AC＝DC，
DE＝AB＝3.因为AE＝5，∠D＝90°，所以AD＝ ＝
＝4.所以AC＝ AD＝2.
2
考点三 平行四边形的性质
典例3 如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交CD的延长线于点
E，过点C作CF⊥BE，交BE于点F.
（1） 求证：BF＝EF.
（典例3图）
（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD.
所以∠ABE＝∠E.
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBE.
所以∠CBE＝∠E.
所以BC＝CE.
因为CF⊥BE，
所以BF＝EF.
（2） 若AB＝8，DE＝4，求 ABCD的周长.
（2） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以CD＝AB＝8.
所以CE＝CD＋DE＝8＋4＝12.
由（1），得BC＝CE＝12.
所以 ABCD 的周长为2（AB＋BC）＝2×（8＋12）＝40.
［变式］ ★如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ABCD
的周长是100 cm，△AOB与△BOC的周长之和是122 cm，且AC∶BD
＝2∶1，则AC＝ 48 cm，BD＝ 24 cm.
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24
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC，AB＝CD，
OB＝OD. 所以AB＋BC＝100÷2＝50（cm）.因为△AOB与△BOC
的周长之和是122 cm，所以OA＋OB＋AB＋OB＋OC＋BC＝
122 cm，即AC＋BD＝122－50＝72（cm）.又因为AC∶BD＝2∶1，
所以AC＝48 cm，BD＝24 cm.
整体思想在平行四边形相关周长计算中的应用
平行四边形的周长等于两邻边长之和的2倍.本题结合此性质，可
得AB＋BC＝50 cm，将AB＋BC当作一个整体与△AOB与△BOC的周
长之和相结合，即可简化运算.
考点四 平行四边形的判定
典例4 如图，在四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM∥CN，
AN∥CM. 若BM＝DN，求证：四边形ABCD是平行四边形.
（典例4图）
如图，连结AC，交BD于点O.
因为AM∥CN，AN∥CM，
所以四边形AMCN是平行四边形.
所以OM＝ON，OA＝OC.
因为BM＝DN，
所以OM＋BM＝ON＋DN，即OB＝OD.
所以四边形ABCD是平行四边形.
（典例4图）
［变式］ 如图，在 ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点
E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连结AF，CE. 求证：四
边形AECF是平行四边形.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC.
所以∠ABD＝∠CDB.
因为AM⊥BC，CN⊥AD，
所以∠AMB＝∠CND＝90°.
因为∠BAM＝90°－∠ABC，
∠DCN＝90°－∠ADC，
所以∠BAM＝∠DCN.
在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF.
所以AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
所以180°－∠AEB＝180°－∠CFD，
即∠AEF＝∠CFE.
所以AE∥CF.
又因为AE＝CF，
所以四边形AECF是平行四边形.
考点五 三角形的中位线与平行四边形的判定与性质的综合
典例5 如图，在△ABC 中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，G，F分别为BH，CH的中点，连结DE，DG，GF.
（典例5图）
（1） 求证：四边形DEFG为平行四边形.
（1） 因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线.
所以DE∥BC，DE＝ BC.
同理，可得GF∥BC，GF＝ BC.
所以DE∥GF，DE＝GF.
所以四边形DEFG为平行四边形.
（2） 若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求BG的长.
（2） 因为四边形DEFG为平行四边形，
所以DG＝EF＝2.
因为DG⊥BH，
所以∠DGB＝90°.
所以BG＝ ＝ ＝ .
所以BG的长为 .
［变式］ （2025 宁波镇海期末）如图，在四边形ABCD中，E是AB的
中点，DB，CE交于点F，DF＝BF，AF∥DC.
（1） 求证：四边形AFCD为平行四边形.
（1） 因为E是AB的中点，DF＝BF，
所以EF是△ABD的中位线.
所以EF∥AD.
所以CF∥AD.
又因为AF∥DC，
所以四边形AFCD为平行四边形.
（2） 若∠EFB＝90°，EF＝2，DF＝5，求BC的长.
（2） 因为∠EFB＝90°，
所以∠BFC＝180°－90°＝90°.
由（1），知EF是△ABD的中位线，
所以EF＝ AD.
所以AD＝2EF＝2×2＝4.
由（1），知四边形AFCD为平行四边形，
所以CF＝AD＝4.
因为BF＝DF＝5，
所以在Rt△BCF中，BC＝ ＝ ＝ .
所以BC的长为 .
1. 一个多边形的内角和比四边形的外角和多720°，并且这个多边形的
各内角都相等，则这个多边形的每个内角的度数为（ D ）
A. 108° B. 115° C. 120° D. 135°
解析：设这个多边形的边数为n.由题意，得（n－2）×180－360＝
720，解得n＝8. 因为这个多边形的每个内角都相等，所以它的每个内
角的度数为180°－360°÷8＝135°.
D
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2. （2025 绍兴上虞二模）如图，在 ABCD中，点E在对角线AC上.若
AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠ACB的度数为（ B ）
A. 40° B. 50° C. 55° D. 60°
（第2题）
B
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解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC＝AD，AD∥BC，
AB∥CD. 因为AD＝AE＝BE，所以BC＝AE＝BE. 所以∠EAB＝
∠EBA，∠BCE＝∠BEC. 所以∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝
2∠EAB. 所以∠BCE＝2∠BAE. 因为AD∥BC，所以∠DAC＝
∠BCE＝2∠BAE. 因为AB∥CD，所以∠D＋∠DAB＝180°.因为
∠D＝105°，所以∠DAB＝∠DAC＋∠BAE＝3∠BAE＝75°.所以
∠BAE＝25°.所以∠ACB＝2∠BAE＝50°.
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3. 已知点P的坐标为（x，y），且 ＋x2－2x＋1＝0，则点P关
于原点的对称点的坐标为 .
解析：由题意，得 ＋（x－1）2＝0，所以x＋2y＝0，x－1＝
0，解得x＝1，y＝－ .所以点P的坐标为 .所以点P关于原
点的对称点的坐标为（－1， ）.
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4. 如图， ABCD的周长为8，对角线AC，BD交于点M，延长AB到点
E，使BE＝BC，BN⊥EC于点N，连结MN，则MN＝ 2 .
（第4题）
2
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，周长为8，所以AM＝MC，AB＋BC＝4.因为BE＝BC，所以△BEC是等腰三角形.因为BN⊥EC，所以EN＝NC. 所以MN是△AEC的中位线.所以MN＝ AE＝ （AB＋BE）＝ （AB＋BC）＝2.
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5. 如图，在 ABCD内有一点P，若△APB，△BPC，△CPD的面积分
别为4，3，1，则△APD的面积为 2 .
（第5题）
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解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC，AB＝CD.
又因为S△BPC，S△APD的高的和是AD，BC间的距离，它们的底分别是
AD，BC，而AD＝BC，所以易得S△BPC＋S△APD＝ S ABCD. 同理，
可得S△APB＋S△CPD＝ S ABCD，所以S△APB＋S△CPD＝S△BPC＋
S△APD. 所以4＋1＝3＋S△APD. 所以S△APD＝2.
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6. ★如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点
G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE，EH，
HF，FG，GH. 求证：GH与BD互相平分.
（第6题）
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因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，AB∥CD.
所以∠GBE＝∠HDF.
又因为AG＝CH，
所以AB＋AG＝CD＋CH，即BG＝DH.
又因为BE＝DF，
所以△GBE≌△HDF.
所以GE＝HF，∠GEB＝∠HFD.
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所以∠GEF＝∠HFE.
所以GE∥HF.
所以四边形GEHF是平行四边形.
所以GH与EF互相平分.
记GH与EF的交点为O，则GO＝HO，EO＝FO.
又因为BE＝DF，
所以BE＋EO＝DF＋FO，即BO＝DO.
所以GH与BD互相平分.
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求证“互相平分”问题的方法
解决有关“互相平分”的问题时，要联想平行四边形的对角线互相平
分的性质，设法构造平行四边形，这样做省去了分别说明平分的麻烦，
比较简便.
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4.4 平行四边形的判定定理
第2课时 平行四边形的判定定理（对角线）
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 温州瑞安期中）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，
BD交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的
是（ D ）
A. AO＝CO，BO＝DO
B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，AB＝CD
D. AB∥CD，AD＝BC
（第1题）
D
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2. 如图，AD为△ABC的中线，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于
点E，连结BE. 下列说法中，错误的是（ D ）
A. △ABD≌△ECD
B. 四边形ABEC为平行四边形
C. DA＝DE
D. CE＝CA
（第2题）
3. 在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BD＝
16 cm，则当OB＝ 8 cm时，四边形ABCD是平行四边形.
D
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4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分
别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF. 求证：四
边形ABCD是平行四边形.
（第4题）
在△BEO和△DFO中，
所以△BEO≌△DFO.
所以OE＝OF.
因为AE＝CF，
所以AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC.
因为OB＝OD，
所以四边形ABCD是平行四边形.
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5. 下列四边形中分别标注了部分数据，由所标数据，不能判定四边形
为平行四边形的是（ C ）
A. B. C. D.
C
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解析：根据图中所标数据，选项A：因为AO＝CO＝3，BO＝DO＝
5，所以四边形ABCD是平行四边形.故不符合题意.选项B：因为AB
＝CD＝4，AD＝BC＝6，所以四边形ABCD是平行四边形.故不符合
题意.选项C：因为∠ACB＝∠DAC＝40°，所以AD∥BC. 因为AB
＝CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形.故符合题意.选项
D：因为∠ACB＝∠CAD＝40°，所以AD∥BC. 因为∠ABD＝
∠BDC＝35°，所以AB∥CD. 所以四边形ABCD是平行四边形.故
不符合题意.
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6. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上
的两点.给出下列四个条件：① OE＝OF；② DE＝BF；③ ∠ADE＝
∠BCF；④ ∠ABE＝∠CDF. 其中，不能判定四边形DEBF是平行四
边形的为（ B ）
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
（第6题）
B
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解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，
OB＝OD，OA＝OC. 当OE＝OF时，因为OB＝OD，所以四边形
DEBF是平行四边形.所以条件①能判定四边形DEBF是平行四边形.当
∠ABE＝∠CDF时，因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠DCF. 在
△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF. 所以
AE＝CF. 因为OA＝OC，所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
又因为OB＝OD，所以四边形DEBF是平行四边形.所以条件④能判定
四边形DEBF是平行四边形.易知条件②③不能判定四边形DEBF是平
行四边形.
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7. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上（不与端点重
合），且AF＝CE，连结EF，与对角线BD交于点O. 若EF与BD互相
平分，则以图中的点为顶点的平行四边形最少有 3 个.
（第7题）
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解析： 连结BF，DE，AE，CF. 因为EF与BD互相平分，所以四边
形BEDF为平行四边形.所以DF∥BE，DF＝BE，即AF∥CE. 因为
AF＝CE，所以四边形AFCE为平行四边形.因为AF＝CE，DF＝
BE，所以AF＋DF＝CE＋BE，即AD＝BC. 又因为AD∥BC，所
以四边形ABCD为平行四边形.所以以题图中的点为顶点的平行四边形
最少有3个.
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8. 新考法 探究题 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
BD＝12 cm，AC＝20 cm.点E从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C运
动，同时点F从点C出发沿CA以2 cm/s的速度向点A运动.其中一点到
达终点后，两点停止运动，在点E与点F的运动过程中，四边形
DEBF 不会 （填“会”或“不会”）成为平行四边形.
（第8题）
不会
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解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.
因为点E从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C运动，同时点F从点C
出发沿CA以2 cm/s的速度向点A运动，所以2AE＝CF. 所以当点F在
OC上时，易知OE≠OF. 所以四边形DEBF不会成为平行四边形.当
点F在OA上时，四边形DEBF显然无法成为平行四边形.
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9. ★如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O并且分
别交AB，CD于点E，F，G，H分别为OA，OC的中点，连结EG，
EH，HF，GF. 求证：四边形EHFG是平行四边形.
（第9题）
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD.
因为G，H分别为OA，OC的中点，
所以OG＝ OA，OH＝ OC.
所以OG＝OH.
因为AB∥CD，
所以∠EBO＝∠FDO.
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在△EBO和△FDO中，
所以△EBO≌△FDO.
所以OE＝OF.
又因为OG＝OH，
所以四边形EHFG是平行四边形.
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判断一个四边形为平行四边形的常见思路
若已知（或易证）一条对角线平分另一条对角线，则可以考虑证明
另一条对角线也平分这条对角线；若已知（或易证）一组对边平行，则
可以考虑证明这组对边相等或证明另一组对边平行；若已知（或易证）
一组对边相等，则可以考虑证明这组对边平行或证明另一组对边相等.
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10. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（－3，0），（0，
6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运
动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个
单位长度的速度运动.以CP，CO为邻边构造 PCOD.
在线段OP的延长线上有一动点E，且满足PE＝AO.
（第10题）
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（1） 当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形.
（1） 连结CD，交AE于点F.
因为四边形PCOD是平行四边形，
所以CF＝DF，OF＝PF.
因为PE＝AO，
所以PE＋PF＝AO＋OF，即EF＝AF.
所以四边形ADEC为平行四边形.
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（2） 当点P运动的时间为 秒时，求此时四边形ADEC的周长.
（2） 当点P运动的时间为 秒时，OP＝ ，OC＝6－2× ＝3.
由点A（－3，0），得OA＝3，
所以PE＝3.
所以OE＝OP＋PE＝ ＋3＝ .
由勾股定理，得AC＝ ＝3 ，CE＝ ＝ .
由（1）知，四边形ADEC为平行四边形，
所以四边形ADEC的周长为（3 ＋ ）×2＝6 ＋3 .
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10(共26张PPT)
4.4 平行四边形的判定定理
第1课时 平行四边形的判定定理（对边）
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 嘉兴桐乡段考）如图，要使四边形ABCD为平行四边形，则
需要添加的条件是（ C ）
A. ∠B＝∠A B. AD＝BC
C. AB＝DC D. ∠B＋∠C＝180°
（第1题）
C
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2. 如图，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加的一
个条件是（ C ）
A. AB∥CD B. ∠BAC＝∠DCA
C. ∠1＝∠2 D. ∠B＝∠1
（第2题）
C
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3. 如图，以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径作弧，再以顶点C为
圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD. 若∠B＝
65°，则∠ADC的度数为 65° .
（第3题）
65°
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4. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB∥DE，
AC∥DF，BE＝CF，连结AD. 求证：四边形ABED是平行四边形.
（第4题）
因为AB∥DE，
所以∠B＝∠DEF.
因为AC∥DF，
所以∠ACB＝∠F.
因为BE＝CF，
所以BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
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在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF.
所以AB＝DE.
因为AB∥DE，
所以四边形ABED是平行四边形.
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移
至△BEC的位置，连结OE，则图中平行四边形的个数为（ D ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
（第5题）
D
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解析：因为将△AOD平移至△BEC的位置，根据平移的性质可知，
BE∥AO，且BE＝AO，OD∥EC，且OD＝EC，所以四边形
ABEO，四边形OECD为平行四边形.因为四边形ABCD为平行四边
形，所以OA＝OC，OD＝OB. 因为OA＝BE，OD＝EC，所以OC
＝BE，OB＝CE. 所以四边形OBEC为平行四边形.所以题图中共有4
个平行四边形.
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6. 顺次连结平面上A，B，C，D四点得到一个四边形.给出下列条
件：① AD∥BC；② AB＝CD；③ ∠A＝∠C；④ ∠B＝∠D. 从中任
取两个，可以得出四边形ABCD是平行四边形的取法共有（ B ）
A. 2种 B. 3种
C. 4种 D. 5种
B
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解析：当选①②时，这个四边形可能是等腰梯形，不能得出四边形ABCD是平行四边形.当选①③时，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.因为∠A＝∠C，所以∠C＋∠B＝180°.所以AB∥CD. 所以四边形ABCD是平行四边形.同理，可得当选①④时，也能得出四边形ABCD是平行四边形.如图，作 ABEF，则AB＝EF，∠A＝∠E. 连结BF，将△BEF旋转至△BCD的位置，使得点F落
在AF上的点D处，此时易知∠A＝∠C，AB＝CD，
但显然四边形ABCD不是平行四边形.
（第6题）
（第6题）
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所以当选②③时，不能得出四边形ABCD是平行四边形.同理，可得当
选②④时，也不能得出四边形ABCD是平行四边形.当选③④时，因为
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，所以
2∠A＋2∠B＝360°.所以∠A＋∠B＝180°.所以AD∥BC. 同理，可得AB∥CD. 所以四边形ABCD是平行四边形.综上所述，当选①③，①④，③④时，可以得出四边形ABCD是平行四边形.
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7. 如图，在直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点构造平行四边形.下列各点中，可以作为平行四边形的顶点的
是（ C ）
A. （－3，1） B. （2，1）
C. （－2，1） D. （5，1）
C
（第7题）
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8. 如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC. E
是射线DF上的一点，再添加下列一个条件后，不能判定四边形DBCE
为平行四边形的是（ D ）
A. ∠ADE＝∠E B. ∠B＝∠E
C. DE＝BC D. BD＝CE
（第8题）
D
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解析：因为∠ADE＝∠E，所以AB∥CE. 又因为DF∥BC，所以四
边形DBCE为平行四边形.故A不符合题意.因为DF∥BC，所以
∠ADE＝∠B. 因为∠B＝∠E，所以∠ADE＝∠E. 所以AB∥CE.
又因为DF∥BC，所以四边形DBCE为平行四边形.故B不符合题意.因
为DF∥BC，所以DE∥BC. 又因为DE＝BC，所以四边形DBCE为
平行四边形.故C不符合题意.由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边
形DBCE为平行四边形.故D符合题意.
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9. 分类讨论思想 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥
射线BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从
点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.设运动时间为t s，则当t＝
2或6 时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
（第9题）
2或6
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解析：① 当点F在点C的左侧时，由题意，得AE＝t cm，BF＝
2t cm，则CF＝BC－BF＝（6－2t）cm.因为AG∥BC，所以当AE
＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6－2t，解得t＝2，符合
题意.② 当点F在点C的右侧时，由题意，得AE＝t cm，BF＝
2t cm，则CF＝BF－BC＝（2t－6）cm.因为AG∥BC，所以当AE
＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t－6，解得t＝6，符合
题意.综上所述，当t＝2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平
行四边形.
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10. 如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC
上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，连结DE.
（第10题）
（1） 求证：BC＝ED.
（1） 因为∠BAE＝∠CAD，
所以∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED.
所以BC＝ED.
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（2） 当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形.
（2） 由（1）知，△ABC≌△AED.
所以∠B＝∠AED，BC＝ED.
因为AC＝AD，AC＝BC，
所以BC＝AD＝DE.
所以∠EAD＝∠AED.
所以∠B＝∠EAD.
因为AB＝AE，
所以∠AEB＝∠B.
所以∠EAD＝∠AEB.
所以AD∥BC.
所以四边形ABCD是平行四边形.
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11. 如图，凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE＋
∠CBD，AC＝1，则BD满足（ A ）
A. BD＜2 B. BD＝2
C. BD＞2 D. 以上情况均有可能
（第11题）
A
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解析：由题意，得AB＝AE，所以∠ABE＝∠AEB. 同理，可得
∠CBD＝∠CDB. 因为∠DBE＝∠ABE＋∠CBD，所以∠DBE＝
∠AEB＋∠CDB. 又因为∠DBE＋∠BED＋∠EDB＝180°，所以易
得∠AED＋∠CDE＝180°.所以AE∥CD. 因为AE＝CD，所以四边
形AEDC为平行四边形.所以AC＝DE＝BC＝CD＝1.在△BCD中，
因为BD＜BC＋CD，所以BD＜2.
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12. ★如图，以不等边三角形ABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边
三角形ABD、等边三角形BCE和等边三角形ACF，连结DE，EF.
（1） 求证：四边形ADEF是平行四边形.
（第12题）
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（1） 因为△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，
所以AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°.
所以∠ABD＋∠EBA＝∠EBC＋∠EBA，即∠DBE＝∠ABC.
在△DBE和△ABC中，
所以△DBE≌△ABC.
所以DE＝AC.
所以DE＝AF.
同理，可得AD＝EF.
所以四边形ADEF是平行四边形.
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（2） 若△ABC的形状改变，这样的 ADEF是否总存在？请说明理由.
（2） 这样的 ADEF不总存在.
理由：当∠BAC＝60°时，
因为∠DAB＝∠CAF＝60°，
所以∠DAF＝360°－（∠BAC＋∠DAB＋∠CAF）＝180°.
此时点D，A，F在同一条直线上.
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由（1），可得∠DEB＝∠ACB.
同理，可得∠CEF＝∠CBA.
所以易得∠BEC＋∠DEB＋∠CEF＝60°＋（180°－∠BAC）＝180°.
所以点D，E，F也在同一条直线上.
所以点D，A，E，F在同一条直线上.
所以此时这样的 ADEF不存在.
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从边的角度判定一个四边形是平行四边形的方法
要证明一个四边形是平行四边形，若给出边的条件（相等或平
行），则常考虑通过以下三种方法来证明：① 两组对边分别平行（定
义）；② 两组对边分别相等；③ 一组对边平行且相等.
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12(共22张PPT)
专题特训六 平行四边形性质与判定的综合应用
第4章 平行四边形
类型一 在平行四边形的基础上判定新的平行四边形
1. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，
CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G. 求
证：四边形AECF是平行四边形.
（第1题）
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因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.
因为AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
所以∠BCG＝ ∠BCD，∠DAH＝ ∠BAD.
所以∠BCG＝∠DAH.
因为AD∥BC，
所以∠DGC＝∠BCG.
所以∠DGC＝∠DAH.
所以AE∥CF.
因为AF∥CE，
所以四边形AECF是平行四边形.
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2. 如图，BD是 ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为
E，F，AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，AM交BE于点M，
CN交DF于点N，连结AN，CM. 求证：四边形AMCN是平行四边形.
（第2题）
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如图，连结AC，交BD于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD.
所以∠ABM＝∠CDN.
因为AE⊥BD，CF⊥BD，
所以∠AEB＝∠CFD＝90°.
所以∠ABM＋∠BAE＝90°，
∠CDN＋∠DCF＝90°.
所以∠BAE＝∠DCF.
（第2题）
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因为AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，
所以∠BAM＝ ∠BAE，∠DCN＝ ∠DCF.
所以∠BAM＝∠DCN.
在△ABM和△CDN中，
所以△ABM≌△CDN.
所以BM＝DN.
所以OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON.
又因为OA＝OC，
所以四边形AMCN是平行四边形.
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类型二 判定出平行四边形后运用其性质计算
3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积
为（ D ）
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
（第3题）
D
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解析：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝ ＝
＝5，所以AE＝AC－CE＝10－5＝5.所以AE＝CE＝5.又因为BE＝
DE＝3，所以四边形ABCD是平行四边形.所以四边形ABCD的面积为
BC BD＝4×（3＋3）＝24.
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4. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连
结BE，DE，BF，DF. 若EF＝2AE＝2，∠ACB＝45°，且
BE⊥AC，求四边形BEDF的面积.
（第4题）
如图，连结BD，交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OB＝OD，OA＝OC.
因为AE＝CF，
所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
所以四边形BEDF是平行四边形.
（第4题）
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因为AE＝CF，EF＝2AE＝2，
所以易得CE＝3.
因为∠ACB＝45°，BE⊥AC，
所以∠CBE＝∠ACB＝45°.
所以BE＝CE＝3.
因为四边形BEDF是平行四边形，
所以S BEDF＝2S△BEF＝2× EF BE＝2× ×2×3＝6.
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5. 如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，
F，延长DE，BF，分别交AB于点H，交DC于点G，AD∥BC，AE
＝CF.
（1） 求证：四边形ABCD为平行四边形.
（第5题）
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（1） 因为DE⊥AC，BF⊥AC，
所以∠AED＝∠CFB＝90°.
因为AD∥BC，
所以∠DAE＝∠BCF.
在△DAE和△BCF中，
所以△DAE≌△BCF.
所以AD＝CB.
因为AD∥BC，
所以四边形ABCD为平行四边形.
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（2） 若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长.
（2） 因为DE⊥AC，BF⊥AC，
所以DH∥BG.
所以∠DHA＝∠GBA.
因为∠DAH＝∠GBA，
所以∠DHA＝∠DAH.
所以DA＝DH.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以DA＝CB，DC∥AB，即DG∥HB.
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又因为DH∥BG，
所以四边形DHBG为平行四边形.
所以DH＝BG.
因为DA＝DH，DA＝CB，
所以BG＝BC.
在Rt△CFB中，因为BF＝BG－FG＝BC－2，CF＝4，BC2＝BF2＋
CF2，
所以BC2＝（BC－2）2＋42，解得BC＝5.
所以AD＝BC＝5.
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类型三 综合运用性质与判定判断线段间的关系
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作
DF∥AC，交AB于点F，过点C作CE∥AB，交FD的延长线于点E.
下列结论中，一定正确的是（ C ）
A. DC＋DF＝AB
B. BD＋DC＝DF
C. CE＋DF＝AB
D. CE＋DC＝BD
（第6题）
C
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解析：因为DF∥AC，CE∥AB，所以四边形AFEC为平行四边形.所
以AC＝EF. 因为AB＝AC，所以EF＝AB. 因为CE∥AB，所以
∠B＝∠BCE. 因为DF∥AC，所以∠ACB＝∠FDB. 因为AB＝
AC，所以∠B＝∠ACB. 所以∠FDB＝∠BCE. 因为∠FDB＝
∠CDE，所以∠BCE＝∠CDE. 所以CE＝DE. 因为DE＋DF＝
EF，所以CE＋DF＝AB.
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7. 如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，∠EAC＝
∠FCA，AE＝CF，BE＝DF. 试判断BC与AD之间的关系，并说明
理由.
（第7题）
BC∥AD，BC＝AD.
理由：因为∠EAC＝∠FCA，
所以AE∥CF.
又因为AE＝CF，
所以四边形AFCE是平行四边形.
所以OA＝OC，OE＝OF.
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又因为BE＝DF，
所以BE＋OE＝DF＋OF，即OB＝OD.
所以四边形ABCD是平行四边形.
所以BC∥AD，BC＝AD.
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8. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，点M，N
分别在AB，CD上，DN＝BM，连结EF，MN. 求证：EF与MN互相
平分.
（第8题）
如图，连结ME，EN，NF，FM.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D.
又因为AE⊥BC，CF⊥AD，
所以AE＝CF.
（第8题）
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在Rt△ABE和Rt△CDF中，
所以Rt△ABE≌Rt△CDF.
所以BE＝DF.
在△BEM和△DFN中，
所以△BEM≌△DFN.
所以ME＝NF.
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又因为AB＝CD，BM＝DN，
所以AB－BM＝CD－DN，即AM＝CN.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC，∠MAF＝∠NCE.
所以AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE.
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在△AMF与△CNE中，
所以△AMF≌△CNE.
所以MF＝NE.
又因为ME＝NF，
所以四边形MENF是平行四边形.
所以EF与MN互相平分.
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8(共29张PPT)
专题特训七 构造三角形的中位线解决问题
第4章 平行四边形
类型一 构造中位线求线段的长
1. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与
AC的交点.若AC＝4，则AF的长为（ B ）
A. B. C. 1 D.
（第1题）
B
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解析：如图，取BF的中点H，连结DH，则BH＝HF. 因
为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC. 所以DH＝
FC，DH∥AC. 所以∠HDE＝∠FAE. 因为E是AD的中
点，所以AE＝DE. 在△AEF和△DEH中，
所以△AEF≌△DEH. 所以AF＝
DH. 所以AF＝ FC，即FC＝2AF. 因为AC＝4，所以
AF＋FC＝3AF＝AC＝4.所以AF＝ .
（第1题）
（第1题）
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2. 如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD＝ BC，过AC的中
点E作EF∥CD（点F位于点E的右侧），且EF＝BC，连结DF. 若
AB＝4，则DF的长为（ B ）
A. 3 B. 2 C. 2 D.
（第2题）
B
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解析：取AB的中点H，连结EH，则BH＝ AB＝ ×4＝2.因为E为
AC的中点，所以EH∥BC，EH＝ BC. 因为EF∥CD，所以点H，
E，F在同一条直线上.所以FH∥BD. 因为CD＝ BC，EF＝BC，
EH＝ BC，所以EF＋EH＝BC＋CD，即FH＝BD. 所以四边形
BHFD是平行四边形.所以DF＝BH＝2.
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3. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝6 ，E，F
分别是边AD，BC的中点，连结EF，则EF的长为（ C ）
A. 3 B. 3 C. 3 D.
（第3题）
C
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解析：取AB的中点G，连结EG，FG. 因为E，F，G分别是边
AD，BC，AB的中点，所以EG∥BD，FG∥AC，EG＝ BD＝
×6 ＝3 ，FG＝ AC＝ ×6＝3.因为AC⊥BD，所以EG⊥FG.
所以在Rt△EGF中，EF＝ ＝
＝3 .
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4. 如图，在 ABCD中，∠ABC为锐角，作点B关于直线AC的对称点
B′，连结BB′，B′D. 若BB′＝B′D＝2AC＝4，则CD的长为（ D ）
A. B. 2 C. 2 D.
（第4题）
D
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解析：连结BD，交AC于点O，延长CA，交BB′于点E. 因为点B′与
点B关于直线AC对称，所以直线AC垂直平分BB′.所以BE＝B′E＝
BB′＝ ×4＝2.因为2AC＝4，所以AC＝2.因为四边形ABCD是平行四
边形，所以AB＝CD，BO＝DO，AO＝CO＝ AC＝1.因为BE＝
B′E，BO＝DO，所以EO＝ B′D＝ ×4＝2.所以AE＝EO－AO
＝2－1＝1.因为∠AEB＝90°，所以CD＝AB＝ ＝
＝ .
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5. 如图，E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝7，CE＝1.5，连结
DE并延长至点F，使得EF＝DE，连结BF，则BF的长为 4 .
（第5题）
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解析：如图，连结BD，交AC于点O. 因为四边形
ABCD是平行四边形，所以OC＝OA，OD＝OB. 因
为AC＝7，所以OC＝ AC＝3.5.所以OE＝OC－CE
＝3.5－1.5＝2.因为EF＝DE，OB＝OD，所以OE
是△DBF的中位线.所以BF＝2OE＝4.
（第5题）
（第5题）
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6. 如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB
于点G，AB＝6，则AG的长为 2 .
（第6题）
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解析：取CG的中点M，连结EM. 因为DE是△ABC的中位线，所以
D是AB的中点，E是AC的中点.所以ME是△ACG的中位线.所以
ME∥AD，ME＝ AG. 所以∠EMF＝∠DGF. 因为F是DE的中
点，所以EF＝DF. 在△EMF和△DGF中， 所以
△EMF≌△DGF. 所以ME＝GD. 所以GD＝ AG. 所以AG＝ AD.
因为AB＝6，D是AB的中点，所以AD＝3.所以AG＝ ×3＝2.
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，D是AB
上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连结BE，CD，P，Q分别是
BE，DC的中点，连结PQ，则PQ的长为 .
（第7题）
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解析：如图，取BD的中点F，连结PF，QF. 因为∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，所以BC＝ ＝12.因为P，Q，F分别是BE，DC，BD的中点，所以PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线.所以PF∥ED，PF＝ ED＝1，FQ∥BC，FQ＝ BC＝6.因为DE∥AC，AC⊥BC，所以易得PF⊥FQ. 所以在Rt△PFQ
中，由勾股定理，得PQ＝ ＝ ＝ .
（第7题）
（第7题）
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8. 如图，在四边形ABCD中，AD与BC不平行，F为CD的中点，E为
AB的中点，则下列结论中，正确的是（ B ）
A. AD＋BC＜2EF
B. AD＋BC＞2EF
C. AD＋BC＝2EF
D. 无法确定AD＋BC与2EF的大小关系
（第8题）
B
类型二 构造中位线判断线段间的关系
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解析：如图，连结BD，取BD的中点M，连结ME，
MF. 因为E是AB的中点，M是BD的中点，所以
ME∥AD，ME＝ AD. 同理，可得MF∥BC，MF＝
BC. 因为AD与BC不平行，所以点F，M，E不在同一
条直线上.在△MEF中，ME＋MF＞EF，所以 AD＋
BC＞EF，即AD＋BC＞2EF.
（第8题）
（第8题）
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9. 新考法 探究题 （1） 如图①，BD，CE分别是△ABC的外角平分
线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连结FG，延
长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N. 求证：FG＝ （AB＋
BC＋AC）.
（第9题）
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（1） 因为AF⊥BD，BD平分∠ABM，
所以∠AFB＝∠MFB＝90°，
∠ABF＝∠MBF.
所以易得∠BAF＝∠BMF.
所以AB＝MB.
又因为AF⊥BD，
所以AF＝MF.
同理，可得AC＝NC，AG＝NG.
所以FG是△AMN的中位线.
所以FG＝ MN＝ （MB＋BC＋CN）＝ （AB＋BC＋AC）.
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（2） 若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图
②），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，
并给予证明.
（第9题）
（2） FG＝ （AB＋AC－BC）.
如图，延长AG，AF，与BC分别交于点M，N.
因为AF⊥BD，BD平分∠ABN，
所以∠AFB＝∠NFB＝90°，
∠ABF＝∠NBF.
（第9题）
所以易得∠BAF＝∠BNF.
所以AB＝NB.
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又因为AF⊥BD，
所以AF＝NF.
同理，可得AC＝MC，AG＝MG.
所以FG＝ MN.
所以MN＝2FG.
所以BC＝BN＋CM－MN＝AB＋AC－2FG.
所以FG＝ （AB＋AC－BC）.
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类型三 构造中位线判断三角形的形状
10. ★如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不用证明）.
（第10题）
（提示：在图①中，连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF，
根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线
的性质，可证得∠BME＝∠CNE. ）
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（1） 如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，
E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交CD，AB于点M，
N，判断△OMN的形状.
（第10题）
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（1） 如图①，取AC的中点P，连结PF，PE.
因为E是BC的中点，P是AC的中点，
所以PE＝ AB，PE∥AB.
所以∠PEF＝∠ONM.
同理，可得PF＝ CD，PF∥CD，
所以∠PFE＝∠OMN.
（第10题）
（第10题）
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又因为AB＝CD，
所以PE＝PF.
所以∠PEF＝∠PFE.
所以∠ONM＝∠OMN.
所以ON＝OM.
所以△OMN是等腰三角形.
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（2） 如图③，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，
E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点
G，连结GD. 若∠EFC＝60°，判断△AGD的形状.
（第10题）
（2） 如图②，连结BD，取BD的中点H，连结HF，HE.
因为F是AD的中点，H是BD的中点，
所以HF∥AB，HF＝ AB.
（第10题）
（第10题）
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同理，可得HE∥CD，HE＝ CD.
因为AB＝CD，
所以HF＝HE.
所以∠HFE＝∠HEF.
又因为HE∥CD，
所以∠HEF＝∠EFC＝60°.
所以∠HFE＝60°.
因为HF∥AB，
所以∠AGF＝∠HFE＝60°.
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因为∠AFG＝∠EFC＝60°，
所以∠FAG＝∠AGF＝60°.
所以AF＝GF.
又因为F是AD的中点，
所以AF＝DF.
所以GF＝DF.
所以∠FGD＝∠FDG＝ ∠EFC＝30°.
所以∠AGD＝∠AGF＋∠FGD＝60°＋30°＝90°，即△AGD是直
角三角形.
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构造三角形的中位线解题
题目中出现两条或多条线段的中点时，常构造三角形的中位线解
题.若两点分别是三角形两边的中点，则直接连结这两点得三角形的中
位线；若两点分别是四边形对边的中点，则往往需要先连结对角线，取
对角线的中点，再分别与原对边的两个中点连结，得到两个三角形的中
位线，然后运用中位线的性质解题.
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10(共21张PPT)
4.1 多 边 形
第2课时 多边形的内角和与外角和
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列多边形中，内角和等于720°的是（ C ）
A. B. C. D.
C
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2. 若一个多边形从一个顶点处可以引出5条对角线，则这个多边形的内
角和是（ B ）
A. 900° B. 1 080° C. 1 260° D. 540°
3. （2025 温州瑞安期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少
180°，则这个多边形的边数是（ A ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
B
A
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4. 如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O. 若
∠1，∠2，∠3，∠4的补角的度数之和为220°，则∠BOD的度数
为 40° .
（第4题）
40°
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5. 一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，
求这个多边形的边数与内角和.
设这个多边形的每个内角都为n°.
根据题意，可得n－（180－n）＝100，解得n＝140.
所以多边形每个外角的度数为180°－140°＝40°.
因为多边形的外角和等于360°，
所以这个多边形的边数为360°÷40°＝9.
所以这个多边形的内角和为（9－2）×180°＝1 260°.
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6. 如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠C）后，得到
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°.求∠G的度数.
（第6题）
因为六边形ABCDEF的内角和为180°×（6－2）＝720°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°，
所以∠CBG＋∠C＋∠CDG＝720°－460°＝260°.
所以∠G＝360°－（∠CBG＋∠C＋∠CDG）＝360°－260°＝100°.
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7. 如图①所示为一把木工使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角
度.在如图②所示的六角尺示意图中，x的值为（ C ）
（第7题）
A. 135 B. 120 C. 112.5 D. 112
解析：根据题意，得x＋x＋9＋126＋120＋2x－120＋135＝（6－2）
×180，解得x＝112.5.
C
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8. （2025 温州瑞安期中）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，
∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数
为（ A ）
A. 180° B. 210° C. 240° D. 270°
（第8题）
A
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解析：如图，延长BA，DE. 因为AB∥ED，所以
∠4＋∠5＝180°.根据多边形的外角和定理，可得
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，所以∠1＋∠2＋
∠3＝360°－180°＝180°.
（第8题）
（第8题）
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9. 若一个多边形的外角和是它内角和的 ，则这个多边形共有 5 条
对角线.
解析：设这个多边形有n条边.由题意，得 （n－2）×180＝360，解
得n＝5.所以这个多边形共有 ×5×（5－3）＝5（条）对角线.
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10. ★一个多边形截去一个角后，形成另一个内角和为1 440°的多边
形，则原多边形的边数是 9或10或11 .
解析：设新多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝1 440°，解得n
＝10.因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能减少1，可能不
变，也可能增加1，所以原多边形的边数是9或10或11.
9或10或11
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从多边形中截去一个角的三种情况
（1） 过多边形的一条对角线截去一个角，新多边形的边数比原多
边形的边数少1.
（2） 只过多边形的一个顶点截去一个角，新多边形的边数与原多
边形的边数相同.
（3） 不过多边形的顶点截去一个角，新多边形的边数比原多边形
的边数多1.
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11. 新趋势 跨学科 自然界中处处可见六边形的身影，比如在水面上吹
起一层泡泡，也就是“泡泡筏”，这些泡泡最后会变成六边形或者接近
六边形的形状.如图所示为一个泡泡 抽象出的数学平面图形，已知六
边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB.
（第11题）
（1） 求∠FCD的度数.
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（1） 因为六边形ABCDEF的内角都相等，
所以∠ABC＝∠BCD＝ ＝120°.
因为CF∥AB，
所以∠BCF＋∠ABC＝180°.
所以∠BCF＝60°.
所以∠FCD＝∠BCD－∠BCF＝60°.
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（2） 求证：AF∥CD.
（2） 由（1），可得∠BAF＝120°.
因为CF∥AB，
所以∠BAF＋∠AFC＝180°.
所以∠AFC＝60°＝∠FCD.
所以AF∥CD.
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12. 新情境 对话信息 如图，阅读嘉嘉和琪琪的对话，求嘉嘉计算的是
几边形的内角和.
（第12题）
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设嘉嘉应加的那个内角的度数为x°，错加的那个外角的度数为y°，
这个多边形的边数为n.
根据题意，得（n－2）×180＝2 020－y＋x.
因为－180＜x－y＜180，
所以2 020－180＜2 020－y＋x＜2 020＋180.
所以1 840＜（n－2）×180＜2 200，解得12 ＜n＜14 .
又因为n为正整数，
所以n＝13或14.
所以嘉嘉计算的是十三边形或十四边形的内角和.
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13. “转化”是数学解题过程中常用的一种重要思想，即把陌生的问题
转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转
化为具体的问题.
（1） 请你根据已经学过的知识求出图①中
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
（第13题）
（1） 如图①.
因为∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C＝180°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
①
（第13题）
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（2） 若将图①中的图形截去一个角，如图②，请求出图②中∠A＋
∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
（第13题）
（2） 如图②.
因为∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F，∠1＋∠A＋∠C＋∠D＝360°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
②
（第13题）
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（3） 若再对图②中图形的角进一步截去，如图③，试猜想图③中的
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度
数（只要写出结论，不需要写出解题过程）.
（第13题）
（3） ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋
∠N＝1 080°.
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13(共21张PPT)
4.5 三角形的中位线
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 杭州段考）如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距
离.他先在A，B外选一点C，然后步测AC，BC的中点为D，E，测
得DE＝20 m，则A，B之间的距离为（ D ）
A. 10 m B. 20 m C. 30 m D. 40 m
（第1题）
D
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2. （2024 广安）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，
若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ D ）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 65°
（第2题）
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3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中
点.已知BC＝10，则OE的长为 5 .
（第3题）
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4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE并延长
到点F，使EF＝DE，连结CF. 求证：四边形DBCF是平行四边形.
（第4题）
因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线.
所以DE∥BC，BC＝2DE.
因为EF＝DE，
所以DF＝2DE.
所以DF＝BC.
所以四边形DBCF是平行四边形.
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5. （2025 浙江期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中
点，FD⊥AB交CB的延长线于点F. 若AF＝3，CF＝7，则DE的长
为（ B ）
A. 1.5 B. 2
C. 2.5 D. 3
（第5题）
解析：因为FD⊥AB，D是AB的中点，所以DF是线段AB的垂直平分
线.所以BF＝AF＝3.所以BC＝CF－BF＝7－3＝4.因为D，E分别
是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线.所以DE＝ BC＝2.
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝4，D，F分别是边AB，BC的中点，DE⊥AC于点E，连结DF，EF，则EF的长为（ D ）
A. 2 B. 3
C. 2 D.
（第6题）
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解析：因为∠B＝90°，AB＝BC，所以∠A＝∠C＝ （180°－
∠B）＝ ×（180°－90°）＝45°.设AB＝BC＝x.因为AC＝4，
所以x2＋x2＝42，解得x＝2 （负值舍去）.所以AB＝2 .因为D
是AB的中点，所以AD＝ AB＝ .因为DE⊥AC，所以∠AED＝
90°.所以∠ADE＝∠A＝45°.所以易得DE＝1.因为D，F分别是边
AB，BC的中点，所以DF＝ AC＝2，AC∥DF. 所以∠EDF＝
∠AED＝90°.所以EF＝ ＝ ＝ .
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7. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，M，N分别为线段BC，AB
上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E，F分别为DM，MN
的中点.若AB＝8，AD＝6，则EF长的最大值为 5 .
（第7题）
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解析：连结BD，DN. 在Rt△ABD中，DB＝ ＝
＝10.因为E，F分别为DM，MN的中点，所以EF＝ DN. 由题意，
易得当点N与点B重合时，DN的长最大，最大值为10.所以EF长的最
大值为 ×10＝5.
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8. 如图，△ABC的周长为24，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线
垂直于AE，垂足为M，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为N，连结
MN. 若BC＝9，则MN的长为 3 .
（第8题）
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解析：因为CN平分∠ACB，CN⊥AD，所以∠ACN＝∠DCN，
∠CNA＝∠CND＝90°.在△CNA和△CND中，
所以△CNA≌△CND. 所以AN＝DN，CA＝CD. 同理，可得AM＝
EM，BA＝BE. 所以N是AD的中点，M是AE的中点.所以MN＝
ED. 因为△ABC的周长为24，所以CD＋BE＝AC＋AB＝24－BC＝
24－9＝15.所以ED＝CD＋BE－BC＝15－9＝6.所以MN＝ ED＝3.
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9. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是
AB，CD的中点，连结EF，PE，PF. 若∠ADB＝95°，∠CBD＝
15°，∠FEP＝40°，PE＝3，则AD＋BC＝ 12 .
（第9题）
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解析：因为P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，所
以PF，PE分别为△BCD，△ABD的中位线.所以PF∥BC，BC＝
2PF，PE∥AD，AD＝2PE. 所以∠FPD＝∠CBD＝15°，∠DPE
＝180°－∠ADB＝180°－95°＝85°.所以∠FPE＝∠FPD＋
∠DPE＝15°＋85°＝100°.又因为∠FEP＝40°，所以∠PFE＝
180°－∠FPE－∠FEP＝180°－100°－40°＝40°.所以∠PFE＝
∠FEP. 所以PF＝PE. 所以AD＋BC＝2PE＋2PF＝4PE＝4×3＝12.
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10. 如图，O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，
AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG，M为EF的中
点，连结OM.
（1） 求证：四边形DEFG是平行四边形.
（第10题）
（1） 因为D，G分别是AB，AC的中点，
所以DG∥BC，DG＝ BC.
又因为E，F分别是OB，OC的中点，
所以EF∥BC，EF＝ BC.
所以DG∥EF，DG＝EF.
所以四边形DEFG是平行四边形.
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（2） 若OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长.
（2） 因为∠OBC和∠OCB互余，
所以∠OBC＋∠OCB＝90°.
所以∠BOC＝90°.
因为M为EF的中点，OM＝3，
所以EF＝2OM＝6.
由（1）知，DG＝EF，
所以DG＝6.
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11. 新考法 新定义题 定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，
MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角
形，则称M，N是线段AB的勾股分割点.
（1） 已知M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM. 若AM
＝2，MN＝3，求BN的长.
（第11题）
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（1） 因为M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM
＝2，MN＝3，
所以BN2＝MN2＋AM2＝9＋4＝13.
所以BN＝ .
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（2） 如图②，若F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC的中点，
D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：M，N是线
段FG的勾股分割点.
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（2） 因为F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC的中点，
所以BD＝2FM，DE＝2MN，EC＝2NG，FM∥BD，MN∥DE，
NG∥EC.
所以F，M，N，G四点共线.
因为D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，
所以EC2＝DE2＋BD2.
所以4NG2＝4MN2＋4FM2.
所以NG2＝MN2＋FM2.
所以M，N是线段FG的勾股分割点.
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11(共21张PPT)
4.2 平行四边形及其性质
第3课时 平行四边形的对角线性质
第4章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 杭州期中）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，则下列结论中，一定正确的是（ B ）
A. AD＝BD B. OA＝OC
C. AB⊥BD D. ∠BAC＝∠DAC
（第1题）
B
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2. （2025 金华兰溪期末）如图，O是 ABCD的对角线的交点，若△OAD的周长为50，BD＝32，AC＝24，则BC的长为（ C ）
A. 18 B. 20 C. 22 D. 26
（第2题）
C
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，对角线BD与AC交于点O，
BD＝32，AC＝24，所以AD＝BC，OD＝OB＝ BD＝16，OA＝
OC＝ AC＝12.因为△OAD的周长为50，所以AD＋OD＋OA＝50.所
以BC＋16＋12＝50.所以BC＝22.
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3. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E.
若AB＝3，AO＝2，BC＝5，则AE的长为 .
（第3题）
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝2AO＝2×2＝4.因
为AB＝3，AC＝4，BC＝5，所以AB2＋AC2＝BC2.所以△ABC是直
角三角形，且∠BAC＝90°.所以S△ABC＝ AB AC＝ ×3×4＝6.因
为AE⊥BC，所以S△ABC＝ BC AE，即6＝ ×5AE. 所以AE＝ .
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4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，
∠1＝∠2.求证：AE＝CF.
（第4题）
如图，连结BD，交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD.
又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以△DOE≌△BOF.
所以OE＝OF.
所以OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
（第4题）
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5. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC＝90°，AC
＝6，BD＝10，则CD的长为（ C ）
A. B. 8
C. 4 D. 2
（第5题）
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BO＝DO＝ BD＝5，
AO＝CO＝ AC＝3，AB＝CD. 在△ABO中，因为∠BAO＝90°，
所以AB＝ ＝4.所以CD＝4.
C
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6. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若BD＋AC＝
18 cm，CD∶DA＝2∶3，△AOB的周长为13 cm，则BC的长为（ ）
A. 6 cm B. 9 cm
C. 3 cm D. 12 cm
（第6题）
A
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC，
OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD. 所以OA＋OB＝ （AC＋BD）
＝ ×18＝9（cm）.因为△AOB的周长为13 cm，所以AB＝CD＝13
－9＝4（cm）.又因为CD∶DA＝2∶3，所以BC＝AD＝6 cm.
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7. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点
E，CF⊥BD于点F，则图中全等的三角形共有（ C ）
A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对
（第7题）
解析：由题意，得OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，可
证得△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB，
△AOB≌△COD. 又由AE⊥BD，CF⊥BD，可证得
△AOE≌△COF，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF.
C
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8. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝
12，E，F分别为BO，CO上的点，且BE＝CF，连结AE，DF，则
△ABE与△CDF的面积之比为（ B ）
A. 3∶2 B. 2∶3 C. 1∶1 D. 4∶3
（第8题）
B
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解析：分别过点A，D作AM⊥BD于点M，DN⊥AC于点N. 因为四
边形ABCD是平行四边形，AC＝8，BD＝12，所以OA＝OC＝ AC
＝4，OB＝OD＝ BD＝6.所以S△COD＝S△AOD＝S△AOB. 所以
OC DN＝ OB AM，即 ×4DN＝ ×6AM. 所以DN＝ AM. 因为
BE＝CF，S△ABE＝ BE AM，S△CDF＝ CF DN，所以 ＝
＝ ＝ .所以△ABE与△CDF的面积之比为2∶3.
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9. 如图，O是 ABCD的对角线的交点，过点O作OE⊥BD，交AD于
点E，连结BE. 若∠DBC＝20°，则∠EBD＝ 20° .
（第9题）
解析：因为O是 ABCD的对角线的交点，所以OB＝OD. 因为
OE⊥BD，所以BE＝DE. 所以∠EBD＝∠EDB. 因为四边形ABCD
是平行四边形，所以AD∥BC. 所以∠EDB＝∠DBC＝20°.所以
∠EBD＝20°.
20°
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10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为边AB上一
动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长的最小值为 4 .
（第10题）
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解析：设AC与PQ交于点O. 因为四边形PAQC是平行四
边形，所以AO＝CO＝ AC＝4，PQ＝2OP. 所以当OP
最短时，PQ最短.如图，过点O作OP′⊥AB于点P′.因为
∠BAC＝45°，所以△AP′O是等腰直角三角形.所以易得
2OP′2＝16，解得OP′＝2 （负值舍去）.所以PQ长的最
小值为2OP′＝4 .
（第10题）
（第10题）
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11. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在
CA，AC的延长线上，且AF＝CE. 试判断BE与DF之间的数量关系和
位置关系，并说明理由.
（第11题）
BE＝DF，BE∥DF.
理由：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD.
因为AF＝CE，
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所以AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.
在△BEO和△DFO中，
所以△BEO≌△DFO.
所以BE＝DF，∠E＝∠F.
所以BE∥DF.
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12. ★如图①，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直
线EF分别交边AD，BC于点E，F，则易证OE＝OF.
（1） 如图②，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的
直线EF分别交边BA，DC的延长线于点E，F，求证：OE＝OF.
（第12题）
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（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，OA＝OC.
所以∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F.
在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF.
所以OE＝OF.
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（2） 如图③，在（1）的条件下，连结DE，BF，其他条件不变.若
AB＝2AE，△AOE的面积为1，求四边形BEDF的面积.
（第12题）
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（2） 因为AB＝2AE，
所以S△AOB＝2S△AOE＝2.
所以S△BOE＝3.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OB＝OD.
所以S△DOE＝S△BOE＝3.
所以S△BED＝6.
由（1）知，△AOE≌△COF，
所以S△COF＝S△AOE＝1.
同理，可得S△BFD＝6.
所以S四边形BEDF＝12.
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过平行四边形对角线交点的直线的特点
（1） 过平行四边形对角线交点的直线与平行四边形的对边所在的
直线相交所得到的新线段被平行四边形对角线的交点平分.
（2） 过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积.
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