(共27张PPT)
专题特训九 利用特殊四边形的性质解决折叠问题
第5章 特殊平行四边形
类型一 矩形中的折叠问题
1. 如图，数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1） 对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片
展平；（2） 再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，
得到折痕BM，同时得到线段BN，则∠ABM的度数是（ B ）
（第1题）
A. 25° B. 30° C. 36° D. 45°
B
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解析：如图，连结AN. 由题意，得EF垂直平分AB，∠ABM＝∠NBM，所以AN＝BN. 由折叠的性质，得AB＝BN. 所以AN＝AB＝BN. 所以△ABN为等边三角形.所以∠ABN＝60°.所以∠ABM＝∠NBM＝ ∠ABN＝30°.
（第1题）
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2. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝17，E为边CD上一点，
将矩形纸片ABCD沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则DE
的长为 .
（第2题）
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解析：在矩形纸片ABCD中，BC＝AD＝17，AB＝CD＝8，∠B＝
∠C＝∠ADC＝90°.因为矩形纸片ABCD沿AE折叠，BC的对应边
B′C′恰好经过点D，所以AB＝AB′＝8，BC＝B′C′＝17，CE＝
C′E，∠B′＝∠B＝90°，∠C′＝∠C＝90°.所以B′D＝
＝ ＝15.所以C′D＝B′C′－B′D＝17－15＝
2.因为C′E＝CE＝CD－DE＝8－DE，DE2＝C′D2＋C′E2，所以
DE2＝22＋（8－DE）2，解得DE＝ .
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3. ★如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P
处，折痕为EF.
（1） 求证：△PDE≌△CDF.
（第3题）
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（1） 因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD.
由折叠的性质，得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝
90°.
所以PD＝CD，∠P＝∠C＝∠PDF＝∠ADC＝90°.
所以∠PDF－∠EDF＝∠ADC－∠EDF，即∠PDE＝∠CDF.
在△PDE和△CDF中，
所以△PDE≌△CDF.
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（2） 若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长.
（2） 如图，过点E作EG⊥BC于点G，则∠EGF＝90°.
所以易得四边形CDEG为矩形.
所以EG＝CD＝4 cm.
在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG＝ ＝3（cm）.
设CF＝x cm.
由折叠的性质及（1）知，AE＝PE，△PDE≌△CDF，
所以PE＝CF＝AE＝x cm.
（第3题）
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因为易得四边形ABGE为矩形，
所以BG＝AE＝x cm.
所以由折叠的性质，得DF＝BF＝（x＋3）cm.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2＝CD2＋CF2，即（x＋3）2＝42
＋x2，解得x＝ .
所以BG＝CF＝ cm.
所以BC＝BG＋GF＋CF＝ ＋3＋ ＝ （cm）.
（第3题）
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解决矩形折叠问题的方法
（1） 由折叠的性质知，折叠前后的对应部分能够完全重合，且对
应线段相等、对应角相等.
（2） 这类问题往往可以通过折叠的性质将对应线段或对应角转换
到同一个直角三角形中，利用勾股定理来求解.
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4. 如图所示为一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将纸片沿CE折
叠，使点B落在对角线AC上，记为点F.
（1） 若AB＝4，BC＝3，求AE的长.
（第4题）
（1） 因为四边形ABCD是矩形，
所以∠B＝90°.
因为AB＝4，BC＝3，
所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝
＝5.
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由折叠知，FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE.
所以∠AFE＝90°，AF＝AC－FC＝5－3＝2.
设AE＝x，则FE＝BE＝4－x.
在Rt△AFE中，由勾股定理，得AF2＋FE2＝AE2，即22＋（4－x）2
＝x2，解得x＝ .
所以AE的长为 .
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（2） 连结DF. 若点D，F，E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长.
（2） 因为四边形ABCD为矩形，
所以AD＝BC，DC∥AB.
所以∠DCE＝∠BEC.
由折叠知，FC＝BC，∠BEC＝∠FEC，
所以FC＝AD，∠DCE＝∠FEC.
又因为点D，F，E在同一条直线上，
所以CD＝DE.
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因为∠EFC＝∠B＝90°，
所以∠DFC＝90°.
所以∠DFC＝∠DAE＝90°.
在Rt△CDF和Rt△DEA中，
所以 Rt△CDF≌Rt△DEA.
所以FD＝AE.
因为DF＝2，
所以AE＝2.
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类型二 菱形中的折叠问题
5. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点D落在点M处，折痕为AN，且
AM经过点C. 若此时CM＝CN，则∠D的度数为（ D ）
A. 30° B. 54° C. 45° D. 36°
（第5题）
D
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解析：因为四边形ABCD为菱形，所以AD＝CD. 所以∠ACD＝
∠CAD. 根据折叠的性质可知，∠M＝∠D. 因为CM＝CN，所以
∠M＝∠CNM. 因为∠ACD＝∠M＋∠CNM，所以∠ACD＝2∠D.
所以∠ACD＝∠CAD＝2∠D. 因为∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°，
所以2∠D＋2∠D＋∠D＝180°，即5∠D＝180°.所以∠D＝36°.
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6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝
8，沿过点O的直线折叠菱形，使点B落在点H处，点C落在点G处，
EF是折痕.若HE＝1.5，则CF的长为 3.5 .
（第6题）
3.5
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解析：因为O为菱形ABCD的对角线的交点，所以AB∥CD，OC＝
AC＝3，OB＝OD＝ BD＝4，∠COD＝90°.在Rt△COD中，CD＝
＝ ＝5.因为AB∥CD，所以∠EBO＝∠FDO.
在△OBE和△ODF中， 所以△OBE≌△ODF. 所
以BE＝DF. 由折叠的性质，得BE＝HE＝1.5.所以DF＝BE＝1.5.
所以CF＝CD－DF＝3.5.
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7. 如图，将菱形ABCD沿着EF，GH折叠后，点B，D均落在对角线
BD上的点M处.求证：四边形AEMG是平行四边形.
（第7题）
由折叠知，EM＝EB.
所以∠EMB＝∠EBM.
所以∠AEM＝∠EMB＋∠EBM＝2∠EBM.
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因为四边形ABCD是菱形，
所以AD∥BC，∠EBF＝2∠EBM.
所以∠AEM＝∠EBF.
所以EM∥BF.
又因为AG∥BF，
所以AG∥EM.
同理，可得AE∥MG.
所以四边形AEMG是平行四边形.
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类型三 正方形中的折叠问题
8. 如图，在正方形纸片ABCD中，点M，N分别是BC，AD上的点，
将该正方形纸片沿直线MN折叠，使点B落在CD的中点E处.若AB＝
4，则△CEM的面积是 .
（第8题）
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解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝CD＝4，∠C＝
90°. 由折叠的性质知，BM＝EM. 设BM＝EM＝x，则CM＝BC－
BM＝4－x.因为E是CD的中点，所以CE＝ CD＝2.在Rt△CEM
中，由勾股定理，得CE2＋CM2＝EM2，所以22＋（4－x）2＝x2，解
得x＝ .所以4－x＝ ，即CM＝ .所以△CEM的面积是 CM CE＝
× ×2＝ .
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9. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝2，CE＝4，
将正方形沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交DC于点G，连结
AG，FC.
（1） 求∠EAG的度数.
（第9题）
（1） 因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝AD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°.
由折叠可知，AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，∠BAE＝∠EAF.
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所以∠AFG＝∠ADG＝90°，AF＝AD.
在Rt△AGF和Rt△AGD中，
所以 Rt△AGF≌Rt△AGD.
所以∠GAF＝∠GAD.
所以∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝ （∠BAF＋∠DAF）＝ ∠BAD
＝45°.
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（2） 判断CF与AG之间的位置关系，并说明理由.
（2） CF∥AG.
理由：连结DF. 设GD＝x.
由（1）知，Rt△AGF≌Rt△AGD，
所以GF＝GD＝x.
由题意知，EF＝BE＝2，CD＝BC＝BE＋CE＝2＋4＝6.
所以CG＝CD－GD＝6－x.
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在Rt△ECG中，由勾股定理，得EG2＝EC2＋CG2，
所以（2＋x）2＝42＋（6－x）2，解得x＝3.
所以GF＝GD＝3.
所以CG＝3.
所以GF＝GD＝CG.
所以∠GFC＝∠GCF，∠GDF＝∠GFD.
所以易得∠DFC＝90°.
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所以CF⊥DF.
由（1）知，AD＝AF.
又因为GD＝GF，
所以易得AG⊥DF.
所以CF∥AG.
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9(共25张PPT)
专题特训十 利用特殊四边形的性质解决动点问题
第5章 特殊平行四边形
类型一 矩形与动点
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，点E在线段AD上，且AE＝
6 cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2 cm/s的速度向点B运动，同
时点Q在线段BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与
△PBQ全等时，v的值为（ D ）
A. 2 B. 4
C. 4或 D. 2或
（第1题）
D
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解析：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况.① 当EA＝PB时，
△APE≌△BQP. 因为AB＝10 cm，AE＝6 cm，所以BP＝AE＝
6 cm，则AP＝AB－BP＝10－6＝4（cm）.所以BQ＝AP＝4 cm.因为
动点P在线段AB上，从点A出发以2 cm/s的速度向点B运动，所以点P
和点Q的运动时间为4÷2＝2（s）.所以v＝4÷2＝2.② 当AP＝BP
时，△AEP≌△BQP. 因为AB＝10 cm，AE＝6 cm，所以AP＝BP＝
AB＝5 cm，BQ＝AE＝6 cm.因为5÷2＝2.5（s），所以2.5v＝6，
解得v＝ .综上所述，v的值为2或 .
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2. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，G是边AB上的一个动
点，E，F分别是DG，CG的中点，连结AE，EF，BF，则AE＋BF
＋EF的最小值为（ B ）
A. 4 B. 2 ＋2
C. ＋3 D. 5
（第2题）
B
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解析：因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD＝4，∠ADC＝∠DAG＝∠CBG＝90°.因为E，F分别是DG，CG的中点，所以EF＝ CD＝ AB＝2，AE＝ GD，BF＝ GC. 所以AE＋BF＋EF＝ （GD＋GC）＋2. 如图，作点D关于AB的对称点H，连结HC
交AB于点G′，连结DG′，所以AH＝AD＝2.所以DH
＝4.易得GD＋GC的最小值即为HC的长.在Rt△HDC
中，HC＝ ＝ ＝4 .所以AE＋
BF＋EF的最小值为 ×4 ＋2＝2 ＋2.
（第2题）
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3. 分类讨论思想 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD
相交于点O，E是边AD上的一个动点（异于A，D两点），连结EO.
若△DOE为直角三角形，则DE的长为 2或 .
2或
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解析：如图①，当∠OED＝90°时，因为四边形ABCD为矩形，所以
AO＝DO. 又∠OED＝90°，所以OE⊥AD. 所以DE＝ AD＝2.如
图②，当∠EOD＝90°时，取AD的中点G，连结OG. 因为四边形
ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，G为AD的中点，所以∠BAD＝
90°，GD＝ AD＝2，OD＝ BD，OA＝
OD. 所以OG＝ AB＝1，BD＝
＝ ＝2 .
（第3题）
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所以OD＝ BD＝ .因为OA＝OD，G为AD的中点，所以
OG⊥AD. 设EG＝x，则在Rt△OGE中，OE＝ ＝
.在Rt△DOE中，DE2＝OE2＋OD2，即（2＋x）2＝x2＋1＋
5，解得x＝ .所以DE＝GD＋EG＝2＋ ＝ .综上所述，若△DOE
为直角三角形，则DE的长为2或 .
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4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发
以每秒1 cm的速度向点D运动，点Q从点C出发以每秒4 cm的速度在
B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同
时停止运动，当运动时间为 2.4 s或4 s或7.2 s 时，以P，Q，C，D
为顶点的四边形是矩形.
（第4题）
2.4 s或4 s或7.2 s
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解析：根据题意可知，点P向点D运动的过程中，点Q的运动路径为
C→B→C→B→C. 设当运动时间为t s时，以P，Q，C，D为顶点
的四边形是矩形.因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，∠D＝
90°.所以PD∥CQ.若PD＝CQ，则以P，Q，C，D为顶点的四边形是矩形.由题意，得PD＝（12－t）cm.当0≤t≤3时，CQ＝4t cm，则12－t＝4t，解得t＝2.4；当3＜t≤6时，CQ＝（24－4t）cm，则12－t＝24－4t，解得t＝4；当6＜t≤9时，CQ＝（4t－24）cm，则12－t＝4t－24，解得t＝7.2；当9＜t≤12时，CQ＝（48－4t）cm，则12－t＝48－4t，解得t＝12，此时PQ与DC重合，故舍去.综上所述，当运动时间为2.4 s或4 s或7.2 s时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是矩形.
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5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E，F是对角线
AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为
2 cm/s，运动时间为t s（0≤t≤5，且t≠2.5），G，H分别是AB，
DC的中点.当t的值是多少时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩
形？
（第5题）
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如图，连结GH.
因为四边形ABCD是矩形，
所以AB＝CD，AB∥CD，∠B＝90°.
所以∠GAF＝∠HCE.
因为G，H分别是AB，DC的中点，
所以易得AG＝CH.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝10 cm.
因为E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相
向而行，速度均为2 cm/s，所以AE＝CF.
（第5题）
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分两种情况讨论.
① 当0≤t＜2.5时，AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△AFG和△CEH中，
所以△AFG≌△CEH.
所以GF＝HE.
在△AGE和△CHF中，
所以△AGE≌△CHF.
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所以GE＝HF.
所以四边形EGFH是平行四边形.
由题意，易得GH＝BC＝8 cm.
所以当EF＝GH＝8 cm时，四边形EGFH是矩形.
易知EF＝（10－4t）cm，
即10－4t＝8，解得t＝0.5.
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② 当2.5＜t≤5时，同理，可证得四边形EGFH是平行四边形.
所以当EF＝GH＝8 cm时，四边形EGFH是矩形.
易知EF＝（4t－10）cm，
即4t－10＝8，解得t＝4.5.
综上所述，当t＝0.5或4.5时，以E，G，F，H为顶点的四边形是
矩形.
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类型二 菱形与动点
6. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B－
C－D的方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中，依
次出现的特殊三角形是（ C ）
A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
（第6题）
C
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解析：连结AC. 因为∠B＝60°，所以易得△ABC与△ACD均为等边
三角形.当P为BC的中点时，△ABP为直角三角形；当点P到达点C
时，△ABP为等边三角形；当P为CD的中点时，△ABP为直角三角
形；当点P与点D重合时，△ABP为等腰三角形.
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7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5 cm，∠ADC＝120°，点E，F分别
从A，C两点同时出发，沿AB，CB方向向点B匀速运动（当任一点到
达点B时，两点均停止运动），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为
2 cm/s，经过t s，△DEF是等边三角形，求t的值.
（第7题）
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连结BD.
因为四边形ABCD是菱形，
所以BC＝AB＝AD＝5 cm，∠ADC＝∠ABC＝120°.
所以易得∠ADB＝∠DBF＝60°.
所以△ABD是等边三角形.
所以∠A＝60°，AD＝BD.
所以∠A＝∠DBF.
因为△DEF是等边三角形，
所以∠EDF＝60°.
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因为∠ADB＝∠EDF＝60°，
所以易得∠ADE＝∠BDF.
在△ADE和△BDF中，
所以△ADE≌△BDF.
所以AE＝BF.
由题意，可得AE＝t cm，CF＝2t cm，
所以BF＝BC－CF＝（5－2t）cm.
所以t＝5－2t，解得t＝ .
所以t的值为 .
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类型三 正方形与动点
8. 新考法 探究题 在正方形ABCD中，AB＝6，E，F分别是边BC，
AB上的动点，以DF，EF为邻边作 EFDG.
（1） 如图①，连结AE，若AF＝BE，试写出AE与EG之间的关系，
并说明理由.
（第8题）
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（1） AE＝EG且AE⊥EG.
理由：因为四边形ABCD是正方形，
所以AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°.
在△ADF和△BAE中，
所以△ADF≌△BAE.
所以DF＝AE，∠ADF＝∠BAE.
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因为∠ADF＋∠AFD＝90°，
所以∠BAE＋∠AFD＝90°.
所以AE⊥DF.
因为四边形EFDG是平行四边形，
所以DF＝EG，DF∥EG.
所以AE＝EG，AE⊥EG.
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（2） 如图②，若E为BC的中点，点F在边AB上是否存在某个位置，
使得四边形EFDG为菱形？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明
理由.
（2） 存在.
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝6.
因为E为BC的中点，
所以BE＝ BC＝3.
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若四边形EFDG为菱形，
则EF＝DF.
所以EF2＝DF2.
在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF2＝BE2＋BF2；
在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2＝AF2＋AD2.
所以BE2＋BF2＝AF2＋AD2，
即32＋（6－AF）2＝AF2＋62，
解得AF＝ .
所以当AF＝ 时，四边形EFDG为菱形.
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8(共24张PPT)
5.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
第5章 特殊平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，
不能判定 ABCD是菱形的为（ C ）
A. AC⊥BD B. AB＝BC
C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
（第1题）
C
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11
2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，则下列条件
能够判定四边形ABCD是菱形的为（ A ）
A. AB＝BC B. AC＝BC
C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60°
（第2题）
A
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3. 如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都
在格点（网格线的交点）上.若每个小正方形的边长均为1，则AB
＝ ，BC＝ ，CD＝ ，AD＝ .根
据 四边相等的四边形是菱形 ，
可以判定四边形ABCD 的形状是 菱形 .
（第3题）
四边相等的四边形是菱形
菱形
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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线
AD上，且DE＝DF. 求证：四边形BECF是菱形.
（第4题）
因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC，BD＝CD.
因为DE＝DF，
所以四边形BECF是平行四边形.
因为AD⊥BC，即EF⊥BC，
所以四边形BECF是菱形.
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5. 如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的
中点，M，N分别是AC，BD的中点.若四边形EMFN是菱形，则原四
边形ABCD应满足的条件是（ A ）
A. AB＝CD B. AB⊥CD
C. AC＝BD D. AC⊥BD
（第5题）
A
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解析：因为E，F，M，N分别是AD，BC，AC，BD的中点，所以
AE＝DE，BF＝CF，AM＝CM，BN＝DN. 所以EN，NF，
FM，EM分别为△ABD，△BCD，△ABC，△ACD的中位线.所以
EN＝FM＝ AB，FN＝EM＝ CD. 所以四边形EMFN为平行四边
形.当EN＝FN，即AB＝CD时，四边形EMFN是菱形.
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6. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点.若
AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积
为（ B ）
A. 40 B. 24
C. 20 D. 15
（第6题）
B
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解析：因为AB＝AD＝5，O是BD的中点，所以∠BAO＝∠DAO. 因
为∠ABD＝∠CDB，所以AB∥CD. 所以∠BAC＝∠ACD. 所以
∠DAC＝∠ACD. 所以AD＝CD. 所以AB＝CD. 所以四边形ABCD
是平行四边形.因为AB＝AD，所以 ABCD是菱形.所以AC⊥BD，
AC＝2AO，BO＝ BD＝4.所以在Rt△AOB中，AO＝
＝3.所以AC＝2AO＝6.所以四边形ABCD的面积为 AC BD＝
×6×8＝24.
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7. 如图，过 ABCD的顶点B作边AD和CD上的高，垂足分别为M，
N，连结AC，BD，MN. 若BM＝BN，则下列说法中，错误的
是（ D ）
A. ∠MBN＝∠BAD
B. MN∥AC
C. 四边形ABCD为菱形
D. △ABD是等边三角形
（第7题）
D
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解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠BAD＝
∠BCD. 所以∠BAD＋∠ADC＝180°.因为BM⊥AD于点M，
BN⊥CD于点N，所以∠AMB＝∠BMD＝∠BND＝∠CNB＝90°.
所以∠MBN＋∠ADC＝360°－∠BMD－∠BND＝360°－90°－
90°＝180°.所以∠MBN＝∠BAD. 故A正确，不符合题意.在
△AMB和△CNB中， 所以
△AMB≌△CNB. 所以AB＝CB，AM＝CN. 所以四边形ABCD为菱
形.所以AD＝CD，DB⊥AC. 所以DB平分∠ADC. 因为AD－AM＝
CD－CN，所以DM＝DN. 所以DB⊥MN. 所以MN∥AC. 故B正
确，不符合题意；C正确，不符合题意.△ABD是等腰三角形，但不一
定是等边三角形.故D错误，符合题意.
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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边
AB上一点，连结CD，以CD，CB为边作 CDEB，则当AD＝
时，四边形CDEB为菱形.
（第8题）
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解析：如图，连结CE，交AB于点O. 因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，所以AB＝ ＝5.当四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB. 因为S△ABC＝ AB OC＝ AC BC，所以OC＝ ＝ ＝ .所以在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB＝ ＝ ＝ .所以AD＝AB－2OB＝
5－2× ＝ .
（第8题）
（第8题）
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9. 如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：
（1） △ABE≌△CDF.
（第9题）
（1） 因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝CD，AB∥CD.
所以∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF.
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（2） 四边形BEDF是菱形.
（2） 如图，连结BD，交AC于点O.
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO.
因为AE＝CF，
所以AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
所以四边形BEDF是平行四边形.
又因为BD⊥EF，
所以四边形BEDF是菱形.
（第9题）
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10. ★如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD，O是
四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD. 求证：
（1） ∠BOD＝∠BCD.
（第10题）
（1） 如图，延长AO，交CD于点E.
因为OA＝OB，
所以∠BAO＝∠ABO.
又因为∠BOE＝∠BAO＋∠ABO，
所以∠BOE＝2∠BAO.
（第10题）
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同理，可得∠DOE＝2∠DAO.
所以∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2（∠BAO＋
∠DAO），即∠BOD＝2∠BAD.
又因为∠BCD＝2∠BAD，
所以∠BOD＝∠BCD.
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（2） 四边形OBCD是菱形.
（2） 如图，连结OC.
在△OBC和△ODC中，
所以△OBC≌△ODC.
所以∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
所以∠BOC＝ ∠BOD，∠BCO＝ ∠BCD.
（第10题）
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又因为∠BOD＝∠BCD，
所以∠BOC＝∠BCO.
所以BO＝BC.
又因为OB＝OD，BC＝CD，
所以OB＝BC＝CD＝OD.
所以四边形OBCD是菱形.
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判定一个四边形为菱形的方法
（1） 用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对
角线互相垂直或直接证明四边形的对角线互相垂直且平分.
（2） 用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻
边相等或直接证明四边形的四条边都相等.
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11. 如图①，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使
PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连结CD，E，F，G，H分
别是AC，AB，BD，CD的中点，连结EF，FG，GH，HE，EG，
HF.
（1） 直接写出EG与HF的位置关系.
（1） EG与HF互相垂直平分.
（第11题）
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（2） 如图②，当点P在线段AB的上方时，在△APB的外部作△APC
和△BPD，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（2） 成立.
理由：如图，连结AD，BC.
因为∠APC＝∠BPD，
所以∠APC＋∠CPD＝∠BPD＋∠CPD，即∠APD＝∠CPB.
（第11题）
在△APD和△CPB中，
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所以△APD≌△CPB.
所以AD＝CB.
因为E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，
所以EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△ABD，△BCD，△ACD
的中位线.
所以EF＝GH＝ CB，HE＝FG＝ AD.
所以EF＝FG＝GH＝HE.
所以四边形EFGH是菱形.
所以EG与HF互相垂直平分.
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5.3 正 方 形
第1课时 正方形的判定
第5章 特殊平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O. 有下列
条件：① ∠BAO＋∠ABO＝90°；② ∠BAO＝∠ABO；③ AB＝
BC；④ AC＝2OD. 其中，能使菱形ABCD为正方形的是（ C ）
A. ①③ B. ②③
C. ②④ D. ①②③
（第1题）
C
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2. 在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，∠B＝∠D. 如果添加
一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A. ∠D＝90° B. AB＝CD
C. BC＝CD D. AC＝BD
C
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3. 如图所示为一张矩形纸片ABCD，小明把矩形纸片的一个角沿折痕
AE翻折上去，使AB与边AD上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正
方形，他的判定依据是 有一组邻边相等的矩形是正方形 .
（第3题）
有一组邻边相等的矩形是正方形
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4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对
角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形.
（第4题）
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
因为BE＝DF，
所以OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.
所以四边形AECF是平行四边形.
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因为AC⊥BD，即AC⊥EF，
所以四边形AECF是菱形.
因为OE＝OA＝OF，
所以OE＝OF＝OA＝OC.
所以EF＝AC.
所以四边形AECF是正方形.
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5. 如图，一个四边形添加条件后可以得到正方形，数学课上老师给出
了下列四个条件：a：两组对边分别相等；b：一组对边平行且相等；
c：一组邻边相等；d：一个角是直角.有三名同学给出了不同的组合方
案：① a，c，d；② b，c，d；③ a，b，c.其中，能得到正方形的
是（ C ）
A. ① B. ③ C. ①② D. ②③
（第5题）
C
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6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E，F分别是AD，BC的中
点，连结AF与BE，CE与DF分别交于点M，N，连结EF，则图中正
方形的个数是（ D ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
（第6题）
D
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别在边AB，AC
上，连结CD，BE，DE，分别取DE，BE，BC，CD的中点F，G，
H，I，则要使四边形FGHI是正方形，需满足的条件是（ C ）
A. CD＝BE B. CD⊥BE
C. BD＝CE D. AB＝AC
（第7题）
C
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解析：因为F，G，H，I分别是DE，BE，BC，CD的中点，所以
FG∥BD，FG＝ BD，HI∥BD，HI＝ BD. 所以FG∥HI，FG
＝HI. 所以四边形FGHI是平行四边形.同理，可得FI∥CE，FI＝
CE. 因为∠BAC＝90°，所以BD⊥CE. 所以HI⊥FI. 所以四边形
FGHI是矩形.当BD＝CE时，FG＝FI，则四边形FGHI是正方形.
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8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于
点O. 关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三名同学的说法如下.
甲：若添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
乙：若添加“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形；
丙：若添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形.
其中，说法正确的同学是 甲、丙 .
甲、丙
（第8题）
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解析：因为AB＝AD，BC＝DC，所以AC垂直平分BD. 若添加
“AB∥CD”，则∠ABO＝∠BDC. 因为BC＝DC，所以∠BDC＝
∠CBO. 所以∠ABO＝∠CBO. 在△ABO和△CBO中，
所以△ABO≌△CBO. 所以BA＝BC. 所
以AB＝BC＝CD＝DA. 所以四边形ABCD是菱形.故甲同学的说法正
确.若添加“∠BAD＝90°”，无法证明四边形ABCD是矩形，故乙同
学的说法错误.
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若添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则∠ABC＋∠BCD＝180°，所
以AB∥CD. 由证明甲同学的说法可知，四边形ABCD是菱形.因为
∠ABC＝90°，所以四边形ABCD是正方形.故丙同学的说法正确.综
上所述，说法正确的同学是甲、丙.
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9. 新考法 探究题 如图，在 ABCD中，分别延长BA，DC到点E，
H，使得BE＝2AB，DH＝2CD，连结EH，分别交AD，BC于点F，
G，连结BD，交EH于点O.
（1） 求证：AF＝CG.
（第9题）
（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD.
所以∠AEF＝∠CHG.
因为BE＝2AB，DH＝2CD，
所以BE＝DH.
所以AE＝ BE＝ DH＝CH.
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因为∠BAD＋∠EAF＝180°，
∠BCD＋∠HCG＝180°，
所以∠EAF＝∠HCG.
在△EAF和△HCG中，
所以△EAF≌△HCG.
所以AF＝CG.
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（2） 若EH⊥BD，则当AB与AD满足什么数量关系时，四边形BEDH
是正方形？请说明理由.
（2） 当AD＝ AB时，四边形BEDH是正方形.
理由：由（1），易知BE∥DH，BE＝DH，
所以四边形BEDH是平行四边形.
因为EH⊥BD，
所以四边形BEDH是菱形.
所以DE＝BE＝2AB.
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因为AE＝ BE，
所以AE＝AB.
所以AE2＋DE2＝AB2＋（2AB）2＝5AB2.
因为AD2＝（ AB）2＝5AB2，
所以AE2＋DE2＝AD2.
所以∠BED＝90°.
所以四边形BEDH是正方形.
所以当AD＝ AB时，四边形BEDH是正方形.
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10. ★（1） 如图①，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，
AD⊥BC于点D，将△ABC沿AD剪开，并分别以AB，AC所在直线为
轴翻转，E，F是点D的对应点，得到△ABE和△ACF （均与△ABC
在同一平面内），延长EB，FC相交于点G. 求证：四边形AEGF是
正方形.
（第10题）
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（1） 因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝22.5°，∠ADB＝∠ADC＝90°.
因为△ABD翻转得到△ABE，
所以△ABE≌△ABD.
所以AE＝AD，∠E＝∠ADB＝90°，∠BAE＝∠BAD.
所以∠DAE＝2∠BAD＝45°.
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同理，可得AF＝AD，∠F＝90°，∠DAF＝45°，
所以AE＝AF，∠EAF＝∠DAE＋∠DAF＝90°.
所以∠E＝∠F＝∠EAF＝90°.
所以四边形AEGF是矩形.
又因为AE＝AF，
所以四边形AEGF是正方形.
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（2） 如图②，如果（1）中AB≠AC，其他条件不变，那么四边形
AEGF是否仍为正方形？请说明理由.
（2） 四边形AEGF仍是正方形.
理由：由（1）可知，∠BAE＋∠CAF＝∠BAC＝45°，∠E＝∠F
＝90°，AE＝AF，
所以∠EAF＝90°.
所以∠E＝∠F＝∠EAF＝90°.
所以四边形AEGF是矩形.
又因为AE＝AF，
所以四边形AEGF是正方形.
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（3） 在（2）中，若BD＝2，CD＝3，求AD的长.
（3） 设AD＝x，则AE＝EG＝FG＝x，
易得BG＝x－2，CG＝x－3.
因为在Rt△BCG中，BG2＋CG2＝BC2，
所以（x－2）2＋（x－3）2＝（2＋3）2，解得x1＝6，x2＝－1（不合
题意，舍去）.
所以AD的长为6.
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证明一个四边形是正方形的方法
要证明一个四边形是正方形，常有以下两种方法：
（1） 先证明这个四边形是矩形，再证明这个矩形有一组邻边相等
或对角线互相垂直.
（2） 先证明这个四边形是菱形，再证明这个菱形有一个内角为直
角或对角线相等.
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10(共47张PPT)
第5章整合拔尖
第5章 特殊平行四边形
01
知识体系构建
02
高频考点突破
目
录
03
综合素能提升
考点一 矩形的性质
典例1 （2025 绍兴柯桥期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC
＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则
DE的长为（ B ）
（典例1图）
B
A. B.
C. D. 8
解析：如图，连结AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F. 因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，OA＝OD＝ BD，∠BAD＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝10，所以OA＝OD＝ BD＝5.所以∠OAD＝∠ADE. 因为∠AOE＝∠OAD＋∠ADE＝2∠ADE，
∠AED＝2∠ADE，所以∠AOE＝∠AED. 所以AE
＝OA＝5.所以△AOE是等腰三角形.
（典例1图）
因为AF⊥BD，所以OF＝EF＝ OE. 所以OE＝2OF. 由三角形的面积公式，得S△ABD＝ BD AF＝ AB AD，所以AF＝ ＝ ＝ .在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF＝ ＝ ＝ ，所以OE＝2OF＝ .所以DE＝OD＋OE＝5＋ ＝ .
［变式］ 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作
OG⊥AC，交AB于点G，连结CG. 若∠BOG＝15°，则∠BCG的度
数是 15 °.
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解析：因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC＝90°，AO＝OC＝
BO＝OD. 所以∠OCB＝∠OBC. 因为AO＝OC，OG⊥AC，所以
GA＝GC，∠GOC＝90°.所以∠GAC＝∠GCA. 因为∠BOG＝
15°，所以∠COB＝∠GOC－∠BOG＝90°－15°＝75°.所以
∠OCB＝∠OBC＝ ×（180°－∠COB）＝ ×（180°－75°）＝
52.5°.所以∠CAB＝180°－∠ABC－∠OCB＝180°－90°－
52.5°＝37.5°.所以∠ACG＝37.5°.所以∠BCG＝∠OCB－
∠ACG＝52.5°－37.5°＝15°.
考点二 矩形的判定
典例2 （2025 北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中
点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形.
（典例2图）
（1） 因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线.
所以DE∥BC.
因为DG＝FC，
所以四边形DFCG是平行四边形.
又因为DF⊥BC，
所以∠DFC＝90°.
所以四边形DFCG是矩形.
（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
（2） 因为DF⊥BC，
所以∠DFB＝90°.
因为∠B＝45°，
所以△BDF是等腰直角三角形.
所以BF＝DF＝3.
因为DG＝FC＝5，
所以BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.
由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
所以DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.
所以EG＝DG－DE＝5－4＝1.
所以CE＝ ＝ ＝ .
因为E为AC的中点，
所以AC＝2CE＝2 .
［变式］ 如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点
E，CF⊥BD于点F，且BE＝CF. 求证：四边形ABCD是矩形.
因为BE⊥AC，CF⊥BD，
所以∠BEO＝∠CFO＝90°.
又因为∠BOE＝∠COF，BE＝CF，
所以△BOE≌△COF.
所以OB＝OC.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BD＝2OB，AC＝2OC.
所以BD＝AC.
所以四边形ABCD是矩形.
考点三 菱形的性质
典例3 （2025 杭州上城三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，E是线段BO上的一点，连结AE，AE＝BE. 若
BE∶DE＝5∶9，AC的长为2 ，则AB的长为（ A ）
（典例3图）
A
A.
B.
C. 5
D. 4
解析：因为BE∶DE＝5∶9，所以设BE＝5x，DE＝9x，则BD＝
14x.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝
，BO＝DO＝ BD＝7x.所以EO＝BO－BE＝2x.因为AE＝
BE＝5x，在Rt△AOE中，AE2＝EO2＋AO2，所以25x2＝4x2＋21，解
得x＝1（负值舍去）.所以BO＝7.所以AB＝ ＝
＝ .
［变式］ 如图，在菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBC＝
84°，则∠ACB＝ 24° .
24°
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB＝BC，∠BAC
＝∠DAC＝ ∠DAB. 所以∠DAB＋∠ABC＝180°，∠BAC＝
∠ACB＝ ∠DAB. 因为EF是AB的垂直平分线，所以FA＝FB. 所以
∠DAB＝∠FBA. 所以∠DAB＋∠ABF＋∠FBC＝180°，即
2∠DAB＋84°＝180°.所以∠DAB＝48°.所以∠ACB＝24°.
考点四 菱形的判定
典例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平
分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于点H，连结
FH. 求证：四边形CFHE是菱形.
（典例4图）
因为AE平分∠BAC，
所以∠CAE＝∠HAE.
因为EH⊥AB于点H，∠ACB＝90°，
所以∠AHE＝∠ACE＝90°.
又因为AE＝AE，
所以△ACE≌△AHE.
所以EC＝EH，AC＝AH.
因为AC＝AH，∠CAF＝∠HAF，AF＝AF，
所以△AFC≌△AFH.
所以FC＝FH.
因为CD⊥AB，∠ACB＝90°，
所以∠DAF＋∠AFD＝∠CAE＋∠AEC＝90°.
又因为∠DAF＝∠CAE，
∠AFD＝∠CFE，
所以∠CFE＝∠CEF.
所以CF＝CE.
所以EC＝EH＝HF＝FC.
所以四边形CFHE是菱形.
［变式］ 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝
2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点A作AF∥BC，连结DE
并延长，交AF于点F，连结FC. 求证：四边形ADCF是菱形.
因为AF∥BC，
所以∠AFE＝∠CDE.
因为E是AC的中点，
所以AE＝CE＝ AC.
因为AC＝2AB，即AB＝ AC，
所以AE＝AB.
在△AEF和△CED中，
所以△AEF≌△CED.
所以AF＝CD.
因为AF∥BC，即AF∥CD，
所以四边形ADCF是平行四边形.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠EAD＝∠BAD.
在△AED和△ABD中，
所以△AED≌△ABD.
所以∠AED＝∠B＝90°.
所以DF⊥AC.
所以四边形ADCF是菱形.
考点五 正方形的判定与性质
典例5 如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线AC上一点，连结
DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩
形DEFG，连结CG. 下列结论中，不正确的是（ B ）
（典例5图）
B
A. 矩形DEFG是正方形
B. ∠CEF＝∠ADE
C. CG平分∠DCH
D. CE＋CG＝
解析：如图，过点E作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°.因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°.所以∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°.所以∠BCA＝∠DCA. 所以EK＝EL. 因为∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，所以四边形EKCL是矩形.因为EF⊥DE，所以∠KEL＝∠FED＝90°.所以∠KEL
－∠FEL＝∠FED－∠FEL，即∠FEK＝∠DEL.
又∠EKF＝∠ELD＝90°，所以△FEK≌△DEL.
所以FE＝DE. 所以矩形DEFG是正方形.故A正确，
不符合题意.
（典例5图）
因为∠EDG＝∠ADC＝90°，所以∠EDG－∠EDC＝∠ADC－∠EDC，即∠CDG＝∠ADE. 又因为CD＝AD，由选项A的分析，可得GD＝ED，所以△CDG≌△ADE. 所以CG＝AE. 所以CE＋CG＝CE＋AE＝AC. 因为∠B＝90°，AB＝CB＝1，所以AC＝ ＝ .所以CE＋CG＝ .故D正确，不符合题意.因为△CDG≌△ADE，所以∠DCG＝∠DAE＝45°.又∠DCH＝180°－∠DCB＝90°，所以∠DCG＝ ∠DCH. 所以CG平分∠DCH.故C正确，不符合题意.因为∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，而∠FEK与∠CEF不一定相等，所以∠CEF与∠ADE不一定相等.故B不正确，符合题意.
［变式］ 如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为边在正方形内部作
等边三角形ABE，过点B作BF⊥BE，交DE的延长线于点F，则EF
的长为 4 .
4
解析：因为四边形ABCD是正方形，且边长为4，所以AD＝AB＝4，
∠DAB＝90°.因为△ABE是等边三角形，所以AE＝BE＝AB＝4，
∠BAE＝∠AEB＝60°.所以∠DAE＝∠DAB－∠BAE＝90°－60°
＝30°，AD＝AE＝4.所以∠AED＝∠ADE＝ （180°－∠DAE）
＝ ×（180°－30°）＝75°.所以∠BEF＝180°－（∠AED＋
∠AEB）＝180°－（75°＋60°）＝45°.因为BF⊥BE，所以
∠EBF＝90°.所以△BEF是等腰直角三角形.所以BF＝BE＝4.所以
EF＝ ＝ ＝4 .
1. （2025 嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，
BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交
BC于点F. 若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的
是（ A ）
A. CF B. BF
C. CE D. OF
（第1题）
A
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3
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5
解析：因为四边形ABCD是矩形，所以OA＝OB＝OC＝OD. 如图，过点O作OM⊥BC于点M，所以BM＝CM. 所以OM＝ CD，CM＝ BC. 设∠OEM＝α.因为OE⊥AC，所以∠OCB＝90°－α.因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝90°－α.因为OF平分∠BOE，所以∠BOF＝ ∠BOE＝ （∠OEM－∠OBC）＝ ［α－（90°－α）］＝ （α－90°＋α）＝α－45°.所以∠OFM＝∠OBC＋∠BOF＝90°－α＋α－45°＝45°.所以FM＝OM＝ CD.所以CF＝FM
＋CM＝ CD＋ BC＝ （CD＋BC）.因为矩形ABCD的
周长为定值，所以线段CF的长度是矩形周长的 ，是定值.
（第1题）
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4
5
2. （2025 嘉兴海宁期末）如图，在菱形ABCD中，O是BD的中点，
AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MC的
长为 .
（第2题）
1
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5
解析：如图，连结AC. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AC过BD的中点O. 所以OA＝OC. 因为AM⊥BC，所以∠AMC＝90°.所以OM＝ AC.因为OM＝OC＝2，所以AC＝4.因为OB＝ BD＝
×8＝4，所以在Rt△BOC中，BC＝ ＝ ＝2 .因为菱形ABCD的面积＝BC AM＝ AC BD，所以AM＝ ＝ ＝ .所以在Rt△AMC中，MC＝ ＝
＝ .
（第2题）
（第2题）
1
2
3
4
5
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD，AE为腰作等
腰三角形ADE，且∠ABC＝∠ADE，连结CE，过点E作EF∥BC，交
CA的延长线于点F，连结BF.
（1） 求证：∠ABC＝∠ECA.
（第3题）
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（1） 因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB.
所以∠BAC＝180°－2∠ABC.
同理，可得∠DAE＝180°－2∠ADE.
因为∠ABC＝∠ADE，
所以∠BAC＝∠DAE.
所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
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因为以AD，AE为腰作等腰三角形ADE，
所以AD＝AE.
在△ABD和△ACE中，
所以△ABD≌△ACE.
所以∠ABC＝∠ECA.
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（2） 若AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形.
（2） 由（1），得∠ABC＝∠ECA，∠ABC＝∠ACB，
△ABD≌△ACE，
所以∠ECF＝∠ACB，BD＝CE.
因为EF∥BC，
所以∠EFC＝∠ACB.
所以∠EFC＝∠ECF.
所以EF＝CE.
所以BD＝EF.
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又因为BD∥EF，
所以四边形FBDE是平行四边形.
因为AF＝AB，
所以∠AFB＝∠ABF.
因为∠AFB＋∠ABF＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB，
所以∠ABF＋∠ABC＝90°，即∠CBF＝90°.
所以四边形FBDE是矩形.
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4. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线
CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连结DE.
（1） 判断四边形OCDE的形状，并说明理由.
（第4题）
（1） 四边形OCDE是菱形.
理由：因为CD∥OE，
所以∠FDC＝∠FOE.
因为直线CE是线段OD的垂直平分线，
所以FD＝FO，ED＝EO，CD＝CO.
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在△FDC和△FOE中，
所以△FDC≌△FOE.
所以CD＝EO.
所以ED＝EO＝CD＝CO.
所以四边形OCDE是菱形.
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（2） 当CD＝4时，求EG的长.
（2） 因为四边形ABCD为矩形，
所以∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO.
由（1）知，CD＝CO，
所以CD＝CO＝DO＝4.
所以△ODC为等边三角形.
所以∠ODC＝60°.
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因为直线CE是线段OD的垂直平分线，所以CE⊥OD.
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，CD＝4，DF＝ OD＝2，
所以CF＝ ＝ ＝2 .
由（1）知，四边形OCDE是菱形，所以EF＝CF＝2 .
因为∠GDF＝∠CDA－∠ODC＝90°－60°＝30°，
所以在Rt△GFD中，GD＝2GF.
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设GF＝x，则GD＝2x.
由勾股定理，得GF2＋DF2＝GD2，即x2＋22＝（2x）2，
解得x＝ （负值舍去）.
所以GF＝ .
所以EG＝EF－GF＝2 － ＝ .
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5. 新考法 探究题 问题情境：
如图①，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B
按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为C）.延长AE
交CE′于点F，连结DE.
猜想证明：
（1） 试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由.
（第5题）
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（1） 四边形BE′FE是正方形.
理由：因为将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′
（点A的对应点为C），
所以BE′＝BE，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°.
因为∠AEB＋∠FEB＝180°，
所以∠FEB＝90°.
所以∠E′＝∠EBE′＝∠FEB＝90°.
所以四边形BE′FE是矩形.
又因为BE′＝BE，
所以四边形 BE′FE是正方形.
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（2） 如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系，并加以
证明.
（2） CF＝FE′.
如图，过点D作DH⊥AE，垂足为H.
因为DA＝DE，DH⊥AE，
所以AH＝ AE，∠DHA＝90°.
所以∠1＋∠3＝90°.
（第5题）
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因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝DA，∠DAB＝90°.
所以∠1＋∠2＝90°.
所以∠2＝∠3.
在△AEB和△DHA中，
所以△AEB≌△DHA.
所以BE＝AH.
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由（1）知，四边形BE′FE是正方形，
所以BE＝E′F.
所以AH＝E′F.
又由旋转可得CE′＝AE，
所以FE′＝ CE′.
所以CF＝FE′.
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5(共31张PPT)
5.3 正 方 形
第2课时 正方形的性质
第5章 特殊平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，连结AE，BE，
则∠AEB的度数是（ B ）
A. 45° B. 30° C. 22.5° D. 15°
（第1题）
B
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2. 如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，PE
＝3，则点P到直线AB的距离为 3 .
（第2题）
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3. 如图，正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD，CE平分∠ACD，
交BD于点E，则DE＝ －1 .
（第3题）
－1
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4. 如图，正方形ABCD的边长为1，连结AC，点E，F分别在边BC，
CD上，∠EAF＝45°且AE＝AF，FM⊥AC于点M.
（1） 求证：BE＝FM.
（第4题）
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（1） 因为四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，
所以∠B＝90°，∠CAB＝∠CAE＋∠EAB＝45°，∠EAF＝
∠CAE＋∠FAM＝45°.
所以∠EAB＝∠FAM.
因为FM⊥AC，
所以∠AMF＝90°.
在△ABE和△AMF中，
所以△ABE≌△AMF.
所以BE＝FM.
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（2） 求BE的长.
（2） 因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝BC＝1，∠B＝90°，∠ACD＝45°.
所以AC＝ ＝ ＝ .
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因为FM⊥AC，
所以∠FMC＝90°.
所以∠CFM＝90°－∠FCM＝90°－45°＝45°.
所以∠CFM＝∠FCM.
所以FM＝CM.
由（1）知，△ABE≌△AMF，
所以AM＝AB＝1，BE＝FM＝CM.
所以CM＝AC－AM＝ －1.
所以BE＝ －1.
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5. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形
APCD和正方形PBEF. 设∠CBE＝α，则∠AFP为（ B ）
A. 2α B. 90°－α
C. 45°＋α D. 90°－ α
（第5题）
B
解析：因为四边形PBEF为正方形，所以∠PBE＝90°.因为∠CBE＝
α，所以∠PBC＝90°－α.因为四边形APCD和四边形PBEF均为正方
形，所以AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，所以
△APF≌△CPB. 所以∠AFP＝∠PBC＝90°－α.
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6. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连结DE，过点D作
DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连结EF. 若AE＝1，则EF的长
为（ B ）
A. 3 B.
C. 2 D. 4
（第6题）
B
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解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝CD＝AD，∠A
＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°.因为DF⊥DE，所以∠EDC＋
∠CDF＝90°.因为∠ADE＋∠EDC＝90°，所以∠ADE＝∠CDF.
因为∠A＝∠DCF＝90°，所以△ADE≌△CDF. 所以AE＝CF＝1.
因为E是AB的中点，所以BE＝AE＝1，AB＝BC＝2AE＝2.所以BF
＝BC＋CF＝2＋1＝3.所以在Rt△BEF中，EF＝ ＝
＝ .
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7. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M是边AD上一
点，连结OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N. 若四边形MOND的
面积是1，则AB的长为（ C ）
A. 1 B.
C. 2 D. 2
（第7题）
C
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解析：因为四边形ABCD是正方形，所以∠MDO＝∠NCO＝45°，
OD＝OC，∠DOC＝90°.所以∠DON＋∠CON＝90°.因为
ON⊥OM，所以∠MON＝90°.所以∠DON＋∠DOM＝90°.所以
∠DOM＝∠CON. 在△DOM和△CON中， 所以
△DOM≌△CON. 因为四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面
积＝△DOM的面积＋△DON的面积，所以四边形MOND的面积＝
△CON的面积＋△DON的面积＝△DOC的面积.所以△DOC的面积是
1.所以正方形ABCD的面积是4.所以AB2＝4.所以AB＝2.
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8. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F
分别在边BC，CD上.给出下列结论：① CE＝CF；② ∠AEB＝75°；
③ S正方形 ABCD＝2＋ .其中，正确的是（ D ）
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
（第8题）
D
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解析：因为四边形ABCD是正方形，所以∠B＝∠C＝∠D＝90°，
BC＝CD＝AB＝AD. 因为△AEF是等边三角形，所以∠AEF＝
60°，AE＝AF. 在Rt△ABE和Rt△ADF中， 所以
Rt△ABE≌Rt△ADF. 所以BE＝DF. 所以BC－BE＝CD－DF，即
CE＝CF. 故①正确.
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因为CE＝CF，∠C＝90°，所以∠CEF＝45°.因为∠AEF＝60°，
所以∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.故②正确.设正方形的边长为
x.因为EF＝2，所以易得CF＝ ，则DF＝ x－ .因为∠D＝
90°，所以AD2＋DF2＝AF2.所以x2＋（x－ ）2＝22，解得x＝
（负值舍去）.所以S正方形ABCD＝x2＝2＋ .故③正确.综
上所述，正确的是①②③.
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9. 如图，在边长为2 的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的
中点，连结CE，DF，G，H分别是CE，DF的中点，连结GH，则
GH的长为 1 .
（第9题）
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解析：连结CH并延长，交AD于点M，连结EM. 因为四边形ABCD为
正方形，所以AD∥BC. 所以∠MDH＝∠CFH，∠DMH＝∠FCH.
因为H是DF的中点，所以DH＝FH. 在△DMH和△FCH中，
所以△DMH≌△FCH. 所以DM＝FC，MH＝CH. 所以H是CM的中点.因为F是BC的中点，E是AB的中点，AB＝BC＝AD＝2 ，所以FC＝ BC＝ ，AE＝ AB＝ .所以DM＝ .所以AM＝AD－DM＝ .所以在Rt△MAE中，EM＝ ＝ ＝2.因为G是CE的中点，H是CM的中点，所以GH＝ EM＝1.
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10. 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点（不与点B，D重
合），GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF，AG，延
长AG交EF于点H.
（1） 求证：∠DAG＝∠EGH.
（第10题）
（1） 因为四边形ABCD是正方形，
所以∠ADC＝90°.
因为GE⊥CD，
所以∠GEC＝∠ADC＝90°.
所以AD∥GE.
所以∠DAG＝∠EGH.
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（2） 判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
（2） AH⊥EF.
理由：连结CG，交EF于点O.
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠ECF＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD.
在△ADG和△CDG中，
所以△ADG≌△CDG.
所以∠DAG＝∠DCG.
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由（1），得∠DAG＝∠EGH，
所以∠EGH＝∠DCG.
因为GE⊥CD，GF⊥BC，
所以∠GEC＝∠GFC＝90°＝∠ECF.
所以四边形ECFG为矩形.
所以EF＝CG，OE＝ EF，OC＝ CG.
所以OE＝OC.
所以∠OEC＝∠OCE＝∠EGH.
因为∠GEC＝90°，即∠OEC＋∠GEH＝90°，
所以∠EGH＋∠GEH＝90°，即∠GHE＝90°.
所以AH⊥EF.
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11. 新考法 探究题 如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，
AB上的点，且CE＝BF. 连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，
连结FG，FC.
（1） 请判断：FG与CE的数量关系是 FG＝CE ，位置关系
是 FG∥CE .
（第11题）
FG＝CE
FG∥CE
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解析：设DE与CF交于点M. 因为四边形ABCD是正方形，所以BC＝
CD，∠ABC＝∠DCE＝90°.在△CBF和△DCE中，
所以△CBF≌△DCE. 所以∠BCF＝∠CDE，CF
＝DE. 因为∠BCF＋∠DCM＝90°，所以∠CDE＋∠DCM＝90°.
所以∠CMD＝90°.所以CF⊥DE. 因为EG⊥DE，所以EG∥CF.
因为EG＝DE，CF＝DE，所以EG＝CF. 所以四边形EGFC是平行
四边形.所以FG＝CE，FG∥CE.
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（2） 如图②，若E，F分别是正方形ABCD的边CB，BA延长线上的
点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予
证明.
（2） （1）中的结论仍然成立.
如图，过点G作GH⊥CB，交CB的延长线于点H.
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠ABC＝∠BCD＝90°.
因为EG⊥DE，
所以∠GEH＋∠DEC＝90°.
（第11题）
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因为GH⊥CB，
所以∠GHE＝90°.
所以∠GEH＋∠HGE＝90°.
所以∠DEC＝∠HGE.
在△HGE和△CED中，
所以△HGE≌△CED.
所以GH＝CE，HE＝CD.
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因为CE＝BF，
所以GH＝BF.
因为∠GHE＝∠ABC＝90°，
所以GH∥BF.
所以四边形GHBF是平行四边形.
所以FG＝BH，FG∥CH.
所以FG∥CE.
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因为四边形ABCD是正方形，
所以CD＝BC.
所以HE＝BC.
所以HE＋EB＝BC＋EB，
即BH＝CE.
所以FG＝CE.
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（3） 如图③，若E，F分别是正方形ABCD的边BC，AB延长线上的
点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的
判断.
（第11题）
（3） （1）中的结论仍然成立.
因为四边形ABCD是正方形，
所以BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.
所以∠CBF＝∠DCE＝90°.
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在△CBF和△DCE中，
所以△CBF≌△DCE.
所以∠BCF＝∠CDE，CF＝DE.
因为EG＝DE，
所以CF＝EG.
因为DE⊥EG，
所以∠DEC＋∠CEG＝90°.
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因为∠CDE＋∠DEC＝90°，
所以∠CDE＝∠CEG.
所以∠BCF＝∠CEG.
所以CF∥EG.
所以四边形CEGF是平行四边形.
所以FG∥CE，FG＝CE.
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11(共26张PPT)
5.1 矩 形
第1课时 矩形的概念与性质
第5章 特殊平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列说法
中，错误的是（ D ）
A. ∠ABC＝90°
B. AC＝BD
C. OB＝OC
D. OA＝AB
（第1题）
D
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2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在边BC
上，连结OE. 若OB＝BE，∠BAO＝70°，则∠EOC的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
（第2题）
C
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3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为边BC上的一点，
EA平分∠BED，则BE的长为 2 .
（第3题）
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解析：因为EA平分∠BED，所以∠AEB＝∠AED. 因为四边形
ABCD是矩形，AD＝10，AB＝6，所以CD＝AB＝6，BC＝AD＝
10，AD∥BC，∠C＝90°.所以∠DAE＝∠AEB. 所以∠DAE＝
∠AED. 所以AD＝DE＝10.所以EC＝ ＝ ＝
8.所以BE＝BC－EC＝10－8＝2.
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4. 如图，四边形ABCD为矩形，点E在CB的延长线上，点F在BC的延
长线上，过点F作FH⊥EF，交ED的延长线于点H，连结AF，交EH
于点G，GE＝GH. 求证：BE＝CF.
（第4题）
因为FH⊥EF，
所以∠HFE＝90°.
因为GE＝GH，
所以FG＝ EH＝GE.
所以∠AFB＝∠E.
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因为四边形ABCD为矩形，
所以AB＝DC，∠ABF＝∠DCE＝90°.
在△ABF和△DCE中，
所以△ABF≌△DCE.
所以BF＝CE.
所以BF－BC＝CE－BC，即BE＝CF.
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5. 如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），E是边BC上一点，且DE＝
DA，AF⊥DE，垂足为F. 下列结论中，不一定正确的是（ B ）
A. AB＝AF B. AF＝ AD
C. △AFD≌△DCE D. BE＝AD－DF
（第5题）
B
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解析：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，∠C＝90°，AB＝
CD，AD＝BC. 所以∠ADF＝∠DEC. 因为AF⊥DE，所以∠AFD
＝∠C＝90°.在△AFD和△DCE中， 所以
△AFD≌△DCE. 所以AF＝DC，DF＝CE. 所以AB＝AF，BE＝
BC－CE＝AD－DF. 故A，C，D正确，不符合题意.只有当∠ADE＝
30°时，才有AF＝ AD，故B不一定正确，符合题意.
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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为CD的中点，连结
AE并延长，交BC的延长线于点F，P为边BC上一点.当∠PAE＝
∠DAE时，AP的长为（ B ）
A. 4 B.
C. D. 5
（第6题）
B
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解析：设AP＝x.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC. 所以
∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE. 又因为∠PAE＝∠DAE，所以
∠PAE＝∠F. 所以PF＝AP＝x.因为E为CD的中点，所以DE＝
CE. 在△ADE和△FCE中， 所以
△ADE≌△FCE. 所以AD＝FC＝4.所以BP＝BC－CP＝BC－（PF
－FC）＝4－（x－4）＝8－x.因为∠B＝90°，所以AB2＋BP2＝
AP2.所以22＋（8－x）2＝x2，解得x＝ .所以AP的长为 .
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7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD于
点E. 若∠DCE＝4∠BCE，则∠ACE的度数为 .
（第7题）
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解析：因为四边形ABCD是矩形，所以∠DCB＝90°，OC＝OB. 因
为∠DCE＝4∠BCE，所以∠DCE＝ ×90°＝72°.所以∠BCE＝
18°.因为CE⊥BD，所以∠BEC＝90°.所以∠OBC＝90°－∠BCE
＝90°－18°＝72°.因为OC＝OB，所以∠OCB＝∠OBC＝72°.所
以∠ACE＝∠OCB－∠BCE＝72°－18°＝54°.
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8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA＝6，OC＝2，一
条动直线l分别与BC，OA交于点E，F，且将矩形OABC分为面积相
等的两部分，则点O到动直线l的最大距离为 .
（第8题）
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解析：如图，连结OB，交直线l于点G. 因为直线l将矩形OABC分为面积相等的两部分，所以易知G是OB的中点.取OC的中点H，连结GH. 所以GH∥BC，GH＝ BC. 因为四边形OABC是矩形，所以BC＝OA＝6.所以GH＝3.因为H是OC的中点，所以OH＝ OC＝1.若要点O到动直线l的距离最大，则l⊥OG. 在Rt△OGH中，由勾
股定理，得OG＝ ＝ ＝ .所以
点O到动直线l的最大距离为 .
（第8题）
（第8题）
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9. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交
BC于点E，连结OE.
（1） 求证：△ABE是等腰直角三角形.
（第9题）
（1） 因为四边形ABCD是矩形，
所以∠BAD＝∠ABE＝90°.
因为AE平分∠BAD，
所以∠BAE＝45°.
所以△ABE是等腰直角三角形.
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（2） 若∠CAE＝15°，求证：△AOB是等边三角形.
（2） 因为四边形ABCD是矩形，
所以OA＝OB.
因为∠CAE＝15°，
所以∠BAO＝∠BAE＋∠CAE＝45°＋15°＝60°.
所以△AOB是等边三角形.
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（3） 在（2）的条件下，求∠BOE的度数.
（3） 由（2），得△AOB是等边三角形.
所以∠ABO＝60°.
所以∠OBE＝∠ABE－∠ABO＝90°－60°＝30°.
因为易得BE＝AB，OB＝AB，
所以OB＝BE.
所以∠BOE＝∠BEO＝ （180°－∠OBE）＝ ×（180°－30°）
＝75°.
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10. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在边BC上，点F在BC的延长线
上，连结AE，DE，DF，∠BAE＝∠CDF.
（1） 求证：四边形AEFD是平行四边形.
（第10题）
（1） 因为四边形ABCD是矩形，
所以AB＝DC，BC＝AD，∠B＝∠DCB＝90°，AD∥BC.
所以∠DCF＝180°－∠DCB＝180°－90°＝90°，EF∥AD.
所以∠B＝∠DCF＝90°.
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在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF.
所以BE＝CF.
所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
所以EF＝AD.
又因为EF∥AD，
所以四边形AEFD是平行四边形.
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（2） 若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长.
（2） 由（1）知，EF＝AD＝5.
在△EDF中，因为DF＝3，DE＝4，EF＝5，
所以DF2＋DE2＝EF2.
所以△EDF是直角三角形，且∠EDF＝90°.
所以S△EDF＝ DE DF＝ EF CD.
所以CD＝ ＝ ＝ .
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11. 新考法 探究题 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，分别过点P作
PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F.
（1） 如图①，当P是边CD上任意一点时，猜想PE和PF之间有怎样
的数量关系，并说明理由.
（第11题）
（1） PE＋PF＝ .
理由：连结OP.
因为四边形ABCD是矩形，
所以OB＝OD＝OC，AB＝CD＝4，∠BCD＝90°.
所以S△DOC＝S△BOC＝ S△BCD.
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因为S△BCD＝ BC CD＝ ×3×4＝6，
所以S△DOC＝3.
在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝5.
所以OB＝OD＝OC＝ .
因为S△DOC＝S△DOP＋S△COP，
所以3＝ OD PE＋ OC PF.
所以PE＋PF＝ .
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（2） 如图②，当P是边AD上任意一点时，猜想PE和PF之间有怎样的
数量关系，请直接写出结果.
（第11题）
（2） PE＋PF＝ .
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（3） 如图③，当P是DC的延长线上任意一点时，猜想PE和PF之间
有怎样的数量关系，并说明理由.
（第11题）
（3） PE－PF＝ .
理由：连结OP，BP.
因为S△BPD＝S△DOC＋S四边形BOCP＝S△DOC＋S△COP＋S△BOP，
所以 BD PE＝S△DOC＋ OC PF＋ OB PE.
由（1），得BD＝5，OB＝OC＝OD＝ ，S△DOC＝3，
所以 PE＝3＋ PF＋ PE，即PE－PF＝ .
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11(共27张PPT)
5.1 矩 形
第2课时 矩形的判定
第5章 特殊平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ D ）
A. AB＝BC B. AB＝AC
C. AC⊥BD D. AC＝BD
（第1题）
D
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2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是BC的中点，
连结DB，DE. 当DB＝DC时，四边形ABED的形状是 矩形 .
（第2题）
矩形
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3. 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，M，N是BD上的两
点，BM＝DN，连结AM，MC，CN，NA，请再添加一个条件：
答案不唯一，如OM＝ AC ，使四边形AMCN是矩形.
（第3题）
答案不唯一，如OM＝ AC
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4. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，将该四边形沿AE折
叠，点D的对应点F恰好落在边BC上，且∠BFA＝∠CEF. 求证：四
边形ABCD是矩形.
（第4题）
因为∠C＝90°，
所以∠CFE＋∠CEF＝90°.
又因为∠BFA＝∠CEF，
所以∠CFE＋∠BFA＝90°.
所以∠AFE＝180°－（∠CFE＋∠BFA）＝180°－90°＝90°.
由折叠可知，∠D＝∠AFE＝90°.
所以∠B＝∠C＝∠D＝90°.
所以四边形ABCD是矩形.
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 给出下列条件：
① ∠1＋∠3＝90°；② BC2＋CD2＝AC2；③ ∠1＝∠2；④ AC⊥BD.
从中任选一个，能判定四边形ABCD是矩形的个数是 （ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第5题）
C
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解析：因为∠1＋∠3＝90°，所以∠ABC＝90°.又因为四边形ABCD
是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形.故①正确.因为四边形ABCD
是平行四边形，所以AB＝CD. 因为BC2＋CD2＝AC2，所以BC2＋AB2
＝AC2.所以∠ABC＝90°.所以四边形ABCD是矩形.故②正确.因为四
边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD.
因为∠1＝∠2，所以OA＝OB. 所以AC＝BD. 所以四边形ABCD是矩
形.故③正确.由AC⊥BD无法判定四边形ABCD是矩形.故④错误.综
上所述，能判定四边形ABCD是矩形的个数是3.
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6. （2025 义乌段考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，
BC＝8，D是AB上的一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，
DF⊥CB于点F，连结EF，则线段EF长的最小值是（ D ）
A. 5 B. 2.5 C. 2.4 D. 4.8
（第6题）
D
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解析：如图，连结CD. 因为DE⊥AC，DF⊥CB，所以
∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°.所以四边形CEDF是
矩形.所以EF＝CD. 当CD⊥AB时，CD的长最小，此
时 CD AB＝ AC BC. 因为∠ACB＝90°，AC＝6，
BC＝8，所以AB＝ ＝ ＝10.所以CD
＝ ＝ ＝4.8.所以线段EF长的最小值是4.8.
（第6题）
（第6题）
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7. ★如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转
180°得到△FEC，连结AE，BF. 当∠ACB＝ 60° 时，四边形
ABFE为矩形.
（第7题）
解析：因为四边形ABFE为矩形，所以AC＝BC. 又因为AB＝AC，所
以AB＝AC＝BC. 所以△ABC是等边三角形.所以∠ACB＝60°.
60°
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运用逆推法判断所需条件
本题要求当∠ACB等于多少度时，四边形ABFE为矩形，可以把矩
形当作已知条件，求出∠ACB的度数.这种逆推法是解决条件探索题的
一般方法.
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8. 如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，
DF＝BE，连结AF，BF，AF平分∠BAD，则线段CF，BF，DF之
间的数量关系为 BF2＋CF2＝DF2 .
（第8题）
BF2＋CF2＝DF2
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解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD＝BC，CD∥AB，
即DF∥BE. 又因为DF＝BE，所以四边形BEDF为平行四边形.又因
为DE⊥AB，所以∠BED＝90°.所以四边形BEDF为矩形.所以
∠BFD＝∠BFC＝90°.因为AF平分∠BAD，所以∠DAF＝∠BAF.
因为AB∥CD，所以∠DFA＝∠BAF. 所以∠DAF＝∠DFA. 所以
AD＝DF. 因为AD＝BC，所以BC＝DF. 在Rt△BFC中，BF2＋CF2
＝BC2，所以BF2＋CF2＝DF2.
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9. 如图，在 ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使得BF＝
CE，连结AF，DF.
（1） 求证：四边形ADEF是矩形.
（第9题）
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（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，AD＝BC.
因为BF＝CE.
所以BF＋BE＝CE＋BE，即EF＝BC.
所以EF＝AD.
又因为EF∥AD，
所以四边形ADEF是平行四边形.
因为DE⊥BC，
所以∠DEF＝90°.
所以四边形ADEF是矩形.
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（2） 若AB＝3，DF＝4，CF＝5，求AF的长.
（2） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以CD＝AB＝3.
因为CF＝5，DF＝4，
所以CD2＋DF2＝CF2.
所以△CDF是直角三角形，且∠CDF＝90°.
所以△CDF的面积＝ DF CD＝ CF DE，即 ×4×3＝ ×5DE，
解得DE＝ .
因为四边形ADEF是矩形，
所以AF＝DE＝ .
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10. ★如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连结AE并延长，交DC的
延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连结DG，DE，FG.
（1） 求证：△ABE≌△FCE.
（第10题）
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（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD.
所以∠EAB＝∠EFC.
又因为E为BC的中点，
所以EB＝EC.
在△ABE和△FCE中，
所以△ABE≌△FCE.
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（2） 若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形.
（2） 由（1）知，△ABE≌△FCE，
所以AB＝CF.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC，AB＝DC.
所以DC＝CF.
又因为CG＝CE，
所以四边形DEFG是平行四边形.
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因为E为BC的中点，
所以BE＝CE.
所以BE＝CE＝CG.
所以BC＝EG.
又因为AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB，
所以DF＝EG.
所以四边形DEFG是矩形.
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矩形的判定方法
证明一个四边形是矩形，若题设与这个四边形的对角线有关，通常
先证明这个四边形是平行四边形，再证明其对角线相等；若题设与角度
有关，通常考虑用矩形的定义或者依据“有三个角是直角的四边形是矩
形”来证明.若容易证出有一个直角且为平行四边形，则可根据矩形的
定义进行证明；若容易证出有三个直角，则用后者证明.
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11. 如图，△ABC为等边三角形，CF∥AB，P为线段AB上一动点
（点P不与点A，B重合），过点P作PE∥BC，分别交AC，CF于点
G，E，连结AE，PC.
（1） 四边形PBCE是平行四边形吗？为什么？
（第11题）
（1） 四边形PBCE是平行四边形.
因为CF∥AB，即CE∥BP，PE∥BC，
所以四边形PBCE是平行四边形.
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（2） 求证：CP＝AE.
（2） 如图，因为△ABC是等边三角形，
所以∠B＝∠1＝60°，BC＝CA.
因为CF∥AB，
所以∠2＝∠1.
所以∠B＝∠2.
（第11题）
（第11题）
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又由（1）知，四边形PBCE为平行四边形，
所以PB＝EC.
在△BPC和△CEA中，
所以△BPC≌△CEA.
所以CP＝AE.
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（3） 当点P在AB上的什么位置时，四边形APCE是矩形？请说明理由.
（3） 当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形.
理由：因为P为AB的中点，
所以AP＝BP.
又由（2）证得BP＝CE，
所以AP＝CE.
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因为CF∥AB，即EC∥AP，
所以四边形APCE是平行四边形.
又因为△ABC是等边三角形，P为AB的中点，
所以CP⊥AB.
所以∠APC＝90°.
所以 APCE是矩形.
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11(共21张PPT)
专题特训八 特殊四边形的性质与判定的灵活应用
第5章 特殊平行四边形
类型一 矩形的性质与判定
1. 如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结
AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2.若要
求出S－S1－S2的值，只需知道（ C ）
A. △ABE的面积
B. △ACD的面积
C. △ABC的面积
D. 矩形BCDE的面积
（第1题）
C
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解析：过点A作AH⊥DE于点H，交BC于点F. 因为四边形BCDE是
矩形，所以BC＝DE，BE＝CD，BE∥CD，∠EBF＝∠BEH＝
90°.因为AH⊥DE，所以∠EHF＝90°.所以四边形BFHE是矩形.
所以FH＝BE＝CD，BE∥FH∥CD. 所以△ABE的边BE上的高等
于EH的长，△ACD的边CD上的高等于DH的长.所以S－S1－S2＝
DE AH－ BE EH－ CD DH＝ DE AH－ FH EH－ FH DH
＝ DE AH－ FH （EH＋DH）＝ DE AH－ FH DE＝ DE
（AH－FH）＝ DE AF＝ BC AF＝S△ABC.所以只需知道△ABC的面积就可求出S－S1－S2的值.
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2. 如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，AC
＝EF.
（1） 求证：四边形AECF是矩形.
（第2题）
（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC，AD∥BC.
因为BE＝DF，
所以AD－DF＝BC－BE.
所以AF＝EC.
所以四边形AECF是平行四边形.
因为AC＝EF，
所以四边形AECF是矩形.
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（2） 若AE＝BE，AB＝ ，AE∶EC＝1∶2，求BC的长.
（2） 因为四边形AECF是矩形，
所以∠AEC＝∠AEB＝90°.
因为AE＝BE，AB2＝（ ）2＝2，
所以△ABE是等腰直角三角形，AE2＋BE2＝AB2＝2.
所以2AE2＝2BE2＝2.
所以AE＝BE＝1.
因为AE∶EC＝1∶2，
所以EC＝2AE＝2.
所以BC＝BE＋EC＝1＋2＝3.
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类型二 菱形的性质与判定
3. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若在重合部分构成的四边
形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 4 .
（第3题）
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解析：如图，连结BD，交AC于点O，过点A分别作AE⊥CD于点
E，AF⊥BC于点F. 因为两张纸条的宽度相同，所以AE＝AF. 因为
AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形.因为S ABCD＝
CD AE＝BC AF，AE＝AF，所以CD＝BC. 所以四边形ABCD是
菱形.所以AO＝ AC＝1，BD＝2BO，AC⊥BD. 所以∠AOB＝
90°.所以BO＝ ＝ ＝2 .所以
BD＝2BO＝4 .所以四边形ABCD的面积＝ AC BD
＝ ×2×4 ＝4 .
（第3题）
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4. 如图，在四边形ABCD中，E为边BC的中点，连结BD，交AE于点
F，连结CF，AB＝CD，AD＝BC，AF＝CF.
（1） 判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
（第4题）
（1） 四边形ABCD是菱形.
连结AC，交BD于点O.
因为AB＝CD，AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形.
所以OA＝OC.
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在△OAF和△OCF中，
所以△OAF≌△OCF.
所以∠AOF＝∠COF.
因为∠AOF＋∠COF＝180°，
所以∠AOF＝∠COF＝ ×180°＝90°.
所以AC⊥BD.
所以四边形ABCD是菱形.
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（2） 已知三角形两条中线的交点叫作三角形的重心，重心到顶点的距
离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2∶1.请利用重心的知识解决
下面的问题：若AB＝5，CF＝3，求四边形ABCD的面积.
（第4题）
（2） 因为E为边BC的中点，O为AC的中点，
所以点F为△ABC的重心.
所以BF＝2OF.
设OF＝x，OA＝y，则BF＝2x，OB＝3x，OC＝y.
因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝BC＝5.
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因为∠AOB＝90°，
所以OF2＋OC2＝CF2，OB2＋OC2＝BC2.
所以x2＋y2＝32①，（3x）2＋y2＝52②.
所以由②－①，得8x2＝16，解得x＝ （负值舍去）.
把x＝ 代入①，得2＋y2＝9，解得y＝ （负值舍去）.
所以AC＝2OA＝2y＝2 ，BD＝2OB＝6x＝6 .
所以S四边形ABCD＝ AC BD＝ ×2 ×6 ＝6 .
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类型三 正方形的性质与判定
5. ★如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，
CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连结EG，FH交于点O.
（1） 连结EF，FG，GH，HE，得到如图②所示的图形，试判断四边
形EFGH的形状，并证明.
（第5题）
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（1） 四边形EFGH是正方形.
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
又因为HA＝EB＝FC＝GD，
所以AE＝BF＝CG＝DH.
所以易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
所以EH＝FE＝GF＝HG.
所以四边形EFGH是菱形.
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因为△AEH≌△DHG，
所以∠AEH＝∠DHG.
因为∠AEH＋∠AHE＝90°，
所以∠DHG＋∠AHE＝90°.
所以∠GHE＝90°.
所以四边形EFGH是正方形.
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（2） 先将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形
按如图③所示的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为
3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中涂色部分的面积
为 1 cm2.
解析：类比“赵爽弦图”，易知涂色部分为正方形，且正方形的边长
为GC－DG＝（3－1）－1＝1（cm），所以涂色部分的面积为1 cm2.
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正方形中的“十字架”模型
在正方形中，如果取对边上的点连成的两条线段互相垂直，那么这
两条线段一定相等，这种结构称为正方形中的“十字架”模型，该模型
的前提条件一定是取正方形对边上的点.正方形中的“十字架”模型与
全等知识相结合，可以得出角相等或线段相等的结论，为解题提供有利
的条件依据.
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类型四 矩形、菱形、正方形的综合应用
6. 新考法 探究题 如图，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作
直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线
于点F，连结AE，AF，BE.
（1） 探究OE与OF的数量关系，并说明理由.
（第6题）
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（1） OE＝OF.
理由：因为CE，CF分别是∠ACB，∠ACD的平分线，
所以∠ACE＝∠ECB，∠OCF＝∠DCF.
因为MN∥BC，
所以∠NEC＝∠ECB，∠OFC＝∠DCF.
所以∠NEC＝∠ACE，∠OFC＝∠OCF.
所以OE＝OC，OF＝OC.
所以OE＝OF.
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（2） 当点O运动到何处，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正
方形？请说明理由.
（2） 当点O运动到AC的中点处，△ABC是直角三角形，其中∠ACB
为直角时，四边形AECF是正方形.理由：当点O运动到AC的中点处
时，OA＝OC.
又因为OE＝OF，
所以四边形AECF是平行四边形.
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由（1），得OC＝OF.
所以OA＝OC＝OE＝OF.
所以AC＝EF.
所以四边形AECF是矩形.
因为MN∥BC，∠ACB＝90°，
所以∠AOE＝90°.
所以AC⊥EF.
所以四边形AECF是正方形.
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（3） 当点O在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？请说明
理由.
（3） 不可能.
理由：如图，连结BF，交CE于点G.
因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
所以∠ECF＝ ∠ACB＋ ∠ACD＝ （∠ACB＋∠ACD）＝90°.
若四边形BCFE是菱形，
则BF⊥EC.
所以∠FGC＝90°.
因为在△GFC中，不可能存在两个角为90°，
所以四边形BCFE不可能是菱形.
（第6题）
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6(共30张PPT)
5.2 菱 形
第1课时 菱形的概念与性质
第5章 特殊平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 杭州临平段考）如图所示为汽车常备的一种千斤顶的原理
图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改
变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA＝26°时，∠ADC的度
数为（ C ）
A. 26° B. 52° C. 128° D. 154°
（第1题）
C
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2. （2025 温州期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O.
若AO＝3，BO＝4，则BC的长为（ A ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
（第2题）
A
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3. 如图，在菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，AE＝AD，连结
BE. 若∠AEB＝70°，则∠BAD的度数为 80° .
（第3题）
80°
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4. （2024 广安）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上
的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE.
（第4题）
因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C.
因为BE＝BF，
所以AB－BE＝BC－BF，即AE＝CF.
在△DAE和△DCF 中，
所以△DAE≌△DCF.
所以DE＝DF.
所以∠DEF＝∠DFE.
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5. 如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点
F，连结DF. 当∠CDA＝80°时，∠CDF的度数为（ B ）
A. 15° B. 30° C. 40° D. 50°
（第5题）
B
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解析：如图，连结BF. 因为四边形ABCD是菱形，所以易知∠BAC＝
∠BAD，∠ABC＝∠CDA＝80°，CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
CD∥AB. 在△DCF和△BCF中，
所以△DCF≌△BCF. 所以∠CDF＝∠CBF. 因
为CD∥AB，所以∠BAD＝180°－∠CDA＝100°.所以
∠BAC＝ ∠BAD＝50°.因为EF垂直平分AB，所以AF
＝BF. 所以∠ABF＝∠BAF＝50°.所以∠CBF＝∠ABC
－∠ABF＝80°－50°＝30°.所以∠CDF＝30°.
（第5题）
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6. ★（2025 杭州建德段考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD
＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ A ）
A. B. 6 C. D. 12
（第6题）
A
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解析：因为四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，所以AC⊥BD，
OC＝OA＝ AC＝3，OB＝OD＝ BD＝4.所以∠BOC＝90°.在
Rt△BOC中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝5.因为
AE⊥BC于点E，所以S菱形ABCD＝ AC BD＝BC AE. 所以AE＝
＝ ＝ .
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菱形的边和对角线的应用
（1） 菱形“边”的应用：菱形的四条边相等，可以知一边求菱形
的周长，也可以求证线段相等.
（2） 菱形“对角线”的应用：菱形对角线互相垂直，可求证垂直
（直角三角形等），可计算菱形的边长、周长、对角线长以及面积等.
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7. 如图，菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交
于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠AOE的度数为 25° .
（第7题）
25°
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解析：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝80°，所以易知∠BAO＝
∠BAD＝40°，AC⊥BD. 所以∠AOB＝90°.所以∠ABO＝90°－
∠BAO＝90°－40°＝50°.因为BE＝BO，所以∠BOE＝∠BEO＝
×（180°－∠ABO）＝ ×（180°－50°）＝65°.所以∠AOE＝
∠AOB－∠BOE＝90°－65°＝25°.
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8. 新情境 现实生活 如图所示的活动衣帽架是由三个全等的菱形构成
的，根据实际需要可以调节点A，E之间的距离.若点A，E之间的距离
调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数为 120° .
（第8题）
120°
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解析：如图，连结AC. 因为四边形ABCD是菱形，AB
＝20 cm，所以AB＝BC＝20 cm，AD∥BC. 因为活动
衣帽架是由三个全等的菱形构成的，且点A，E之间的
距离为60 cm，所以易知AC＝60÷3＝20（cm）.所以
AB＝BC＝AC. 所以△ABC是等边三角形.所以∠B＝
60°.因为AD∥BC，所以∠DAB＝180°－∠B＝
180°－60°＝120°.
（第8题）
（第8题）
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9. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，E为边BC的中点，P
为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为 .
（第9题）
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解析：如图，连结BD，交AC于点O，连结DE，交AC于点P. 因为菱形的对角线互相垂直平分，所以PD＝PB. 所以PB＋PE＝PD＋PE＝DE，即DE的长就是PE＋PB的最小值.因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，且菱形的边长为2，所以∠BCD＝∠BAD＝60°，CD＝BC＝AB＝2.所以△BCD是等边三角形.因为E为边BC的中点，所以BE＝CE＝1，DE⊥BC. 所以在Rt△CDE中，DE
＝ ＝ ＝ ，即PB＋PE的最小
值为 .
（第9题）
（第9题）
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10. 如图，四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，连结BF，∠BAD＝
∠FAD，∠BAD为锐角.
（1） 求证：AD⊥BF.
（第10题）
（1） 因为四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，
所以AB＝AD，AD＝AF.
所以AB＝AF.
因为∠BAD＝∠FAD，
所以AD⊥BF.
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（2） 若BF＝BC，求∠ADC的度数.
（2） 因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝BC，AB∥CD.
所以∠BAD＋∠ADC＝180°.
因为BF＝BC，
所以BF＝AB.
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由（1），得AB＝AF，
所以BF＝AB＝AF.
所以△ABF是等边三角形.
所以∠BAF＝60°.
因为∠BAD＝∠FAD，
所以∠BAD＝ ∠BAF＝ ×60°＝30°.
所以∠ADC＝180°－∠BAD＝150°.
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11. ★如图，AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝
BC，连结AE，过点D作DF⊥AB，垂足为F.
（1） 求证：AE⊥AC.
（第11题）
（1） 连结BD，交AC于点O.
因为四边形ABCD是菱形，
所以OA＝OC，∠BOC＝90°.
因为BE＝BC，
所以BD∥AE.
所以∠EAC＝∠BOC＝90°.
所以AE⊥AC.
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（2） 若AE＝6，CE＝10，求DF的长.
（2） 因为∠EAC＝90°，AE＝6，
CE＝10，
所以AB＝BC＝BE＝5，AC＝ ＝8.
因为易得四边形AEBD是平行四边形，
所以BD＝AE＝6.
因为S菱形ABCD＝AB DF＝ AC BD，
所以5DF＝ ×8×6.
所以DF＝ .
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菱形面积问题的求解技巧
由菱形对角线互相垂直的性质，可得菱形的面积等于对角线长
乘积的一半.进一步地，对角线互相垂直的四边形的面积都等于对角
线长乘积的一半.此外，菱形也是平行四边形，其面积也等于底乘
高，由此可利用等量关系“底×高＝ ×对角线长的乘积”列方
程，巧解相关问题.
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12. ★ 新考法 探究题 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC
所在直线上任意一点，F是边BC的延长线上一点，且CF＝AE，连结
BE，EF.
（1） 如图①，当E是对角线AC的中点时，求证：BE＝EF.
（第12题）
（1） 因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝BC.
因为∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形.
所以∠BCA＝60°.
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因为E是对角线AC的中点，
所以∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE.
因为CF＝AE，
所以CF＝CE.
所以∠F＝∠CEF＝ ∠BCA＝30°.
所以∠CBE＝∠F＝30°.
所以BE＝EF.
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（2） 如图②，当点E在对角线AC上，且不是中点，其他条件不变时，
判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由.
（2） 成立.
理由：由（1）知，△ABC是等边三角形.
所以∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝AC.
所以∠ECF＝120°.
过点E作EG∥BC，交AB于点G.
因为EG∥BC，
所以∠AGE＝∠ABC＝60°.
所以∠BGE＝120°＝∠ECF.
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又因为∠AGE＝∠BAC＝60°，
所以△AGE是等边三角形.
所以AG＝AE＝GE.
所以AB－AG＝AC－AE，即BG＝EC.
又因为CF＝AE，
所以GE＝CF.
在△BGE和△ECF中，
所以△BGE≌△ECF.
所以BE＝EF.
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（3） 如图③，当E是对角线AC的延长线上任意一点，其他条件不变
时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由.
（3） 成立.
理由：过点E作EG∥BC，交AB的延长线于点G.
由（1）知，△ABC是等边三角形，
所以AB＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60°.
所以∠ECF＝60°.
因为EG∥BC，
所以∠AGE＝∠ABC＝60°.
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又因为∠BAC＝60°，
所以△AGE是等边三角形.
所以AG＝AE＝GE.
所以AG－AB＝AE－AC，即BG＝EC.
又因为CF＝AE，
所以GE＝CF.
在△BGE和△ECF中，
所以△BGE≌△ECF.
所以BE＝EF.
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含有60°或120°内角的菱形的特征
如果一个菱形的一个内角为60°或120°，那么夹角为60°的两边与较短的对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形.
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