中小学教育资源及组卷应用平台
4.2平行四边形及其性质第2课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.2平行四边形及其性质第2课时 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”领域核心素养要求，引导学生掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，理解平行线之间的距离的定义；能运用相关性质解决平行四边形中的线段长度、距离计算及面积相关问题，发展几何直观与推理能力；体会平行四边形性质与平行线性质的关联，深化转化思想的运用；能结合几何图形解决简单实际问题，提升数学应用意识，为后续平行四边形面积、特殊平行四边形性质学习奠定基础。
教材分析 本节课是平行四边形性质的延伸拓展课，承接上一课时对边、对角的性质，核心探究平行线的相关性质及平行线之间的距离。教材以探究夹在平行线间的平行线段、垂线段长短为切入点，推导得出相关性质定理，进而定义平行线之间的距离，再通过立柜过通道的实际例题实现性质的综合应用，最后结合探究活动关联图形面积问题。内容设计从几何性质推导到实际应用，衔接平行线与平行四边形知识，突出数形结合思想，是完善平行四边形性质体系、解决几何计算和实际问题的重要内容。
学情分析 学生已掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质及平行线的基本判定，具备一定的几何推理和计算能力，能解决简单的平行四边形角度、边长问题。但学生对“平行线之间的距离”的概念易与点到直线的距离混淆，对夹在平行线间的线段性质的推导思路需引导；部分学生难以将平行线性质与平行四边形性质结合应用，在解决实际几何问题时，缺乏将实际情景转化为几何图形的能力，几何语言的规范运用仍有欠缺。
教学目标 1.掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，理解平行线之间的距离的定义，能准确识别相关线段； 2.能运用平行线的相关性质及平行四边形性质解决线段计算、距离求解等几何问题，提升几何计算与逻辑推理能力； 3.能将实际问题转化为几何图形，运用所学知识解决简单实际问题，增强数学建模与应用意识； 4.体会平行线性质与平行四边形性质的内在关联，深化数形结合、转化的数学思想，培养合作探究的能力。
教学重点 1.掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，理解平行线之间的距离的定义； 2.能运用平行线及平行四边形的性质解决线段计算、距离求解等几何问题。
教学难点 理解平行线之间的距离的概念，能灵活结合平行线与平行四边形的性质解决综合几何问题及实际问题。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习问题 1.平行四边形的核心性质有哪些？请用几何语言表述； 2.已知直线 ，点、在 上，点、在上，且，试判断线段和的数量关系，你能结合平行四边形的知识说明理由吗？ 预设答案 1.平行四边形对边相等：在中，；平行四边形对角相等：在中，； 2.。理由：因为，即，又，根据平行四边形的定义，四边形是平行四边形，再由平行四边形对边相等，得。 出示问题，引导学生独立思考后口头作答，针对几何语言表述规范纠错。 自主回忆旧知，书写并口述平行四边形性质，分析线段数量关系并说理。 巩固上节课平行四边形核心性质，搭建新旧知识衔接桥梁，为新知探究铺垫。
探究活动一：平行线的性质定理及其推论 合作探究：如图，已知直线l1//l2.任意画两条夹在直线l1与l2之间的平行线段，并比较它们的长短.你发现了什么？你能证明你的发现吗？试一试. 一般地，平行线有下面的性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等. 证明：如图4-14， ∵直线l1//l2，AB//CD ∴四边形ABDC是平行四边形(平行四边形的定义) ∴AB=CD(平行四边形的对边相等) 思考：如果任意画两条夹在直线与之间，且与直线垂直的线段呢？(请与你的同伴交流) 根据平行线的性质定理有以下推论：夹在两条平行线间的垂线段相等. 证明：如图4-15， ∵EF⊥l2，GH⊥l2 ∴∠EFH=∠GHF=90° ∴EF∥GH(同位角相等，两直线平行) ∵直线l1//l2，EF∥GH ∴EF=GH(夹在两条平行线间的平行线段相等) 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。如图4-15，线段EF(或GH)的长就是平行线与之间的距离。 提出探究问题，巡视指导小组合作，引导学生完成性质证明，规范几何推理语言。 动手画图测量，小组讨论猜想结论，尝试演绎证明，理解平行线间距离定义。 通过动手操作与逻辑推理，让学生自主建构新知，培养几何直观与推理能力，渗透转化思想。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：平行线性质及推论的应用 例2如图4-16，一个放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形，腰长为1.4m.现要将这个立柜搬过一个宽为1.2m的通道，能通过吗？ 思考：如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向平移，立柜能通过通道吗？ 答：因为腰长1.4m大于通道宽1.2m，所以在搬这个立柜时，如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向平移，都不能通过. 解：如图4-17，作立柜底面三角形ABC斜边上的高线CD. ， . ， 是边上的中线， ， ，即长小于通道的宽， 所以使边平行通道两边来平移立柜就可以通过. 方法总结： 解决平行线与平行四边形结合的实际几何问题，需先将实际情景转化为几何模型，结合平行线间线段性质、特殊三角形性质作辅助线，利用勾股定理、平行线间距离等知识进行计算，通过比较临界值判断实际问题的可行性，核心是数形结合与模型转化。 引导学生分析实际问题，提炼几何模型，点拨辅助线作法，梳理解题思路。 独立分析问题，尝试画图建模，合作完成解题过程，交流思路与方法。 实现新知的实际应用，培养学生数学建模与应用意识，提升综合运用几何知识解决问题的能力。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是 ( ) A.AB=CD B.CE=FG C.AD=BG D.AC=BD 2.如图，在 ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使BF=DE，根据平行线的性质定理，需添加一个条件： . 3.已知：如图，AB∥DC，AD∥EF∥BC，AF∥EC. 求证：EB=DF. 4.如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是( ) A.线段AB B.线段AB的长度 C.线段CD D.线段CD的长度 5.已知直线a∥b，a与b之间的距离为9，a与b之间有一点P，点P到a的距离是4，则点P到b的距离是 . 6.如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，EG⊥CD于G，∠EFG=45°，FG=6cm，则AB与CD间的距离为 . 7.如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b之间的距离是10cm，b与c之间的距离是4cm，求a与c之间的距离. 8.已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是8cm，那么直线a与c之间的距离是 . 9.我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”.利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，作直线AE，则直线AE即为一条“等积线”. (1)如图①，试说明直线AE是“等积线”; (2)如图②，AE为一条“等积线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“等积线”，并说明理由; (3)张大爷有一块如图③所示的土地ABCD，折线EGF是其中的一条小路，张大爷现在想把它改为一条过点E的直路，要求直路左边的土地面积与原来一样多，请你在图③中画出示意图(只需对作图适当说明，无需说明理由). 图① 图② 图③ 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，能进行简单推理与证明； 2.理解平行线之间的距离的定义，明确其与点到直线距离的关联，距离为垂线段的长度； 3.能综合运用平行线性质、平行四边形性质及特殊三角形性质，解决线段计算、距离求解及简单实际几何问题，实现实际问题到几何模型的转化。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.2平行四边形及其性质(第2课时) 复习回顾 平行四边形：对边相等、对角相等(几何语言略) 新知探究 性质1：夹在两条平行线间的平行线段相等 推论：夹在两条平行线间的垂线段相等 定义：平行线之间的距离——一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 例题应用 实际问题→几何模型→利用性质/勾股定理计算 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.两条平行线之间的距离是指( ) A.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段 B.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 C.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度 D.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度 2.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是( ) A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度B.CE=FG C.线段CD的长度小于l1与l2之间的距离D.AB=CD 3.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6。若∠B=45°，则 ABCD的面积为( ) A.6B.12C.12 D.24 4.如图，A，P是直线m上的任意两点，B，C是直线n上的两个定点，且m∥n，则下列说法正确的是( ) A.AC=BPB.△ABC的周长等于△BCP的周长 C.△ABC的面积等于△ABP的面积D.△ABC的面积等于△PBC的面积 5.已知a，b，c为同一平面内的三条直线，且a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为 。 6.如图，在 ABCD中，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F。 (1)请表示出平行线AD与BC之间的距离。 (2)若BE=2cm，BF=4cm，求平行线AB与CD之间的距离及的值。 能力提升： 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B在x轴上，点D在y轴上，AD=6，AB=8，点A的坐标为(-3，0)。求点B，C，D的坐标。 8.如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结BO，DO。若△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是( ) A.S1＋S3=S2＋S4B.C.S3－S1=S2－S4D.S2＋S3=2(S1＋S4) 9.如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H。若 ABCD的面积为25，四边形BGPF的面积为4，四边形PEDH的面积为9，则四边形AGPE的面积为 。 10.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，连结AC，点E在BC边上，点F在AB边上，且∠DAC=∠BEF。 (1)求证：EF∥AC。 (2)若AB=3，AC=4，BC=5。求AD与BC之间的距离。 拓展迁移： 11.(1)【探究问题】如图1，已知l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，连结AB，AC，BD，CD，AC与BD相交于点O。问：图中面积相等的三角形有几对？请分别将它们写出来。 (2)【拓展运用】如图2，请把四边形ABCD分成面积相等的两部分.
教学反思 本节课以复习旧知衔接新知，自然引导学生探究平行线的线段性质，多数学生能掌握核心性质并理解平行线之间的距离的定义，能解决简单的几何计算问题。但教学中仍存在不足：一是部分学生混淆平行线之间的距离与点到直线的距离，对定义的本质理解不透彻；二是在综合应用平行线与平行四边形性质时，学生难以快速梳理线段间的关联，解题思路不清晰；三是实际问题建模时，学生对几何图形的构造和性质的运用存在障碍。后续教学需增加概念对比辨析训练，强化数形结合的画图分析，设计分层的综合习题，引导学生梳理解题思路，同时增加实际问题的建模练习，提升学生的数学应用能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 4.2平行四边形及其性质第2课时 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，理解平行线之间的距离的定义，能准确识别相关线段； 2.能运用平行线的相关性质及平行四边形性质解决线段计算、距离求解等几何问题，提升几何计算与逻辑推理能力； 3.能将实际问题转化为几何图形，运用所学知识解决简单实际问题，增强数学建模与应用意识； 4.体会平行线性质与平行四边形性质的内在关联，深化数形结合、转化的数学思想，培养合作探究的能力。
重点 1.掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，理解平行线之间的距离的定义； 2.能运用平行线及平行四边形的性质解决线段计算、距离求解等几何问题。
难点 理解平行线之间的距离的概念，能灵活结合平行线与平行四边形的性质解决综合几何问题及实际问题。
教学过程
导入新课 复习问题 1.平行四边形的核心性质有哪些？请用几何语言表述； 2.已知直线 ，点、在 上，点、在上，且，试判断线段AB和CD的数量关系，你能结合平行四边形的知识说明理由吗？
新知讲解 探究活动一：平行线的性质定理及其推论 合作探究：如图，已知直线l1//l2.任意画两条夹在直线l1与l2之间的平行线段，并比较它们的长短.你发现了什么？你能证明你的发现吗？试一试. 一般地，平行线有下面的性质定理： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 思考：如果任意画两条夹在直线与之间，且与直线垂直的线段呢？(请与你的同伴交流) 根据平行线的性质定理有以下推论： ___________________________________________________________________________ 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作______________________________。如图4-15，线段EF(或GH)的长就是平行线与之间的距离。 探究活动二：平行线性质及推论的应用 例2如图，一个放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形，腰长为1.4m.现要将这个立柜搬过一个宽为1.2m的通道，能通过吗？ 思考：如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向平移，立柜能通过通道吗？
课堂练习 课堂练习 1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是 ( ) A.AB=CD B.CE=FG C.AD=BG D.AC=BD 2.如图，在 ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使BF=DE，根据平行线的性质定理，需添加一个条件： . 3.已知：如图，AB∥DC，AD∥EF∥BC，AF∥EC. 求证：EB=DF. 4.如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是 ( ) A.线段AB B.线段AB的长度 C.线段CD D.线段CD的长度 5.已知直线a∥b，a与b之间的距离为9，a与b之间有一点P，点P到a的距离是4，则点P到b的距离是 . 6.如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，EG⊥CD于G， ∠EFG=45°，FG=6cm，则AB与CD间的距离为 . 7.如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b之间的距离是10cm，b与c之间的距离是4cm，求a与c之间的距离. 8.已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是8cm，那么直线a与c之间的距离是 . 9.我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”.利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，作直线AE，则直线AE即为一条“等积线”. (1)如图①，试说明直线AE是“等积线”； (2)如图②，AE为一条“等积线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“等积线”，并说明理由； (3)张大爷有一块如图③所示的土地ABCD，折线EGF是其中的一条小路，张大爷现在想把它改为一条过点E的直路，要求直路左边的土地面积与原来一样多，请你在图③中画出示意图(只需对作图适当说明，无需说明理由). 图①图②图③
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
课后提升 基础达标： 1.两条平行线之间的距离是指() A.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段 B.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 C.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度 D.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度 2.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是() A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度B.CE=FG C.线段CD的长度小于l1与l2之间的距离D.AB=CD 3.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6。若∠B=45°，则 ABCD的面积为() A.6B.12C.12 D.24 4.如图，A，P是直线m上的任意两点，B，C是直线n上的两个定点，且m∥n，则下列说法正确的是() A.AC=BPB.△ABC的周长等于△BCP的周长 C.△ABC的面积等于△ABP的面积D.△ABC的面积等于△PBC的面积 5.已知a，b，c为同一平面内的三条直线，且a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为 。 6.如图，在 ABCD中，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F。 (1)请表示出平行线AD与BC之间的距离。 (2)若BE=2cm，BF=4cm，求平行线AB与CD之间的距离及的值。 能力提升： 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B在x轴上，点D在y轴上，AD=6，AB=8，点A的坐标为(-3，0)。求点B，C，D的坐标。 8.如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结BO，DO。若△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是( ) A.S1＋S3=S2＋S4B.C.S3－S1=S2－S4D.S2＋S3=2(S1＋S4) 9.如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H。若 ABCD的面积为25，四边形BGPF的面积为4，四边形PEDH的面积为9，则四边形AGPE的面积为 。 10.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，连结AC，点E在BC边上，点F在AB边上，且∠DAC=∠BEF。 (1)求证：EF∥AC。 (2)若AB=3，AC=4，BC=5。求AD与BC之间的距离。 拓展迁移： 11.(1)【探究问题】如图1，已知l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，连结AB，AC，BD，CD，AC与BD相交于点O。问：图中面积相等的三角形有几对？请分别将它们写出来。 (2)【拓展运用】如图2，请把四边形ABCD分成面积相等的两部分.
参考答案：
复习回顾：
1.平行四边形对边相等：在中，；平行四边形对角相等：在中，；
2.。理由：因为，即，又，根据平行四边形的定义，四边形是平行四边形，再由平行四边形对边相等，得。
探究一：
证明：如图4-14，
∵直线l1//l2，AB//CD
∴四边形ABDC是平行四边形(平行四边形的定义)
∴AB=CD(平行四边形的对边相等)
证明：如图4-15，
∵EF⊥l2，GH⊥l2
∴∠EFH=∠GHF=90°
∴EF∥GH(同位角相等，两直线平行)
∵直线l1//l2，EF∥GH
∴EF=GH(夹在两条平行线间的平行线段相等)
探究二：
答：因为腰长1.4m大于通道宽1.2m，所以在搬这个立柜时，如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向平移，都不能通过.
解：如图4-17，作立柜底面三角形ABC斜边上的高线CD.
，
.
，
是边上的中线，
，
，即长小于通道的宽，
所以使边平行通道两边来平移立柜就可以通过.
课堂练习：
1.C ∵l1∥l2，AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴AC=BD，AB=CD.
∵l1∥l2，CE⊥l2，FG⊥l2，
∴CE=FG，故选C.
2.BF∥DE(答案不唯一)
解析 根据夹在两条平行线间的平行线段相等，可添加BF∥DE(答案不唯一).
3.证明 ∵AF∥EC，AB∥DC，∴AE=FC.
∵EF∥BC，AB∥DC，∴EB=FC.
∵AD∥EF，AB∥DC，∴AE=DF，∴EB=DF.
4.D ∵直线a∥b，CD⊥b，
∴线段CD的长度是直线a，b之间的距离.
5.5
解析 由题意得点P到b的距离是9-4=5.
6.6cm
解析 ∵EG⊥CD于G，∠EFG=45°，
∴∠FEG=∠EFG=45°，∴FG=EG，
∵FG=6cm，∴EG=6cm，
∵AB∥CD，EG⊥CD，
∴AB与CD间的距离为6cm.
7.解析 ∵直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥c，
又∵a与b之间的距离是10cm，b与c之间的距离是4cm，
∴AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB-BC=10-4=6(cm)，
∴a与c之间的距离为6cm.
8.11cm或5cm
解析 当直线b在直线a与c之间时，
直线a与c之间的距离是3+8=11cm；
当直线b在直线a与c同侧时，
直线a与c之间的距离是8-3=5cm.
综上，直线a与c之间的距离是11cm或5cm.
9.解析 (1)∵点O是BD的中点，
∴S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，
∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC=S四边形ABCD，
∴S四边形ABCO=S四边形ABCD.
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
如图，设AE交OC于F.
∵OE∥AC，∴S△AOE=S△COE，∴S△AOF=S△CEF，
∴S四边形ABCO=S四边形ABCE，∴S四边形ABCE=S四边形ABCD，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即直线AE是“等积线”.
(2)连结EF，过A作EF的平行线交CD于点G，作直线FG，则直线FG为一条“等积线”.
理由如下：
∵AG∥EF，∴S△AGE=S△AFG，设AE与FG的交点是O，则S△AOF=S△GOE，
∴S四边形ABCE=S五边形FABCG，
∵AE为一条“等积线”，∴FG为一条“等积线”.
(3)如图所示，连结EF，过点G作GH∥EF，交AB于点H，连结EH，则EH即为小路的位置.
课后提升：
1.B；2.C；3.C；4.D；5.7cm或1cm；
6.解：(1)∵在 ABCD中，BF⊥AD于点F，
∴平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度。
(2)∵在 ABCD中，BE⊥CD于点E，
∴平行线AB与CD之间的距离是线段BE的长度，即2cm。
∵S ABCD=DC·BE=AD·BF，而AB=DC，AD=BC，
∴AB·BE=BC·BF，
∴=2。
7.解：∵点A的坐标为(－3，0)，AB=8，
∴点B的坐标为(5，0)，AO=3。
又∵AD=6，
∴在Rt△AOD中，
OD==3。
又∵在 ABCD中，CD=AB=8，
∴点C，D的坐标分别为(8，3)，(0，3)。
8.D；9.6；
10.解：(1)∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB。
∵∠DAC=∠BEF，∴∠BEF=∠ACB，
∴EF∥AC。
(2)∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2＋AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
设点A到BC的距离为h。
∵△ABC的面积=BC·h=AB·AC，
∴5h=3×4，
∴h=2.4，
∴AD与BC之间的距离为2.4。
11.解：(1)图中面积相等的三角形有3对，它们分别是△ABC和△DBC，△ABD和△ACD，△AOB和△COD。
(2)如答图，连结BD，过点A作BD的平行线，交CD的延长线于点A'，取A'C的中点E，连结BE，则BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共30张PPT)
课题名称：4.2平行四边形及其性质第2课时
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
能运用平行线的相关性质及平行四边形性质解决线段计算、距离求解等几何问题，提升几何计算与逻辑推理能力；
02
掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，理解平行线之间的距离的定义，能准确识别相关线段；
01
能将实际问题转化为几何图形，运用所学知识解决简单实际问题，增强数学建模与应用意识；
03
体会平行线性质与平行四边形性质的内在关联，深化数形结合、转化的数学思想，培养合作探究的能力。
04
复习问题
1.平行四边形的核心性质有哪些？请用几何语言表述；
1.平行四边形对边相等:在中，；
平行四边形对角相等:在中，；
2.已知直线 ，点、在 上，点、在上，且，试判断线段和的数量关系，你能结合平行四边形的知识说明理由吗？
2.，理由:因为，即，又，根据平行四边形的定义，四边形是平行四边形，再由平行四边形对边相等，得.
探究新知
探究一：平行线的性质定理及其推论
一般地，平行线有下面的性质定理:
夹在两条平行线间的平行线段相等.
合作探究:如图，已知直线l1//l2.任意画两条夹在直线l1与l2之间的平行线段，并比较它们的长短.你发现了什么？你能证明你的发现吗？试一试.
探究新知
探究一：平行线的性质定理及其推论
证明:如图4-14，
∵直线l1//l2，AB//CD
∴四边形ABDC是平行四边形(平行四边形的定义)
∴AB=CD(平行四边形的对边相等)
夹在两条平行线间的平行线段相等.
探究新知
探究一：平行线的性质定理及其推论
根据平行线的性质定理有以下推论:夹在两条平行线间的垂线段相等.
思考:如果任意画两条夹在直线与之间，且与直线垂直的线段呢？(请与你的同伴交流)
证明:如图4-15，
，
，
(同位角相等，两直线平行)，
直线，
(夹在两条平行线间的平行线段相等).
探究新知
探究一：平行线的性质定理及其推论
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。如图4-15，线段EF(或GH)的长就是平行线与之间的距离。
探究新知
探究二：平行线性质及推论的应用
思考:如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向平移，立柜能通过通道吗？
例2 如图4-16，一个放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形，腰长为.现要将这个立柜搬过一个宽为的通道，能通过吗？
答:因为腰长大于通道宽，所以在搬这个立柜时，如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向平移，都不能通过.
探究新知
探究二：平行线性质及推论的应用
解:如图4-17，作立柜底面三角形ABC斜边上的高线CD.
，
.
，
是边上的中线，
，
，即长小于通道的宽，
所以使边平行通道两边来平移立柜就可以通过.
探究新知
方法总结：
解决平行线与平行四边形结合的实际几何问题，需先将实际情景转化为几何模型，结合平行线间线段性质、特殊三角形性质作辅助线，利用勾股定理、平行线间距离等知识进行计算，通过比较临界值判断实际问题的可行性，核心是数形结合与模型转化。
课堂练习
1.如图，已知，下列说法错误的是 ( )
A.AB=CD B.CE=FG C.AD=BG D.AC=BD
2.如图，在中，分别为边上的点，要使，
根据平行线的性质定理，需添加一个条件: .
3.已知:如图，AB∥DC，AD∥EF∥BC，AF∥EC，求证:EB=DF.
C
BF∥DE(答案不唯一)
证明:∵AF∥EC，AB∥DC，∴AE=FC.
∵EF∥BC，AB∥DC，∴EB=FC.
∵AD∥EF，AB∥DC，∴AE=DF，∴EB=DF.
课堂练习
4.如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是( )
A.线段AB B.线段AB的长度
C.线段CD D.线段CD的长度
5.已知直线，与之间的距离为，与之间有一点P，点P到a的距离是4，则点P到b的距离是 .
6.如图，直线被直线EF所截，
，则与间的距离为 .
D
6cm
5
课堂练习
7.如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b之间的距离是10cm，b与c之间的距离是4cm，求a与c之间的距离.
8.已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是8cm，那么直线a与c之间的距离是 .
解:∵直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥c，
又∵a与b之间的距离是10cm，b与c之间的距离是4cm，
∴AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB-BC=10-4=6(cm)，
∴a与c之间的距离为6cm.
11cm或5cm
课堂练习
9.我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”.利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”:如图①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，作直线AE，则直线AE即为一条“等积线”.
(1)如图①，试说明直线AE是“等积线”;
(2)如图②，AE为一条“等积线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“等积线”，并说明理由;
(3)张大爷有一块如图③所示的土地ABCD，折线EGF是其中的一条小路，
张大爷现在想把它改为一条过点E的直路，
要求直路左边的土地面积与原来一样多，
请你在图③中画出示意图
(只需对作图适当说明，无需说明理由).
课堂练习
解:(1)点O是BD的中点，
，
，
.
折线能平分四边形的面积，
如图，设交OC于F.
，
，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即直线AE是“等积线”.
课堂练习
(2)连结EF，过A作EF的平行线交CD于点G，作直线FG，则直线FG为一条“等积线”.
理由如下:，
，
设AE与FG的交点是O，则，
，
为一条“等积线”，
为一条“等积线”.
课堂练习
(3)如图所示，连结EF，过点G作GH∥EF，交AB于点H，连结EH，则EH即为小路的位置.
课堂小结
1.掌握夹在两条平行线间的平行线段、垂线段相等的性质，能进行简单推理与证明；
2.理解平行线之间的距离的定义，明确其与点到直线距离的关联，距离为垂线段的长度；
3.能综合运用平行线性质、平行四边形性质及特殊三角形性质，解决线段计算、距离求解及简单实际几何问题，实现实际问题到几何模型的转化。
知识梳理
课后提升
1.两条平行线之间的距离是指( )
A.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段
B.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
C.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度
D.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是( )
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度 B.CE=FG
C.线段CD的长度小于l1与l2之间的距离 D.AB=CD
基础作业：
B
C
课后提升
3.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6。若∠B=45°，则 ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.12 D.24
4.如图，A，P是直线m上的任意两点，B，C是直线n上的两个定点，
且m∥n，则下列说法正确的是( )
A.AC=BP
B.△ABC的周长等于△BCP的周长
C.△ABC的面积等于△ABP的面积
D.△ABC的面积等于△PBC的面积
C
D
课后提升
基础作业：
7cm或1cm
5.已知a，b，c为同一平面内的三条直线，且a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为 。
6.如图，在中，于点，于点。
(1)请表示出平行线与之间的距离。
(2)若，求平行线与之间的距离及的值。
解在中，于点，
平行线与之间的距离是线段的长度。
课后提升
基础作业：
(2)在中，于点，
平行线与之间的距离是线段的长度，即。
，而，
，
。
课后提升
能力提升：
解:点的坐标为，
点的坐标为。
又，
在中，。
又在中，，
点的坐标分别为。
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B在x轴上，点D在y轴上，AD=6，AB=8，点A的坐标为(-3，0)。求点B，C，D的坐标。
课后提升
8.如图，在中，是对角线上一点，连结。
若的面积分别为，
则下列关于的等量关系中，不一定正确的是( )
A.S1＋S3=S2＋S4 B. C.S3－S1=S2－S4 D.S2＋S3=2(S1＋S4)
9.如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H。若 ABCD的面积为25，四边形BGPF的面积为4，四边形PEDH的面积为9，则四边形AGPE的面积为 。
D
6
课后提升
提升作业：
解:(1)∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB。
∵∠DAC=∠BEF，
∴∠BEF=∠ACB，
∴EF∥AC。
10.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，连结AC，点E在BC边上，点F在AB边上，且∠DAC=∠BEF。
(1)求证:EF∥AC。
(2)若AB=3，AC=4，BC=5。求AD与BC之间的距离。
课后提升
提升作业：
(2)∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2＋AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
设点A到BC的距离为h。
∵△ABC的面积=BC·h=AB·AC，
∴5h=3×4，
∴h=2.4，
∴AD与BC之间的距离为2.4。
课后提升
拓展作业：
解:(1)图中面积相等的三角形有3对，
它们分别是△ABC和△DBC，△ABD和△ACD，△AOB和△COD。
11.(1)【探究问题】如图1，已知l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，连结AB，AC，BD，CD，AC与BD相交于点O。问:图中面积相等的三角形有几对？请分别将它们写出来。
课后提升
拓展作业：
(2)如答图，连结BD，过点A作BD的平行线，交CD的延长线于点A'，取A'C的中点E，连结BE，则BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
11.(2)【拓展运用】如图2，请把四边形ABCD分成面积相等的两部分.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
