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分课时学案
课题 4.2平行四边形及其性质第1课时 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解平行四边形的定义及表示方法，能准确识别平行四边形，掌握其对边相等、对角相等的性质定理； 2.能规范证明平行四边形的性质定理，体会转化思想在几何证明中的应用，提升逻辑推理和几何语言表达能力； 3.能运用平行四边形的性质解决边长、角度的计算和简单几何推理问题，增强数学应用意识； 4.经历“操作—猜想—证明—应用”的探究过程，培养动手操作和合作探究能力，感受平行四边形的实际应用价值。
重点 1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质定理； 2.能运用平行四边形的性质解决边长、角度的计算和简单推理问题。
难点 理解并掌握将平行四边形转化为三角形证明性质的推理思路，规范完成性质定理的演绎证明过程。
教学过程
导入新课 情景问题 校园的宣传栏框架是平行四边形，测量发现其中一条边长为，相邻的一个内角为，工人师傅准备制作同款框架，需要确定另外三条边的长度和其余三个内角的度数，你能帮忙解决吗？结合小学对平行四边形的认识，说说你的依据是什么？
新知讲解 探究活动一:平行四边形的概念及性质 我们在小学里已经学过，有一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫作梯形(图4-7)，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形(parallelogram)。 平行四边形用符号“□”表示，如图4-8，平行四边形可记作“”。 平行四边形有许多奇妙的性质，在日常生活中有着广泛的应用。 合作学习：用两块相同的三角尺拼一个平行四边形。讨论下面的问题： (1)怎样拼能拼出一个平行四边形？你能拼出多少个形状不同的平行四边形？ (2)怎样证明你拼出的四边形是平行四边形？ (3)通过上述活动，你发现平行四边形有哪些性质？你能证明这些性质吗？ (请与你的同伴交流) 已知：四边形ABCD是平行四边形(图4-9)。 求证：。 探究活动二:平行四边形性质的应用 例1已知：如图4-10，分别是的边上的点，且。 求证：。 想一想：你还有其他证明方法吗？ 方法总结: 探究活动三:平行四边形的不稳定性 思考：你知道遮阳篷的伸缩架为什么采用平行四边形的结构吗？ 与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性的特点。如图4-11，这三个平行四边形的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有许多应用，如衣帽架、伸缩门、可伸缩的遮阳篷等，都反映了四边形的不稳定性的应用.
课堂练习 课堂练习 1.如图，在中，，则的度数为( ) A.135°B.120°C.115°D.45° 2.在中，，则等于() A.50°B.80°C.100°D.130° 3.如图，在中，是对角线BD上的两点。若添加一个条件，使，则添加的条件不能为( ) A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.∠1=∠2 4.如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为 °。 5.如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E。若∠EAD=40°，则∠BCE的度数为 °。 6.如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线AB与 BCDE的边BC在同一条直线上，当∠ABE=45°时，∠CDE的度数为 °。 7.如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的一点(不与端点重合)，AE∥CF。求证：△ABE≌△CDF。 8.如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF。求证： (1)AE=CF。 (2)BE∥DF。 9.如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足BE=DF。连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H。求证：EG=FH。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标: 1.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D=60°，那么∠BCE= ( ) A.30° B.40° C.60° D.120° 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作直线CD、直线BC的垂线，垂足分别为E、F，∠C=30°，则∠1+∠2= ( ) A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在 ABCD中，AD=3，AB=2，则 ABCD的周长为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 4.如图，在 ABCD中，AB=6，BC=4，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，分别交CD、AB于点E、F，则AF+DE的长度是 ( ) A.1 B.2 C.5 D.6 5.电动伸缩门的依据是平行四边形 ( ) A.对边平行 B.伸缩性C.容易变形 D.稳定性 6.四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条. 能力提升: 7.在 ABCD中，∠A+∠C=220°，则∠B的度数为( ) A.50° B.70° C.110° D.120° 8.如图， ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是( ) A.10cm B.8cm C.6cm D.4cm 9.如图， ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为 ( ) A.BE=DF B.BF=DEC.AE=CF D.∠1=∠2 10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 . 11.如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE=EF=CD， ∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为 . 12.在如图所示的 ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于 . 13.在 ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为 . 拓展迁移: 14.如图，在 ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD于点F，分别交AB、CD的延长线于点G、H，且EG=FH.求证:BE=DF. 15.如图，在 ABCD中，点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证:△ADE≌△FCE; (2)若AD=5，求BF的长.
参考答案：
情景问题：
1.边长：平行四边形对边相等，故另一条邻边未知，已知边的对边为；
2.角度：平行四边形对角相等，邻角互补，故的对角为，其余两个内角均为；
3.依据：小学直观认知的平行四边形对边相等、对角相等的特点。
探究一：
答案：(1)
(2)以右图为例.
证明：
四边形是用两块相同的三角板拼成的
，
，
∴四边形是平行四边形
证明：连结(图4-9)。
在四边形中，(平行四边形的定义)
则。
同理，。
又，
可证。
所以.
同理可得，.
探究二：
证明：如图，在中，，
(平行四边形的对边相等)。
又因为，
所以四边形是平行四边形(平行四边形的定义)，
以(平行四边形的对边相等)。
因为，
所以，即。
因为(平行
四边形的对角相等)，
所以，
即。
可通过“证明”实现：
四边形是平行四边形，
，
，
根据可证，
进而推出。
课堂练习：
1.A;2.D;3.C;4.30;5.50;6.135;
7.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，
∴∠CFD=∠FCE。
∵AE∥CF，∴∠AEB=∠FCE，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
8.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE。
在△ADF与△CBE中，
∵
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AF=CE，
∴AF－EF=CE－EF，∴AE=CF。
(2)∵△ADF≌△CBE，∴∠AFD=∠CEB，
∴BE∥DF。
9.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC=∠CDA，
∴∠E=∠F，∠EBG=∠FDH。
在△EBG和△FDH中，∵
∴△EBG≌△FDH(ASA)，
∴EG=FH。
作业设计：
1.A 因为四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，所以∠B=∠D=60°，因为CE⊥AB，E为垂足，所以∠B+∠BCE=90°，所以60°+∠BCE=90°，解得∠BCE=30°.
2.B ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=30°，
∴∠BAD=∠C=30°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，∠EAF+∠C+∠E+∠F=360°，
∴∠EAF+30°+90°+90°=360°，解得∠EAF=150°.
∵∠EAF=∠1+∠2+∠BAD，
∴∠1+∠2+30°=150°，∴∠1+∠2=120°.
3.B 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AD=BC，因为AD=3，AB=2，所以 ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=2(AD+AB)=10.
4.D ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=6，AD=BC=4，
∴∠ABE=∠CEB，∠AFD=∠CDF，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠CDF，
∴∠CBE=∠CEB，∠ADF=∠AFD，
∴CE=BC=4，AF=AD=4，
∴DE=CD-CE=6-4=2，∴AF+DE=4+2=6.
故选D.
5.C 平行四边形具有不稳定性，容易变形.
6.1
解析 四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条.钉在对角线上，构成2个三角形，三角形具有稳定性，保证了四边形木架不变形.
7.B ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB∥CD，
∵∠A+∠C=220°，∴∠A=∠C=110°，∴∠B=180°-∠C=70°.故选B.
8.D ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=(x+2)cm，∵ ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得x=4，即AB=4cm，故选D.
9.C ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，若BE=DF，可由SAS判定△ABE≌△CDF;若BF=DE，则BE=DF，可由SAS判定△ABE≌△CDF;若AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF;若∠1=∠2，可由ASA判定△ABE≌△CDF，故选C.
10.3
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=4，根据翻折的性质，
可知AE⊥BC，BE=CE=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==3，
故答案为3.
11.21°
解析 如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠1=∠5，
∵∠ADF=90°，AE=EF，∴DE是△ADF的中线，
∴DE=AF=AE，∴∠1=∠2，∴∠5=∠2，
∵AE=CD，DE=AE，∴DE=CD，∴∠3=∠4，
∵∠3=∠1+∠2=2∠2，∴∠4=2∠2.
∵∠BCD=63°，∴∠5+∠4=63°，
即3∠2=63°，∴∠2=21°，即∠ADE=21°.
12.10
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=2，∴∠DAC=∠ACB，
由折叠的性质可知，∠DAC=∠EAC，
∴∠ACB=∠EAC，∴OA=OC.
∵AE过BC的中点O，∴AO=BC，
∴∠BAC=90°，∴∠ACE=∠ACD=90°，
∴E、C、D三点共线，∴DE=2CD=4，
又∵AE=AD=3，
∴△ADE的周长为3+3+4=10.
13.55°或35°
解析 分两种情况:
(1)当E点在线段AD上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，
∴∠ADB=90°-20°=70°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD==55°.
(2)当E点在AD的延长线上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠BDE=70°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=×70°=35°.
故答案为55°或35°.
14.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠G=∠H，∠EBG=∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(AAS).∴BE=DF.
15.解析 (1)证明:∵E是边CD的中点，∴DE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，∴∠D=∠DCF，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，
∵△ADE≌△FCE，∴AD=CF=5，
∴BF=BC+CF=5+5=10.
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课题名称：4.2平行四边形及其性质第1课时
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
能规范证明平行四边形的性质定理，体会转化思想在几何证明中的应用，提升逻辑推理和几何语言表达能力；
02
理解平行四边形的定义及表示方法，能准确识别平行四边形，掌握其对边相等、对角相等的性质定理；
01
能运用平行四边形的性质解决边长、角度的计算和简单几何推理问题，增强数学应用意识；
03
经历“操作—猜想—证明—应用”的探究过程，培养动手操作和合作探究能力，感受平行四边形的实际应用价值。
04
情景问题
校园的宣传栏框架是平行四边形，测量发现其中一条边长为80cm，相邻的一个内角为70°，工人师傅准备制作同款框架，需要确定另外三条边的长度和其余三个内角的度数，你能帮忙解决吗？结合小学对平行四边形的认识，说说你的依据是什么？
1.边长：平行四边形对边相等，故另一条邻边未知，已知边的对边为；
2.角度：平行四边形对角相等，邻角互补，故的对角为，其余两个内角均为；
3.依据：小学直观认知的平行四边形对边相等、对角相等的特点。
探究新知
探究一：平行四边形的概念及性质
我们在小学里已经学过，有一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫作梯形(图)，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
平行四边形有许多奇妙的性质，在日常生活中有着广泛的应用。
平行四边形用符号“□”表示，如图4-8，平行四边形可记作“”。
探究新知
探究一：平行四边形的概念及性质
合作学习：用两块相同的三角尺拼一个平行四边形。讨论下面的问题：
(1)怎样拼能拼出一个平行四边形？你能拼出多少个形状不同的平行四边形？
答案：(1)
探究新知
探究一：平行四边形的概念及性质
合作学习：用两块相同的三角尺拼一个平行四边形。讨论下面的问题：
(2)怎样证明你拼出的四边形是平行四边形？
答案：(2)以右图为例.
证明：∵四边形ABCD是用两块相同的三角板拼成的
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
探究新知
探究一：平行四边形的概念及性质
合作学习：用两块相同的三角尺拼一个平行四边形。讨论下面的问题：
(3)通过上述活动，你发现平行四边形有哪些性质？你能证明这些性质吗？
(3)平行四边形有以下性质定理：
平行四边形的对角相等。
平行四边形的对边相等。
探究新知
探究一：平行四边形的概念及性质
合作学习：用两块相同的三角尺拼一个平行四边形。讨论下面的问题：
(3)通过上述活动，你发现平行四边形有哪些性质？你能证明这些性质吗？
已知：四边形ABCD是平行四边形(图4-9)。
求证：。
探究新知
探究一：平行四边形的概念及性质
证明：连结(图4-9)。
在四边形中，(平行四边形的定义)
则。
同理，。
又，
可证。
所以.
同理可得，.
探究新知
探究二：平行四边形性质的应用
证明：如图，在中，，
(平行四边形的对边相等)。
又因为，
所以四边形是平行四边形(平行四边形的定义)，
以(平行四边形的对边相等)。
例1 已知：如图4-10，分别是的边上的点，且。求证：。
探究新知
探究二：平行四边形性质的应用
因为，
所以，即。
因为(平行
四边形的对角相等)，
所以，
即。
例1 已知：如图4-10，分别是的边上的点，且。求证：。
探究新知
探究二：平行四边形性质的应用
可通过“证明”实现：
四边形是平行四边形，
，
又，
，
根据可证，
进而推出。
想一想：你还有其他证明方法吗？
探究新知
方法总结：
1.性质应用：紧扣“对边相等”“对角相等”核心性质，结合平行关系推导边或角的等量关系；
2.辅助线技巧：遇平行四边形相关证明，可通过连接对角线、构造全等三角形转化问题；
3.逻辑推理：证明过程需规范“已知—依据(定义/性质)—结论”的链条，注重几何语言的严谨性。
探究新知
探究三：平行四边形的不稳定性
与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性的特点。如图4-11，这三个平行四边形的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。
思考：你知道遮阳篷的伸缩架为什么采用平行四边形的结构吗？
探究新知
探究三：平行四边形的不稳定性
平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有许多应用，如衣帽架、伸缩门、可伸缩的遮阳篷等，都反映了四边形的不稳定性的应用.
课堂练习
1.如图，在中，，则的度数为( )
A.135° B.120° C.115° D.45°
2.在中，，则等于( )
A.50° B.80° C.100° D.130°
3.如图，在 中， ， 是对角线BD上的两点。若添加一个条件，使，则添加的条件不能为( )
A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.∠1=∠2
A
D
C
课堂练习
4.如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数为 °。
5.如图，在中，过点C作，交BA的延长线于点E。
若则的度数为 °。
6.如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为 °。
30
50
135
课堂练习
证明：四边形是平行四边形，
，
。
，
，
，
。
7.如图，在中，分别是边上的一点(不与端点重合)，。求证：。
课堂练习
证明：(1)四边形是平行四边形，
，。
在与中，
，
，
，。
8.如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF。
求证：(1)AE=CF；(2)BE∥DF.
课堂练习
证明:(2)，
，
。
8.如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF。
求证：(1)AE=CF；(2)BE∥DF.
课堂练习
证明:四边形是平行四边形，
，
。
在和中，∵
，
。
9.如图，在中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足。连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H。求证：。
课堂小结
1.理解平行四边形的定义(两组对边分别平行)与表示方法，能准确识别平行四边形。
2.牢记“对边相等”“对角相等”的核心性质，理解其推导逻辑(转化为全等三角形)。
3.能运用性质解决边长、角度的计算与简单证明，掌握“连接对角线”的辅助线技巧。
4.了解平行四边形的不稳定性及生活应用，区分于三角形的稳定性。
知识梳理
课后提升
1.如图，在平行四边形中，，E为垂足，如果那么( )
A.30° B.40° C.60° D.120°
2.如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作直线、直线的垂线，垂足分别为E、F，则 ( )
A.100° B.120° C.130° D.150°
3.在中，，则的周长为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
基础作业：
A
B
B
课后提升
基础作业：
4.如图，在 ABCD中，AB=6，BC=4，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，分别交CD、AB于点E、F，则AF+DE的长度是 ( )
A.1 B.2 C.5 D.6
5.电动伸缩门的依据是平行四边形 ( )
A.对边平行 B.伸缩性 C.容易变形 D.稳定性
6.四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条.
D
C
1
课后提升
能力提升：
7.在 ABCD中，∠A+∠C=220°，则∠B的度数为( )
A.50° B.70° C.110° D.120°
8.如图， ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是( )
A.10cm B.8cm C.6cm D.4cm
9.如图， ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为 ( )
A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.∠1=∠2
B
D
C
课后提升
10.如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿翻折后，点B恰好与点重合，则折痕的长为 .
11.如图，在中，是对角线AC上两点，，
则的大小为 .
12.在如图所示的 ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于 .
13.在 ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，
∠EBD=20°，则∠A的度数为 .
能力提升：
3
21°
10
55°或35°
课后提升
拓展作业：
证明 四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
..
14.如图，在中，点是上一点，过点作直线，交于点，分别交、的延长线于点、，且.求证:.
课后提升
拓展作业：
15.如图，在中，点为边的中点，连结并延长交的延长线于点.
(1)求证:；
(2)若，求的长.
课后提升
拓展作业：
(1)证明:是边的中点，，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
.
课后提升
拓展作业：
(2)四边形是平行四边形，
，
，
，
.
Thanks!
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4.2平行四边形及其性质第1课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.2平行四边形及其性质第1课时 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”领域核心要求，引导学生理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质定理；通过动手操作、推理论证等活动，发展几何直观、推理能力和抽象概括能力；能运用平行四边形性质解决角度、边长的计算和简单推理问题，体会“转化”思想(将平行四边形转化为三角形)的应用；感受平行四边形的实际应用价值，为后续学习平行四边形的其他性质和判定奠定基础，契合新课标“直观感知与逻辑推理并重”的导向。
教材分析 本节课是平行四边形的开篇课，承接多边形的相关知识，是特殊四边形学习的起点。教材以生活中平行四边形的实际应用引题，先明确平行四边形的定义及表示方法，再通过拼三角尺的合作学习引导学生猜想性质，进而通过连接对角线将平行四边形转化为全等三角形完成性质证明，最后结合例题实现性质的初步应用，还介绍了平行四边形的不稳定性及实际应用。内容设计遵循“生活感知—操作猜想—推理论证—应用巩固”的认知规律，突出转化思想，是后续学习平行四边形判定、特殊平行四边形的重要基础。
学情分析 学生已掌握多边形、四边形内角和及三角形全等的知识，具备初步的几何推理和动手操作能力，小学阶段对平行四边形有直观认知。但学生对平行四边形性质的严谨证明需引导，难以自主想到“连接对角线转化为三角形”的方法；部分学生几何语言表达不规范，推理论证的逻辑链条不完整；同时，学生对平行四边形定义的双重性(判定与性质)理解易片面，在实际应用中易混淆性质与定义的运用场景。
教学目标 1.理解平行四边形的定义及表示方法，能准确识别平行四边形，掌握其对边相等、对角相等的性质定理； 2.能规范证明平行四边形的性质定理，体会转化思想在几何证明中的应用，提升逻辑推理和几何语言表达能力； 3.能运用平行四边形的性质解决边长、角度的计算和简单几何推理问题，增强数学应用意识； 4.经历“操作—猜想—证明—应用”的探究过程，培养动手操作和合作探究能力，感受平行四边形的实际应用价值。
教学重点 1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质定理； 2.能运用平行四边形的性质解决边长、角度的计算和简单推理问题。
教学难点 理解并掌握将平行四边形转化为三角形证明性质的推理思路，规范完成性质定理的演绎证明过程。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景问题 校园的宣传栏框架是平行四边形，测量发现其中一条边长为，相邻的一个内角为，工人师傅准备制作同款框架，需要确定另外三条边的长度和其余三个内角的度数，你能帮忙解决吗？结合小学对平行四边形的认识，说说你的依据是什么？ 预设答案 1.边长：平行四边形对边相等，故另一条邻边未知，已知边的对边为； 2.角度：平行四边形对角相等，邻角互补，故的对角为，其余两个内角均为； 3.依据：小学直观认知的平行四边形对边相等、对角相等的特点。 呈现校园宣传栏平行四边形框架的实际情景，引导学生结合旧知分析边长与角度的关联。 基于小学对平行四边形的认知，猜想边长和角度的规律，产生验证需求。 从生活实际切入，衔接旧知，激发探究平行四边形性质的兴趣，落实应用意识培养。
探究活动一：平行四边形的概念及性质 我们在小学里已经学过，有一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫作梯形(图4-7)，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形(parallelogram)。 平行四边形用符号“□”表示，如图4-8，平行四边形可记作“”。 平行四边形有许多奇妙的性质，在日常生活中有着广泛的应用。 合作学习：用两块相同的三角尺拼一个平行四边形。讨论下面的问题： (1)怎样拼能拼出一个平行四边形？你能拼出多少个形状不同的平行四边形？ (2)怎样证明你拼出的四边形是平行四边形？ (3)通过上述活动，你发现平行四边形有哪些性质？你能证明这些性质吗？ (请与你的同伴交流) 答案：(1) (2)以右图为例. 证明： 四边形是用两块相同的三角板拼成的 ， ， ∴四边形是平行四边形 (3)平行四边形有以下性质定理： 平行四边形的对角相等。 平行四边形的对边相等。 已知：四边形ABCD是平行四边形(图4-9)。 求证：。 证明：连结(图4-9)。 在四边形中，(平行四边形的定义) 则。 同理，。 又， 可证。 所以. 同理可得，. 指导学生拼摆三角尺，引导猜想性质，示范“连接对角线”的证明方法，规范推理逻辑。 分组拼摆、观察猜想，参与性质证明，理解“平行四边形→三角形”的转化思路。 经历“操作—猜想—证明”过程，夯实概念与性质基础，渗透转化思想，发展逻辑推理能力。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：平行四边形性质的应用 例1已知：如图4-10，分别是的边上的点，且。 求证：。 证明：如图，在中，， (平行四边形的对边相等)。 又因为， 所以四边形是平行四边形(平行四边形的定义)， 以(平行四边形的对边相等)。 因为， 所以，即。 因为(平行 四边形的对角相等)， 所以， 即。 想一想：你还有其他证明方法吗？ 可通过“证明”实现： 四边形是平行四边形， ， ， 根据可证， 进而推出。 方法总结： 1.性质应用：紧扣“对边相等”“对角相等”核心性质，结合平行关系推导边或角的等量关系； 2.辅助线技巧：遇平行四边形相关证明，可通过连接对角线、构造全等三角形转化问题； 3.逻辑推理：证明过程需规范“已知—依据(定义/性质)—结论”的链条，注重几何语言的严谨性。 引导学生分析例题条件，鼓励多角度解题，点拨性质应用的关键思路与易错点。 独立完成例题证明，交流不同解题方法，总结性质应用的技巧。 巩固定理应用，提升几何推理的灵活性与严谨性，突破“性质与定义综合运用”难点。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：平行四边形的不稳定性 思考：你知道遮阳篷的伸缩架为什么采用平行四边形的结构吗？ 与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性的特点。如图4-11，这三个平行四边形的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有许多应用，如衣帽架、伸缩门、可伸缩的遮阳篷等，都反映了四边形的不稳定性的应用. 展示伸缩门、遮阳篷等实例，引导学生对比三角形稳定性，归纳平行四边形不稳定性的特点与应用。 观察实例，动手操作平行四边形模型，理解不稳定性的本质，列举生活中的应用场景。 结合生活实例，深化对平行四边形特性的认知，体会几何图形的实际应用价值。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.如图，在中，，则的度数为( ) A.135°B.120°C.115°D.45° 2.在中，，则等于() A.50°B.80°C.100°D.130° 3.如图，在中，是对角线BD上的两点。若添加一个条件，使，则添加的条件不能为( ) A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.∠1=∠2 4.如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为 °。 5.如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E。若∠EAD=40°，则∠BCE的度数为 °。 6.如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线AB与 BCDE的边BC在同一条直线上，当∠ABE=45°时，∠CDE的度数为 °。 7.如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的一点(不与端点重合)，AE∥CF。求证：△ABE≌△CDF。 8.如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF。求证： (1)AE=CF。 (2)BE∥DF。 9.如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足BE=DF。连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H。求证：EG=FH。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.理解平行四边形的定义(两组对边分别平行)与表示方法，能准确识别平行四边形。 2牢记“对边相等”“对角相等”的核心性质，理解其推导逻辑(转化为全等三角形)。 3.能运用性质解决边长、角度的计算与简单证明，掌握“连接对角线”的辅助线技巧。 4.了解平行四边形的不稳定性及生活应用，区分于三角形的稳定性。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.2平行四边形及其性质(第1课时) 一、核心概念 定义：两组对边分别平行的四边形(记作)； 表示：平行四边形用“□”表示。 二、性质定理 对边相等：； 对角相等：； 特性：不稳定性(生活应用：伸缩门、遮阳篷)。 三、思想方法 转化思想：平行四边形→三角形(连接对角线) 四、应用要点 角度计算：利用对角相等、邻角互补； 边长计算：利用对边相等； 证明关键：紧扣定义与性质，规范推理步骤。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D=60°，那么∠BCE= ( ) A.30° B.40° C.60° D.120° 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作直线CD、直线BC的垂线，垂足分别为E、F，∠C=30°，则∠1+∠2= ( ) A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在 ABCD中，AD=3，AB=2，则 ABCD的周长为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 4.如图，在 ABCD中，AB=6，BC=4，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，分别交CD、AB于点E、F，则AF+DE的长度是 ( ) A.1 B.2 C.5 D.6 5.电动伸缩门的依据是平行四边形 ( ) A.对边平行 B.伸缩性C.容易变形 D.稳定性 6.四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条. 能力提升： 7.在 ABCD中，∠A+∠C=220°，则∠B的度数为( ) A.50° B.70° C.110° D.120° 8.如图， ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是( ) A.10cm B.8cm C.6cm D.4cm 9.如图， ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为 ( ) A.BE=DF B.BF=DEC.AE=CF D.∠1=∠2 10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 . 11.如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE=EF=CD， ∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为 . 12.在如图所示的 ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于 . 13.在 ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为 . 拓展迁移： 14.如图，在 ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD于点F，分别交AB、CD的延长线于点G、H，且EG=FH.求证：BE=DF. 15.如图，在 ABCD中，点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE; (2)若AD=5，求BF的长.
教学反思 本节课以生活情景导入，贴合学生实际，有效激发了探究兴趣，多数学生能理解平行四边形定义并掌握对边、对角的性质，能进行简单的计算和推理。但教学中仍存在不足：一是部分学生对“连接对角线转化为三角形”的证明思路难以自主构建，需教师反复引导；二是几何语言表达不规范，证明过程的步骤书写不完整；三是对平行四边形定义的双重性理解不足，不会利用定义进行简单判定。后续教学需增加动手操作的探究时间，强化转化思想的渗透，设计几何语言规范书写的专项训练，通过简单例题让学生理解定义的判定与性质双重作用，切实提升学生的几何推理能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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