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4.2平行四边形及其性质第3课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.2平行四边形及其性质第3课时 课时 1
课标要求 依据2022版初中数学新课标，学生需探索并证明平行四边形的对角线互相平分这一性质，能运用该性质解决与平行四边形对角线相关的计算、证明问题；在探究和应用过程中，进一步发展几何直观、逻辑推理和数学表达能力，体会转化、数形结合的数学思想，培养合作探究的学习习惯，感受平行四边形性质在实际几何问题中的应用价值.
教材分析 本节是浙教版八下第四章平行四边形的核心内容，为第3课时，承接前两课时平行四边形的定义、对边相等、对角相等的性质，是对平行四边形性质的完善与拓展.教材以“操作探究—猜想证明—应用拓展”为脉络，先通过画图观察得出对角线互相平分的猜想，再通过三角形全等完成证明，结合例题、习题实现性质的应用，既为后续学习平行四边形的判定奠定基础，也为研究特殊平行四边形提供了方法借鉴，是几何知识体系中从简单图形到复杂图形探究的重要环节.
学情分析 八年级学生已掌握三角形全等的判定与性质、平行四边形的定义及前两个性质，具备初步的几何观察、猜想和简单证明能力，能通过数形结合解决基础几何计算问题.但学生对“利用三角形全等证明四边形性质”的转化思想运用尚不熟练，对对角线性质的灵活应用及与前序性质的综合解题存在困惑，几何证明的逻辑表达和步骤书写也易出现不规范的问题，抽象思维和推理论证能力仍需进一步培养.
教学目标 1.探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，能准确表述该性质并理解其推导过程. 2.能运用平行四边形的对角线性质解决对角线、边长的计算及简单几何证明问题，实现与前序性质的综合应用. 3.进一步掌握“将四边形问题转化为三角形问题”的解题方法，提升逻辑推理和几何表达能力. 4.在探究合作中体会几何知识的关联性，培养数形结合、转化的数学思想，增强几何学习的兴趣.
教学重点 1.平行四边形的对角线互相平分的性质的探究、证明与准确表述. 2.运用平行四边形的对角线性质解决相关的计算和证明问题.
教学难点 灵活运用平行四边形的对角线性质与三角形全等、平行四边形其他性质进行综合解题，掌握四边形问题向三角形问题的转化方法.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1.平行四边形的定义是什么？ 2.我们已经学行四边形的哪些性质？(从边、角两个角度回答) 答案：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.边：平行四边形的对边平行且相等；角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 情景问题 如图，在校园的平行四边形花坛ABCD中，园丁想在对角线AC、BD的交点O处安装一个浇水装置，要使该装置到花坛四个顶点A、B、C、D的距离之和最小，请问这个设计是否合理？为什么？ 该设计合理.因为点O是平行四边形花坛的中心(即对角线的交点)，根据两点之间线段最短可以说明，它是到四个顶点距离之和最小的位置. 回顾平行四边形对边、对角的性质，呈现平行四边形花坛对角线交点安装浇水装置的情景，引导学生思考对角线的特征. 复述已学性质，结合情景猜想对角线的关系，产生探究兴趣. 衔接旧知，从生活实际切入，激发探究欲望，为对角线性质的学习铺垫.
探究活动一：平行四边形对角线的性质 思考：任意画一个平行四边形，连结它的两条对角线.你发现了什么？你能证明你发现的结论吗？ (请与你的同伴交流) 猜想：平行四边形对角线的性质： 平行四边形的对角线互相平分. 已知：在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O(图4-20). 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：如图，在中， (平行四边形的定义)， . 又(平行四边形的对边相等)， . . 总结归纳： 平行四边形的对角线互相平分. 几何语言： 四边形是平行四边形 指导学生画图、测量对角线交点分对角线的长度，引导用三角形全等证明猜想，规范推理逻辑. 动手操作验证猜想，参与证明过程，理解“平行四边形→三角形”的转化思路. 经历“操作—猜想—证明”过程，夯实性质基础，渗透转化思想，发展逻辑推理能力.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：平行四边形对角线性质的运用 例3：已知：如图4-21， ABCD的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F.求证：OE=OF. 证明：如图，在中， (平行四边形的定义)， . 又(平行四边形的对角线互相平分)，， . . 思考：请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 想一想：有一块平行四边形的草地，学校想在中间留一条小路，把它分成面积相等的两块，请你来想想，可以怎样分？有多少种分法？ 有无数种分法，分割线只要过对角线的交点 方法总结： 1.核心思路：紧扣“对角线互相平分”性质，转化线段等量关系； 2.关键结论：过平行四边形对角线交点的直线，平分四边形的面积且平分对应边； 3.证明技巧：利用三角形全等或平行四边形对边平行、相等的性质推导. 引导学生分析例题条件，点拨过对角线交点的直线的特征，规范解题步骤. 运用性质解决证明问题，总结过对角线交点的直线的性质，提升应用能力. 巩固定理应用，突破“性质与图形特征结合”的难点，强化几何表达的严谨性.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：平行四边形性质的综合运用 例4：如图4-22，在中，对角线交于点.若，求的长. 分析：因为平行四边形的两条对角线互相平分，所以要求的长，只需求出的长.在中，长已知，可求得的长.又，则BE可求. 证明：(平行四边形的对角线互相平分)， . ， ，即， ，即. (平行四边形的对角线互相平分)， . 总结归纳： 1.解题步骤：先利用对角线互相平分得出线段一半的长度，再结合直角三角形勾股定理计算未知线段； 2.思想方法：综合运用转化思想(平行四边形问题→三角形问题)和数形结合思想，关联边、对角线的性质. 引导学生结合勾股定理分析综合题，关联对角线与边的性质，点拨解题关键思路. 综合运用对角线、边的性质及勾股定理求解，梳理综合题的解题逻辑. 提升综合分析能力，建立“性质—定理—计算”的关联，落实数形结合思想.
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( ) A.AC=BDB.OA=OC C.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCD 2.如图， ABCD的两条对角线相交于点O.若AC=4，BD=6，BC=4.5，则△BOC的周长为( ) A.6 B.7.5 C.9. D.14.5 3.如图， ABCD的周长为80cm，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则BC的长为( ) A.36cm B.24cm C.19cm D.16cm 4.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=8，S△AOB=14，则OA的长为，△AOD的面积为 . 5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OD，OB的中点，连结AE，CF.求证：AE=CF. 6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，且BC⊥AC，AB=8，∠ABC=30°. (1)求AD的长. (2)求BD的长. 7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. (1)求证：EO=FO. (2)若AE=EF=4，求AC的长. (3)若AC⊥AB，BD=2AC，当AC=4时，求 ABCD的面积. 8.如图，在 ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于点O. (1)求证：BO=DO. (2)若EF⊥AB，延长EF，交AD的延长线于点G，FG=1，求AE的长. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.牢记平行四边形“对角线互相平分”的核心性质，理解其推导逻辑(三角形全等). 2.能运用性质解决线段相等证明、面积平分等问题，掌握与勾股定理的综合计算技巧. 3.明确过对角线交点的直线的特征，学会将平行四边形问题转化为三角形问题求解. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 4.2平行四边形及其性质(第3课时) 一、核心性质 对角线互相平分：∵四边形ABCD是 ABCD∴OA=OC，OB=OD 二、关键结论 过对角线交点的直线：平分四边形面积、平分对应边 三、解题方法 性质应用：转化线段关系、结合全等证明； 综合计算：对角线平分+勾股定理. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是( ) A.AB∥CD B.AB=CDC.AC=BD D.OA=OC 2.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( ) A.AO=OD B.AO⊥ODC.AO=OC D.AO⊥AB 3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AC=2，BD=4，则AB= . 4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，求证：AE=CF. 5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连结AF、CE.若OE=3，求EF的长. 6.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=3，则平行四边形ABCD的面积是( ) A.3 7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=34，AB=10，则△OCD的周长是( ) A.44 B.27 C.34 D.17 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=12，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)( ) A.6 B.4 能力提升： 9.在平行四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，对角线AC与BD相交于点O，则△ABO的周长比△BCO的周长多 . 10.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结EC.若△CDE的周长为5，则AD+CD= . 11.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD⊥BD，DE⊥AC于点E，若AD=3，CD=，则DE= . 12.如图， ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF交DC边于点E，交AB边于点F，已知 ABCD的面积为32，则S△ADO+S△CEO+S△BFO= . 13.已知平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴上，对角线AC，OB交于点D.分别以点O，点B为圆心，大于BO的长为半径画弧，两弧交于点E，连结DE交BC于点F.若点A(6，0)，点C(2，4)，则点F的坐标为 . 14.在 ABCD中，点O是对角线BD、AC的交点，点P是边AD上一点，连结PO并延长交BC于点Q. (1)求证：OP=OQ； (2)已知 ABCD的面积是12，AP=1，PD=4，求四边形ODCQ的面积. 拓展迁移： 15.在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，连结OE，OF. (1)如图①，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明； (2)若直线l不经过点O，请结合图②判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 图① 图②
教学反思 本节以复习回顾为铺垫、情景问题为切入点，引导学生探究平行四边形对角线的性质，整体贴合新课标探究式学习要求.教学中通过画图猜想、三角形全等证明，让学生体会了转化思想，但仍存在不足：部分学生对性质证明的逻辑衔接理解不透彻，三角形全等的条件寻找仍需引导；性质应用环节，学生对单一性质解题掌握较好，但与边、角性质的综合应用仍有困难，解题步骤书写不规范.后续教学中，需增加基础证明的变式练习，强化几何语言表达；设计分层习题，从单一应用到综合应用逐步提升，同时增加小组互评环节，让学生在纠错中规范解题步骤，深化对转化思想的理解.
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分课时学案
课题 4.2平行四边形及其性质第3课时 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1．探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，能准确表述该性质并理解其推导过程. 2．能运用平行四边形的对角线性质解决对角线、边长的计算及简单几何证明问题，实现与前序性质的综合应用. 3．进一步掌握“将四边形问题转化为三角形问题”的解题方法，提升逻辑推理和几何表达能力. 4．在探究合作中体会几何知识的关联性，培养数形结合、转化的数学思想，增强几何学习的兴趣.
重点 1.平行四边形的对角线互相平分的性质的探究、证明与准确表述. 2.运用平行四边形的对角线性质解决相关的计算和证明问题.
难点 灵活运用平行四边形的对角线性质与三角形全等、平行四边形其他性质进行综合解题，掌握四边形问题向三角形问题的转化方法.
教学过程
导入新课 复习回顾 1.平行四边形的定义是什么？ 2.我们已经学行四边形的哪些性质？(从边、角两个角度回答) 情景问题 如图，在校园的平行四边形花坛ABCD中，园丁想在对角线AC、BD的交点O处安装一个浇水装置，要使该装置到花坛四个顶点A、B、C、D的距离之和最小，请问这个设计是否合理？为什么？
新知讲解 探究活动一：平行四边形的性质2 思考：任意画一个平行四边形，连结它的两条对角线.你发现了什么？你能证明你发现的结论吗？ (请与你的同伴交流) 总结归纳： 探究活动二：平行四边形对角线性质的运用 例3已知：如图4-21， ABCD的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F.求证：OE=OF. 思考：请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 想一想：有一块平行四边形的草地，学校想在中间留一条小路，把它分成面积相等的两块，请你来想想，可以怎样分？有多少种分法？ 探究活动三：平行四边形性质的综合运用 例4如图4-22，在中，对角线交于点.若，求的长.
课堂练习 课堂练习 1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( ) A.AC=BDB.OA=OC C.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCD 2.如图， ABCD的两条对角线相交于点O.若AC=4，BD=6，BC=4.5，则△BOC的周长为( ) A.6B.7.5C.9.5 D.14.5 3.如图， ABCD的周长为80cm，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则BC的长为( ) A.36cmB.24cmC.19cm D.16cm 4.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=8，S△AOB=14，则OA的长为，△AOD的面积为 . 5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OD，OB的中点，连结AE，CF.求证：AE=CF. 6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，且BC⊥AC，AB=8，∠ABC=30°. (1)求AD的长. (2)求BD的长. 7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. (1)求证：EO=FO. (2)若AE=EF=4，求AC的长. (3)若AC⊥AB，BD=2AC，当AC=4时，求 ABCD的面积. 8.如图，在 ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于点O. (1)求证：BO=DO. (2)若EF⊥AB，延长EF，交AD的延长线于点G，FG=1，求AE的长.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1.如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是( ) A.AB∥CD B.AB=CDC.AC=BD D.OA=OC 2.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( ) A.AO=OD B.AO⊥ODC.AO=OC D.AO⊥AB 3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AC=2，BD=4，则AB= . 4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，求证：AE=CF. 5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连结AF、CE.若OE=3，求EF的长. 6.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=3，则平行四边形ABCD的面积是( ) A.3 7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=34，AB=10，则△OCD的周长是( ) A.44 B.27 C.34 D.17 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=12，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)( ) A.6 B.4 能力提升： 9.在平行四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，对角线AC与BD相交于点O，则△ABO的周长比△BCO的周长多 . 10.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结EC.若△CDE的周长为5，则AD+CD= . 11.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD⊥BD，DE⊥AC于点E，若AD=3，CD=，则DE= . 12.如图， ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF交DC边于点E，交AB边于点F，已知 ABCD的面积为32，则S△ADO+S△CEO+S△BFO= . 13.已知平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴上，对角线AC，OB交于点D.分别以点O，点B为圆心，大于BO的长为半径画弧，两弧交于点E，连结DE交BC于点F.若点A(6，0)，点C(2，4)，则点F的坐标为 . 14.在 ABCD中，点O是对角线BD、AC的交点，点P是边AD上一点，连结PO并延长交BC于点Q. (1)求证：OP=OQ; (2)已知 ABCD的面积是12，AP=1，PD=4，求四边形ODCQ的面积. 拓展迁移： 15.在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，连结OE，OF. (1)如图①，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明; (2)若直线l不经过点O，请结合图②判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由. 图①图②
参考答案：
复习回顾：答案：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.边：平行四边形的对边平行且相等；角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
情景问题：该设计合理.因为点O是平行四边形花坛的中心(即对角线的交点)，根据两点之间线段最短可以说明，它是到四个顶点距离之和最小的位置.
探究一：
猜想：平行四边形对角线的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
已知：在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O(图4-20).
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：如图，在中，
(平行四边形的定义)，
.
又(平行四边形的对边相等)，
.
.
探究二：
例3 证明：如图，在中，
(平行四边形的定义)，
.
又(平行四边形的对角线互相平分)，，
.
.
思考：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
想一想：有无数种分法，分割线只要过对角线的交点
探究三：
例4：证明：(平行四边形的对角线互相平分)，
.
，
，即，
，即.
(平行四边形的对角线互相平分)，
.
课堂练习：
1.B;2.C;3.D;4.4，14;
5.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，OD=OB，
∴∠ABE=∠CDF.
∵E，F分别为OD，OB的中点，
∴OE=OD，OF=OB，
∴OE=OF，
∴BE=DF.
在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF.
6.解：(1)∵BC⊥AC，AB=8，∠ABC=30°，
∴AC=AB=4.
在Rt△ABC中，BC==4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=BD，OA=AC=2.
在Rt△AOD中，OD==2，
∴BD=2OD=4.
7.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°.
在△AEO和△CFO中，
∵
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴EO=FO.
(2)∵EF=4，
∴EO=EF=2.
在Rt△AEO中，AO==2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=4.
(3)∵AC=4，
∴BD=2AC=8.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=2，BO=BD=4.
又∵AC⊥AB，
∴AB==2，
∴S ABCD=AB·AC=2×4=8.
8.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠OBE=∠ODF.
在△OBE和△ODF中，
∵
∴△OBE≌△ODF(AAS)，
∴BO=DO.
(2)∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°.
又∵∠A=45°，∴∠G=45°=∠A，
∴AE=GE.
∵BD⊥AD，∴∠GDO=90°，
∴∠GOD=45°=∠G，∴DG=DO.
∵FG=1，DF⊥GO，
∴OF=FG=1.
又由(1)可知，△OBE≌△ODF，
∴OE=OF=1，
∴AE=GE=OE＋OF＋FG=3.
作业设计：
1.C ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，
不能得出AC和BD相等，故选C.
2.C 由平行四边形的对角线互相平分可知，点O是AC的中点，所以选项C正确，故选C.
3.
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，
∵AC⊥BC，∴BC=，
∴AB=.
4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OF=OD，OE=OB，∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE=CF.
5.解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OD=OB，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO.
在△DOF与△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(ASA)，∴OE=OF，
∵OE=3，∴EF=6.
6.D 已知△AOB是等边三角形，AB=3，
易求得S△AOB=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S ABCD=4S△AOB=9.
7.B ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=10，
∵AC+BD=34，∴CO+DO=17，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=27.
8.D 设PQ与AC交于点O，如图，作OP'⊥BC于点P'.
∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC，OP=OQ.
易知当点P与P'重合时，OP的长最小，此时PQ的值最小，
在Rt△ABC中，∠B=60°，∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=24，
∴AC=，
∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC=6，
∵OP'⊥BC，∠ACB=30°，∴OP'=.
∴PQ的最小值=2OP'=6.故选D.
9.2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∴△ABO的周长比△BCO的周长多(AB+OB+OA)-(BC+OC+OB)
=AB-BC=5-3=2.
10.5
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，∴AE=CE，
∴AD+CD=AE+ED+CD=CE+ED+CD=5.
11.
解析 在 ABCD中，BO=DO，AB=CD=，AD=3，
∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴BD==8，
∴OD=BD=4，∴AO==5，
∵DE⊥AO，∴DE=.
12.16
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，BO=DO，∴∠EDO=∠FBO，
在△DOE与△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴△DEO的面积=△BFO的面积，
∴S△ADO+S△CEO+S△BFO=S△ADO+S△CEO+S△DEO
=S△ACD=×32=16.
13.(3，4)
解析 连结OF，延长BC交y轴于点M，
则MC⊥y轴，∵四边形OABC是平行四边形，
∴OD=BD，OA=BC，
∵DE垂直平分线段OB，∴OF=BF，
∵点A(6，0)，点C(2，4)，
∴BC=OA=6，CM=2，OM=4，
设CF=x，则OF=BF=6-x，
在Rt△OMF中，MF2+OM2=OF2，
即(2+x)2+42=(6-x)2，解得x=1，
∴FM=CM+CF=3，∴点F的坐标为(3，4).
14.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠PAO=∠QCO，∠APO=∠CQO，
在△AOP和△COQ中，
∴△APO≌△CQO(AAS)，∴OP=OQ.
(2)∵点O是平行四边形的对角线BD、AC的交点，
∴S△AOD=S△COD=×12=3，
∵AP=1，PD=4，
∴S△AOP=×3=0.6，
又∵△APO≌△CQO，
∴S△APO=S△CQO=0.6，
∴四边形ODCQ的面积=3+0.6=3.6.
15.解：(1)OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE=OF.
(2)OE=OF仍然成立.证明：如图，延长FO与AE相交于点G，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴AE∥CF，∴∠GAO=∠FCO，
在△AGO和△CFO中，
∴△AGO≌△CFO(ASA)，∴OG=OF，
又∵∠AEF=90°，∴OE是Rt△GFE斜边的中线，
∴EO=GF=OF.
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课题名称：4.2平行四边形及其性质第3课时
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
能运用平行四边形的对角线性质解决对角线、边长的计算及简单几何证明问题，实现与前序性质的综合应用.
02
探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，能准确表述该性质并理解其推导过程.
01
进一步掌握“将四边形问题转化为三角形问题”的解题方法，提升逻辑推理和几何表达能力.
03
在探究合作中体会几何知识的关联性，培养数形结合、转化的数学思想，增强几何学习的兴趣.
04
复习回顾
1.平行四边形的定义是什么？
2.我们已经学行四边形的哪些性质？(从边、角两个角度回答)
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.边:平行四边形的对边平行且相等；角:平行四边形的对角相等，邻角互补.
情景问题
该设计合理.因为点O是平行四边形花坛的中心(即对角线的交点)，根据两点之间线段最短可以说明，它是到四个顶点距离之和最小的位置.
如图，在校园的平行四边形花坛中，园丁想在对角线、的交点处安装一个浇水装置，要使该装置到花坛四个顶点、、、的距离之和最小，请问这个设计是否合理？为什么？
探究新知
探究一：平行四边形对角线的性质
思考:任意画一个平行四边形，连结它的两条对角线.你发现了什么？你能证明你发现的结论吗？(请与你的同伴交流)
已知:在中，对角线交于点(图).
求证:.
猜想:平行四边形对角线的性质:
平行四边形的对角线互相平分.
探究新知
探究一：平行四边形对角线的性质
证明:如图，在中，
(平行四边形的定义)，
.
又(平行四边形的对边相等)，
.
.
探究新知
总结归纳：
平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分.
几何语言:
四边形是平行四边形
探究新知
探究二：平行四边形对角线性质的运用
证明:如图，在中，
(平行四边形的定义)，
.
又(平行四边形的对角线互相平分)，，
.
.
例3:已知:如图，的对角线交于点.过点作直线，分别交于点.求证:.
探究新知
探究二：平行四边形对角线性质的运用
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
思考:请判断下列图中，还成立么？
探究新知
探究二：利润问题2
有无数种分法，分割线只要过对角线的交点
想一想:有一块平行四边形的草地，学校想在中间留一条小路，把它分成面积相等的两块，请你来想想，可以怎样分？有多少种分法？
探究新知
方法总结：
1.核心思路:紧扣“对角线互相平分”性质，转化线段等量关系；
2.关键结论:过平行四边形对角线交点的直线，平分四边形的面积且平分对应边；
3.证明技巧:利用三角形全等或平行四边形对边平行、相等的性质推导.
探究新知
探究三：平行四边形性质的综合运用
例4:如图，在中，对角线交于点.若，求的长.
分析:因为平行四边形的两条对角线互相平分，所以要求的长，只需求出的长.在中，长已知，可求得的长.又，则可求.
探究新知
探究三：平行四边形性质的综合运用
证明:(平行四边形的对角线互相平分)，
.
，
，即，
，即.
(平行四边形的对角线互相平分)，
.
探究新知
方法总结：
1.解题步骤:先利用对角线互相平分得出线段一半的长度，再结合直角三角形勾股定理计算未知线段；
2.思想方法:综合运用转化思想(平行四边形问题→三角形问题)和数形结合思想，关联边、对角线的性质.
课堂练习
1.如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.如图，的两条对角线相交于点.若，则的周长为( )
A.6 B.7.5 C.9.5 D.14.5
B
C
课堂练习
D
4
3.如图， ABCD的周长为80cm，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则BC的长为( )
A.36cm B.24cm C.19cm D.16cm
4.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=8，S△AOB=14，则OA的长为 ，△AOD的面积为 .
14
课堂练习
证明:四边形是平行四边形，
，.
分别为的中点，
，，.
在和中，
，.
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OD，OB的中点，连结AE，CF.求证:AE=CF.
课堂练习
6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，且.
(1)求AD的长；(2)求BD的长.
解:(1)，
.
在中，.
四边形是平行四边形，
.
课堂练习
6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，且.
(1)求AD的长；(2)求BD的长.
(2)四边形是平行四边形，
.
在中，，
.
课堂练习
解:(1)四边形是平行四边形，.
，，
在△AEO和△CFO中
，.
7.如图，在中，对角线相交于点，，，垂足分别为.
(1)求证:.
(2)若，求的长.
(3)若，当时，求的面积.
课堂练习
解: (2)，
.
在中，.
四边形是平行四边形，
.
7.如图，在中，对角线相交于点，，，垂足分别为.
(1)求证:.
(2)若，求的长.
(3)若，当时，求的面积.
课堂练习
解:(3)，.
四边形是平行四边形，.
又，，
.
7.如图，在中，对角线相交于点，，，垂足分别为.
(1)求证:.
(2)若，求的长.
(3)若，当时，求的面积.
课堂练习
解:(1)四边形是平行四边形，
，.
在和中，
，
.
8.如图，在中，，分别是上的点，且，连结交于点.
(1)求证:.
(2)若，延长，交的延长线于点，求的长.
课堂练习
解:(2)，
.
又，，
.
，，
，.
，
.
又由可知，，
，
.
课堂小结
1.牢记平行四边形“对角线互相平分”的核心性质，理解其推导逻辑(三角形全等).
2.能运用性质解决线段相等证明、面积平分等问题，掌握与勾股定理的综合计算技巧.
3.明确过对角线交点的直线的特征，学会将平行四边形问题转化为三角形问题求解.
知识梳理
课后提升
1.如图，在中，是对角线的交点，下列结论错误的是( )
A.AB∥CD B. C. D.
2.如图，的对角线、相交于点，则下列说法一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AC=2，BD=4，则AB= .
基础作业：
C
C
课后提升
基础作业：
证明:四边形是平行四边形，，
分别是的中点，
，，
在和中
，.
4.如图，的对角线相交于点分别是的中点，求证:.
课后提升
基础作业：
解:四边形为平行四边形，，
，.
在与中
，，
，.
5.如图，平行四边形的对角线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连结、.若，求的长.
课后提升
基础作业：
6.在中，对角线相交于点是等边三角形，且，则平行四边形的面积是( )
A.3
7.如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，且，则的周长是( )
A.44 B.27 C.34 D.17
8.如图，在中，，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A.6 B.4
D
B
D
课后提升
9.在平行四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，对角线AC与BD相交于点O，则△ABO的周长比△BCO的周长多 .
10.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结EC.若△CDE的周长为5，则AD+CD= .
11.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD⊥BD，DE⊥AC于点E，若AD=3，CD=，则DE= .
能力提升：
2
课后提升
12.如图， ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF交DC边于点E，
交AB边于点F，已知 ABCD的面积为32，则S△ADO+S△CEO+S△BFO= .
13.已知平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴上，对角线AC，OB交于点D.分别以点O，点B为圆心，大于BO的长为半径画弧，两弧交于点E，连结DE交BC于点F.若点A(6，0)，点C(2，4)，
则点F的坐标为 .
16
课后提升
提升作业：
解:(1)证明:四边形是平行四边形，，
，
在△AOP和△COQ中，
∴△APO≌△CQO(AAS)，∴OP=OQ.
14.在中，点O是对角线的交点，点是边上一点，连结并延长交于点.
(1)求证:;
(2)已知的面积是，，，求四边形的面积.
课后提升
解(2)点是平行四边形的对角线的交点，
，
，
，
又，
，
四边形的面积.
课后提升
拓展作业：
15.在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，连结OE，OF.
(1)如图①，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明;
(2)若直线l不经过点O，请结合图②判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.
课后提升
解:(1).
证明:四边形是平行四边形，，
，，
在和中，
，.
课后提升
(2)仍然成立.证明:如图，延长与相交于点，
，，，
在和中，
，，
又，是斜边的中线，
.
Thanks!
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