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分课时学案
课题 4.1多边形第1课时 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解多边形、凸多边形、内角、外角、对角线的概念，能准确识别并表述四边形的相关元素，正确画出对角线和外角； 2.掌握四边形内角和等于360°的定理，理解证明的核心转化思想，能规范完成定理证明过程； 3.能运用四边形内角和定理解决角度计算.简单几何推理问题，提升几何计算和逻辑推理能力； 4.经历“操作猜想—推理论证”的探究过程，培养合作探究意识和几何直观，体会转化思想在几何学习中的价值。
重点 1.理解多边形.对角线等基本概念，掌握凸多边形的特征； 2.掌握四边形内角和定理，能运用定理进行角度计算和简单推理。
难点 理解并掌握将四边形转化为三角形证明内角和的推理思路，规范完成几何定理的演绎证明过程。
教学过程
导入新课 情景问题 校园广场要铺设四边形的地砖进行图案装饰，工人师傅测量了其中三块地砖的内角度数，第一块：80°.90°.100°，第二块：75°.85°.110°，第三块：95°.105°.60°，请分别求出每块四边形地砖的第四个内角的度数？你发现四边形的四个内角之间有什么共同规律？
新知讲解 探究活动一：多边形的有关概念 思考：你能类比三角形的定义，给多边形下一个定义吗？ 如图4-1，在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(不少于3条)首尾顺次相接形成的图形叫作多边形(polygon)。组成多边形的各条线段叫作多边形的边。 边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形。类似地，边数为5的多边形叫五边形…边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3)。 如图4-1，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角. 多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点. 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 说一说：说出如图4-2所示的四边形ABCD的各条边和各个内角，并画出各条对角线和任意一个外角. 思考：n边形的对角线的条数为多少？ 探究活动二：四边形的内角和定理 合作学习：在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起(四个角的顶点重合).你发现了什么？其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题吗？你能证明这个命题吗？ 四边形有以下的定理： __________________________________________________________________________ 已知：四边形. 求证：. 方法总结： 探究活动三：四边形内角和定理的应用 例1如图4-4，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1：1：0.6：1.求它的四个内角的度数.
课堂练习 课堂练习 1.在四边形的四个内角中，钝角个数最多为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2.四边形ABCD中，∠A=95°，∠B=120°，∠C=75°，则∠D=( ) A.110° B.90° C.80° D.70° 3.四边形ABCD中，∠A与∠C互为补角，∠B∠D=20°，则∠B∶∠D的度数为( ) A.4∶3 B.5∶4 C.6∶5 D.7∶6 4.如图，一块四边形玻璃破了一角，要想知道破掉的∠C的度数，只要测量∠A，∠B，∠D的度数，就能知道∠C的度数了，其根据是( ) A.四边形外角和是360° B.四边形外角和是180° C.四边形内角和是360°D.四边形内角和是180° 5.在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B∶∠C∶∠D=3∶4∶5，则∠D= . 6.如图，四边形各内角平分线分别交于点A，B，C，D，则∠ABC+∠ADC=_______________________. 7.在四边形ABCD中，∠D=80°，∠B比∠A大40°，∠C是∠A的3倍，求∠A，∠B，∠C的大小. 8.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A∶∠C=1∶5，AB=6，CD=. 求：(1)∠A，∠C的度数； (2)AD，BC的长度； (3)四边形ABCD的面积.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1.如图，四个图形中，属于我们教科书中所说的多边形的是( ) A B C D 2.如果过某多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是( ) A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形 3.一个六边形有 条对角线. 4.在四边形ABCD中，，比大，则的度数为( ) A.60° B.80° C.120° D.130° 5.已知过一个多边形的某一个顶点共可作2022条对角线，则这个多边形的边数是( ) A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 能力提升： 6.在四边形ABCD中，设∠A=∠C=α，∠B=∠D=90°+β，则( ) A. B. C. D. 7.在四边形ABCD中，设∠A=∠B=∠C=α，∠D=β，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 8.如图，在四边形中，平分交线段于点，，求的度数. 拓展迁移： 9.如图，在四边形中，平分交于点，交的延长线于点为延长线上一点，. (1)求证：; (2)若，求的度数.
参考答案：
情景问题：
1.第一块第四个内角：360°-80°-90°-100°=90°；
2.第二块第四个内角：360°-75°-85°-110°=90°；
3.第三块第四个内角：360°-95°-105°-60°=100°；
4.共同规律：四边形的四个内角相加的和始终为360°。
探究一：
答案：
如上图，
边：AB，BC，CD，DA
内角：∠A，∠B，∠C，∠D
对角线：AC，BD，
外角：∠DCE
探究二：
证明：如图4-3，连结.
，
，
，
即.
探究三：
解：(四边形的内角和等于360°)，
又的度数之比为，
设度，则有，
解得.
.
课堂练习：
1.B；2.D；3.B；4.C；5.100°；6.180°；
7.解：四边形的内角和为，
∴，
解得.
的大小分别为.
8.解：延长BC与AD相交于点E.
(1)∵四边形ABCD的内角和为360°，∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠C=180°
∵∠A∶∠C=1∶5，
∴∠A=30°，∠C=150°.
(2)在Rt△ABE中，∠A=30°，
∴∠E=60°，
∴AE=2BE，
∴AE2BE2=AB2
∴3BE2=62
∵BE>0，∴BE=，
∴AE=.
在Rt△CDE中，∠E=60°，
∴∠ECD=30°，
∴CE=2DE，
∴CE2DE2=CD2
∴3DE2=
∵DE>0，∴DE=1，∴EC=2.
∴AD=AEED=1，
∴BC=BECE=2.
(3)S△ABE，
S△CDE，
四边形ABCD的面积=S△ABES△CDE=.
作业设计：
1.C 教科书中所说的多边形都指凸多边形，即多边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧.选项C中的图形就是这样的多边形.
2.B ∵过某多边形的一个顶点的对角线有5条，
∴多边形的边数为5+3=8.
3.9
解析 如图，六边形有9条对角线.
4.C ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180°，
∴∠B+∠D=180°，又∵∠B-∠D=60°，
∴∠B=120°.
5.D 设多边形的边数为n，则n-3=2022，解得n=2025.
6.B ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C=α，∠B=∠D=90°+β，
∴α+90°+β+α+90°+β=360°，
∴2α+2β=180°，即α=90°-β.
7.D 在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠B=∠C=α，∠D=β，∴3α+β=360°.
当α=60°时，3×60°+β=360°，解得β=180°，所以A错误;
当α=70°时，3×70°+β=360°，解得β=150°，所以B错误;
当α=80°时，3×80°+β=360°，解得β=120°，所以C错误;
当α=90°时，3×90°+β=360°，解得β=90°，所以D正确.故选D.
8.解：∵BE平分∠ABC(已知)，
∴∠2=∠EBC(角平分线的定义)，
又∵∠1=∠2(已知)，∴∠1=∠EBC(等量代换)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠C=110°(已知)，∴∠D=70°.
9.解：(1)证明：∵∠ADE+∠BCF=180°，∠BCE+∠BCF=180°，
∴∠ADE=∠BCE，∴AD∥BC.
(2)由(1)得AD∥BC，∴∠AGB=∠EBC，
∵∠AGB=∠DGE，∴∠EBC=∠DGE=30°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABG=∠EBC=30°，
∴∠A=180°-30°-30°=120°.
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4.1多边形第1课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.1多边形第1课时 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”领域核心要求，引导学生理解多边形、凸多边形、对角线等基本概念，掌握四边形内角和定理并能灵活应用；通过剪拼.推理证明等活动，发展几何直观、推理能力和合作探究能力；体会“转化”思想(将四边形转化为三角形)在几何证明中的运用，能运用四边形内角和定理解决角度计算.简单推理问题；培养学生从具体图形到抽象概念的认知能力，为后续多边形内角和。平行四边形学习奠定基础，契合新课标“注重直观感知与逻辑推理并重”的导向。
教材分析 本节课是第四章平行四边形的开篇课，是三角形知识的延伸与拓展，核心围绕多边形基本概念和四边形内角和定理展开。教材以镶嵌问题引题，先定义多边形、内角、外角、对角线等概念，限定研究对象为凸多边形，再通过合作剪拼实验猜想四边形内角和，进而用“连接对角线”的方法完成严谨证明，最后通过例题实现定理的初步应用。内容设计遵循“直观感知—操作猜想—推理论证—应用巩固”的认知规律，“转化”思想贯穿始终，既是对三角形内角和知识的迁移运用，也是后续探究n边形内角和的重要铺垫，具有承上启下的关键作用。
学情分析 学生已熟练掌握三角形的有关概念。内角和定理及全等三角形知识，具备初步的几何直观和简单推理能力，能通过剪拼、测量进行合理猜想。但学生对“多边形”的抽象概念认知空白，对将四边形转化为三角形的推理思路需引导构建；部分学生几何语言表达不规范，推理论证的逻辑链条不够完整；此外，学生对凸多边形的特征理解易出现偏差，需结合具体图形辨析，整体在“合情推理向演绎推理过渡”中存在一定困难。
教学目标 1.理解多边形、凸多边形、内角、外角、对角线的概念，能准确识别并表述四边形的相关元素，正确画出对角线和外角； 2.掌握四边形内角和等于360°的定理，理解证明的核心转化思想，能规范完成定理证明过程； 3.能运用四边形内角和定理解决角度计算。简单几何推理问题，提升几何计算和逻辑推理能力； 4.经历“操作猜想—推理论证”的探究过程，培养合作探究意识和几何直观，体会转化思想在几何学习中的价值。
教学重点 1.理解多边形.对角线等基本概念，掌握凸多边形的特征； 2.掌握四边形内角和定理，能运用定理进行角度计算和简单推理。
教学难点 理解并掌握将四边形转化为三角形证明内角和的推理思路，规范完成几何定理的演绎证明过程。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景问题 校园广场要铺设四边形的地砖进行图案装饰，工人师傅测量了其中三块地砖的内角度数，第一块：80°.90°.100°，第二块：75°.85°.110°，第三块：95°.105°.60°，请分别求出每块四边形地砖的第四个内角的度数？你发现四边形的四个内角之间有什么共同规律？ 预设答案 1.第一块第四个内角：360°-80°-90°-100°=90°； 2.第二块第四个内角：360°-75°-85°-110°=90°； 3.第三块第四个内角：360°-95°-105°-60°=100°； 4.共同规律：四边形的四个内角相加的和始终为360°。 呈现四边形地砖铺地的实际情境，引导学生计算未知内角度数，猜想四边形内角和规律。 通过计算具体四边形未知内角，发现内角和的共性，产生探究定理的兴趣。 从生活实际切入，衔接三角形内角和旧知，为四边形内角和定理探究铺垫情境。
探究活动一：多边形的有关概念 思考：你能类比三角形的定义，给多边形下一个定义吗？ 如图4-1，在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(不少于3条)首尾顺次相接形成的图形叫作多边形(polygon)。组成多边形的各条线段叫作多边形的边。 边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形。类似地，边数为5的多边形叫五边形…边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3)。 如图4-1，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角. 多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点. 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 说一说：说出如图4-2所示的四边形ABCD的各条边和各个内角，并画出各条对角线和任意一个外角. 答案： 如上图， 边：AB，BC，CD，DA 内角：∠A，∠B，∠C，∠D 对角线：AC，BD， 外角：∠DCE 思考：n边形的对角线的条数为多少？ 多边形的对角线的条数： 从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，其中每条对角线都重复一次，所以n边形共有条对角线. 引导学生类比三角形定义抽象多边形概念，结合图形辨析边.内角.外角.对角线等元素，强调凸多边形特征。 自主归纳多边形相关概念，动手画对角线.外角，区分凸多边形与非凸多边形。 培养抽象概括能力，夯实概念基础，为后续定理探究提供知识支撑。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：四边形的内角和定理 合作学习：在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起(四个角的顶点重合).你发现了什么？其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题吗？你能证明这个命题吗？ 四边形有以下的定理： 四边形的内角和等于. 已知：四边形. 求证：. 证明：如图4-3，连结. ， ， ， 即. 方法总结：四边形的内角和定理 1.核心思想：将四边形转化为三角形(连接对角线)，利用三角形内角和180°推导； 2.证明关键：通过作辅助线拆分图形，建立未知与已知的关联，规范“已知—求证—证明”的推理流程。 指导学生通过剪拼.连线等操作猜想内角和，示范“连接对角线”将四边形转化为三角形的证明方法，规范推理逻辑。 分组完成剪拼实验，参与证明过程，理解转化思想的核心作用。 经历“操作猜想—推理论证”过程，落实转化思想，发展几何推理与逻辑表达能力。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：四边形内角和定理的应用 例1如图4-4，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1：1：0.6：1.求它的四个内角的度数. 解：(四边形的内角和等于360°)， 又的度数之比为， 设度，则有， 解得. . 总结归纳：四边形内角和定理的应用 1.角度计算：直接利用“四边形内角和=360°”，结合已知角求未知角，注意互补.互余关系的运用； 2.比例问题：设每份为x，根据角度比例表示各角，列方程求解，验证结果合理性。 示范定理在角度计算中的应用，强调比例型问题的设元技巧，巡视指导易错点。 运用定理解决角度计算.比例分配等问题，规范解题步骤。 巩固定理应用，提升几何计算能力，强化知识与实际问题的关联。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.在四边形的四个内角中，钝角个数最多为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2.四边形ABCD中，∠A=95°，∠B=120°，∠C=75°，则∠D=( ) A.110° B.90° C.80° D.70° 3.四边形ABCD，∠A与∠C互为补角，∠B∠D=20°，则∠B∶∠D的度数为( ) A.4∶3 B.5∶4 C.6∶5 D.7∶6 4.如图，一块四边形玻璃破了一角，要想知道破掉的∠C的度数，只要测量∠A，∠B，∠D的度数，就能知道∠C的度数了，其根据是( ) A.四边形外角和是360° B.四边形外角和是180° C.四边形内角和是360° D.四边形内角和是180° 5.在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B∶∠C∶∠D=3∶4∶5，则∠D= . 6.如图，四边形各内角平分线分别交于点A，B，C，D，则∠ABC+∠ADC= . 7.在四边形ABCD中，∠D=80°，∠B比∠A大40°，∠C是∠A的3倍，求∠A，∠B，∠C的大小. 8.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A∶∠C=1∶5，AB=6，CD=. 求：(1)∠A，∠C的度数； (2)AD，BC的长度； (3)四边形ABCD的面积. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.理解多边形.凸多边形.对角线等核心概念，能准确识别图形元素，掌握n边形对角线公式。 2.牢记四边形内角和为360°，理解“转化为三角形”的证明思路，能规范完成简单推理。 3.运用定理解决角度计算.比例分配等问题，掌握设元.列方程的解题技巧。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.1多边形(第1课时) 一.核心概念 多边形：平面内首尾顺次相接的线段组成的图形(凸多边形：各边在任一边所在直线同侧)； 相关元素：边.内角.外角.对角线(n边形对角线公式：2n(n 3) )。 二.核心定理 四边形内角和定理：四边形内角和=360°； 证明方法：转化思想(连接对角线→2个三角形)。 三.应用步骤 设元(比例型问题)→列方程(利用360°)→求解→验证 利用简洁的文字.符号.图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
课后提升 基础达标： 1.如图，四个图形中，属于我们教科书中所说的多边形的是( ) A B C D 2.如果过某多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是( ) A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形 3.一个六边形有 条对角线. 4.在四边形ABCD中，，比大，则的度数为( ) A.60° B.80° C.120° D.130° 5.已知过一个多边形的某一个顶点共可作2022条对角线，则这个多边形的边数是( ) A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 能力提升： 6.在四边形ABCD中，设∠A=∠C=α，∠B=∠D=90°+β，则( ) A. B. C. D. 7.在四边形ABCD中，设∠A=∠B=∠C=α，∠D=β，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 8.如图，在四边形中，平分交线段于点，，求的度数. 拓展迁移： 9.如图，在四边形中，平分交于点，交的延长线于点为延长线上一点，. (1)求证：; (2)若，求的度数.
教学反思 本节课以生活情景导入，有效激发了学生的探究兴趣，多数学生能理解多边形相关概念，掌握四边形内角和定理并进行简单角度计算。但教学中仍存在不足：一是部分学生对凸多边形的特征辨析不清晰，易与非凸多边形混淆；二是定理证明环节，少数学生无法自主想到“连接对角线”的转化方法，对推理过程的逻辑表述不规范；三是小组合作探究时，个别学生参与度不高，合情猜想与演绎推理的衔接不够顺畅。后续教学需增加凸.非凸多边形的对比辨析练习，强化转化思想的引导渗透，规范几何语言表达训练，设计分层探究任务，让不同层次学生都能参与到推理证明的过程中，切实提升学生的几何推理能力。
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