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分课时学案
课题 4.3图形的旋转第2课时 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解中心对称和中心对称图形的概念，能准确区分二者的联系与区别，识别常见的中心对称图形； 2.掌握中心对称的性质，能按要求作出一个图形关于某点成中心对称的图形，掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征； 3.能运用中心对称的性质解决简单的几何作图和坐标问题，体会旋转180°与中心对称的内在关联，发展逻辑推理和作图能力； 4.感受中心对称在生活和几何中的应用，培养空间观念，能区分中心对称图形与轴对称图形，提升图形识别能力。
重点 1.理解中心对称和中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质； 2.能作出图形关于某点的中心对称图形，掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征。
难点 准确区分中心对称与中心对称图形的概念，能灵活运用中心对称的性质完成几何作图并解决相关几何问题。
教学过程
导入新课 复习问题 1.图形旋转的三要素是什么？旋转具有哪些基本性质？ 2.把平行四边形绕其对角线交点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合吗？请结合旋转的性质说明理由；若将一个三角形绕某定点旋转180°，旋转后的三角形与原三角形是什么位置关系？
新知讲解 探究活动一：中心对称的概念 如图是的对角线的交点.以为旋转中心，把按顺时针方向旋转，作出所得的图形. 你发现了什么？请剪出图形动手试一试，观察旋转前后原图形和新图形的位置情况. 如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做 ，这个点叫 . 如图的是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 类似地，如果一个图形绕着一个点旋转后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点成中心对称. 如图，绕点旋转后与重合，与关于点成中心对称. 做一做：下列哪些图形是中心对称图形？ 探究活动二：作中心对称图形 例1如图4-27，已知和点，作，使与关于点成中心对称. 探究活动三：关于原点成中心对称的点的坐标特征 例4：求证：在直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称.
课堂练习 课堂练习 1.下列图形中，不属于中心对称图形的是() A.B.C. D. 2.下列各图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() A.B. C.D. 3.在平面直角坐标系中，点A(1，4)关于原点对称的点的坐标是() A.(4，1)B.(－1，4)C.(－4，－1)D.(－1，－4) 4.在平面直角坐标系中，若点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点成中心对称，则m的值是。 5.如图，在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答问题。 (1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案。选出的三个图案是(填序号)，它们都是图形(填“中心对称”或“轴对称”)。 (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有与(1)中所选图案相同的对称性。 6.如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形。要求：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点(网格线的交点)上。 7.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点A，B的对应点分别为点D，E，连结AE，BD。 (1)线段AE，BD具有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由。 (2)如果△ABC的面积为a(cm2)，求四边形ABDE的面积。 8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度。平面直角坐标系xOy的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上，线段AB的两个端点也在格点上。 (1)(2分)将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，试在图中画出线段A1B1。 (2)(2分)线段A2B2与线段A1B1关于点O对称，请画出线段A2B2。 (3)在第四象限确定两格点C，D，画出四边形ABCD，使得四边形ABCD为中心对称图形且面积为4。 9.如图，在平面直角坐标系中，点A(－4，2)，B(－1，－2)， ABCD的对角线相交于坐标原点O。 (1)请直接写出点C，D的坐标。 (2)写出从线段AB到线段CD的变换过程。 (3)求△AOB的面积。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1.没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界.下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是( ) A.笛卡儿心形线 B.三叶玫瑰形曲线C.蝴蝶形曲线 D.太极曲线 2.围棋在我国古代称为弈，相传已有4000多年的历史，春秋战国时期，围棋已在社会上广泛流传了，围棋也被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，下图是截取的两人在围棋比赛中的四个部分，由黑白棋子摆成的图形是中心对称图形的是( ) A BC D 3.如图，图④可以通过部分图的平移、轴对称得到，则图①—图④中，忽视中心点，其中属于中心对称图形的有 个. 图① 图② 4.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( ) A.点A与点A'是一对对称点B.BO=B'OC.∠AOB=∠A'OB'D.∠ACB=∠C'A'B' 5.如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？ 6.如图所示，三角形ABC和三角形A'B'C'关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，并补全三角形A'B'C'. 7.在平面直角坐标系中，点A(-1，2)关于原点O对称的点A1的坐标是( ) A.(1，2) B.(-1，-2) C.(1，-2) D.(1，0) 8.若点P(m，m-n)与点Q(-2，3)关于原点对称，则点M(m，n)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 能力提升： 9.在平面直角坐标系中，已知点A(2a-b，-8)与点B(-2，a+3b)关于原点对称，则a、b的值为( ) A.-2，-2 B.-2，2 C.2，-2 D.2，2 10.在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形( ) A BC D 11.将一张正方形纸片按如图①②所示的步骤沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形( ) 图① 图② 图③ 图④ A.是轴对称图形，但不是中心对称图形 B.是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D.是中心对称图形，也是轴对称图形 12.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是( ) A.(3，-1) B.(0，0) C.(2，-1) D.(-1，3) 13.如图，直线MN过 ABCD的对称中心O，交AD于点M，交BC于点N，已知S ABCD=4，则S阴影= . 14.如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称. 拓展迁移： 15.数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围. 解决方法：如图①，延长AD到E，使得DE=AD，再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD).把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2
EF; (2)若∠A=90°，试探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明. 图① 图②
参考答案：
复习问题：
1.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度；旋转性质：旋转后图形与原图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角度。
2.平行四边形绕对角线交点旋转180°能与原图形重合，因为平行四边形对角线互相平分，各顶点绕交点旋转180°后能与对顶点重合，符合旋转性质；三角形绕定点旋转180°后，与原三角形关于这个定点成对称关系。
探究一：
(1)(3)(4)是中心对称图形
探究二：
解：如图4-28.
(1)连结并延长到，使，则点即点关于点成中心对称的对称点.
(2)同理，作出点的对称点.
(3)连结.
即为所求作的三角形.
探究三：
证明：如图，连结，作轴，轴，分别为垂足.
，
，
.
.
，
即在一条直线上，当将点绕点旋转时，点与点重合.
所以点关于原点成中心对称(我们也称为点关于原点对称).
课堂练习：
1.C;2.D;3.D;4.1;5.(1)①③⑤，轴对称(或②④⑥ 中心对称)，(2)解：(2)轴对称图形如答图1所示(答案不唯一)，中心对称图形如答图2所示(答案不唯一)。
6.解：如答图所示(答案均不唯一)。
7.解：(1)AE∥BD，且AE=BD。理由如下：
∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点A，B的对应点分别为点D，E，
∴A，C，D三点共线，B，C，E三点共线，AC=DC，BC=EC，
∴∠ACE=∠DCB。
在△ACE与△DCB中，
∵
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=DB，∠EAC=∠BDC，
∴AE∥BD。
(2)易知△ABC与△ACE等底同高，所以S△ABC=S△ACE。
同理可得S△BCD=S△CDE。
又由(1)，得S△ACE=S△BCD，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE。
又∵△ABC的面积为a(cm2)，
∴四边形ABDE的面积为4a(cm2)。
8.解：(1)如答图，线段A1B1即为所作。
(2)如答图，线段A2B2即为所作。
(3)如答图，四边形ABCD即为所作。
9.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD关于点O成中心对称。
∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，
∴点C(4，－2)，D(1，2)。
(2)线段AB到线段CD的变换过程是绕点O旋转180°(答案不唯一)。
(3)∵点A(－4，2)，D(1，2)，
∴S△AOD=×5×2=5。
又易知O为BD的中点，
∴S△AOB=S△AOD=5。
课后提升：
1.D 根据中心对称图形的概念判断.选择A、B、C中的图形都不是中心对称图形，选项D中的图形是中心对称图形，故选D.
2.D 选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选D.
3.3
解析 题图①③④是中心对称图形，共3个.
4.D ∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与点A'是一对对称点，OB=OB'，∠AOB=∠A'OB'，∴选项A，B，C不合题意.∵∠ACB与∠C'A'B'不是对应角，∴∠ACB=∠C'A'B'不成立，∴选项D符合题意，故选D.
5.解析 ∠B与∠F相等，理由如下：∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，∴∠B=∠DEC，∵AF∥BE，∴∠F=∠DEC，∴∠B=∠F.
6.解析 如图，点O、△A'B'C'即为所求.
7.C 利用关于原点对称的点的坐标的特点进行解答即可.点A(-1，2)关于原点O对称的点A1的坐标是(1，-2)，故选C.
8.A ∵点P(m，m-n)与点Q(-2，3)关于原点对称，
∴m=2，m-n=-3，解得n=5，
∴点M的坐标为(2，5)，∴点M在第一象限.
故选A.
9.D ∵点A(2a-b，-8)与点B(-2，a+3b)关于原点对称，
∴故选D.
10.D 如图所示，只有选项D中的图形可以与已有图形组成中心对称图形.故选D.
11.D 将题图④展开铺平后的图形大致如下：
所以题图④展开铺平后的图形是中心对称图形，也是轴对称图形.故选D.
12.A 如图，连结AA1，CC1，则交点就是对称中心E点.观察图形可知，E(3，-1).故选A.
13.1
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥CN，OA=OC，∴∠MAO=∠NCO，∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON(ASA)，∴S△AOM=S△CON，
∴S阴影=S△AOM+S△BON=S△BOC=S平行四边形ABCD=1.
14.解析 如图，四边形A'B'C'D'即为所求作的图形.
15.解析 (1)证明：如图，延长FD到G，使得DG=DF，连结BG，EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD)，
易知CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG.
在△BEG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF.
(2)BE2+CF2=EF2.证明如下：
∵∠A=90°，∴∠EBC+∠FCB=90°，
易知∠FCD=∠DBG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
由(1)知BG=CF，EG=EF，∴BE2+CF2=EF2.
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4.3图形的旋转第2课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.3图形的旋转第2课时 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”领域核心素养要求，引导学生理解中心对称和中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质及中心对称图形的判定方法；能作出一个图形关于某点成中心对称的图形，能在平面直角坐标系中识别关于原点对称的点的坐标特征；发展几何直观、空间观念和逻辑推理能力，体会旋转与中心对称的内在关联；能区分中心对称图形与轴对称图形，感受图形变换的数学价值，为后续深入研究平行四边形的中心对称特征奠定基础.
教材分析 本节课是图形旋转的延伸与应用，以旋转180°为核心引出中心对称与中心对称图形的概念，是平行四边形性质探究的重要理论支撑.教材以平行四边形旋转180°的操作引题，先界定中心对称和中心对称图形的概念，再提炼出“对称中心平分连结两个对称点的线段”的性质，通过例题讲解中心对称图形的作图及平面直角坐标系中原点对称的坐标特征，实现概念与性质的应用.内容设计从旋转到中心对称，层层递进，既完善了图形变换知识体系，又建立了旋转与平行四边形的关联，是衔接旋转性质与特殊四边形学习的关键内容.
学情分析 学生已掌握图形旋转的定义、三要素和性质，能作出简单图形旋转后的图形，也认识过轴对称图形，具备一定的动手操作和几何推理能力.但学生易混淆中心对称与中心对称图形的概念，难以区分“两个图形的位置关系”和“一个图形的自身特征”；作图时难以准确找到对称点的位置；在平面直角坐标系中，对原点对称的坐标特征的推导和应用需引导，部分学生也无法快速区分中心对称图形与轴对称图形的特征.
教学目标 1.理解中心对称和中心对称图形的概念，能准确区分二者的联系与区别，识别常见的中心对称图形； 2.掌握中心对称的性质，能按要求作出一个图形关于某点成中心对称的图形，掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征； 3.能运用中心对称的性质解决简单的几何作图和坐标问题，体会旋转180°与中心对称的内在关联，发展逻辑推理和作图能力； 4.感受中心对称在生活和几何中的应用，培养空间观念，能区分中心对称图形与轴对称图形，提升图形识别能力.
教学重点 1.理解中心对称和中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质； 2.能作出图形关于某点的中心对称图形，掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征.
教学难点 准确区分中心对称与中心对称图形的概念，能灵活运用中心对称的性质完成几何作图并解决相关几何问题.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习问题 1.图形旋转的三要素是什么？旋转具有哪些基本性质？ 2.把平行四边形绕其对角线交点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合吗？请结合旋转的性质说明理由；若将一个三角形绕某定点旋转180°，旋转后的三角形与原三角形是什么位置关系？ 答案 1.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度；旋转性质：旋转后图形与原图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角度. 2.平行四边形绕对角线交点旋转180°能与原图形重合，因为平行四边形对角线互相平分，各顶点绕交点旋转180°后能与对顶点重合，符合旋转性质；三角形绕定点旋转180°后，与原三角形关于这个定点成对称关系. 回顾图形旋转的三要素与性质，引导学生关联“旋转180°”的特殊特征，为中心对称概念铺垫. 复述旋转核心知识，思考平行四边形旋转180°的重合现象，建立新旧知识关联. 衔接上一课时旋转知识，通过特殊旋转情境引出新课题，降低概念理解难度.
探究活动一：中心对称的概念 如图是的对角线的交点.以为旋转中心，把按顺时针方向旋转，作出所得的图形. 你发现了什么？请剪出图形动手试一试，观察旋转前后原图形和新图形的位置情况. 如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心. 如图的是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 类似地，如果一个图形绕着一个点旋转后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点成中心对称. 如图，绕点旋转后与重合，与关于点成中心对称. 做一做：下列哪些图形是中心对称图形？ (1)(3)(4)是中心对称图形 总结归纳：根据中心对称图形的定义，容易得出中心对称图形的以下性质： 对称中心平分连结两个对称点的线段. 指导学生动手操作平行四边形旋转实验，引导抽象中心对称与中心对称图形的定义，辨析二者区别与联系. 动手旋转图形、观察重合现象，归纳概念内涵，区分“两个图形”与“一个图形”的本质差异. 经历“操作—观察—抽象”过程，夯实概念基础，突破“中心对称与中心对称图形混淆”的难点.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：作中心对称图形 例3：如图4-27，已知和点，作，使与关于点成中心对称. 解：如图4-28. (1)连结并延长到，使，则点即点关于点成中心对称的对称点. (2)同理，作出点的对称点. (3)连结. 即为所求作的三角形. 方法总结： 1.作图核心：先找原图形各顶点关于对称中心的对称点，再顺次连接对称点； 2.对称点找法：连结顶点与对称中心并延长，在延长线上截取与原线段等长的线段，端点即为对称点； 3.注意事项：作图需保留辅助线(连线、延长线)，标注对应点与对称中心，确保图形准确性. 示范对称点的找法与作图步骤，强调“延长线段、截取等长”的关键技巧，巡视指导规范作图. 按步骤作出图形的中心对称图形，总结作图关键，提升动手操作与空间想象能力. 掌握中心对称作图的核心方法，落实“数形结合”思想，发展几何作图的严谨性.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：关于原点成中心对称的点的坐标特征 例4：求证：在直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称. 分析：由中心对称的定义知，要证明两点关于原点对称，只需证明三点共线，且即可. 证明：如图，连结，作轴，轴，分别为垂足. ， ， . . ， 即在一条直线上，当将点绕点旋转时，点与点重合. 所以点关于原点成中心对称(我们也称为点关于原点对称). 总结归纳：关于原点对称的两点的坐标特征： 关于原点对称两点横纵坐标均互为相反数，即点关于原点成中心对称的点的坐标是. 引导学生通过坐标计算、全等证明推导原点对称的坐标规律，规范推理逻辑，强化规律应用. 参与推导过程，牢记“横纵坐标互为相反数”的特征，运用规律解决坐标变换问题. 建立几何图形与坐标的关联，提升代数推理与几何应用的综合能力.
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.下列图形中，不属于中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.下列各图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A.B.C.D. 3.在平面直角坐标系中，点A(1，4)关于原点对称的点的坐标是( ) A.(4，1)B.(－1，4)C.(－4，－1)D.(－1，－4) 4.在平面直角坐标系中，若点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点成中心对称，则m的值是 . 5.如图，在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答问题. (1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案.选出的三个图案是 (填序号)，它们都是 图形(填“中心对称”或“轴对称”). (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有与(1)中所选图案相同的对称性. 6.如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形.要求：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点(网格线的交点)上. 7.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点A，B的对应点分别为点D，E，连结AE，BD. (1)线段AE，BD具有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由. (2)如果△ABC的面积为a(cm2)，求四边形ABDE的面积. 8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度.平面直角坐标系xOy的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上，线段AB的两个端点也在格点上. (1)将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，试在图中画出线段A1B1. (2)线段A2B2与线段A1B1关于点O对称，请画出线段A2B2. (3)在第四象限确定两格点C，D，画出四边形ABCD，使得四边形ABCD为中心对称图形且面积为4. 9.如图，在平面直角坐标系中，点A(－4，2)，B(－1，－2)， ABCD的对角线相交于坐标原点O. (1)请直接写出点C，D的坐标. (2)写出从线段AB到线段CD的变换过程. (3)求△AOB的面积. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.明确中心对称(两图形关系)与中心对称图形(一图形特征)的区别与联系，能准确识别常见中心对称图形. 2.熟练掌握中心对称图形的作图方法，能根据坐标特征快速找原点对称点. 3.运用“对称中心平分对称点连线”“原点对称坐标规律”解决作图、坐标变换问题. 4.体会旋转与中心对称的内在关联，发展空间观念与逻辑推理能力，为后续平行四边形中心对称特征学习奠定基础. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 4.3图形的旋转(第2课时) 一、核心概念 中心对称：两个图形绕点旋转180°重合； 中心对称图形：一个图形绕点旋转180°与自身重合(对称中心). 二、关键性质 对称中心平分对称点连线； 原点对称坐标：(x，y) (-x，-y). 三、作图步骤 连顶点与对称中心； 延长线段取等长(找对称点)； 顺次连接对称点. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界.下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是( ) A.笛卡儿心形线 B.三叶玫瑰形曲线 C.蝴蝶形曲线 D.太极曲线 2.围棋在我国古代称为弈，相传已有4000多年的历史，春秋战国时期，围棋已在社会上广泛流传了，围棋也被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，下图是截取的两人在围棋比赛中的四个部分，由黑白棋子摆成的图形是中心对称图形的是( ) A B C D 3.如图，图④可以通过部分图的平移、轴对称得到，则图①—图④中，忽视中心点，其中属于中心对称图形的有 个. 4.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( ) A.点A与点A'是一对对称点B.BO=B'OC.∠AOB=∠A'OB'D.∠ACB=∠C'A'B' 5.如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？ 6.如图所示，三角形ABC和三角形A'B'C'关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，并补全三角形A'B'C'. 7.在平面直角坐标系中，点A(-1，2)关于原点O对称的点A1的坐标是( ) A.(1，2) B.(-1，-2) C.(1，-2) D.(1，0) 8.若点P(m，m-n)与点Q(-2，3)关于原点对称，则点M(m，n)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 能力提升： 9.在平面直角坐标系中，已知点A(2a-b，-8)与点B(-2，a+3b)关于原点对称，则a、b的值为( ) A.-2，-2 B.-2，2 C.2，-2 D.2，2 10.在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形( ) A B C D 11.将一张正方形纸片按如图①②所示的步骤沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形( ) 图① 图② 图③ 图④ A.是轴对称图形，但不是中心对称图形 B.是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D.是中心对称图形，也是轴对称图形 12.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是( ) A.(3，-1) B.(0，0) C.(2，-1) D.(-1，3) 13.如图，直线MN过 ABCD的对称中心O，交AD于点M，交BC于点N，已知S ABCD=4，则S阴影= . 14.如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称. 拓展迁移： 15.数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围. 解决方法：如图①，延长AD到E，使得DE=AD，再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD).把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2EF; (2)若∠A=90°，试探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明. 图① 图②
教学反思 本节课以旋转知识复习导入，自然衔接中心对称的概念，多数学生能理解核心概念并掌握中心对称的基本性质，能完成简单的中心对称作图.但教学中仍存在不足：一是部分学生始终混淆中心对称和中心对称图形，无法区分“两个图形”和“一个图形”的本质差异；二是作图时部分学生不会通过延长线段并截取等长的方法找对称点，作图步骤不规范；三是在区分中心对称图形与轴对称图形时，对部分特殊图形(如菱形、矩形)的双重特征识别不清晰.后续教学需增加概念对比辨析训练，通过实例强化二者区别，规范中心对称作图的步骤指导，设计图形分类识别习题，让学生掌握常见图形的变换特征，切实提升空间观念和图形识别能力.
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课题名称：4.3图形的旋转第2课时
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
掌握中心对称的性质,能按要求作出一个图形关于某点成中心对称的图形,掌握关于原点对称的点的坐标特征；
02
理解中心对称和中心对称图形的概念,能准确区分二者的联系与区别,识别常见的中心对称图形；
01
能运用中心对称的性质解决简单的几何作图和坐标问题,体会旋转与中心对称的内在关联,发展逻辑推理和作图能力；
03
感受中心对称在生活和几何中的应用,培养空间观念,能区分中心对称图形与轴对称图形,提升图形识别能力。
04
复习问题
1.图形旋转的三要素是什么？旋转具有哪些基本性质？
1.旋转三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度；旋转性质:旋转后图形与原图形全等,对应点到旋转中心距离相等,对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角度。
复习问题
2.把平行四边形绕其对角线交点旋转180°,旋转后的图形能与原图形重合吗？请结合旋转的性质说明理由；若将一个三角形绕某定点旋转180°,旋转后的三角形与原三角形是什么位置关系？
2.平行四边形绕对角线交点旋转180°能与原图形重合,因为平行四边形对角线互相平分,各顶点绕交点旋转180°后能与对顶点重合,符合旋转性质；三角形绕定点旋转180°后,与原三角形关于这个定点成对称关系。
探究新知
探究一：中心对称的概念
你发现了什么？请剪出图形动手试一试,观察旋转180°前后原图形和新图形的位置情况.
如图是的对角线的交点.以为旋转中心,把按顺时针方向旋转,作出所得的图形.
探究新知
探究一：中心对称的概念
类似地,如果一个图形绕着一个点旋转后,能够和另外一个图形互相重合,我们就称这两个图形关于点成中心对称.
如图,绕点旋转后与重合,与关于点成中心对称.
如果一个图形绕着一个点旋转180°后,所得到的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫对称中心.
如图的是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
探究新知
探究一：中心对称的概念
(1)(3)(4)是中心对称图形
做一做:下列哪些图形是中心对称图形？
探究新知
方法总结：
根据中心对称图形的定义,容易得出中心对称图形的以下性质:
对称中心平分连结两个对称点的线段。
探究新知
探究二：作中心对称图形
例3:如图4-27,已知和点,作,使与关于点成中心对称.
解:如图.
(1)连结并延长到,使,则点即点关于点成中心对称的对称点.
(2)同理,作出点的对称点.
(3)连结.
即为所求作的三角形.
探究新知
方法总结：
1.作图核心:先找原图形各顶点关于对称中心的对称点,再顺次连接对称点；
2.对称点找法:连结顶点与对称中心并延长,在延长线上截取与原线段等长的线段,端点即为对称点；
3.注意事项:作图需保留辅助线(连线、延长线),标注对应点与对称中心,确保图形准确性。
探究新知
探究三：关于原点成中心对称的点的坐标特征
例4:求证:在直角坐标系中,点与点关于原点成中心对称.
分析:由中心对称的定义知,要证明两点关于原点对称,只需证明三点共线,且即可.
证明:如图,连结,作轴,轴,分别为垂足.
探究新知
探究三：关于原点成中心对称的点的坐标特征
,
,
.
.
,
即在一条直线上,当将点绕点旋转时,点与点重合.
所以点关于原点成中心对称(我们也称为点关于原点对称).
探究新知
方法总结：
关于原点对称的两点的坐标特征:
关于原点对称两点横纵坐标均互为相反数,即点关于原点成中心对称的点的坐标是.
课堂练习
1.下列图形中,不属于中心对称图形的是( )
2.下列各图中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
C
D
课堂练习
3.在平面直角坐标系中,点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(4,1) B.(-1,4) C.(-4,-1) D.(-1,-4)
4.在平面直角坐标系中,若点与点关于原点成中心对称,则m的值是 。
5.如图,在4×4的方格中,选择6个小方格涂上阴影,
请仔细观察图1中的六个图案的对称性,
按要求回答问题。
D
课堂练习
(1)请在六个图案中,选出三个具有相同对称性的图案。选出的三个图案是 (填序号),它们都是图形 (填“中心对称”或“轴对称”)。
(2)请在图2中,将1个小方格涂上阴影,使整个4×4的方格也具有与(1)中所选图案相同的对称性。
(2)解:轴对称图形如答图1所示(答案不唯一),
中心对称图形如答图2所示(答案不唯一)。
课堂练习
6.如图,将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形,用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形,请在下列网格中画出你拼成的四边形。要求:①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点(网格线的交点)上。
课堂练习
解:(1),且。理由如下:
与关于点成中心对称,点的对应点分别为点,
三点共线,三点共线,,。
在与中
,,.
7.如图,与关于点成中心对称,点的对应点分别为点,连结。
(1)线段具有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由。
(2)如果的面积为,求四边形的面积。
课堂练习
(2)易知与等底同高,所以.
同理可得.
又由(1),得,
.
又的面积为,
四边形的面积为.
课堂练习
8.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.平面直角坐标系的原点在格点上,x轴、y轴都在格线上,线段的两个端点也在格点上.
(1)将线段绕点逆时针旋转得到线段,试在图中画出线段.
(2)线段与线段关于点对称,请画出线段.
(3)在第四象限确定两格点,画出四边形,使得四边形为中心对称图形且面积为.
解:(1)如答图,线段A1B1即为所作.
(2)如答图,线段A2B2即为所作.
(3)如答图,四边形ABCD即为所作.
课堂练习
解:(1)四边形是平行四边形,
四边形关于点O成中心对称.
点,
点.
9.如图,在平面直角坐标系中,点A(－4,2),B(－1,－2), ABCD的对角线相交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C,D的坐标.
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程.
(3)求△AOB的面积.
课堂练习
解:(2)线段到线段的变换过程是绕点旋转(答案不唯一).
(3)点,
.
又易知为的中点,
.
9.如图,在平面直角坐标系中,点A(－4,2),B(－1,－2), ABCD的对角线相交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C,D的坐标.
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程.
(3)求△AOB的面积.
课堂小结
1.概念辨析:明确中心对称(两图形关系)与中心对称图形(一图形特征)的区别与联系,能准确识别常见中心对称图形.
2.技能掌握:熟练掌握中心对称图形的作图方法,能根据坐标特征快速找原点对称点.
3.性质应用:运用“对称中心平分对称点连线”“原点对称坐标规律”解决作图、坐标变换问题.
4.素养落实:体会旋转与中心对称的内在关联,发展空间观念与逻辑推理能力,为后续平行四边形中心对称特征学习奠定基础.
知识梳理
课后提升
1.没有哪一门学科能像数学这样,利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界.下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线,其中是中心对称图形的是( )
基础作业：
B
课后提升
2.围棋在我国古代称为弈,相传已有4000多年的历史,春秋战国时期,围棋已在社会上广泛流传了,围棋也被认为是世界上最复杂的棋盘游戏,下图是截取的两人在围棋比赛中的四个部分,由黑白棋子摆成的图形是中心对称图形的是( )
基础作业：
B
课后提升
基础作业：
3.如图,图④可以通过部分图的平移、轴对称得到,则图①—图④中,忽视中心点,其中属于中心对称图形的有 个.
4.如图,与关于点成中心对称,
则下列结论不成立的是( )
A.点A与点是一对对称点 B.
C. D.
3
D
课后提升
基础作业：
解:与相等,理由如下:
将以点为旋转中心,顺时针旋转,得到,
,
,
,
.
5.如图,将以点为旋转中心,顺时针旋转,得到,过点作,交的延长线于点,试问:与相等吗 为什么
课后提升
基础作业：
解:如图,点、即为所求.
6.如图所示,三角形ABC和三角形A'B'C'关于某一点成中心对称,一同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,并补全三角形A'B'C'.
课后提升
基础作业：
7.在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是( )
A B. C. D.
8.若点与点关于原点对称,则点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
C
A
课后提升
能力提升：
9.在平面直角坐标系中,已知点A(2a-b,-8)与点B(-2,a+3b)关于原点对称,则a、b的值为( )
A.-2,-2 B.-2,2 C.2,-2 D.2,2
10.在玩俄罗斯方块游戏时,底部已有的图形如图所示,接下去出现如下哪个形状时,通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形( )
D
课后提升
提升作业：
11.将一张正方形纸片按如图①②所示的步骤沿虚线对折两次,然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④,将图④展开铺平后的图形( )
A.是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形
D.是中心对称图形,也是轴对称图形
课后提升
12.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1,则对称中心E点的坐标是( )
A.(3,-1) B.(0,0) C.(2,-1) D.(-1,3)
13.如图,直线MN过 ABCD的对称中心O,交AD于点M,
交BC于点N,已知S ABCD=4,则S阴影= .
提升作业：
D
1
课后提升
提升作业：
解:如图,四边形A'B'C'D'即为所求作的图形.
14.如图,已知四边形ABCD和点P,画四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称.
课后提升
拓展作业：
15.数学兴趣小组活动时,提出了如下问题:如图①,在中,若,求边上的中线的取值范围.
解决方法:如图①,延长到,使得,再连结(或将绕点D逆时针旋转得到).把集中在中,利用三角形的三边关系可得,则.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,
可以考虑构造关于中点中心对称的图形,
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
课后提升
拓展作业：
15. 迁移应用:请参考上述解题方法,回答下列问题:
如图②,在中,是边的中点,,交于点,交于点,连结.
(1)求证:F;
(2)若,试探索线段之间的等量关系,并加以证明.
课后提升
(1)证明:如图,延长到,使得,连结(或把绕点逆时针旋转得到),
易知,
,
.
在中,,
即.
课后提升
(2).证明如下:
,,
易知,
,即,
在中,,
由(1)知,
.
Thanks!
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