2.2 一元二次方程的解法(4) 同步提高练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2.2一元二次方程的解法(4)
重点提示
(1)对于一元二次方程 如果 那么方程的两个根为x= 称为一元二次方程的根的判别式： 方程有两个不相等的实数根；b -4ac=0 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根。
夯实基础巩固
1.一元二次方程 的根是( )。
A. B.
C. D.
2.下列方程中，有两个相等的实数根的是( )。
A. B. C. D.
3.下列说法中，正确的是( )。
A. 是一元二次方程
B.方程x(x+2)(x-3)=0的实数根有三个
C.一元二次方程的一般形式为 根是
D.方程的解是x=1
4.对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab -ab,例如: 则方程1☆x=2的根的情况为( )。
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
5.用公式法解一元二次方程时，一般要先计算 的值，则一元二次方程 的 的值为 。
6.方程 的根是 。
7.有一个数值转换机，其流程如图。若输入a=-2，则输出的x的值为 。
8.解方程：
(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)。
9.设x 为一元二次方程 较小的根，则( )。
A. B. C. D.
10.小刚在解关于x的方程 时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1。他核对时发现所抄的c比原方程的c小2，则原方程的根的情况是( )。
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根
11.已知关于x的方程 的根的判别式等于0，且 是方程的根，则a+b的值为 。
12.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 。
13.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
14.如果 那么把形如 的方程称为“勾系方程”。
(1)当a=3,b=4时,写出相应的“勾系方程”: 。
(2)求证：关于x的“勾系方程” 必有实数根。
15.阅读材料：方程 的根是 方程 的根是 因此，要求 的根，只要求出方程 by+ ac=0的根,再除以a就可以了。
例：解方程
解：先解方程 解得
∴方程 的两根是 即 请按上述材料中所提供的方法解方程：
实战演练
16.已知关于x的一元二次方程其中m,n在数轴上的对应点如图，则这个方程的根的情况是( )。
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
17.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)如果方程的两个实数根为x ，x ，且k与 都为整数，求k所有可能的值。
开放应用探究
18.已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根。
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。
1. C 2. B 3. B 4. D 5.13
7.1或2
9. B 10. A 11.- 12. k>- 且k≠0
13.2
14.(1)当a=3,b=4时, ∴相应的“勾系方程”为 或
b )-4ab=2(a-b) ≥0,∴关于x的“勾系方程” 必有实数根。
15.先解方程 即 解得y =1,y =-7。
∴方程 的解为 16. A
17.(1)∵△=[-(2k+1)] -4×(k +k)=1>0,∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根。
,即(x-k)[x-(k+1)]=0,解得x=k或x=k+1,∴一元二次方程 的两根为k,k+1。
或 若 为整数,则k为1的约数,∴k=±1;
若 为整数，则k+1为1的约数，
∴k+1=±1,则k为0或-2。
∴整数k的所有可能的值为-1，1，0或-2。
16k+8=(2k-3) ,
,即△≥0,
∴无论k取何值，这个方程总有实数根。
(2)当b=c时, 解得
方程化为 解得b=c=2,而2+2=4，故舍去。
当a=b=4或a=c=4时,把x=4代入方程,
得 解得
方程化为 解得
∴a=b=4,c=2或a=c=4,b=2。
∴△ABC的周长为4+4+2=10。