2.4 一元二次方程的应用(2) 同步提高练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2.4一元二次方程的应用(2)
重点提示
(1)面积问题的等量关系主要是各种平面图形(三角形、四边形、圆等)的面积公式。(2)距离问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理作为基本等量关系列出方程。
夯实基础巩固
1.将某正方形的一边长增加4，另一边长保持不变，所得的长方形的面积是原来的2倍。设该正方形的边长为x，则( )。
A.(x+4)·x=2 B.(x+4)·x=2x C. D.
2.在某篮球邀请赛中，参赛的每两支队伍之间都要比赛一场，共比赛36场。设有x支队伍参赛，根据题意，可列方程为( )。
A. B. C. x(x-1)=36 D. x(x+1)=36
3.某中学有一块长30m、宽20m的长方形空地，计划在这块空地上分出四分之一的区域种花，小禹同学设计的方案如图，求花带的宽度。设花带的宽度为x(m)，则可列方程为( )。
A. B.
C. D.
(单位: m)
4.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'。若两个三角形重叠部分的面积为1cm ,则△ABC移动的距离AA'为( )。
A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm
5.如图，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，工人用一根长为5m的木材AB，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，BO=4m。现为了增加支撑效果，底端向前移动1.5m，问：顶端需上移多少米 在这个问题中，设顶端上移x(m)，则可列方程为 。
6.如图，张大叔从市场上买回一块长方形铁皮，他将此长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，则张大叔购买这张长方形铁皮共花了多少钱
7.为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边，用总长为120m的围网在水库中围成如图①②③的三块长方形区域，且三块区域的面积相等。设BC的长度为x(m)。
(1)求AE的长(用含x的代数式表示)。
(2)当长方形ABCD的面积为600m 时,求BC的长。
能力提升培优
8.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图)。点P的速度为 点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动。当△PBQ的面积为 时，点P运动的时间是( )。
A.2s B.3s C.4s D.5s
9.如图，若将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的长方形，设a=1，则b为( )。
A. B. C. D.
10.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若草坪部分的总面积为160m ,则小路的宽度为 m。
11.如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设长方形地面，请观察图形并解答下列问题。
(1)按照规律，在第6个图中，黑色瓷砖有 块，白色瓷砖有 块。
(2)某学校新教室要装修，每间教室的面积为68m ，准备定制边长为0.5m的正方形白色瓷砖和长为0.5m、宽为0.25m的长方形黑色瓷砖来铺地面。按照此图案进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设。已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，则每间教室所用的瓷砖为多少元
实战演练
12.如图，为美化校园环境，学校打算在长为30m、宽为20m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为a(m)的通道。若花圃的面积恰好等于264m ，则通道的宽为 m。
13.如图所示为一张长12cm、宽10cm的长方形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm。
开放应用探究
14.如图,在长方形ABCD中,AB=6cm,AD=2cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动的时间为t(s)，问：
(1)当t=1s时,四边形BCQP的面积是多少
(2)当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm
(3)当t= s时，以P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形。(直接写出答案)
2.4一元二次方程的应用(2)
1. C 2. A 3. D 4. B
6.设长方体的底面长为x(m)，则底面宽为(x-2)m。
由题意得x(x-2)×1=15,
解得. (舍去)。
底面宽为5-2=3(m)。
长方形铁皮的面积为(5+2)×(3+2)=35(m ),这张长方形铁皮的费用为20×35=700(元)。
7.(1)设BE=a(m),则AE=2a(m),AB=3a(m)。
依题意得2×3a+2a+2x=120,∴a=- x+15。
∴AE的长为
(2)依题意得3a·x=600,即 整理得. 解得
∴BC的长为20m或40m。
8. B 9. B 10.2
11.(1)2842
(2)设白色瓷砖的行数为n。
由题意得0.5 ×n(n+1)+0.5×0.25×4(n+1)=68,解得 (不合题意，舍去)。
∴白色瓷砖的块数为n(n+1)=240，黑色瓷砖的块数为4(n+1)=64。∴每间教室所用的瓷砖为20×240+10×64=5440(元)。
12.413.2
14.(1)∵四边形ABCD是长方形,
∴AB=CD=6cm,AD=BC=2cm,∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
∵CQ=1cm,AP=2cm,∴PB=6-2=4(cm)。
(2)①如图1,作QE⊥AB于点E,则∠PEQ=90°,QE=BC=2cm,BE=CQ=t(cm)。
∵AP=2t(cm),∴PE=6-2t-t=6-3t(cm)。
在Rt△PQE中，由勾股定理得
解得
②如图2,作PE⊥CD于点E,则∠PEQ=90°,PE=BC=2cm,BP=CE=6-2t(cm)。
∵CQ=t(cm),∴QE=t-(6-2t)=3t-6(cm)。
在Rt△PEQ中，由勾股定理得( 解得
综上所述，t的值为 或
或