第2章 一元二次方程 单元测评卷（含答案） 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第2章一元二次方程单元测评卷
一 选择题(每题3分，共30分)
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )。
A. B. C. D.
2.方程( 的解是( )。
A. x=5 B. x=2 C. x=5或x=2 D. x=1或x=2
3.利用求根公式求 的根，其中a=5，则b，c的值分别是( )。
A. ，6 B.6, C. D.
4.下列关于一元二次方程的根的说法，正确的是( )。
A.方程 有一个根为-1
B.方程 有一个根为1
C.方程 有两个不相等的实数根
D.方程 有两个实数根，并且这两个根互为相反数
5.关于x的方程 有下列说法：①若a≠0，则方程必定是一元二次方程；②若a=0，则方程必定是一元一次方程，那么上述说法中( )。
A.①②均正确 B.①②均错误
C.①正确,②错误 D.①错误,②正确
6.如图，将一块长为40cm、宽为30cm的长方形硬纸板的四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600cm ，设剪去小正方形的边长为x(cm)，则可列方程为( )。
A.(30-2x)(40-x)=600 B.(30-x)(40-x)=600
C.(30-x)(40-2x)=600 D.(30-2x)(40-2x)=600
7.用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是( )。
A. B. C. D.
8.为了提高社区居民对“垃圾分类”的知晓率，某街道工作人员用了两个月的时间在该社区加强了宣传，若社区的知晓人数的平均月增长率为m%，两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万人，现在的知晓人数为b万人，则( )。
A. b=(1+m%×2)a B. b=(1+m%) a
C. b=(1+m%)2a D. b=m%×2a
9.用配方法解方程 ，配方后的方程是 ( )。
A. B. C. D.
10.将关于x的一元二次方程 变形为 就可以将x 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式。根据“降次法”，已知 且x>0,则 的值为( )。
A. B. C. D.
二 填空题(每题3分，共18分)
11.方程x(2x-1)=2x-1的根为 。
12.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数k的值为_____ 。
13.已知m是关于x的方程 的一个根，则
14.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x ，x ，若 ，则m的值是_________
15.若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a= 。
16.如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”。下列关于“倍根方程”的说法：①方程 是“倍根方程”；②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”,则 ③若p,q满足 pq=2,则关于x的方程 是“倍根方程”；④若方程 是“倍根方程”，则必有 其中正确的有 _____ (填序号)。
三解答题(共72分)
17.(8分)解方程:
(2)(x-2)(x-3)=12。
18.(8分)如图，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成一个长方形花圃ABCD，AB边上留有一扇2m宽的小门EF(用其他材料做，不用篱笆围)。
(1)设花圃的一边AD的长为x(m)，用含x的代数式表示另一边CD的长为 m。
(2)当花圃的面积为160m 时,求AD的长。
19.(8分)小明同学用配方法推导一元二次方程 的求根公式时，对于 的情况，他是这样做的：
由于a≠0，方程 变形为 第一步
第二步
第三步
第四步
. 第五步
(1)小明的解法从第 步开始出现错误。
(2)当 时，方程 的求根公式为 。
(3)用配方法解方程：
20.(8分)阅读下面的例题：
解方程：
解：当 时，原方程化为 解得 (不合题意，舍去)。、
当x<0时，原方程化为. 解得 (不合题意，舍去)，
∴原方程的根是
请参照例题解方程：
21.(8分)某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件。
(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率。
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件。为了减少库存，商场决定降价销售。经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元
22.(10分)【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程 (a,b,c为常数,且a≠0),求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立。一般情况下，如果有两个不同的x的具体的值都满足，这就说明这个方程有两个不同的根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系。
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
(1)当a+b+c=0时,一元二次方程 必有一根是1。
(2)当a+c=b时,一元二次方程 必有一根是-1。
请判断两个结论的真假，并说明原因。
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程 的较大的根为p，方程 的较小的根为q,求p-q的值。
23.(10分)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根。
(2)设方程的两个实数根分别为
①求代数式的最大值。
②若方程的一个根是6，x 和x 是一个等腰三角形的两条边的长，求该等腰三角形的周长。
24.(12分)如图,在 中,AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC于点D,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿线段AD向终点D运动。设动点运动时间为t(s)。
(1)求AD的长。
(2)当 的面积为 时，求t的值。
(3)动点M从点C出发以2cm/s的速度在射线CB上运动。点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动。是否存在t，使得 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。
1. D 2. C 3. C 4. C 5. C 6. D 7. D 8. B
9. D 10. C 12.9 13.14
14.2 15.1 16.②③④
18.(1)设AD=x(m),则BC=AD=x(m),∴CD=34+2-2AD=34+2-2x=(36-2x)m。
(2)依题意得x(36-2x)=160,化简得 80=0,解得
当x=8时,36-2x=36-2×8=20>18,不合题意,舍去;当x=10时,36-2x=36-2×10=16<18,符合题意。∴AD的长为10m。
19.(1)四
配方得 即 开方得 解得
20.当x≥1时,原方程化为 即 解得 (不合题意，舍去)。
当x<1时，原方程化为 即 x-6=0,解得 (不合题意，舍去)，
∴原方程的根是
21.(1)设平均下降率为x。
依题意得 解得 (不合题意，舍去)。∴平均下降率为10%。
(2)设单价应降低m元，则每件的销售利润为200-m-162=(38-m)元,每天可售出 10=(20+2m)件。依题意得(38-m)(20+2m)=1150,整理得 解得 =13。∴考虑到减少库存，单价应降低15元。
22.【操作判断】两个结论是真命题。
(1)将x=1代入方程 ,得a+b+c=0,故当a+b+c=0时,一元二次方程 =0必有一根是1。
(2)将x=-1代入方程 ,得a-b+c=0,即a+c=b,故当a+c=b时,一元二次方程 必有一根是-1。
【实践探究】∵(2025x) -2024×2026x-1=0,
∴(2025 x+1)(x-1)=0。
∴p-q=1+2026=2027。
∴此方程总有两个不相等的实数根。
∴当m=-2时, 的最大值为24。
②把x=6代入原方程可得 解得m=2或m=6。
当m=2时，原方程化简为 解得x=2或x=6,
三角形三边长为6，6，2时，三角形周长为14；三角形三边长为2，2，6时不存在。
当m=6时，原方程化简为 解得x=6或x=10,
三角形三边长为6，6，10时，三角形周长为22；
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26。
∴等腰三角形周长为14或22或26。
24.(1)∵AB=AC=13cm,AD⊥BC, 且∠ADC=90°。
(2)∵AP=tcm,PD=(12-t) cm, 解得PD=6。∴t=6。
(3)假设存在t，使得
①若点M在线段CD上，即 时，PD=(12-t) cm,DM=(5-2t) cm,由 得 即 解得 (不合题意，舍去),t =2。
②若点M在射线DB上，即 时,DM=(2t-5) cm,由 得 5)=5,即
解得
综上所述，t的值为2或 或 时，