4.4 平行四边形的判定定理(2) 同步提高练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

4.4平行四边形的判定定理(2)
重点提示
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形。(2)平行四边形至少有四种判定方法，解题时要根据条件灵活选择方法，并注意判定与性质的区别和联系。
夯实基础巩固
1.下列四个条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )。
A.一组对角相等 B.一组对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF。其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠CBD═90°,BC═4,AO═CO═5,BD=6,则四边形ABCD的面积为( )。
A.6 B.12 C.20 D.24
4.若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,且OB=OD,AC=14cm,则当OA= cm时，四边形ABCD是平行四边形。
5.在如图所示的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的四个点为顶点，你能画出的平行四边形的个数为 个。
6.如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件:AE=CF,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,且AB=CD,则当点E,F不重合时,BD与EF的关系是 。
7.如图,在□ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,求证:
(1)四边形AECF是平行四边形。
(2)AE=CF。
8.如图,已知在 ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且DE=BF,过E,F两点作直线,分别与CD,AB的延长线相交于点M,N,连结CE,AF。求证:
(1)四边形AFCE是平行四边形。
(2)△MEC≌△NFA。
能力提升培优
9.已知四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么( )。
①再加上条件“BC=AD”，四边形ABCD一定是平行四边形；
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，四边形ABCD一定是平行四边形；
③再加上条件“AO=CO”，四边形ABCD一定是平行四边形；
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，四边形ABCD一定是平行四边形。
A.①和② B.①③和④ C.②和③ D.②③和④
10.如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，正确的方案是( )。
甲:只需要满足BE=DF;
乙:只需要满足AE=CF;
丙:只需要满足AE∥CF。
A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是
11.若以A(-0.5,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能位于第 象限。
12.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连结AF,CE,若DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形。其中正确的结论是 (填序号)。
13.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且.AO=CO,点E在BD上，满足
(1)求证：四边形AECD是平行四边形。
(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积。
14.如图,P是△ABC的边AB上一点,连结CP,BE⊥CP于点E,AD⊥CP,交CP的延长线于点D，试解答下列问题：
(1)如图1，当P为AB的中点时，连结AE，BD。求证：四边形ADBE是平行四边形。
(2)如图2,当P不是AB的中点时,取AB中点Q,连结QD,QE。求证:△QDE是等腰三角形。
实战演练
15.如图1,在 ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角。要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的是( )。
A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙
16.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,G,H分别是OB,OD的中点。求证:
(1)OE=OF。
(2)四边形GEHF是平行四边形。
开放应用探究
17.在△ABC中,P为BC的中点。
(1)如图1,求证:
(2)延长AB到点D,使得BD=AC,延长AC到点E,使得CE=AB,连结DE。
①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系。写出你的结论，并加以证明。
②请在图3中证明：
4.4平行四边形的判定定理(2)
1. C 2. B 3. D 4.7 5.3 6.互相平分
7.(1)连结AC交BD于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD。
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF。
∴四边形AECF是平行四边形。
(2)∵四边形AECF是平行四边形,∴AE=CF。
8.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC。
又∵DE=BF,∴AE=CF。
∴四边形AFCE是平行四边形。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠MCB=∠NAD,CD∥AB。∴∠M=∠N。
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴EC=FA,∠ECF=∠EAF。
∴∠MCE=∠NAF。∴△MEC≌△NFA(AAS)。
9. C 10. B 11.三 12.①②③
13.(1)在△AOE和△COD中,
∴△AOE≌△COD(ASA)。∴OD=OE。
又∵AO=CO,∴四边形AECD是平行四边形。
(2)∵AB=BC,AO=CO,∴OB⊥AC。
∵AC=8,∴CO=AC=4。
在Rt△COD中,由勾股定理得 ∴ 四边形AECD的面积
14.(1)∵P为AB的中点,∴AP=BP。
∵BE⊥CP,AD⊥CP,∴∠ADP=∠BEP=90°。在△ADP和△BEP中,∵
∴△ADP≌△BEP(AAS)。∴DP=EP。
∴四边形ADBE是平行四边形。
(2)延长DQ交BE于点F。∵AD∥BE,∴∠ADQ=∠BFQ。在△ADQ和△BFQ中,
∴△ADQ≌△BFQ(AAS)。
∴DQ=QF。∵BE⊥DC,∴QE是Rt△DEF斜边上的中线。∴QE=QF=QD,即DQ=QE。
∴△QDE是等腰三角形。
15. A
16.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,OA=OC,OB=OD。
∴∠DAC=∠BCA,且OA=OC,∠AOE=∠COF。
∴△AOE≌△COF(ASA)。∴OE=OF。
(2)∵OB=OD,G,H分别是OB,OD的中点,∴OG=OH。
又∵OE=OF,∴四边形GEHF是平行四边形。
17.(1)如图1,延长AP至点H,使得PH=AP,连结BH,HC。∵BP=PC,∴四边形ABHC是平行四边形。∴AB=HC。
在△ACH中,AH即
(2)①BE=2AP。证明:如图2,过点B作BH∥AE交DE于点H,连结CH,AH。∴∠1=∠BAC=60°。
∵DB=AC,AB=CE,∴AD=AE。
∴△AED是等边三角形。∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°。∴△BDH是等边三角形。
∴BD=DH=BH=AC。
∴四边形ABHC是平行四边形。∵P是BC的中点,∴P是四边形ABHC对角线AH,BC的交点。
∴点A,P,H共线,∴AH=2AP。
易证△ADH≌△EDB,∴AH=BE=2AP。
②证明：分两种情况：
( i )当AB=AC时,如图3,AB=AC=DB=CE。
(ii)当AB≠AC时,如图4,以BD,BC为一组邻边作 BDGC。∴DB=GC=AC,∠BAC=∠1,BC=DG。
∵AB=CE,∴△ABC≌△CEG。
∴BC=EG=DG。在△DGE中,DG+GE>DE。
∴2BC>DE,即
综上所述，