5.3 正方形(2) 同步提高练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

5.3 正方形(2)
重 点提示 正方形是最特殊的四边形，它综合了平行四边形、矩形和菱形的所有性质，正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，其对角线可以将正方形分成大小不同的八个等腰直角三角形。
夯实基础巩固
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )。
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
2.若正方形的周长为40，则其对角线长为( )。
A.100 B. C. D.10
3.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,若AE=AB,则∠EBC的度数为( )。
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
4.将n个边长都为2的正方形按如图所示的方式摆放，点A ，A ，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )。
A. n B. n-1 C.
5.如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是 。
6.如图，直线l ，l ，l 分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行。若l ，l 的距离为2，l ，l 的距离为4，则正方形的对角线长为 。
7.如图,在正方形ABCD中,点E,F在AC上,且AF=CE。求证:四边形BEDF是菱形。
8.如图,在正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE分别交DC,BD于点F,G,H为EF的中点,连结CG,CH。求证:
(1)∠DAG=∠DCG。
(2)GC⊥CH。
能力提升培优
9.如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一点,且AE=AB,连结BE,DE,则∠CDE的度数为( )。
A.20° B.22.5° C.25° D.30°
10.如图,在正方形ABCD中,AD=5,E,F是正方形ABCD内两点,且AE=CF=3,BE=DF=4,则EF的长为( )。
A. B. C. D.
11.如图,点B,C分别在两条直线y=2x和y= kx上,A,D是x轴上的两点。若四边形ABCD是正方形，则k的值为 。
12.如图,已知正方形ABCD的边长为8,点E,F分别在AD,CD上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为 。
13.如图，G是正方形ABCD的对角线CA延长线上的任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H。
(1)求证:△EAB≌△GAD。
(2)若 求EB的长。
14.如图1,在正方形ABCD中,E为BC上一点,过点B作BG⊥AE于点G,延长BG至点F,使∠CFB=45°。
(1)求证:AG=FG。
(2)如图2,延长FC,AE交于点M,连结DF,BM,若C为FM的中点,BM=10,求FD的长。
实战演练
15.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连结OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N。若四边形MOND的面积是1,则AB的长为( )。
A.1 B. C.2 D.
16.如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点,连结CE,EF,AF。若DE=DC,EF=EC,则∠BAF的度数为 。
开放应用探究
17.操作：将一个直角放在如图1所示的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
(1)如图2,当点Q在DC上时,求证:PQ=PB。
(2)如图3，当点Q在DC延长线上时，(1)中的结论还成立吗 请简要说明理由。
5.3 正方形(2)
1. D 2. C 3. A 4. B 5.2 6.2
7.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC,∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°。
在△ABE和△ADE中,∵ ∴△ABE≌△ADE(SAS)。∴BE=DE。同理可得△BFC≌△DFC,∴BF=DF。
∵AF=CE,∴AE=CF。
在△ABE和△CBF中,∵
∴△ABE≌△CBF(SAS)。
∴BE=BF。∴BE=BF=DE=DF。
∴四边形BEDF是菱形。
8.(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°。
∵DG=DG,∴△ADG≌△CDG。
∴∠DAG=∠DCG。
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BE。
∴∠DAG=∠E。
∵∠DAG=∠DCG,∴∠E=∠DCG。
∵H为Rt△CEF斜边EF的中点,
∴∠HCE=∠E。∴∠DCG=∠HCE。
∵∠FCH+∠HCE=90°,
∴∠FCH+∠DCG=90°,即∠GCH=90°。
∴GC⊥CH。
9. B 10. D 11. 12.5
13.(1)∵四边形ABCD,AEFG是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG。
∴∠EAB=∠GAD。∴△EAB≌△GAD(SAS)。
(2)∵△EAB≌△GAD,∴EB=GD。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC,AC=BD= AB=6。
∴∠DOG=90°,OA=OD= BD=3。
∵AG=3,∴OG=OA+AG=6。
14.(1)如图1,过点C作CH⊥BF于点H。
∵∠CFB=45°,∴CH=HF。∵∠ABG+∠BAG=90°,∠FBE+∠ABG=90°,∴∠BAG=∠FBE。
∵AG⊥BF,CH⊥BF,∴∠AGB=∠BHC=90°。
又∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC。
∴△AGB≌△BHC(AAS)。∴AG=BH,BG=CH。∵BH=BG+GH,
∴BH=CH+GH=HF+GH=FG。∴AG=FG。
(2)如图2,过点C作CH⊥BF于点H,过点B作BK⊥CM于点K,过点D作DQ⊥MF交MF延长线于点Q。
∵CH⊥GF,BG⊥AE,∴CH∥GM。
∵C为FM的中点, 在 Rt△BGM 中, 解得 (负值已舍)。
∵∠CFB=45°,BG⊥AE,∴GF=GM=4
∵C为FM的中点,∴CM=CF=2
∵AG=FG,∴AG=CM。∴BM=AB=BC。
∵BK⊥CM,DQ⊥MF,
∵∠BCK+∠DCQ=∠BCK+∠CBK=90°,
∴∠CBK=∠DCQ。
∵BC=CD,∴△BCK≌△CDQ(AAS)。
15. C 16.22.5°
17.(1)如图1,过点P作PN⊥AB于点N,NP的延长线交CD于点M。
∵在正方形ABCD中,AB∥CD,∠ACD=45°,
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°。
∴四边形CBNM是矩形，△CMP是等腰直角三角形。∴PM=CM=BN。
∵∠NBP+∠BPN=90°,∠BPN+∠MPQ=90°,
∴∠MPQ=∠NBP。
在△PMQ和△BNP中,
∴△PMQ≌△BNP(ASA)。∴PQ=BP。
(2)成立。理由如下:如图2,过点P作PN⊥AB于点N,NP的延长线交CD于点M。
同(1)理得△PMQ≌△BNP(ASA),∴PQ=BP。