5.3 正方形(1) 同步提高练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

5.3 正方形(1)
重点提示
判定一个四边形是正方形的方法一般有两种：一是先判定这个四边形是矩形，再说明它的邻边相等或对角线互相垂直；二是先判定这个四边形是菱形，再说明它有一个角是直角或对角线相等。
夯实基础巩固
1.下列说法中，正确的是( )。
A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果再添加一个条件,即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )。
A. BC=CD B. AB=CD C.∠D=90° D. AD=BC
3.如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,E,F分别是AD,BC的中点,连结AF与BE,CE与DF分别交于点M，N，连结EF，则图中一共有( )个正方形。
A.0
B.1
C.2
D.3
4.如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分展开后是一个正方形，其数学原理是( )。
A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形
5.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是边BM,CM的中点,当AB:AD= 时,四边形MENF是正方形。
6.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先拉动学具，将其变成如图1所示的菱形，并测得∠B=60°，接着拉动学具，将其变成如图2所示的正方形，并测得正方形的对角线AC=40cm,则图1中对角线AC的长为 cm。
7.如图，在 中， ，E是两锐角平分线的交点， 垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形。
8.如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连结EG。
(1)求证:四边形AEGF是菱形。
(2)若求证：四边形AEGF是正方形。
能力提升培优
9.如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点,M,N分别是AC,BD的中点，连结EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是( )。
A. AB=CD,AB⊥CD B. AB=CD,AD=BC
C. D.
10.如图，在一张3×3的方格纸上，若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，则在该3×3方格纸上可画出的正方形的个数最多是( )。
A.13 B.14 C.18 D.20
11.如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。若点O运动到AC的中点，则∠ACB= °时，四边形AECF是正方形。
12.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于点P。若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是 。
13.两个长为2cm、宽为1cm的长方形摆放在直线l上(如图1)，CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转α角，将长方形EFGH绕着点E按逆时针方向旋转相同的角度。
(1)当旋转到顶点D，H重合时，连结AG(如图2)，求点D到AG的距离。
(2)当α=45°时(如图3),求证:四边形MHND为正方形。
14.如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的一动点，连结DE，过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG。
(1)求证:矩形DEFG是正方形。
(2)判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明。
实战演练
15.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角。顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c;③a→b→c。其中正确的是( )。
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
16.在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合),对于任意矩形ABCD，给出下面四个结论：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形。
所有正确结论的序号是 。
开放应用探究
17.以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH。
(1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状(不要求证明)。
(2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设
①试用含α的代数式表示∠HAE。
②求证:HE=HG。
③四边形EFGH是什么四边形 请说明理由。
5.3 正方形(1)
1. D 2. A 3. D 4. A 5.1:2 6.20
7.过点E作EM⊥AB于点M。
∵AE平分∠CAB,∴EF=EM。
∵EB平分∠CBA,∴EM=ED。∴EF=ED。
∵ED⊥BC,EF⊥AC,△ABC是直角三角形,
∴∠CFE=∠CDE=∠C=90°。
∴四边形CDEF是正方形。
8.(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,∠BAC=∠DAC。
在△ABE和△ADF中,∵
∴△ABE≌△ADF(SAS)。
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF。
∴∠EAG=∠FAG。
∵FG∥AE,∴∠EAG=∠FGA。
∴∠FAG=∠FGA。∴FG=AF=AE。
∴四边形AEGF是菱形。
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD。
∴∠B+∠BAD=180°。
∵∠B=∠BAE=30°,△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°,∠BAD=180°-∠B=150°。
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°。
∵四边形AEGF是菱形，
∴四边形AEGF是正方形。
9. A 10. D 11.90 12.3
13.(1)作DK⊥AG于点K。
∵CD=CE=DE=2cm,∴△CDE是等边三角形。
∴∠CDE=60°。∴∠ADG=360°-2×90°-60°=120°。∵AD=DG=1cm,∴∠DAG=∠DGA=30°。∴DK= DG= cm。∴点D到AG的距离为
(2)∵α=45°,∴∠NCE=∠NEC=45°。
∴CN=NE,∠CNE=90°。∴∠DNH=90°。
∵∠D=∠H=90°,∴四边形MHND是矩形。
∵CN=NE,CD=EH,∴DN=NH。
∴矩形MHND是正方形。
14.(1)如图,过点E作EM⊥BC于点M,作EN⊥CD于点N。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°,∠ECN=45°。
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,NE=NC。
∴四边形EMCN为正方形。
∴EN=EM。
又∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°。
∴∠DEN=∠MEF。
在△DEN和△FEM中,
∴△DEN≌△FEM(ASA)。∴ED=EF。
∴矩形DEFG为正方形。
证明：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°。
∴∠ADE=∠CDG。
在△ADE和△CDG中,∵ ∴△ADE≌△CDG(SAS)。∴AE=CG。在Rt△ABC中,
15. C 16.①②③
17.(1)四边形EFGH的形状是正方形。
(2)①∵在 ABCD中,AB∥CD,
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°。
∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=
②∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∵在 ABCD中,AB=CD,∴AE=DG。
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°。∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE。
∵△AHD是等腰直角三角形,∴HA=HD。
∴△HAE≌△HDG。∴HE=HG。
③四边形EFGH是正方形。理由如下：
由②同理可得GH=GF,FG=FE。
∵HE=HG,∴GH=GF=EF=HE。
∴四边形EFGH是菱形。
∵△HAE≌△HDG,∴∠DHG=∠AHE。
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°。
∴四边形EFGH是正方形。