5.1 矩形(2) 同步提高练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

5.1 矩形(2)
重点提示
判定一个四边形是矩形有三种方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。(2)有三个角为直角的四边形是矩形。(3)对角线相等的平行四边形是矩形。注意：方法(1)和(3)要先利用平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形。
夯实基础巩固
1.已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )。
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC
2.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是( )。
A.矩形的对角线相等 B.矩形的四个角是直角
C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形
3.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是( )。
A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否都为直角
4.如图,已知四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点。若AC=6,BD=8,则四边形EFGH的面积为( )。
A.48 B.24 C.12 D.条件不足，无法计算
5.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,DF∥AB,DE∥AC,则当∠B= °时,四边形AEDF是矩形。
6.如图，连结四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加条件 ，才能保证四边形EFGH是矩形。
7.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OM⊥BC于点M,且BM=CM。求证: ABCD是矩形。
8.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至点G,使AE=GE,连结CG,CF。
(1)求证:△AOE≌△COF。
(2)只需添加一个条件，即 ，便可保证四边形CGEF为矩形，请加以证明。
能力提升培优
9.平行四边形内角的平分线能够围成的四边形是( )。
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形
10.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,若∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )。
A. B. C. D.
11.如图,将 ABCD的边DC延长到点E,使CE=CD,连结AE交BC于点F,∠AFC=n∠D,当n= 时,四边形ABEC是矩形。
12.如图,已知 ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC。其中能说明 ABCD是矩形的有 (填序号)。
13.如图,在 中，O是边AC上一个动点，过点O作直线. 设MN交 的平分线于点E，交 的外角平分线于点F。
(1)求证:OE=OF。
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长。
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形 请说明理由。
14.如图,在 中，对角线AC，BD交于点O，过点B作 于点E，延长CD到点F,使DF=CE,连结AF。
(1)求证:四边形ABEF是矩形。
(2)连结OF,若AB=6,DE=2,∠ADF=45°,求OF的长。
实战演练
15.如图,在 中,M,N是BD上两点,BM=DN,连结AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )。
A. B. MB=MO
C. BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
16.如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形。
(1)求证：四边形ACED是平行四边形。
(2)若AB=AE,求证:四边形ACED是矩形。
开放应用探究
17.已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置(如图1)时，易证得结论 请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时， 和 又有怎样的数量关系 请写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论。
图2的探究结论为 ；图3的探究结论为 。
5.1 矩形(2)
1. B 2. D 3. D 4. C 5.45 6. AC⊥BD
7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD。又∵OM⊥BC,BM=CM,∴OB=OC。
∴AC=BD。∴ ABCD是矩形。
8.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD,OA=OC。
∵E,F分别为OB,OD的中点,
在△AOE和△COF中,∵ ∴△AOE≌△COF(SAS)。
(2)添加AC=2AB时,可使四边形CGEF为矩形。
证明如下:由(1)得∠AEO=∠CFO,∴AE∥CF。
∵EA=EG,OA=OC,∴EO是△AGC的中位线。
∴EO∥GC。∴四边形CGEF是平行四边形。
∵AC=2AB,AC=2AO,∴AB=AO。
∵E是OB的中点,∴AE⊥OB。
∴∠OEG=90°。∴平行四边形CGEF是矩形。(答案不唯一)
9. B 10. A 11.2 12.①④
13.(1)如图。∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点 F,∴∠2=∠5,∠4=∠6。
∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6。
∴∠1=∠2,∠3=∠4。
∴EO=CO,FO=CO。∴OE=OF。
(2)如图。∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。
∵CE=12,CF=5,
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
当O为AC的中点时,AO=CO。
∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形。
∵∠ECF=90°,∴ AECF是矩形。
14.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC且AD=BC。∴∠ADF=∠BCE。
在△ADF和△BCE中,∵ ∴△ADF≌△BCE(SAS)。
∴AF=BE,∠AFD=∠BEC=90°。∴AF∥BE。
∴四边形ABEF是平行四边形。
∵∠AFD=90°,∴四边形ABEF是矩形。
(2)由(1)知四边形ABEF是矩形,∴EF=AB=6。
∵DE=2,∴DF=CE=4。∴CF=4+4+2=10。
在Rt△ADF中,.∠ADF=45°,∴AF=DF=4。
由勾股定理得
∵四边形ABCD是平行四边形，
15. A
16.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC。
∵C是BE的中点,∴BC=CE。∴AD=CE。
∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC。
∵AB=AE,∴DC=AE。
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形。
17.结论均是
证明:如图,过点P作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N。
∴四边形ABNM 和四边形NCDM均为矩形。
根据题意得，在矩形ABNM中有 在矩形 NCDM 中有 两式相加得