专题复习二 转化思想与特殊四边形问题 同步提高练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题复习二 转化思想与特殊四边形问题
重点提示
研究新问题或复杂问题时，常常可以把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决，因此转化思想在几何证明和计算中是一个重要的数学思想。例如：在解答与特殊四边形有关的问题时，常常可以将问题转化为特殊三角形问题解决。
夯实基础巩固
1.如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(1,2),则AC的长是( )。
A.3 B. C. D.
2.如图所示为一个正方形和一个直角三角形的组合图形，直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为10cm，8cm，则该正方形的面积为( )。
A. B. C. D.
3.如图，P是正方形ABCD的边AB上一点(点P不与点A，B重合)，连结PD并将线段PD绕点P按顺时针方向旋转90°，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于( )。
A.75° B.60° C.45° D.30°
4.如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分的面积与四边形EMCN的面积之比为( )。
A.4:3 B.3:2 C.14:9 D.17:9
5.如图,正方形ABCD的周长为16cm,则矩形EFCH的周长是 cm。
6.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连结DF,M,N分别是DC,DF的中点,连结MN。若AB=7,BE=5,则MN= 。
7.如图，在平行四边形ABCD中，P是AB边上一点(不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q,且∠QPA=∠PCB,QP=QD。
(1)求证:四边形ABCD是矩形。
(2)求证:CD=CP。
8.如图，在菱形ABCD中，O是对角线的交点，E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且
(1)求证：四边形OCFE是平行四边形。
(2)连结DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形。
能力提升培优
9.已知 以AB为边作正方形ABCD，使P，D两点落在直线AB的两侧。如图,当∠APB=45°时,PD的长是( )。
A. B. C. D.5
10.如图,在矩形ABCD中,AD=2,P是直线AD上一动点,若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为( )。
A.2 B. C.2或 D.4或
11.如图，点A，B，C在同一条直线上，且 D,E分别是AB,BC的中点,分别以AB,DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部分)的面积分别记作S ,S ,S ,若 则
12.如图,分别以△ABC的边AB,AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD,连结BD,CF,DF,若AB=1,AC=2,则
13.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E,F分别在边BC,CD上。
(1)若AB=4,试求菱形ABCD的面积。
(2)若∠AEF=60°,求证:AB=CE+CF。
14.如图,M是正方形ABCD的边BC上一点,连结AM,E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM的延长线于点F。
(1)如图1,若E为线段AM的中点, 求AB的长。
(2)如图2,若DA=DE,求证:
实战演练
15.如图，图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上。若AB=30cm，则BC的长为 cm(结果保留根号)。
16.在边长为4的正方形ABCD中，连结对角线AC，BD，P是正方形边上或对角线上的一点,若PB=3PC,则PC= 。
开放应用探究
17.(1)有这样一道习题:如图1,在 ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,HG∥AB,图中哪两个平行四边形的面积相等 为什么
根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称： 和 。
(2)如图2，P为 ABCD内一点，过点P分别作AD，AB的平行线，分别交 ABCD的四边于点E,F,G,H。已知 则
(3)如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重复、无缝隙)。已知①②③④四个平行四边形的面积之和为14，四边形ABCD的面积为11，求菱形EFGH的周长。
专题复习二 转化思想与特殊四边形问题
1. C 2. B 3. C 4. C 5.8 6.
7.(1)∵PQ⊥CP,∴∠QPC=90°。
∵∠QPA=∠PCB,∴∠BPC+∠PCB=90°。
∴∠B=180°-(∠BPC+∠PCB)=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形。
(2)连结CQ。
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°。
∵∠CPQ=90°,∴∠D=∠CPQ=90°。
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)。∴CD=CP。
8.(1)∵四边形ABCD是菱形,∴BO=DO。
∵E是边CD的中点,∴OE是△BDC的中位线。
且OE=CF。∴四边形OCFE是平行四边形。
(2)图中的等边三角形有：
△OCE,△ECF,△ABC,△ADC。
9. A 10. C 11. / 12.10
13.(1)∵在菱形ABCD中,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形。∵AB=4，∴等边三角形ABC底边上的高为
∴菱形ABCD的面积=
(2)如图，将△AEC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AE'B,则△AEE'为等边三角形。
∴∠AE'E=60°。∵∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=∠AEC-60°。
∴∠BE'E=∠CEF。
∵∠ABC=60°,AB∥CD,
=60°+60°=120°,∴∠E'BE=∠ECF。
在△EE'B和△FEC中,
∴△EE'B≌△FEC(ASA)。
∴BE=CF。∴BC=CE+BE=CE+CF。
∵AB=BC,∴AB=CE+CF。
14.(1)设BM=x,则CM=2x,BC=3x。
∵BA=BC,∴BA=3x。
∵在Rt△ABM中,E为斜边AM的中点,
由勾股定理可得 即 解得x=2。∴AB=3x=6。
(2)如图,过点A作AH⊥AF交FD的延长线于点H，过点D作DP⊥AF于点P。
∵DF平分∠CDE,
∴∠1=∠2。
∵DE=DA,DP⊥AF,
∴∠3=∠4。
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴∠2+∠3=45°。
∵∠BAF+∠DAF=90°,∠HAD+∠DAF=90°,
∴∠BAF=∠DAH。
又∵AB=AD,∴△ABF≌△ADH(SAS)。
∴BF=DH。
∵Rt△FAH是等腰直角三角形,.
∵HF=DH+DF=BF+DF,
15.30 16.1或 或
17.(1)□AEPH和□PGCF或□ABGH和□EBCF或□AEFD和□HGCD。
(2)1
(3)∵①②③④四个平行四边形的面积和为14，
∵四边形ABCD的面积为11,
设菱形EFGH的边长为x。∵菱形的一个内角为30°,∴菱形EFGH的高为 18,解得x=6。∴菱形EFGH的周长为6×4=24。