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一元二次方程 单元综合全能练考卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程 的解是( )
A．x=1 B．x=0 C． D．
2．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2
3．方程mx2﹣4x+1=0（m＜0）的根是（ ）
A． B． C． D．
4．已知M= a﹣1，N=a2﹣ a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定
5．关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
6．某旅游景区去年第二季度游客数量比第一季度下降20%，第三、四季度游客数量持续增长，第四季度游客数量比第一季度增长15.2%，设第三、四季度的平均增长率为 ，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8． 已知关于 的方程 的两个根分别为 ， 则二次三项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（ ）
A． B． C． D．﹣2
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 (x2+y2)(x2+y2-4)-12=0，则x2+y2的值为 .
12．若a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式2a2-4a+2019的值为 ．
13．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
14．已知实数满足（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）﹣6＝0，则代数式x2﹣x+1＝ ．
15．已知一元二次方程x2﹣ x+n＝0有两个相等的实数根，则 的值是 ．
16．一件商品的原价是121元，经过两次提价后的价格为196元，如果每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程为： ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解方程：x（x﹣3）＝4（x﹣1）．
（2）已知m是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，求：m2﹣2021m+ 的值．
18．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，且0≤t≤6.
（1）BP= cm，BQ= cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2 产立
（3）△PBQ的面积能达到40cm 试做出判断，并说明理由.
19．已知关于的元二次方程3)有两个实数根.
（1）求的取倛范围.
（2）若为最大的负整数，求此时方程的根.
20．填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+ =-5+ ，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3= ，
∴x1= ，x2= .
21．关于的方程．
（1）已知，异号，试说明此方程根的情况；
（2）若该方程的根是，，试求方程的根．
22．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
23． 根据以下素材，探索完成任务．
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）．
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值．
任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式．
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一元二次方程 单元综合全能练考卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程 的解是( )
A．x=1 B．x=0 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
x(x-1)=0，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】先移项，然后利用提取公因式分解因式解一元二次方程即可.
2．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=2，且m﹣2≠0．
解得：m=﹣2．
故选：C．
【分析】由一元二次方程的定义可知|m|=2，且m﹣2≠0，从而可求得m的值．
3．方程mx2﹣4x+1=0（m＜0）的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：这里a=m，b=﹣4，c=1，
∵△=16﹣4m，
∴x==．
故选B．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
4．已知M= a﹣1，N=a2﹣ a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵M= a﹣1，N=a2﹣ a（a为任意实数），
∴ ，
∴N＞M，即M＜N．
故选A
【分析】将M与N代入N﹣M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【答案】B
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得到： ，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
6．某旅游景区去年第二季度游客数量比第一季度下降20%，第三、四季度游客数量持续增长，第四季度游客数量比第一季度增长15.2%，设第三、四季度的平均增长率为 ，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】设第三、四季度的平均增长率为 x ，依题意得
故答案为：A
【分析】设第三、四季度的平均增长率为 x ，依题意得方程。
7．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】这两年兰州市房价的平均增长率为x，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2012年5月兰州市的房价均价为7600(1＋x)，则2012年5月兰州市的房价均价为7600(1＋x) (1＋x) ＝76000(1＋x)2．据此列出方程： ．
故答案为：C．
【分析】由这两年兰州市房价的平均增长率为x和2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，求出2013年5月兰州市的房价均价为76000(1＋x)2，根据题意列出方程，即可求解.
8． 已知关于 的方程 的两个根分别为 ， 则二次三项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
∵ 关于 的方程 的两个根分别为 ，
∴
故答案为：D.
【分析】
一元二次方程，(其中a≠0)的两个根为x1和x2.根据这一结论可写出相应的方程。
9．已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（ ）
A． B． C． D．﹣2
【答案】B
【解析】【解答】解：a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，
b(a2+2a+1)=a2﹣a﹣1，
b(a+1)2=a2﹣a﹣1，
当a+1=0时，即a=-1时，
左边=0，右边a2﹣a﹣1=1+1-1=1，
左边≠右边，
a=-1（舍去），
当a+1≠0时，
，
，
故符合题意的选项为B.
故答案为：B.
【分析】先将等式a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1变形为b(a+1)2=a2﹣a﹣1，再分两种情况讨论，当a+1=0时，得出等号左边≠右边，应舍去；当a+1≠0时，得到，将其变形为，再根据非负性得到b≥ ，然后结合选项即可得到答案.
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【解析】【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝ 或x0＝
∴2ax0+b＝ 或2ax0+b＝
∴
故④正确.
故答案为：B.
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 (x2+y2)(x2+y2-4)-12=0，则x2+y2的值为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵ (x2+y2)(x2+y2-4)-12=0，
∴（x2+y2）2-4（x2+y2）-12=0
∴（x2+y2-6）（x2+y2+2）=0
∴x2+y2-6或x2+y2+2，
解之：x2+y2=6，x2+y2=-2（不符合题意）
故答案为：6.
【分析】将x2+y2看着整体，将方程转化为（x2+y2）2-4（x2+y2）-12=0，利用因式分解法求出方程的解，可得到x2+y2（x2+y2＞0）的值.
12．若a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式2a2-4a+2019的值为 ．
【答案】2021
【解析】【解答】解：∵a是方程x2-2x-1=0的一个解，
∴a2-2a=1，
则2a2-4a+2019=2（a2-2a）+2019=2×1+2019=2021；
故答案为：2021．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2-2a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
13．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】15
【解析】【解答】解：x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
当腰长为3，底为6时，因为3+3＝6，不能构成三角形，
当腰为6，底边长为3时，因为3+6＞6，能构成三角形，
∴三角形的周长＝6+6+3＝15．
故答案为：15．
【分析】先利用配方法解方程得到x1＝x2＝3，分两种情况：当腰长为3，底为6时，当腰为6，底边长为3时，然后等腰三角形的性质和三角形三边的关系分别求解即可．
14．已知实数满足（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）﹣6＝0，则代数式x2﹣x+1＝ ．
【答案】4
【解析】【解答】解：设t＝x2﹣x，
由原方程，得
t2﹣t﹣6＝0，
整理，得
（t﹣3）（t+2）＝0，
所以t＝3或t＝﹣2．
当t＝3时，x2﹣x＝3，x2﹣x+1＝4
当t＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2时，△＜0，方程无解，此种情形不存在．
故答案是：4．
【分析】设t＝x2﹣x，则原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣t﹣6＝0，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式≥0，方程有解．
15．已知一元二次方程x2﹣ x+n＝0有两个相等的实数根，则 的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝m﹣4n＝0，
∴ ＝ ，
故答案为：
【分析】根据 =0求出m与n的关系，变形后代入计算即可.
16．一件商品的原价是121元，经过两次提价后的价格为196元，如果每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程为： ．
【答案】121（1+x）2=196
【解析】【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：121（1+x）2=196．
故答案为：121（1+x）2=196．
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为121元，表示出第一次提价后的价钱为121（1+x）元，然后再根据价钱为121（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为121（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为196元，列出关于x的方程．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解方程：x（x﹣3）＝4（x﹣1）．
（2）已知m是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，求：m2﹣2021m+ 的值．
【答案】（1）解： ，
，
， ， ，
，
，
即 ， ；
（2）解： 是方程 的一个根，
，
， ，
原式 ．
【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
18．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，且0≤t≤6.
（1）BP= cm，BQ= cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2 产立
（3）△PBQ的面积能达到40cm 试做出判断，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）∵=32
=32
+24t=32
∴解得：t=2或4，
∴，
∴t=2或4都符合题意，
答：即当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是；
（3）解：不能；
当=40时，
即，
+24t=40
6t+10=0
∵a=1，b=6，c=10；
∴
∴该方程无解，面积不能达到40.
答：△PBQ的面积不能达到40.
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，AP=2t，BP=AB-BP=12-2t，BQ=4t；
故答案为：（12-2t)；4t.
【分析】(1)根据路程=时间 速度，可以直接求出AP和BQ得值；已知AB的长，可以直接求出BP的值；
（2）根据三角形的面积公式，S= 底 高，已知△PBQ的底和高，可以直接列方程，解得t的值；
（3）根据（2）可知，三角形的面积S和时间t的关系为二次函数，根据二次函数的性质，当S=40时，方程有无解即可判断.
19．已知关于的元二次方程3)有两个实数根.
（1）求的取倛范围.
（2）若为最大的负整数，求此时方程的根.
【答案】（1）解：根据题意得且△，
解得且；
∴m的取值范围为：且；
（2）解：的最大负整数为，
此时方程变形为，
∵△，
∴，
∴，．
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式组，然后解不等式即可；
（2）的最大负整数为，将m=-1代入原方程并整理成一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
20．填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+ =-5+ ，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3= ，
∴x1= ，x2= .
【答案】9；9；±2；-1；-5
【解析】【解答】解： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+9=-5+9，即（x+3）2=4，
方程两边同时开方，得x+3=±2，
∴ x1=-1，x2=-5.
故答案为：9；9；±2；-1；-5.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“9”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得.
21．关于的方程．
（1）已知，异号，试说明此方程根的情况；
（2）若该方程的根是，，试求方程的根．
【答案】（1）解：根据题意得：，
∵，异号，，，
∴，
∴此方程有两个不等实数根
（2）解：∵关于的方程的根是，，∴，，
∴，，
∵方程，
∴，即，
∴，
∴或，
解得：或，
∴方程的根为或
【解析】【分析】（1）得到方程的判别式，根据题意得到的取值范围，即可判断方程根的情况；
（2）利用换元法解一元二次方程即可.
（1）解：根据题意得：，
∵，异号，，，
∴，
∴此方程有两个不等实数根；
（2）∵关于的方程的根是，，
∴，，
∴，，
∵方程，
∴，即，
∴，
∴或，
解得：或，
∴方程的根为或．
22．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
或，
解得，；
（2）解：，
，
则，
或，
解得，；
（3）解：，
，
，，，
则，
，
，；
（4）解：，
或，
解得，．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法：直接开平方、因式分解法和公式法。根据一元二次方程的特点，选择合适的解法是关键。（1）形如（x+n）2=m的一元二次方程，当m≥0，可直接开平方求根；（2）仔细观察方程，把常数3移项后，会出现公因式x-3，则可用因式分解的方法求方程的根；（3）当一元二次方程为一般式ax2+bx+c=0（a≠0），则采用公式法求根；（4）当一元二次方程为m2=n2时，可直接开平方求方程的根。
23． 根据以下素材，探索完成任务．
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）．
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值．
任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式．
【答案】解：任务1：根据题意得：，解得：，
此时长方体盒子的长为：＜32cm
∴初始方案是不可行；
任务2：当时，根据题意得：，
解得：或，
当时，盒子的长为，符合题意；
当时，盒子的长为，不符合题意；
∴x的值为4；
任务3：，
【解析】任务3：由题意(50-x-2×5)(40-y-2×5)=4680整理可得.
【分析】(1)一边减去x，再制作高5cm的无盖长方体，表达长方体的体积，即可求解x的值.
(2)改进方案同理在长为（50-x）cm，（40-y）cm的长方形纸板上制作一个长方体，表达长方体的体积，同样可求x的值.
(3)长为（50-x）cm，（40-y）cm的长方形制作符号题意的长方体，列等量关系并分离出y即可得到表达式.
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